微积分微分及其计算
dx微积分所有公式,微积分24个基本公式
dx微积分所有公式，微积分24个基本公式dx表示x变化无限小的量，其中d表示“微分”，是“derivative(导数)”的第一个字母。
当一个变量x，越来越趋向于一个数值a时，这个趋向的过程无止境的进行，x与a的差值无限趋向于0，就说a是x的极限。
这个差值，称它为“无穷小”，它是一个越来越小的过程，一个无限趋向于0的过程，它不是一个很小的数，而是一个趋向于0的过程。
扩展资料：注意微分的几何意义：设δx是曲线y = f(x)上的点m的在横坐标上的增量，δy是曲线在点m对应δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点m的切线对应δx在纵坐标上的增量。
f(x0)在表示曲线y=f(x)在切点m(x0,f(x0))处切线的斜率。
(1)微积分的基本公式共有四大公式：1.牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本公式2.格林公式,把封闭的曲线积分化为区域内的二重积分,它是平面向量场散度的二重积分3.高斯公式,把曲面积分化为区域内的三重积分,它是平面向量场散度的三重积分4.斯托克斯公式,与旋度有关(2)微积分常用公式：dx sin x=cos xcos x = -sin xtan x = sec2 xcot x = -csc2 xsec x = sec x tan xcsc x = -csc x cot xsin x dx = -cos x + ccos x dx = sin x + ctan x dx = ln |sec x | + ccot x dx = ln |sin x | + csec x dx = ln |sec x + tan x | + c csc x dx = ln |csc x - cot x | + c sin-1(-x) = -sin-1 xcos-1(-x) = - cos-1 xtan-1(-x) = -tan-1 xcot-1(-x) = - cot-1 xsec-1(-x) = - sec-1 xcsc-1(-x) = - csc-1 xdx sin-1 ()=cos-1 ()=tan-1 ()=cot-1 ()=sec-1 ()=csc-1 (x/a)=sin-1 x dx = x sin-1 x++ccos-1 x dx = x cos-1 x-+ctan-1 x dx = x tan-1 x- ln (1+x2)+c cot-1 x dx = x cot-1 x+ ln (1+x2)+c sec-1 x dx = x sec-1 x- ln |x+|+c csc-1 x dx = x csc-1 x+ ln |x+|+c sinh-1 ()= ln (x+) xrcosh-1 ()=ln (x+) x≥1tanh-1 ()=ln () |x| 1sech-1()=ln(+)0≤x≤1csch-1 ()=ln(+) |x| 0dx sinh x = cosh xcosh x = sinh xtanh x = sech2 xcoth x = -csch2 xsech x = -sech x tanh xcsch x = -csch x coth xsinh x dx = cosh x + ccosh x dx = sinh x + ctanh x dx = ln | cosh x |+ c coth x dx = ln | sinh x | + c sech x dx = -2tan-1 (e-x) + c csch x dx = 2 ln || + cduv = udv + vduduv = uv = udv + vdu→ udv = uv - vducos2θ-sin2θ=cos2θcos2θ+ sin2θ=1cosh2θ-sinh2θ=1cosh2θ+sinh2θ=cosh2θdx sinh-1()=cosh-1()=tanh-1()=coth-1()=sech-1()=csch-1(x/a)=sinh-1 x dx = x sinh-1 x-+ ccosh-1 x dx = x cosh-1 x-+ ctanh-1 x dx = x tanh-1 x+ ln | 1-x2|+ c coth-1 x dx = x coth-1 x- ln | 1-x2|+ c sech-1 x dx = x sech-1 x- sin-1 x + c csch-1 x dx = x csch-1 x+ sinh-1 x + c sin 3θ=3sinθ-4sin3θcos3θ=4cos3θ-3cosθ→sin3θ= (3sinθ-sin3θ)→cos3θ= (3cosθ+cos3θ)sin x = cos x =sinh x = cosh x =正弦定理:= ==2r余弦定理:a2=b2+c2-2bc cosαb2=a2+c2-2ac cosβc2=a2+b2-2ab cosγsin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β sin α sin β2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β) 2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β) 2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β) 2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β) sin α + sin β = 2 sin (α+β) cos (α-β) sin α - sin β = 2 cos (α+β) sin (α-β) cos α + cos β = 2 cos (α+β) cos (α-β) cos α - cos β = -2 sin (α+β) sin (α-β) tan (α±β)=,cot (α±β)=ex=1+x+++…++ …sin x = x-+-+…++ …cos x = 1-+-+++ln (1+x) = x-+-+++tan-1 x = x-+-+++(1+x)r =1+rx+x2+x3+ -1= n= n (n+1)= n (n+1)(2n+1)= [ n (n+1)]2γ(x) = x-1e-t dt = 22x-1dt = x-1 dtβ(m,n) =m-1(1-x)n-1 dx=22m-1x cos2n-1x dx = dx转换为 f (ω ) = 解f (t ) = ± jω0t f ( t ) e ? jωt dt f ( t ) e ? j(ω ?ω0 ) t dt = f (ω ? ω0 ) 。
