艾滋病数学模型
数学建模竞赛-艾滋病疗法评价及疗效预测模型
二、 基本假设
1、题中所给出的数据真实，能反映现实情况； 2、最佳治疗终止时间是指：CD4 的浓度(个 / l )达到某值 的初始时间； 3、治疗有效果是指：HIV 的数量降低，同时产生更多的 CD4 细胞，至少能有效地降 低 CD4 减少的速度； 4、问题 2 中疗法的优劣评价，仅以 CD4 为标准； 5、在疗法 1 中，以日用量 600mg zidovudine 或 400mg didanosine 按每月交替服用， 1 个月按 30 天计算，且在第 1 月中，每日服用 600mg zidovudine ； 6、在测试过程中，忽略病人年龄的变化； 7、处于同一年龄段的病人，生理状况一致。
y 0.0003x3 0.0201x2 0.4414 x 0.7203
相关系数的平方：rsquare=0.9839 残差平方和 ：S= 0.1540 由此认为拟合比较好 散点图、拟合曲线及置信区间如下图：
3
图 1：CD4 比值的曲线拟合图 同样由于 numHIV(i)<20 的数据不具有统计意义，因此只画出 numHIV(i)>=20 时对 应 meanHIV(i)的散点图，根据散点图确定用负指数函数来拟合。 拟合曲线方程 y k1g e k 2gx k 3 用 Matlab 求得：k1=3.4668,k2=0.4673,k3=2.8365
CD 4i 。 CD 40
meanCD4(i)
sumCD4(i 1) sumCD4(i) sumCD4(i 1) numCD4(i 1) numCD4(i) numCD4(i 1)
用 meanCD4(i) 的值代替 sumCD4(i) 。 统计第 i 周 HIV 的测得值总和 sumHIV(i)与测试人数 numHIV(i)， 用三项移动平均法 的思想，令
数学建模论比赛资料 艾滋病模型
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B题我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：200620110912所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：艾滋病疗效数学模型与分析摘要本文就艾滋病疗效的问题做了深入的研究，由于数据量庞大，我们首先对数据进行筛选，排除那些部分信息量过少或偏离总体规律的数据，并对剩余数据逐个曲线拟合，然后通过对拟合后每个个体数据的散点分布趋势，找出图中密集点分布的大致范围，在此范围内求取平均值的方法，以此来确定普遍规律中方程的未知数，利用这种将大量的个体数据归纳为一个总体规律的方法来建立数学模型并求解。
在第一题中,由于HIV与CD4高度相关,因此我们通过研究CD4的变化率与HIV的变化率的关系，由于两者成反比关系，于是我们将CD4的变化率与HIV的变化率的关系模型假定为 ，整理得到： EMBED Equation.3 ；我们对个体数据进行了逐个曲线拟合，并将各个拟合后方程的系数看作坐标轴中的点(k1，k2）画出散点图，根据这些点在图中的疏密性确定(k1，k2）的大致范围,并利用平均值的方法求出（ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ），再根据短时间内HIV与CD4的变化规律，即“当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作”列出两者间的关系方程 EMBED Equation.3 ,消去方程EMBED Equation.3 中EMBED Equation.3 HIV，得到EMBED Equation.3 间的线性关系： EMBED Equation.3 ；通过斜率判断出药物对艾滋病的疗效是显著的。
关于艾滋病疗法的评价及疗效预测的数学模型
关于艾滋病疗法的评价及疗效预测的数学模型关于艾滋病疗法的评价及疗效预测的数学模型摘要艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以进步人体免疫才能。
艾滋病的实际治疗研究说明，CD4浓度增加，HIV浓度降低，艾滋病患者的病情会得到较好控制，但是，在治疗过程中发现，药物治疗的效果并非如我们想象的那样可以持久有效，即：在使用某1种药物治疗到达1定时间之后，无论是HIV还是CD4的含量都会出现反弹，而这个时间往往也因病人而异。
此外，在实际治疗时，不同的药物治疗的费用与治疗效果都不一样，在对病人进展治疗时常常会综合使用几种药物，如何恰当的混合使用药物来获得最好的治疗方案也是需要解决的1个问题。
针对这些问题，本文以美国艾滋病医疗试验机构ACTG(Aids Clincal Trials Group)公布的两组数据为根底，用数学建模的方法对药物最正确治疗终止时间预测及药物治疗方案评价问题进展了分析，并建立了相应的预测模型与评价模型。
结果说明，所构建的预测模型对大局部个体数据有较好的符合度，具有预测疗效、计算最正确治疗终止时间的作用；而所构建的评价模型能为艾滋病的实际治疗提供理论上的参考。
关键词: 治疗效果；最正确治疗时间；阻滞增长模型Mathematical Module For Appreciation Prediction of Efficiency on Medical Therapies Against AIDSAbstractPresently, AIDS(Acquired Immune Deficiency Syndromes) is one of the most serious epidemic in the world, which means ,since found in 1981,it has taken almost 30 million lives.The therapies aim at reducing the amount of HIV, and producing more CD4 as much as possible, at least slowing down the speed CD4 loses with, which will enhance humans immuning ability. The actual research on AIDS shows that with CD4 increases, HIV decreases, and the patient feelsbetter. .But, we also know that the efficiency cant last as long as we thought. Namely, after certain times, no matter HIV or CD4 may have a unpredictable phenomenon. And the standard