微积分公式手册
导数公式:(tgx)f = sec2 % (ctgx)f = -CSC2X (SeCXy = SeC X ∙%gx (CSCXy =-cscx∙ CtgX (a x), = a x lna(Ioga X)' = -γ-xlna (arcsin x)' = / 1Nl-X2 / V 1 (arccosx)=——1=/ 、， 1 {arctgx)=-―-1 + x, 、, 1 {arcctgx)= -------- --1 + x 微积分公式基本积分表：^tgxdx = - ln∣cosx∣ + Cdx = ln∣sin x∣ + Cʃsee xdx = ln∣sec x + ⅛Λ∣+C ʃese xdx = ln∣csc x -c⅛x∣ + C P ax f 2 j ∕-ι---- -= sec xdx = tgx j cos X Jr ax f 2 j「-= esc xdx = -ctgx + C J sin x JJsecx√gΛzZx= SeCX +Cdx2a +x'dx2 x -a,2∣∙ dxJ -2 2J a -xdx2 -X2Leg-a a1 1x — a C —— ----- +C 2a x + a1 1 a + x C —— ----- + C 2a a-x•X C =arcsin—+ C2a ʃese x ∙ ctgxdx = - esc x + C∖a x dx = ———I-CJ InQ^shxdx = chx +Cfc/zxt/x = ShX +Cπ2^ π2^I n= ∫sinπXdX= ∫cos n xdx =F1n-2n_________ ____________________ 2 __________ JJ/ + 〃2 dχ = — NX2+ ɑ` + In(X + Jx.+ a?) + CI_________ U I __________________ C 2 I _________JJχ2 —a1dx = jʌ/ɪɪJΛ∕G,2 -X2dx= ɪvɑɪ三角函数的有理式积分：2_____ 22 a . 工 .-x H ----- arcsin—+ C. 2ιι 1 — U2 smx = ------ -, cos% =------- y1 + 〃 1 + w7 2duax = ---- -I + /l-x2和差角公式： •和差化积公式：sin(a ± /?) = SinaCOs 〃 ± cos a sin β COS(O ±β) = cos a cos β μsina sin βfg(a±0 =产吗 lμtga -tgβ ct g (a±^=ctga -ctgβμi ctgβ±ctgasin a + sin 尸=2 sin ，+ 2 cos —~~—2 2• ∙ n ɔ a-∖-β . a -βsin a-smp =2 cos ------- - sin ....... -2 2 o C CC + βCC- β cos a + cos p = 2 cos --- - cos ....... -2 2 .a-∖- β . a — βcos a - cos p = 2 sin ------ sin -------2 2一些初等函数: 两个重要极限:双曲正弦：MX=e 1 2 双曲余弦:MX= e'+e '2 r/y Y PX -f> ~x双曲正切：防X =更竺=chx e x +e xarshx = ln(x + √x 2 +1) archx = ±ln(x + √x 2 -1) Iim x→0sιnx =1lim(l + ⅛ = e = 2.718281828459045 (x)→∞ x三角函数公式:•诱导公式：•倍角公式:Jl•反三角函数性质： arcsinx = ------ a rccosx2高阶导数公式——莱布尼兹(LeibniZ)公式:（MV ）⑺=£c ；a （T ）v ⑹ k=0=+ + 〃（〃 T ）M （"-2）V 〃 +A + 〃（〃 T ）A （〃T +1） Ii fG ） +A+uv wk ∖中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：/(⅛)-∕(α) = ∕W(⅛-α) 柯西中值定理：‘3卜=/地F(b)-F(a) Pe)当F(X) = X 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
大学数学微积分基本公式
空间解析几何和向量代数：
空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2 向量在轴上的投影： Pr ju AB = AB ⋅ cos ϕ ,ϕ是 AB与u轴的夹角。 � � � � Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 � � � � a ⋅ b = a ⋅ b cosθ = a x bx + a y by + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角： cosθ =
n k ( n−k ) ( k ) (uv) ( n ) = ∑ C n u v k =0
= u ( n ) v + nu ( n−1) v′ +
n(n − 1) ( n− 2) n(n − 1)⋯(n − k + 1) ( n− k ) ( k ) u v′′ + ⋯ + u v + ⋯ + uv ( n ) 2! k!