for that differs. Also, in actual cruelty, different therapies have different fees and different efficiencies. So some kinds of medicine usually are used in certain approach. How to use them properly to obtain the best efficiency is our focus.Facing such problems, this article analyzes the prediction about best ending time and appreciation, building corresponding predicting-module and appreciating one.As result shows, predicting-module has a good coordination to major of data, and works well in predicting efficiency and puting the best ending time. Meanwhile, the appreciating one can be a theorical proof for AIDS actual operation.Keywords: Efficiency; Best Cure Time; Module of Preventing Increasement欢送访问。
艾滋病传播模型的讨论(杜函敏)
（3）
由这个模型所得结论可推出：当 d r0 0 ,X 随着 t 增大而减小。符合死 亡人数大于新传染人数时，总感染人数减小这一事实。
六、模型评价
现在来检验一下模型是否反映真实的情况,看这个模型到底有没有实用价值. 将实际值（用 i 表示）与通过模型计算出来的值（简称计算值，用 j 表示）做一 i j 比较.然后，按照下面的计算公式 w 100% ，求出它们的相对误差（用 w s
1
其中艾滋病病人约 8.5 万（8 万--9 万）人；2007 年新发艾滋病病毒感染者 5 万（4 万--6 万）人，因艾滋病死亡 2 万（1.5 万-- 2.5 万）人.2008 年最新中 国艾滋病数据显示，从上世纪 80 年代早期艾滋病被确诊以来，截至 2008 年底， 中国累计共 1051875 人感染了艾滋病病毒. 其中，2008 年新增病例 37041 起，年底有 97041 例艾滋病病人.2009 年递 增近一万人于年底达到 102810 例.2011 年同比增长 12800 余人.见表 1. 表1 年份 AIDS 我国境内历年发现的艾滋病人数 年份 AIDS 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 47606 60711 85866 97041 102810 118893 124686
dX rX dt X (0) X 0 解之得：X （t）=X 0e rt
表明感染人数将按指数每年规律增长（r>0） ，这个模型在传染病爆发初期增 长速度是非常慢的，而发展到一定程度后，增长速度会迅速加快。如果不采取有 效措施，任其按指数规律发展下去后果将不堪设想。由于政府的高度重视，采取 了一系列措施，所以我国的艾滋病传染可用 Logistic 模型描述。 2.1.2 模型求解 根据表 1 令：
一类多传染阶段的艾滋病模型_刘旭阳
一类多传染阶段的艾滋病模型刘 旭 阳(湖北大学数学系 武汉430062)摘要 当前国内外对艾滋病传染模型的研究引起了广泛的重视,在各种不同的假设下,建立了各种不同的模型。
随着研究的深入,所建立的模型正在逐步接近实际。
本文在文〔1〕、〔2〕和〔3〕的基础上作进一步的讨论,除了考虑将HIV感染者分成n个不同感染阶段外,还对性接触数不为常数而是性活动积极者总数N的函数的情况,来建立模型和进行分析,以得出复发数与疾病消除平衡态及流行平衡态之关系的阈值定理。
关键词 艾滋病 数学模型 稳定性 复发数 阈值1 模型的建立文〔1〕未考虑艾滋病(简记为AIDS)不同的传染阶段,而AIDS不同于感冒、麻疹等传染期较短的传染病,从感染艾滋病毒(HIV)到发展为AIDS平均约需10年。
因此,一般的传染病模型不适用于AIDS;文〔2〕和〔3〕虽然考虑了AIDS不同的传染阶段,但它们又都把性接触数当做常数来讨论问题。
而实际上性接触数是依赖于性活动积极者总数的,应视为后者的函数,基于这样的出发点来建立和讨论我们的新模型。
首先作三点假设:(1)我们考虑的人群是封闭的,无迁出迁入,且新出生的人口都是可感染者;(2)我们只考虑性活动积极者。
当一个人已成为AIDS患者后,由于已丧失性行为能力或者死亡,视为立即从人群中消失;(3)可感者一旦感染就立即成了传染者。
我们先从宏观上考虑:将人群分为可感者(性活动积极者,尚未感染HIV)、感染者(已感染HIV,而未出现症状)、艾滋病患者等三类。
再将感染者类分为n个传染阶段(第r个传染阶段对应第r类感染者)。
这样,实际上人群被分成n+2类。
它们的人数分别记为S,I r(r=1,2,…,n)和A,这里S,I r和A均为时间t的函数。
于是,性活动积极者总数N=S+∑nr=1I r。
为描述HIV传染的动态规律,再引用如下的记号:λ—可感染者具有的恒定恢复率;ν—感染者从一个(传染)阶段向下一个(传染)阶段的转移率;_—与AIDS无关的自然死亡率;W—AIDS患者死亡率;C(N)—性活动积极者总数为N时,每个个体在单位时间内的平均性接触数(在文〔2〕和〔3〕中都假定C(N)为常数);U r—第r类感者的个体一次性接触中传染概率。
艾滋病的传染救治模型(黄美善 石小艳 樊明宇)
艾滋病的传染救治模型02级信息与计算科学专业黄美善石小艳樊明宇摘要本文研究了怎样在无有效药物治疗的情况下控制艾滋病流行的问题，通过分析原有的一般的传染病模型SIR模型的不足之处，我们建立了新的艾滋病微分方程模型，旨在得出通过控制艾滋病感染者的有效接触率，实行及早发现尽早隔离的措施。
关键字：SIR模型微分方程模型一、问题的提出爱滋病是一种目前尚无有效治愈办法、病死率极高的传染病。
研究证明，艾滋病通过三种途径传播：经性接触、经血液和经母婴传播。
与人的行为紧密相关，对家庭、社会生产力破坏极大；由于对该病和感染者的不正确认识而产生的歧视和处理不当引起的社会不安定事件也屡见不鲜。
它在世界范围内的迅速传播和广泛流行，已成为举世瞩目的公共卫生和社会热点问题。
我国自1985年发现第一例艾滋病病人以来，艾滋病感染率一直控制在较低水平，然而，随着全球艾滋病流行重心逐渐向亚洲转移，近两年艾滋病的传播速度也呈倍增趋势。
截至1997年9月，疫情已波及30个省、自治区、直辖市，累计报告发现艾滋病病毒感染者8千多例，据国内有关单位专家以组分法和德尔菲法测算，我国艾滋病病毒实际感染数应为15－20万。