dx 1 x ∫ a 2 + x 2 = a arctg a +C dx 1 x−a ∫ x 2 − a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 − x 2 = 2a ln a − x + C dx x ∫ a 2 − x 2 = arcsin a + C
π 2 π 2
1− x2 1 (arccos x)′ = − 1− x2 1 (arctgx)′ = 1+ x2 1 (arcctgx)′ = − 1+ x2
∫ tgxdx = − ln cos x + C ∫ ctgxdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tgx + C ∫ csc xdx = ln csc x − ctgx + C
微积分的计算方法和实际应用
微积分的计算方法和实际应用微积分，指的是微分学和积分学的统称。
微分学是研究函数的变化率、斜率以及相关概念的数学学科，而积分学则是研究函数与曲线下方面积的数学学科。
微积分在现代数学中是一门重要的基础学科，也是物理学、计算机科学、工程学等众多领域的基础。
微积分的计算方法微分学中的导数是微积分中的基本概念之一。
对于一条曲线上的任意一点，导数可以表示该点处的斜率。
导数的定义为：$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Deltax}$其中，$f(x)$是要求导的函数，$\Delta x$是无穷小量。
积分学中的积分则可以看作是求曲线下方面积的过程。
积分的定义为：$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n}f(x_i) \Delta x$其中，$a$和$b$是积分区间的上下限，$f(x)$是要积分的函数，$\Delta x$是区间上的某个小区间，$n$是划分区间的个数，$x_i$是$n$个小区间中的任意点。
对于一些比较特殊的函数，可以使用一些常见的微积分公式进行计算，例如常见的导数公式有：$\frac{d}{dx} x^n=nx^{n-1}$$\frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x$$\frac{d}{dx} \tan x = \sec^2 x$$\frac{d}{dx} e^x = e^x$而常见的积分公式有：$\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$$\int \sin x dx = -\cos x +C$$\int \cos x dx = \sin x +C$$\int \sec^2 x dx = \tan x +C$$\int e^x dx = e^x +C$微积分的实际应用微积分在数学以外的科学领域，如物理学、统计学、经济学等，也有广泛的应用。
函数的微分与微分的应用
函数的微分与微分的应用在微积分中，函数的微分是一个重要的概念。
微分的应用则是将微分应用于实际问题的数学方法。
本文将围绕函数的微分及其应用展开详细讨论。
一、函数的微分函数的微分是函数在某一点上的变化率的近似。
具体而言，设函数f(x)在点x=a处是可导的，那么x=a处的微分表示为df，定义如下：df = f'(a)dx其中，f'(a)是函数f(x)在点x=a处的导数，dx表示自变量x的增量。
函数的微分可通过导数乘以自变量的增量获得。
二、微分的应用微分的应用广泛存在于数学、物理、经济等领域。
以下列举几个常见的应用。
1. 切线与法线函数的微分可用于求解函数图像上某一点的切线和法线。
设函数f(x)在点x=a处可导，则切线的斜率为f'(a)，求解切线方程可根据点斜式或一般式进行。
法线的斜率为-1/f'(a)，同样可根据点斜式或一般式求解。
2. 极值点与拐点函数的微分也可用于确定函数的极值点和拐点。
设函数f(x)的导数为f'(x)，极值点的横坐标可通过解方程f'(x)=0求得。
通过判别式和导数的符号变化，可以判断极值点的类型（极大值或极小值）。
拐点则是函数图像由凸变凹或由凹变凸的点，可通过求解二阶导数f''(x)的零点来确定。
3. 近似计算微分的近似性质可应用于计算函数的近似值。
对于函数f(x)在某一点x=a附近，可以使用微分df作为函数f(x)的近似值。
当自变量的变化量较小时，误差较小，从而可以得到较为精确的计算结果。
4. 最优化问题微分可以应用于最优化问题的求解。
例如，求解函数f(x)在一定范围内的最大值或最小值。
根据函数的导数和临界点的性质，可以得到最优解。
5. 物理运动问题微分在物理学中有着广泛的应用。
例如，求解物体在某一时刻的速度、加速度等。
通过将位移函数或速度函数微分，可以得到物体在不同时刻的速度、加速度等物理量。
综上所述，函数的微分在数学和实际应用中扮演着重要的角色。
微积分
与函数有关的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。 自变量，函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。 因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一 值与其相对应。 函数值，在y是x的函数中，x确定一个值，Y就随之确定一个值，当x取a时，Y就随之确定为b， b就叫做a的函数值。 映射定义 设A和B是两个非空集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素a，在集合B 中都存在唯一的一个元素b与之对应，那么，这样的对应（包括集合A，B，以及集合A到集合B的对 应关系f）叫做集合A到集合B的映射(Mapping)，记作f：A→B。其中，b称为a在映射f下的象，记作： b=f(a); a称为b关于映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合记作f(A)。 则有：定义在非空数集之间的映射称为函数。（函数的自变量是一种特殊的原象，因变量是特 殊的象） 几何含义 函数与不等式和方程存在联系（初等函数）。令函数值等于零，从几何角度看，对应的自变量 的值就是图象与X轴的交点的横坐标；从代数角度看，对应的自变量是方程的解。另外，把函数的 表达式（无表达式的函数除外）中的“=”换成“<”或“>”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变 成了不等式，可以求自变量的范围。 函数的集合论（关系）定义 如果X到Y的二元关系f：X×Y，对于每个x∈X，都有唯一的y∈Y，使得<x,y>∈f，则称f为X到 Y的函数，记做：f:X→Y。 当X=X1×…×Xn时，称f为n元函数。 其特点： 前域和定义域重合 单值性：<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’
• 导数（Derivative）是微积分中的重要基
微分概念及其计算
微分概念及其计算微分是微积分的一个重要概念，指的是在数学中研究函数局部变化的方法。
微分的计算方法主要通过求导来实现。
本文将详细介绍微分的概念和计算方法。
一、微分的概念微分是函数在其中一点的变化量与自变量的变化量的比率。
对于一个函数y=f(x)，如果在其中一点x0处存在一个常数A，使得当x在x0附近变化时，函数f(x)与直线y=f(x0)+A(x-x0)之间的差异可以忽略不计，那么这个常数A就是函数f(x)在点x0处的微分，记作dy。
具体来说，如果函数f(x)在点x0处可导，则其微分dy满足以下等式：dy = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在点x0处的导数，dx表示自变量x的变化量。
二、微分的计算计算微分的方法有很多种，根据函数的不同形式和求导规则，可以使用以下几种常见的求导方法。
1.基本求导法则基本求导法则是求导的基本规则，包括常数微分法、幂函数微分法、指数函数微分法、对数函数微分法、三角函数微分法等。
根据不同的函数类型和导数规则，可以迅速求出函数的导数。
2.高阶导数与迭代法对于函数的高阶导数，可以使用迭代法进行求解。
迭代法的基本思想是通过对导数的连续求导来得到高阶导数。
例如，若f'(x)存在且可导，则f"(x)=(f'(x))'，f"'(x)=(f"(x))'，以此类推。
3.复合函数的导数对于复合函数，即由两个或多个函数经过运算得到的函数，可以根据链式法则求导。
链式法则指出，若y=f(u)和u=g(x)均可导，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过两者的导数相乘得到：dy/dx=f'(g(x))g'(x)。
4.隐函数的求导对于隐函数，即由一个方程所定义的函数，可以通过求导的方式进行计算。
隐函数的求导主要利用了导数的局部线性近似性质，将方程两边同时对自变量求导。
5.参数方程的求导参数方程指的是自变量和因变量都由参数t决定的函数形式。
微积分的基础知识与运算
微积分的发展历程
微积分作为现代数学中重要的分支，在牛顿、莱 布尼茨等数学家的努力下逐渐发展成熟。它的应 用领域广泛，是解决现实问题的重要工具之一。
● 05
第五章 链式法则与微分中 值定理
链式法则的概念
链式法则描述了复合 函数的导数计算规则， 对于求解复杂函数的 导数具有重要作用。 通过链式法则，我们 可以更有效地计算复 合函数的导数，提高 求导的效率。
物理学
近似计算物理现象 解决实际问题
工程学
估算工程参数 优化设计方案
微分方程
是求解微分方程的重要工 具
积分中值定理的 概念