加之卖淫、嫖娼、吸毒等有利于艾滋病传播的危险因素存在，我国面临着艾滋病大面积加速流行的严重局面。
艾滋病在中国的流行经历了传入期(1985～1988年)、播散期 (1989～1994)和增长期(1995至今)三个阶段。
近年来，艾滋病流行形势日趋严峻。
因此，通过研究建立艾滋病的传染模型，找到影响艾滋病在人群中传播的规律，以达到预防为主的救治的目的，这是很必要的。
二、模型假设1、假设人群中任何两人的接触具有相同的概率，当易感者人群与感染者接触时，有一定的概率被感染上2、不考虑人口流动的影响三、模型的建立1、符号说明总人口数N(t)：t时段的总人数易感者S(t)：t时段未染病但有可能被该病传染的人数感染者I(t)：t时段已被感染成病人且具有传染力的人数移出者R(t)：t时段已从感染者中移出的人数b(t)：t时段出生率d(t)：t时段自然死亡率α：因病死亡率β：每次接触传染的概率U(N)：接触率β：有效接触率2、模型的建立2.1 SIR模型我们知道，对于流行疾病的研究主要是通过建立确定性微分方程来对传染病系统进行各种分析。
10373-数学建模-艾滋病疗法的评价及疗效的预测解答概要
艾滋病疗法的评价及疗效的预测解答概要1．把所有CD4的观测值与时间重排记做),(i i x t ，把所有HIV 的观测值与时间重排记做),(i i t y ，1665,,2,1 i 。
画出散点图程序如下： clc,cleara=textread('b1_2.txt'); %该文件保留病例号23725的观测值 a2=a(:,[1,4,5]);temp=find(a2(:,2)+a2(:,3)==0); %求未测得HIV 浓度的行 a2(temp,:)=[]; %删除未测得HIV 浓度的行 ind1=[];ind1=union(ind1,a(:,1)); n1=length(ind1); ind2=[];ind2=union(ind2,a(:,2)); n2=length(ind2); cd4=[];hiv=[]; for i=1:n1temp1=find(a(:,1)==ind1(i)); cd4=[cd4;a(temp1,[2,3])]; temp2=find(a2(:,1)==ind1(i)); hiv=[hiv;a2(temp2,[2,3])]; endplot(cd4(:,1),cd4(:,2),'*') figureplot(hiv(:,1),hiv(:,2),'*') 通过散点图可以看出，虽然每个人的采样周期不一样，但基本上在0，4，8，24，40周左右进行采样。
我们可以不考虑具体的采样时间，只考虑5次采样，这5次采样时间都看作是在第0，4，8，24，40周进行。
我们建立logistic 模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，不能在整个时间段上进行拟合，应当在每个单调区间上进行拟合。
我们利用前4次采样数据建立logistic 模型。
设)(t x 表示t 时刻CD4的浓度，对于logistic 连续模型，设微分方程为)1(bx ax dtdx-=，0)0(x x = （1）其中参数b a ,需要通过拟合得到。
全国数学建模竞赛艾滋问题研究
艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本题是一个根据ACTG所公布的数据对艾滋病的疗法进行评价，并对其疗效进行预测的问题。
在解决过程中，我们建立了四个数学模型，并给出了具体的数值结果。
针对问题一，我们建立了两个数学模型，从附件一中筛选了部分数据，从不同的角度解决了问题。
模型一运用了二元线性回归预测方法以最小二乘法为工具得到了二元经验线性回归方程及相应数值结果。
模型二为带有权重系数的Hammerstein模型，可视为模型一的推广。
在一般情况下，它是一个非线性的模型，因而我们用最速下降法给出了回归方程系数的数值解法。
问题二的解答利用了模型一、二中的相关结论，建立了一个多目标决策的数学模型。
该模型中，我们运用层次分析法得到了各评价因子的权重系数，并由此得出疗法的综合评价指数。
从附件二中筛选了部分数据，根据病情及年龄将其分为九类，对每一类患者选择了较优的疗法，并确定了最佳治疗终止时间。
在问题三的解决过程中，我们考虑了疗效和费用两因素，建立了模糊切比雪夫多目标决策模型，利用该模型我们得到了问题二的重新评价和预测结果。
问题一、二、三的具体数值结果如下：问题一：轻症患者最佳治疗终止时间为第76周，中症患者为第65周，重症患者为第54周。
问题二：对第1类病人第一种疗法的疗效较好，其最佳治疗终止时间为第78 周；对第3类病人第二种疗法较为有效，其最佳治疗终止时间为第20周；对第2类病人第三种疗法的治疗效果较好，其最佳治疗终止时间为第41周；对第48类病人第四种疗法较为有效，最佳治疗终止时间分别为第34,29,40,24,25周。
问题三：问题二中需要调整疗法的有:第3、第7、第8类病人，他们均可选用第三种疗法。
关键词：最小二乘法模糊切比雪夫多目标决策层次分析法一、问题的重述与分析1、问题的重述艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。
艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。
艾滋病传播数学模型的建立与分析_孟庆江
它表示活到年龄为 a 的个体所占的百分比 , 则又有
以下关系式
N (a)=μ* N π(a)
文献[ 1] 用有界线性算子的非线性扰动理论得 到系统(18)—(23)关于 λ=0 对应的无疾病的平衡
态的稳定性结论是
引理 1 讨论关于 ω的方法
∫∫ ∫ ∞
1 =ρ
a N(a)e(ω+γ)(b-a)-
a 0
(14)可解出
S(a) =S(0 , ∫ λ)e- a0(λ+μ(ξ))dξ
(1 5)
将(15)代入(9), 结合(12)可解出
∫ ∫ ∫ I(a)
=e-
a 0
(μ(ξ)+γ)dξ
a λS(τ)e dτ= τ 0(μ(ξ)+γ)dξ
0
∫ ∫ ∫ e-
× a
0
(μ(ξ)+γ)dξ
a
λS (0 , λ)e-
孟庆江1980一男山东聊城人在读硕士助教主要从事应用数学方面的研究36德州学院第23在上述假定条件下艾滋病疾病的发展过程可如下偏微分方程来描述瓦3s十3s一一sirn0一ron12平衡态下解的存在性考虑系统的平衡态tgar口口11io一012r0一o13由于表示传染率ia依赖于传染率所以flarada也依赖于传染率it记为口r口ida14又nn所以it越大n相对越大同时snrn相对越小从而导致s0越小所以可以假定s0为关于的减函数由8和14可解出15将15代人9结合12可解出
μ(a)R
∫∞
S(0)= [ β(a)S(a)+β′(a)I(a)+ 0
(1 0)
β(a)R(a)] da
(1 1)
I (0) =0
(1 2)
艾滋病传播及疾控模型(袁同斌 张建根 赵二帅)
艾滋病传播及疾控模型交卷人：袁同斌张建根赵二帅一、摘要艾滋病已经名副其实的成为威胁人类生存的“世纪杀手”。
如何认识，研究，解决艾滋病已经成为全人类亟待解决的课题！本文首先根据艾滋病传播的主要途径建立了艾滋病传播的常微分模型，得出“切断艾滋病传播途径以减少艾滋病传播及若不加以控制，艾滋病将以指数级的速度增长”的结论；接着，根据艾滋病人的来源建立疾控模型，分析得出“现阶段重点工作是尽最大可能发现那些还在‘地下’状态的感染者”的结论。
关键字：艾滋病常微分方程传播疾控二 、艾滋病传播模型1 、符号说明 N ：社会总人数；X(t)：艾滋病感染者的人数； t ：时间，以年为单位；λ：一个艾滋病感染者一年内平均有效接触（性传播，血液传播，母婴传播）的人数； 2 、模型建立及分析X dtdXλ=⎩⎨⎧ 满足0)0(X X =⇒t e X t X λ0)(= 由上式知，减少X(t)的方法可以减少λ—艾滋病感染者“有效”接触的人数入手。
采取洁身自好，不乱交，使用安全套，不与人共用针具，禁止被艾滋病毒感染过的血制品流通等措施，可切断爱滋病传播途径，从而减少艾滋病人数。
由上式亦知，艾滋病自身是以指数速度增加的，若不加以控制，不久的将来，艾滋病将成为世界性的灾难！上文的分析切断艾滋病传播途径对防治爱滋病固然有效，但现实生活中，很难从根本上实现！站在一个政府的角度，应该是从哪方面入手控制、减少艾滋病传播呢？下文将建立疾控模型对其探讨。
三、 艾滋病疾控模型1 模型假设假设一个人被确诊为艾滋病感染者后通过自身及社会的努力将不再传染其他人。
2 符号说明X k ：第k 年艾滋病感染者总人数；k λ：平均一个艾滋病感染者第k 年中传播的人数； k β：第k 年未被确诊的艾滋病感染染者人数； k α：第k 年被确诊的艾滋病感染染者人数；υ：第k 年未被发现的感染者转为确诊感染者的比例；k γ：第k 年的治愈率（目前而言均为0）； t ：正常人被感染艾滋病后平均存活年数；3 、模型建立及分析k k k k k k k k k tX αγβαλβαβα-+-+=+=+++)(1111 （1）其中：k k k k k k tυβαγααα+--=+11 （2） k k k k t υββλββ--=+11 （3）分析（1）式，减少X k+1,可以从下面五方面入手ⅰ：减少k α；分析（2）式：只要转为确诊的病例，由假设确诊者不会传染他人，则随着确诊者病逝或治愈，艾滋病感染者总人数是减少的，所以应让更多的未被发现的感染者转为确诊者即增大υ；ⅱ：减少β，即减少未被发现的艾滋病感染者；由（3）式知，应减k小λ（详细分析见下）；ⅲ：减小λ，即减少被艾滋病感染者传染而得艾滋病的人数。
确定型连续性艾滋病动态数学模型研究进展
（） ３
Ｊ Ⅳ ｆ ａ 一二 １ ｅｒ 一 ９
并求得发病高峰时间：
：
１ ｒ
（） ４
ｌ （ 可能是一个线形 函数 ：ｔｔ ∞ｔ ） ｃ ）＝ｃ （ ， （ ｔ １一 ， 。
ａ） ａ Ｏ＜ ａ＜ １ 是一个常量 ， ｔ， （ ） 指年递减率。
有 的学 者 认 为 ｐ Ｃ取 决 于人 群 中 ＡＤ ＩＳ病 人 数
【】 ８
。
ｓｔ 是 ｔ （） 时刻 的易感 者数 ，（）是 ｔ Ｉｔ 时刻 的 ＨＶ Ｉ 感染 者 的累计数 ， 是初 始状态 ＨＶ感染 者数 ， Ｉ ｐ是感
染速率常数 。 Ｎ是感染者与易感者数量之和。 由此求
得：
Ｂｒ ｒ ａ 睁 ａａ ｍ 等 ｙａ 用变量 （ ｔ ｔ ）＝ ｐ ｔｃｔ代替常 ， （ （ （ ） ） 量ｐ 当ｐ ｃ， 。＝ ｐ ｏ （）且 ｃ ｃＯ时 ｃ 。＝ （） ｔ ｐ 。 ， 。＝ 。 这 个公式可以应用于行为监测得来的各种行为改变。 并建立了可能的函数来描述 ∞ ｔ， （ 当行为正向改变 ） 减少了传播概率和接触概率 ｃ时 ３ 个函数都是递减
式中ｃ 为易感者的移入率 ， 、 、、 ａ ｐ ７ 为常数。Ｓ ａ
（ Ｉｔ表示感染者 的增加速度， Ｉｔ ｔ（ ） ） ｐ（ 表示由于患者 ） 死亡而导致的患者减少速度 ， Ｉ ） （ 表示采取 防 ７（ ｔ ｔ ） 疫措施后患者的减少速度 ， Ｉ ） ８（ 表示患者增多时易 ｔ
感者 的增加 率 。
马建忠等 … 根据流行病学的 Ｓ模型原理 ， Ｉ 给出 了艾滋病传播 的数学模型 ：
ｄ ＝卢ｓ ｔ Ｓ ｆ 『ｆ ｒ ＋Ｊ ＝Ｎ ｒ （） １ （） ２
数学建模--艾滋病之役
艾滋病之役摘要本文研究的是艾滋病的预测和预防问题，艾滋病毒肆虐人间已达26年之久，严重威胁着人类的健康和社会的发展，因此我们研究有关艾滋病的预测和预防问题显得越来越必要。
对问题1，运用传染病基本原理，将人群分为两大类、六小类，即易感人群（正常男性、正常女性、正常婴儿）与感染人群（HIV男性感染者、HIV女性感染者、HIV婴儿感染者），同时考虑艾滋病自身特色的三种传播途径，在无任何干预下，在经典传染病模型的基础上，建立了艾滋病传染的差分模型。
然后，考虑两种基本干预（ARV与预防性疫苗的使用）对不同传播途径的阻碍，引入药物的覆盖率，作为对各自传播途径的阻碍因子，建立了干预下的差分模型。
对问题2，首先基于国内艾滋病发病的严重程度与人均GNP，确定分类的指标，将国家分为可援助与待援助两类，在相应的假设下得到各国期望而且有可能得到的用于抗击HIV/AIDS的来自国外捐赠人资助的资金水平。
然后，考虑各国可用于抗击HIV/AIDS的资金总额，包括国外援助与国内预算。
最后，对三种方案分开做了较为详细的讨论，特别是方案1、2.对方案1，按可用资金的覆盖率，作为阻碍因子，运用1中的干预模型求解；对方案2，将时间分段，在较为合理的假设下，建立疫苗的投入使用年份与额外投资的关系，得到投入使用年份，在人群的不同的接种率下，得到疫苗的阻碍因子，并在干预模型下求解；对方案3，在方案1、2的基础上，考虑资金的分配比，结合查分方程组与单目标规划，得到最佳的分配比，同时得到艾滋病感染者的变化率。
关键词：差分模型 HIV感染率目标规划一、问题重述艾滋病严重地威胁着人类的生存，已引起世界卫生组织及各国政府的高度重视。
艾滋病在世界范围内的传播越来越迅猛，严重威胁着人类的健康和社会的发展，已成为威胁人们健康的第四大杀手。
HIV/AIDS(人体免疫缺损病毒/艾滋病)的大范围流行已经进入第 25 年，由于这种疾病导致的感染人数和死亡人数一直在不断上升.尽管已经付出了巨大的努力，但是国际社会对怎样才能最有效地抗击这种流行病仍然心中无数。
艾滋病预测模型及其应用研究
艾滋病预测模型及其应用研究艾滋病传播模型属于传染病经典模型中的SI模型，为避免运用SI模型运算出现预测结果与客观实际有较大偏差，基于灰色系统理论建立了艾滋病预测的灰色GM(1,1)模型，并依据我国从2005到2009年有关艾滋病传播的相关统计数据，应用该模型预测了未来两年我国艾滋病病毒感染者人数、艾滋病患者人数及艾滋病死亡人数，得到了切合实际的结果。