积分中值定理描述函 数在某一区间上的平 均值性质，其中有柯 西中值定理、勒贝格 积分中值定理等，为 理解函数性质提供重 要依据。
积分中值定理的应用
性质证明
用于证明函数的 性质
学习微积分的建议
坚持练习
掌握基本概念和 方法
理解应用场 景
将理论知识应用 到实践中
多练习计算
熟练运用微积分 技巧
多与他人交 流
加深理解
拓展学习
学习高阶微积分
掌握不定积分、定积分等 高级概念 深入理解微积分的推导和 应用
探索多元微积分
理解多元函数概念 学习多元微分、多元积分 等内容
应用微积分解决问题
计算复杂图形的面积
03 速度与加速度
通过微积分求解物体的运动特性
微积分的数值计算
复化梯形法
求定积分的数值 近似
牛顿-拉夫逊 插值
曲线的插值与逼 近
预处理法
提高数值解的精 度
龙贝格积分 法
加速定积分的收 敛速度
感谢观看
THANKS
微分中值定理的应用
微积分简介
υ
υ
5. 若y=f(x), x=g(t)，则y= f [g(t)]
dy = y ' dt = ( y .x )dt = f .g dt
' x ' t ' x ' t
14四Leabharlann 微分在近似计算中的应用很小时， y ≈ dy 当∆x很小时 很小时
y = f ( x0 + x) − f ( x0 ) ≈ f '( x0 ) x f ( x) − f ( x0 ) ≈ f '( x0 )( x − x0 ) f ( x) ≈ f ( x0 ) + f '( x0 )( x − x0 )
16
积分
一、定积分
物体做匀速直线运动，路程=速度X时间，即s=v x t, 物体做匀速直线运动 如图1所示 v
v
v V(t)
图1 1
0 t
2 图2 t
0 ∆t t
t
物体做变速直线运动，速度v=v(t),如图2所示.可以把t 物体做变速直线运动 分成许多均等小段∆t，只要其充分小，每段时间中 的速率近似看成是不变的，把各小段时间内走过的 路程相加，即近似为总路程。
2. 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的斜率， 几何意义：函数的曲线上任意一点的切线的斜率， 就是函数在这一点的导数值。 就是函数在这一点的导数值。
y
A α β x0 x0+∆x A’ ∆y
x
y tan α = lim tan β = lim = f '( x0 ) A '→ A x →0 x
其中f(x)称为原函数。积分是导数的逆运算 积分是导数的逆运算。 积分是导数的逆运算
19
第七章数值微积分
Ck(n)
3 1/8 3/8 3/8 1/8
4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90 5 19/288 25/96 25/144 25/144 25/96 19/288
误差估计 （一）求积公式的代数精确度 若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公 n b 式 ∫ f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
f ′′( x − θ 2 h) f ( x ) − f ( x − h) f ′( x) − =− h = O ( h) h 2
f ( x + h) − f ( x − h) f ′( x) − 2h f ′′′( x + θ 1 h) + f ′′′( x − θ 2 h) 2 =− h = O(h 2 ) 12
a k =0
均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立， 则称该求积公式具有m次代数精确度. 可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。 事实上，由f(x)为1次多项式， f ′′(ξ ) R1 ( x ) = f ( x) − L1 ( x ) = ( x − a )( x − b) = 0 2
⇒∫
求导得且分别 代入三点有:
截断误差
h2 ′ f ′′′(ξ 0 ) R2 ( x 0 ) = − 3 h2 ′ f ′′′(ξ1 ) ξ 0 , ξ1 , ξ 2 ∈ (a, b) R2 ( x1 ) = − 6 h2 ′ f ′′′(ξ 2 ) R2 ( x1 ) = 3
b
a
b−a f ( x)dx = ∫ L1 ( x)dx = [ f (a ) + f (b)] a 2
b
b
若取f(x)=x2 ⇒ ∫a
微分及其在近似计算中的应用
微分及其在近似计算中的应用微分是微积分的重要概念之一，它描述了函数在其中一点上的变化率。
利用微分，我们可以研究函数的极值、函数的连续性、函数的图像等性质。
在实际应用中，微分也有着广泛的应用，尤其是在近似计算中。
一、微分的定义及性质微分的定义是通过极限的概念进行的。