标签：艾滋病；经典传染病模型；灰色GM(1,1)模型2006年我国国务院发布的《中国遏制与防治艾滋病行动计划（2006-2007年）》指出：目前艾滋病在我多呈现低流行态势，在部分重点地区出现高流行趋势，而且疫情逐步从高危人群向一般人群扩散，防治工作形式依旧相当严峻.本文根据我国2005-2009年的艾滋病相关数据资料，试用基于灰色理论的GM(1,1)模型预测我国2010-2011年艾滋病流行趋势,为我国艾滋病防治工作提供科学的参考依据.1 资料与方法1.1 资料来源我国2005-2009年艾滋病感染者，病患以及死亡者相关统计数据。
1.2 预测内容和方法根据我国2005-2009年艾滋病统计报告数据（如表1所示），建立灰色GM(1,1)预测模型，预测我国2010-1011年艾滋病流行趋势。
1.3 GM(1,1)预测模型的建立方法将原始数据x(0)(1)，x(0)(2),……x(0)(n),记x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),……x(0)(n))作一次累加，得到x(1)=(x(1)(1)，x(1)(2),……x(1)(n),其中x(1)(k)=∑ki=1(x(0)(i)），建立GM(1,1)模型dx(1)dt+ax(1)=u(1)其中a,u为常数，可通过最小二乘法拟合得到：au=(B TB)-1B TY nB=-12(x(1)(1)+x(1)(2)) 1-12(x(1)(2)+x(1)(3)) 1………………-12(x(1)(n-1)+x(1)(n)) 1，(1)Y n=(x(0)(2),x(0)(3)……(x(0)(n))微分方程的解（即时间响应函数）为x⌒(1)(k+1)=（x(0)(1)-ua)e-ak+ua(2)可通过(2)式求得原始数列的还原预测值x⌒(0)(k)=x(1)(k)-x(1)0(k-1)。
基于样条插值及非线性微分方程的艾滋病治疗模型
基于样条插值及非线性微分方程的艾滋病治疗模型摘要本文从病人服药时的CD4细胞浓度和HIV病毒的浓度数据出发，建立了一组非线性微分方程组来描述这种变化的趋势。
同时我们在这里通过两种方法来处理这个方程:最小二乘法和穷举法.并将所得到的解与对数据直接进行三次样条插值拟合得到的函数进行比较,发现两种方法的结果大致是吻合的.在解决题目所提出的问题时,我们采用如下步骤:先定出了对于有着不同初始CD4浓度的病人最佳停药的标准，然后分别给出了五种不同的治疗方案的最佳停药时间并通过样条插值函数对CD4的浓度和HIV病毒的浓度走向给出估计,最后将年龄和经济因素加入其中来进一步考虑，得到最终的结果.本模型很好的解决了题目提出的各个问题，并且为了方便病人了解病情，我们根据模型编写了一个软件用于对选择不同疗法的病人的病情进行预测.本模型的优点在于充分考虑了起始CD4浓度和经济因素对合理选择的治疗方案的影响，同时通过不同的方法对问题的结果进行佐证，而且充分考虑了实际中可能出现的影响因素，从而针对不同的起始CD4的浓度和经济因素给出了最佳治疗的方案。
关键词:CD4细胞浓度,HIV病毒浓度,最佳停药时间,三次样条插值,微分方程,适定性。
目录1问题重述3 2问题分析3 3非线性HIV病毒感染及治疗模型的建立:53.1原始数据采集(Data Collecting) (5)3.2非线性HIV病毒感染及治疗模型的建立 (5)3.2.1HIV病毒感染及治疗模型的初步建立 (5)3.2.2模型适定性的修正 (6)3.2.3模型均值修正后的进一步拟和 (7)3.3四种不同疗法下HIV病毒感染及治疗模型的修正及比较 (8)3.3.1四种不同疗法对模型的影响 (8)3.3.2四种疗法的特点及优劣点比较 (10)3.4引入经济因素后HIV传播及治疗模型的改进 (11)4模型的求解及题目中问题的解答124.1题目中第一问的解答 (12)4.2题目中第二问的解答 (12)4.3题目中第三问的解答 (13)5模型的检验14 6不同治疗方法下艾滋病治疗预测软件146.1软件实现的功能 (15)6.2软件的输入输出 (15)6.3软件的用户界面 (15)7模型的优缺点分析以及进一步讨论167.1药物作用效果实际状况的改进 (16)7.2抗药性的考虑 (16)7.3药物对病人身体损伤的考虑 (16)8参考文献17§1问题重述艾滋病作为现今社会中危害人类健康最为严重的疾病之一，在被发现的20多年中已经吞噬掉了数以千万人的生命，而各个国家对于其防治也都进行了不懈的努力。
传染病数学模型
大规模免疫接种人群中HBV携带率动态变化图
不同接种覆盖率的急性乙型肝炎发病比动态变化图
接种覆盖率(%） 20 40 60 80 100
*
不同接种覆盖率的慢性乙肝发病比动态变化图
接种覆盖率(%) 20 40 60 80 100
*
四、我国吸毒人群HIV/AIDS流行趋势分析 离散型HIV/AIDS传播动力学模型
5
30%的干预措施，现有HIV感染人数与累计HIV感染人数将分别降低25%和20%；
6
70%的干预措施，现有HIV感染人数与累计HIV感染人数将分别降低58%和46%。
模型的补充说明 1）在前面所讨论的传染性系数、吸毒人群的移入率以及共用注射器吸毒者在静脉吸毒人群中所占比例等与行为因素有关的参数，实际情况中可能会随时间的变化而变化，但由于数据资料的限制和缺乏，这些参数在本模型中将做为常数来处理，这就会带来某种程度的不准确。今后，随着有关资料的不断充实，将进一步对这些参数做必要的调整和完善。 2）在本模型中，对于HIV的感染途径来讲，我们仅仅考虑了共用注射器，而没有考虑其他途径（如经性），这样做将会使得所得的结果出现一定的偏差。但是，由于吸毒人群中HIV的感染主要是通过共用注射器，因此，我们这样建模得到的结果基本上能反映实际情况。
*
我国HIV数学模型总结和展望
国外已经开展了HIV/AIDS传播动力学数学模型的研究工作，我国在这方面的工作才刚刚起步，很多还停留在理论分析阶段。如何能使建立的模型真正应用于实践，这是一个需要我们不断探索的过程。
反向计算法中有许多不确定性来源： 首先是潜伏期分布中的不确定性，潜伏期分布的估计受流行病学研究中的误差和不确定性的影响，常用灵敏度分析来评价这些不确定性 。 另一问题是报告的疾病发病资料，不同的国家有不同的传染病报告系统，其中有些可能不可靠，报告滞后或不完整时有发生。 还要注意到在上述预测模型中没有考虑从一个社区（国家）到另一个社区（国家）的移民（移入或移出）所产生的影响。 总之，反向计算法仅提供疾病发病和感染流行的粗略（偏低）估计和预测。
数学建模第五讲：微分方程—传染病模型
区分病人
考虑治愈
和健康人
模型3 (SIS) 模型4 (SIR)
模型3, 4: 描述传播过程, 分析变化规律, 预报高潮时刻, 预防蔓延手段.
模型4: 数值计算与理论分析相结合.
2. 人口预测和控制
• 年龄分布对于人口预测的重要性. • 只考虑自然出生与死亡，不计迁移.