对于函数f(x)，如果在其中一点a处存在极限：\[f'(a) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h}\]则称函数f(x)在点a处可微分，f'(a)称为函数f(x)在点a处的导数。
函数f(x)的导函数，或称为它的导数函数，表示了函数在每一点的变化率。
根据微分的定义，导数具有以下性质：1.一元函数的导数只与该点的函数值有关，与其他点无关；2.导数存在的充分必要条件是函数在该点可微；3.对于多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数，都有相应的导数公式，可以通过公式计算导函数。
二、微分的应用1.近似计算微分在近似计算中有着广泛的应用。
我们知道，在一个点附近，函数可以用它的切线近似代替。
这个近似的精度，就可以通过微分来度量。
对于函数f(x)在其中一点a的微分为f'(a)，可以近似地表示为：\[f(a+h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h\]其中，h为f(x)在a点邻近的增量。
这个公式被称为“一阶微分公式”。
根据这个公式，我们可以使用函数的微分来近似计算函数在其中一点的函数值。
举例来说，考虑函数y=f(x)=x^2，在点x=3附近的近似计算。
我们可以先求出函数在点x=3处的导数：\[f'(3) = \lim_{{h\to 0}} \frac{{f(3+h)-f(3)}}{h} = 6\]然后，我们可以利用微分来近似计算f(x)在点x=3.1处的函数值：\[f(3.1) \approx f(3) + f'(3) \cdot (3.1-3) = 9 + 6 \cdot 0.1 = 9.6\]这个结果与实际的计算结果3.1^2=9.61非常接近。
微积分
一、函数1.经济函数：成本函数C=ax+b, 总收入函数R=px, 总利润函数=C-R, 需求函数Q=a-bp, 供给函数Q=dp-c；2.函数定义域，不管求什么都要算一下；3.反三角函数值域arcsin [-π/2, π/2]，arccos [0,π]，arctan (-π/2, π/2)，arccot(-π/2,0)U(0,π/2)二、极限与连续1.X—>Xo时的极限，E>0, |X-Xo|<Δ, |f(x)-A|<E；X—>∞时的极限, E>0, |x|>X, |f(x)-A|<E. f(x)极限存在且等于A<=>左极限=右极限=A2.极限等于A <=> 极限为A+o(无穷小量)3.有限个无穷小量和/差/积仍是无穷小量；无穷小除以极限不为零的变量仍是无穷小；无穷小乘以有界变量仍是无穷小；无穷小的导数是无穷大。
4.高阶无穷小-（极限的比值）极限是0，等价无穷小-比值的极限是1，同阶无穷小- 比值是非零常数；5.极限的保号性6.极限四则运算与幂运算【有限个函数；函数都有极限；分母不为0】；【！若函数是一个分式多项式P(x)/Q(x), P(x)=aX^n+......, Q(x)=bX^m,则：当n<m, 极限为0；当n=m, 极限为a/b；当n>m, 极限为∞】7.夹逼定理，两个重要极限sinx/x(x—>0)=1，(1+1/x)^x=e【本质上是0/0和(1+∞)^x】8.函数连续：Δy=0，函数在Xo连续<=>左连续=右连续；【在Xo点连续一定要有定义】！9.第一类间断点（左右极限都存在）：可去间断点-左右极限相等，跳跃间断点- 左右极限不相等；第二类间断点（做右极限至少有一个不存在）：无穷间断点、非无穷间断点；10.复合函数与反函数连续性和单调性、初等函数在定义区间内连续；11.闭区间上的连续函数：最值定理、介值定理、零值定理—【条件是函数在[a,b]上连续】；三、导数与微分1.导数概念：（瞬时速度/曲线斜率）导数是一个极限（ΔY/ΔX）,极限存在即可导.(df/dx)；【极限是∞不可导】；导函数- f '(x) - 函数在区间内处处可导，且有唯一导数值对应切线方程- 特殊点(Xo,Yo), k=f '(Xo); 法线方程- k=-1/f '(Xo)2.求导法则【根据定义求导】：第一步计算ΔY=f(x+Δx)-f(x)；第二步计算ΔY/ΔX；第三步求极限（Δx→0）时的比值，即得导数。
微积分的基本概念与运算
三角函数
sin(x)、cos(x)、 tan(x)等的导数公式 ，如f(x)=sin(x)，则 f'(x)=cos(x)。
四则运算法则及复合函数求导法则
01
四则运算法则
02
复合函数求导法则
包括加法、减法、乘法、除法的导数运算法则，如 [f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x)等。
若y=f(u)且u=g(x)都可导，则复合函数y=f[g(x)]的导数为 y'={f[g(x)]}'=f'(u)*g'(x)。
导数几何意义及应用