人口 发展 方程
F (r,t) ~ 人口分布函数 (年龄 r的人口） p(r,t) ~ 人口密度函数 N (t) ~ 人口总数 rm ( ) ~ 最高年龄 F (0, t ) 0, F ( rm , t ) N (t )
MATLAB计算作图i(t), s(t)及i(s)
1
0.8 s(t) 0.6
0.4
0.2
i(t)
0
0
10
20
30
40
50
0.4
i
相轨线i(s)
0.3
0.2
0.1
P0 s
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
i(t)从初值增长到最大; t, i0 s(t)单调减; t, s0.04
传染病模型
模型1
模型2
的解析解
i(0)
i0 ,
s(0)
s0
先做数值计算, 再在相平面上研
究解析解性质
i0 s0 1 (通常r(0) r0很小）
模型4 SIR模型的数值解
di
dt ds
dt
si i, i(0) i0 si , s (0 ) s0
设=1, =0.3, i0=0.02, s0=0.98, 用
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
传染病模型——精选推荐
传染病模型因为时间原因《数学模型》和《数学建模⽅法与分析》是看不完了，这篇⽂章作为这段时间阅读建模书籍以及准备美赛期间建模的知识⼩结。
从这⼀个模型看数学建模必然是不全⾯的，不过我认为尽可能地去做好⼀个数学模型⽐漫⽆⽬的地做⼏⼗个数学模型要好很多。
传染病模型基本数学模型基本的数学模型有SI、SIS、SIR、SEIRt表⽰时刻，地区总⼈数不变，f(t)表⽰⼈群占⽐SI模型：HIV，最简单的模型，将⼈群分为易感染者s(t)和已感染者i(t)，设λ为感染率(有效接触率)s(t)+i(t)=1d id t=λsiSIS模型：普通流感模型，增加治愈率常数µs(t)+i(t)=1d id t=λsi−µiSIR模型：急性传染病模型，增加病愈免疫或因病死亡的⼈群r(t)s(t)+i(t)+r(t)=1d sd t=−λsi,d rd t=µiSEIR模型：带潜伏期的恶性传染病，增加潜伏者e(t)，潜伏者患病率θs(t)+e(t)+i(t)+r(t)=1d Sd t=−λsi,d ed t=λsi−θe,d id t=θe−µi,d rd t=µi其中涉及到的⼈群易感者：Susceptible潜伏者：Exposed感染者：Infectives抵抗者/移除者：Resistances/Removed在数学上可以分为常微分⽅程(Ordinary Differential Equation)偏微分⽅程(Partial Differential Equation)差分⽅程(Difference Equation)《数学模型P183》：SI、SIS、SIR体现了建模过程的不断深化.SI模型描述了传染病的蔓延，但不符合实际；SIS和SIR模型则针对愈后是否免疫这两种情况，描述了传播过程，得到患者⽐例的变化规律.SIR模型特别值得注意，他是研究更复杂、也更实⽤的许多传染病模型的基础.SEIR模型不是万能的，会有很多特殊状况, ⼀定程度内这些异类都可以被扰动因⼦ν所包含,研究⼀个固定的模型加扰动⽐不断地往模型⾥加扰动项好研究的多的多。
基于大数据与数学模型关于艾滋病预防的研究
1 分析
1.1 数据的收集与处理
（1）中国艾滋病发病数及死亡人数统计
我们根据网络大数据，查找到相关数据如下表： 表1 2011-2018。6中国艾滋病发病数和中国艾滋病死亡人数
发病人数 死亡人数
2011 20450 9224
2012 41929 11575
2013 42288 11437
2014 45145 12030
因此在大数据背景下，我们可以用数学模型预防HIV病 毒，将大量数据与数学模型相结合，并与时代接轨，利用大数 据去探索有价值的事物。所以，在HIV病毒预防过程中，大数 据的“辅助”无疑是让人们增强HIV病毒预防和精确度。通过 不断的分析、判断和实验，将大数据代入数学模型中得到结 果，从而让HIV病毒预防能够有更新更高的突破。
图5 2012-2018年Q1中国现存活AIDS病人 经过繁多的数据，我们可以调查了解到全国报告现存活艾
科学与信息化2019年12月上 129
医疗与信息化
TECHNOLOGY AND INFORMATION
滋病病毒（HIV）感染者/AIDS病人789617例，报告死亡245498 例。现存活HIV感染者460551例，AIDS人329066例。
随着人们科技水平的不断提升，信息技பைடு நூலகம்也变得更为先 进，所以当我们踏入了数字信息时代时，一切信息的来源都使 我们对未知领域更迫切的了解。越来越多的数据汇聚在一起， 随着时空不断变化，持续产生、不断流动、进而形成大数据。 而大数据常常“伴随我们”左右，与我们生活密不可分。同时 越来越多的问题都可以通过大数据来了解观察并解决。
相对误差 0
-2.8% -4.1% 2.9% 5.1% -3.8% -2.7%
精度 100% 96.9% 94.9% 95.4% 97.2% 94.4% 98.1%
艾滋病数学建模
模型的建立1.建模思想建立HIV/AIDS的传播模型，利用模型对不同控制措施下的感染情况进行预测。
对AIDS建立模型应考虑一下方面因素：1)传染病的一般传播原理；2)AIDS的特殊性，例如从感染病毒到发病，其潜伏期不定，且潜伏期期间没有明显症状，一旦感染将不能治疗痊愈；3)艾滋病感染人群层次广泛，包括各个阶层，知识分子，农民，学生等，在吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群等高危人群中流行更为广泛；4)每年新出生人口中会有艾滋病感染者；5)每年都有一般人群通过不同途径进入高危人群，成为易感人群；6)艾滋病感染者是否具有较高的道德修养，发现自己感染后能否控制自己的行为，不传染给其他人；7)感染艾滋病后，二次感染的可能性；8)国家采取一些措施，例如加大对艾滋病知识的宣传，发放避孕套等，对高危发病人群的影响。
考虑这些方面，进行条件的合理假设和参数确定。
2.假设条件1）研究高危人群，主要包括吸毒人群，嫖客人群，暗娼人群；2） 一个艾滋病病人被感染后不会被二度感染；3） 假设一个艾滋病病毒感染者具有较高的道德修养，自己感染后不会再传染他人即不考虑对周围人群的影响；4） 假设HIV 的潜伏期为8年。
3. 参数确定1) 针对艾滋病的特点，我们将人群分为三类：S ：易感者(susceptible)，即未感染HIV 病毒的健康人，但有可能被感染的人；E ：潜伏着(exposed)，已经感染HIV 病毒，但未被发现，仍处于潜伏期者；I ：患病者(infectious)，感染HIV 病毒，有明显的发病症状，到医院注册治疗者。
t 时刻以上各类人数分别用S(t)，E(t)，I(t)表示，用N(t)表示t 时刻人口总规模N(t)= S(t)+E(t)+I(t)2) p ----------------------------每年新出生人口中HIV 病毒携带者所占比例3) β---------------------------感染率，即单位时间内一个病毒携带者对易感人群的感染率 4)b ----------------------------自然出生率 5)d ----------------------------自然死亡率 6)k ----------------------------每一年进入与退出高危人群的比例之差 7)ε----------------------------处于潜伏期的病人的每年发病率 8) γ----------------------------每年因艾滋病死亡的死亡率4. 模型的建立根据艾滋病的流行规律，易感者受到感染后先变为潜伏着，潜伏者发病后变为感染者，感染者转变为移出者，不属于我们模型的考虑范围。