导数几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点的切线斜率。对于一元函数y=f(x)，其在点x0处的导数f'(x0)就是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线斜率。
导数应用
导数在数学、物理、工程等领域有广泛应用。例如，在求函数的极值、判断函数的单调性、解决最优 化问题等方面都需要用到导数。此外，在物理学中，速度、加速度等概念也与导数密切相关。
通过求导可以得到物体的瞬时速度和加速度 ，进而研究物体的运动状态。
微分方程在力学中的应用
利用微分方程可以描述物体的运动规律，如 牛顿第二定律的微分方程形式。
振动与波动问题的分析
微积分在振动与波动问题的分析中有着广泛 的应用，如简谐振动的微分方程描述。
经济学中边际分析和弹性分析问题
边际分析
在经济学中，边际分析是一种重 要的决策方法，通过求导得到边 际成本、边际收益等经济量，进 而研究经济现象的变化规律。
积分几何意义及应用
积分几何意义
定积分的几何意义是曲线与x轴所围成的面积，而不定积分的几何意义则是求 曲线在某一点处的切线斜率。
微积分—微分
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微积分的数值计算方法数值微分
将节点处的增长率作 三次样条插值
年份 增长率 1900 0.0283 1901 0.0255 1902 0.0230 1935 0.0082 1936 0.0081 1937 0.0083 1953 0.0172 1954 0.0172 1979 0.0100 1980 0.0100 1981 0.0109 1989 0.0111 1990 0.0113
f ( x 0 ) 21h(3f04f1f2) f ( x n ) 21h(fn24fn13fn)
--------(11)
称(11)式为分段三点公式
实际中下面的公式很有用
f
(
xk
xk1 2
)
1( h
f k 1
fk
)
例: 回到实例(美国人口)
1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4
E 2(x0)f(3 3 )!()(x0x1)x (0x2)
ห้องสมุดไป่ตู้h2 3
f (3)( )
E 2(x1)f(3 3 )!()(x1x0)x (1x2)
h2 6
f (3)()
E 2(x2)f(3 3 )!()(x2x0)x (2x1)
h2 3
f (3)( )
f ( x0 )
21h(3f04f1f2)
1( h
f1
f0 )
h f (2)( )
三角函数的微分计算与最值问题解答
三角函数的微分计算与最值问题解答三角函数是数学中的重要概念，它在解决各种问题中起到了关键作用。
在本文中，我们将探讨三角函数的微分计算以及最值问题的解答，并提供相应的示例和解析。
一、三角函数的微分计算在微积分中，我们经常需要计算三角函数的微分，以便求解相关问题。
下面是常见的三角函数及其微分公式：1. 正弦函数（sin(x)）的微分公式：d/dx[sin(x)] = cos(x)2. 余弦函数（cos(x)）的微分公式：d/dx[cos(x)] = -sin(x)3. 正切函数（tan(x)）的微分公式：d/dx[tan(x)] = sec^2(x)这些微分公式是我们计算三角函数微分的基础，可以根据具体问题进行灵活运用。
二、最值问题的解答在实际问题中，我们经常需要求解三角函数的最值，以确定最优解或者边界条件。
下面是最常见的三角函数最值问题：1. 求解正弦函数的最大值和最小值：对于正弦函数sin(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
在定义域内，正弦函数的取值范围位于闭区间[-1, 1]之间。
2. 求解余弦函数的最大值和最小值：对于余弦函数cos(x)，它的最大值为1，最小值为-1。
和正弦函数一样，余弦函数的取值范围也位于闭区间[-1, 1]之间。
3. 求解正切函数的最大值和最小值：对于正切函数tan(x)，它在某些点上没有最大值和最小值。
但是在定义域内，正切函数的取值范围是整个实数集。
以上是最常见的三角函数最值问题，根据具体问题的要求和条件，我们可以运用数学方法求解最优解或边界条件。
三、示例与解析为了更好地理解三角函数的微分计算与最值问题的解答，我们提供以下示例：1. 示例一：求解函数y = sin(x)的导数和最大值解析：根据微分公式，导数d/dx[sin(x)] = cos(x)。
然后，求解导数为0的解，即cos(x) = 0，可知x = π/2。
进一步，代入原函数，可以求得y = sin(π/2) = 1，即函数y = sin(x)的最大值为1。
微分计算公式
微分计算公式
微分计算公式是数学中一种重要的计算方法，是用来求函数中变化率的工具。
它是通过求函数极限来定义，可以用来求曲线特点、局部极值、最大最小值以及函数的求导等。