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摘要本题是一个艾滋病疗法评价和疗效预测的优化问题.首先对附录中的大量数据进行统计分析，拟合了CD4浓度、HIV浓度随时间变化的二项式拟合曲线.问题一，通过建立比例函数模型，拟合出比例函数二次曲线，并利用微分求导，得出了最佳治疗终止时间t=30.0444周；问题二，为预测最佳治疗效果，或者确定最佳治疗终止时间，主要采用拟合的方法.因附件2给的数据是一组实际值，有必要对数据进行弥补缺失数值及剔除异常数值的处理.在经过处理的数据中，对年龄从整体上进行分类（30岁以下，30——45岁，45岁以上），再在每个年龄类中依疗法的不同又分为4类，以四周为周期通过Matlab对已知散点进行拟合，计算出所抽出的样本的CD4含量与HIV 含量.再在同一年龄类水平上把这些值拟合成随时间变化的4条曲线，30岁以下最佳治疗方案1，4疗法，30——45岁最佳治疗方案2，3疗法，45岁以上最佳治疗方案4，且建议30周后继续治疗。
问题三，在第二问的基础上考虑病人的经济承受能力，建立了以疗效最大，花费最少的双目标规划模型，利用偏好系数将双目标规划化为单目标规划，得出在治疗期内的最佳治疗方案. 30岁以下用第1种疗法40周；30——45岁用1种疗法15周，用2种疗法14周，用3种疗法11周；45岁以上用1种疗法40周.关键字：最小二乘法偏好系数双目标规划艾滋病药效分析一、问题的提出1.背景艾滋病(获得性免疫缺损综合症,英文简称AIDS)是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命. 它是由艾滋病毒（人体免疫缺损病毒,英文简称HIV）引起的.这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命.人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作.迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高.许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法.艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力.2.问题现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据. ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir （茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）.193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV 浓度，它的测试成本很高）.4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）.试解决以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）.（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间.(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元.如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变.二、问题假设、名词约定及符号的说明1：基本假设（assumption）（1）药效只与患者体内的CD4浓度、HIV浓度有关；在检测期间，病人无影响健康状况的事件发生；（2）病人的年龄对疗效无影响；（3）各种药物数量充足，能够满足测试终止后对部分病人继续治疗的要求；（4）病人的经济状况服从正态分布；（5）本文测试者所得到的规律能代表该疗法的疗效；（6）假设所有的病人都是在题目中的时刻0 开始服药并且不存在服药失误之类的事情发生病人都每天按时服药。
2:符号说明：t 时间y(t) 问题2，3中，第t周测得的CD4含量T 测试期总时长S 疗法每日所需费用K 全国人均收入K0全国最低生活保证金平均水平Y ij第i类人第j种疗法测得的CD4含量，i=1,2,3;j=1,2,3,43.名词约定（1）疗法：不同药物的组合测试方案，具体如问题中各种药物的搭配服用方案；（2）疗效：患者体内的CD4浓度或HIV浓度大小，以CD4与HIV浓度的比值作为量纲；（3）最佳治疗终止时间：患者体内的CD4与HIV浓度比取极大值所对应的时刻。
比如，当CD4与HIV浓度的比值所对应时刻小于极大值所对应的时刻时，可认为药效明显，应继续服用；当CD4与HIV浓度的比值所对应时刻大于极大值所对应的时刻时，则认为服药效果不好，应选择终止治疗；（4）测试终止时间：患者测试终止时所对应的时刻；（5）典型患者：多名普通患者在相同时期内的CD4与HIV浓度分别取平均值，抽象为一个患者在不同时刻对应的CD4与HIV的浓度值，此患者系多名患者健康状况的代表。
三、问题的分析与模型的准备1.基本思路（1）根据附件1的数据结果，以测试时刻为参考变量，逐步统计患者服药后的疗效规律.这主要包括CD4在不同时刻的浓度平均值和HIV在不同时刻的浓度平均值.（2）为确定最佳治疗终止时间，我们建立基于时间t的CD4浓度和HIV浓度比例函数模型，并求解之.（3）根据得到的规律，在满足最大免疫力的前提下，计算出评价药效效果的函数极大值所对应的时刻.2.基本数学表达式的构建：（1）CD4细胞浓度（乘以0.2个/ml）的变化趋势：根据患者体内的CD4浓度水平，拟和出其与时间t的近似曲线，观察图一曲线，曲线接近于二次曲线或者正态曲线，但正态曲线反映的是多个患者在同一时刻的分布规律，而二次曲线所反映的是单个患者在不同时刻的健康状况，因此采用二次曲线，并引用系数因子，来表示这一变化趋势，其中a1、b1、c1为各项系数.（2）HIV病毒浓度的变化趋势：根据患者体内的HIV浓度水平，拟和出其与时间t的近似曲线，同理，观察曲线并引用系数因子，来表示这一变化趋势，其中a 2、b2、c2为各项系数.（3）实际服药效果约束：一般认为当t> t0（t< t）时，CD4细胞浓度（HIV浓度）随时间而增加（减少），此时应继续治疗；当t < t0（t > t）时, CD4细胞浓度（HIV浓度）随时间而减少（增加），此时应终止治疗.CD4细胞浓度不可能无限增大，HIV浓度也不可能无限减少.四、数据的分布规律及研究1.不同时刻t下典型患者的CD4浓度如表1，表中列出了0到57周的统计数据，其中第13周，第19周的数据缺失，由于数据的庞大性，我们可以将其忽略不计.表1 不同时刻t时典型患者的CD4浓度根据上表，二项式拟合曲线如图1所示：图一不同时刻t时典型患者的CD4浓度曲线从图中可以看出，曲线先增长，后降低，与二次函数相符.2.不同时刻t下典型患者的HIV含量如表2，表中列出了0到46周的统计数据，其中第13、15、19、30、35、36周的数据缺失，为整体考虑，我们也可以将其忽略不计.表2 不同时刻t时典型患者的HIV含量根据上表，二项式拟合曲线如2所示：图2 不同时刻t时典型患者的HIV含量曲线五、模型的建立及求解问题一1.比例函数模型的建立HIV感染者的免疫功能低下，主要表现在CD4细胞数随着病程的进展呈进行性下降，速率取决于HIV的复制水平.当CD4细胞数目较低时，逐渐表现出临床症状.HIV载量、CD4细胞水平已成为判定感染者病程、预测临床进展以及评价抗药物疗效的重要指标.本文分析了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据中的病毒载量及细胞数检测数据，分析了病毒载量与CD4的关系.根据题意：目标函数为：2.模型中一些参数的确定a 1、b1、c1：二项式对应的系数，根据曲线拟合，易算出=-0.0964，=6.0927，=99.0882.a2、b2、c2：二项式对应的系数，根据曲线拟合，易算出=0.0024，=-0.1228，=4.1278.3.模型的求解我们选取几个比较能够反应客观实际情况的测试时刻，统计出CD4浓度、HIV浓度及CD4与HIV的比值，数据如表3所示：表3 CD4浓度、HIV浓度及CD4与HIV比值的统计数据根据以上表格数据，拟合得出的大致曲线如图3：图3 根据数据拟合的CD4/HIV --t曲线再根据以上曲线附近的数据，二项式拟合近似得出的系数：a= -0.0484，b =2.9083，c=26.6480 对y=-0.0484t2+2.9083t+26.6480求导，取得的极值点为：t=30.0444即为我们所要确定的最佳治疗终止时间.4.对结果的分析表4问题一的结果分析普通个人的测试终止时间有些不相同，比如PtID号为23424的患者测试终止时间为第40周末，而PtID号为23426的患者测试终止时间为第54周末，PtID时，的值先增大，后减小，号为23505的患者测试终止时间为第24周末,t< t在处取得极大值，治疗效果（免疫效果）最好，t>t时，的值随时间t的增加而减小，治疗效果（免疫效果）下降.2. 模型二2.1 问题分析为预测最佳治疗效果，或者确定最佳治疗终止时间，我们主要采用拟合的方法.因附件2给的数据是一组实际值，就有必要对数据进行弥补缺失数值及剔除异常数值的处理.然后，在经过处理的数据中，对年龄从整体上按照老年，中年和青年进行分类（ 3类），再在每个年龄类中依疗法的不同有分为4类，我们以四周为周期通过Matlab对已知散点进行拟合，从而计算出所抽出的样本的CD4含量与HIV含量.再在同一年龄类水平上把这些值拟合成随时间变化的4条曲线（如下图是对第一年龄段的四种疗法不同疗效曲线），这样就可以预测出相应的治疗效果，根据药物作用的两个方面，找出最佳平衡点，确定最佳停药时间.2.2 问题求解疗法一经过拟合所得的曲线如下图：图4 经疗法一CD4走势图经过拟合后的常数为：a=0,b=0.0006,c=-0.0121,d=0.0274,e=3.2045 所以疗法一的函数为：y=0.0006x3-0.0121x2+0.0274x+3.2045经过拟合后的常数为：a=0,b=-0.0005,c=0.0131,d=-0.1030,e=2.6586 所以疗法二的函数为：y=-0.0005x3+0.0131x2-0.1030x+2.6586经过拟合后的常数为：a=0,b=-0.0005,c=0.0084,d=-0.0411,e=2.6946 所以疗法三的函数为：y=-0.0005x3+0.0084x2-0.0411x+2.6946疗法四经过拟合所得的曲线如下图：经过拟合后的常数为：a=0,b=0.0007,c=-0.0196,d=0.1963,e=2.6725 所以疗法四的函数为：y=0.0007x3-0.0196x2+0.1963x+2.6725第一个年龄段的人的治疗数据：用EXCEL将上述第一年龄段的四个疗法疗效函数曲线画在同一坐标系下进行比较：(曲线说明：蓝线表示第一种疗法，紫线表示第二种疗法，黄线表示第三种疗法，青线表示第四种疗法)图在此一年龄类中，各疗法的疗效差别比较明显.从整体上来看，第一种和第四种疗法较好，而第二和第三种疗法则相对较差.第二和第三种疗法相比，在前13周中疗效相差不大，曲线斜率相似，疗效相似，但在以后的治疗过程中疗法二有稍微好一点，但我们也只能说这两种疗法不太适合这一年龄段的人群.而第一种和第四种疗法对于这一年龄类中的个体能够达到有效提高cd4浓度的目的.而且这两种疗法在能够预测的一段时期内疗效一直明显，因此我们建议第一年龄段的人可以继续使用这两种药物.根据以上步骤，同理可得，第二个年龄段的人的治疗函数：y=0.0004x3-0.0127x2+0.1473x+2.6177y=0.0009x3-0.0213x2+0.1094x+3.4775y=0.0008x3-0.0170x2+0.1144x+3.0587y=-0.0063x2+0.1533x+3.0988第二个年龄段的人的治疗数据：用EXCEL将上述第二年龄段的四个疗法疗效函数曲线画在同一坐标系下进行比较：(曲线说明：蓝线表示第一种疗法，紫线表示第二种疗法，黄线表示第三种疗法，青线表示第四种疗法)图在此一年龄类中，各疗法的疗效差别在前20周不太明显.从整体上来看，第二种和第三种疗法较好，而第四种疗法则相对较差.但是，考虑到在实际中维持体内CD4水平有着其实际意义，第四种疗法在实际中可以运用，但在28周以后应当停药，或者改换其他疗法如第二种和第三种疗法.而第二种和第三种疗法对于这一年龄类中的个体能够达到有效提高cd4浓度的目的.而且这两种疗法在能够预测的一段时期内疗效一直明显，因此我们建议第一年龄段的人可以继续使用这两种药物.第三个年龄段的人的治疗函数：y=-0.0003x3+0.0048x2-0.0193x+2.7894y=0.0001x3-0.0021x2+0.0135x+3.6281y=0.0002x3-0.0049x2+0.0309x+2.7355y=0.0015x3-0.0440x2+0.4544x+3.3164第三个年龄段的人的治疗数据：用EXCEL将上述第三年龄段的四个疗法疗效函数曲线画在同一坐标系下进行比较：(曲线说明：蓝线表示第一种疗法，紫线表示第二种疗法，黄线表示第三种疗法，青线表示第四种疗法)在此一年龄类中，第一种，第二种和第三种疗法的疗效在前15周差别不太明显.在实际中，可以采用第一种，第二种和第三种疗法维持体内CD4水平，但在15周以后就不适合再用了.而第四种疗法对于这一年龄类中的个体能够达到有效提高cd4浓度的目的.而且这两种疗法在能够预测的一段时期内疗效一直明显，因此我们建议第一年龄段的人可以继续使用这两种药物.考虑人口在各年龄段的分布情况，对人口按年龄进行区间统计，评价治疗方法的优略，还应考虑该疗法所针对的人群范围，第四种疗法对较多人群都有明显的疗效，综合评价较好.问题三问题三是以疗效最大和费用最小为目标函数的双目标规划模型，我们假设病人近人尽可能多的将收入投入到治疗当中，即仅仅留下维持最低生活水平的收入，设病人所在国家的人均月收入为K 美元，每月维持最低生活水平所需要的资金为K o ，治疗方案需满足平均每月花费不高于它俩之和∑∑∑===-+-=4140407)1())0()((min i ii j ij j ij s t w y t y w f414010..()74i i i i i i i t T t T s t t T K K t s ==⎧=⎪⎪≤≤⎪⎨⎪⎪⋅-⋅⋅≤⎪⎩∑∑为整数其中w 是权重，反映了病人对疗效和花费之间的偏好程度，考虑一般情况，我们将w取为0.5，即疗效与费用同等重要.我们以中国的情况为例寻找最优治疗方案，中国人均收入为1000元/月，国家发放的最低保障金K0为155元/月，将这两个值折算成美元.取治疗T期为40周，考虑一般情况，我们得到的最优治疗方案如下表所示：表，考虑经济和承受能力后的最佳治疗方案.五．模型的评价优点：通过对数据的处理，运用最小二乘法拟合曲线作图，分析图形，对CD4 和HIV的曲线方程进行一阶求导得出最佳停药时间，根据药理知识将病人分为三类，不仅简化了求解过程，而且使问题考虑的更加全面.缺点：本题对不完全的数据进行了剔除处理，这对问题的随机性考虑不够全面.另外，在剔除后的数据选择中，也难免显得有些主观而不够全面.六．模型的改进（1）在本题第三问中，忽略了一个重要因素，即有一些人只注重疗效，不考虑经济方面的因素，导致第四种疗法没有被采用.在改进时，可以改变权重系数或者增加患者的用药支出，也可以根据在整体人口中，国民收入呈正态分布而确定病人中每个病人可以支配的资金.以便使他们在治疗过程中可以有更大的灵活性去选择最为合适的药物.（2）另外，对于艾滋病的治疗，我们不应当忽略心理以及家庭等因素可能给病人的影响，可考虑用层次分析法分析以上不可量化的因素.（3）可运用功能强大，对非线性问题很好逼近BP神经网络预测数据.参考文献【1】张兴永编数学建模竞赛集训材料中国矿业大学出版社【2】王沫然 MATLAB 5.X与科学计算清华大学出版社 2000.5【3】谢金星薛毅，优化建模与LINDO/LINGO软件，北京：清华大学出版社，2005.7。