一、基本概念
首先，我们来看微分计算公式的基本概念。
微分概念源于微积分，它也是经过高等数学研究而发展出来的公式，它的核心思想是“近似求解”，以解决具有一定复杂度的问题。
二、微分计算公式
微分计算公式有以下几种：
（1）基本微分计算公式：
dv / dx = (v (x + h) - v (x)) / h
（2）复合微分计算公式：
d2v / dx2 = (v (x + h) + v (x - h) - 2v (x)) / h2 （3）指数型微分公式：
de / dx = (e (x + h) - e (x)) / h
（4）多项式微分公式：
dP / dx = (PX2 - PX1) / (X2 - X1)
三、应用
微分计算公式可以用于求解函数中特定点及其周围点的函数变
化率，从而确定局部最大最小值，以及函数求导等问题。
例如，用复合微分公式可以计算出圆的曲率。
此外，微分计算公式还可以用于在数值计算中，求函数的根和极值，以及分析复杂的不确定性问题。
四、结论
微分计算公式是理解数学中概念的重要工具，可以用于求解函数中变化率、局部极值、函数极值、函数求导等问题。
它不仅可以用于理论研究，也可以用于实际应用，帮助人们解决复杂的数学问题。
微积分中的微分与积分公式整理
微积分中的微分与积分公式整理微积分是数学的一个重要分支，它研究的是变化的量与积累的量之间的关系。
微分与积分是微积分中的基本概念和操作，它们用来描述和计算函数的变化率和面积。
一、微分公式的整理微分是函数的变化率的一种度量，它可以用来求解各种问题，例如曲线的斜率、切线方程等。
微分的计算使用微分公式，下面是微分公式的整理：1. 一阶微分公式：设函数y=f(x)，若f(x)在点x0处可导，则有如下一阶微分公式：dy = f'(x0)dx2. 基本微分公式：(1) 常数函数的微分公式：若y=C是一个常数，则有：dy = 0(2) 幂函数的微分公式：若y=x^n，其中n为常数，则有：dy = nx^(n-1)dx(3) 指数函数的微分公式：若y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：dy = a^x * ln(a) * dx(4) 对数函数的微分公式：若y=loga(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：dy = 1 / (x * ln(a)) * dx(5) 三角函数的微分公式：若y=sin(x)，则有：dy = cos(x)dx若y=cos(x)，则有：dy = -sin(x)dx二、积分公式的整理积分是函数的面积的一种度量，它可以用来求解各种问题，例如曲线下的面积、体积等。
积分的计算使用积分公式，下面是积分公式的整理：1. 基本积分公式：(1) 幂函数的积分公式：若y=x^n，其中n不等于-1，则有：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C若y=a^x，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C(3) 对数函数的积分公式：若y=loga(x)，其中a为常数且a>0，a≠1，则有：∫(1 / (x * ln(a))) dx = loga |x| + C(4) 三角函数的积分公式：若y=sin(x)，则有：∫sin(x) dx = -cos(x) + C若y=cos(x)，则有：∫cos(x) dx = sin(x) + C2. 常见函数积分公式：(1) 反比例函数的积分公式：若y=1/x，则有：∫(1/x) dx = ln|x| + C(2) 指数函数的积分公式：若y=e^x，则有：∫e^x dx = e^x + C∫e^(ikx) dx = (1/k)e^(ikx) + C综上所述，微积分中的微分与积分公式整理包括了微分公式和积分公式两部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
其中A与∆x无关,则称y = f (x)在点x0可微,且称A∆x为f (x)在点x0处的微分,
记为dy = df (x) = A∆x.
x= x0
x= x0
因此当A ≠ 0时,微分dy 是函数值改变量∆y 的主部.
例: 求5 0.99的近似值. 解 : 设y = f (x) = 5 x. 由于f (x)在x = 1点可导,故f (x)在x = 1点可微且f ′(1) = 1 .
5 那么有5 0.99 = f (1− 0.01) ≈ f (1) + f ′(1)(−0.01) = 1+ 1 (−0.01) = 0.998.
即dy = f ′(u)du = df (u) du = df (u) du dx ⇒ dy = df (u) du .
du
du dx
dx du dx
因此复合函数求导的链式法则 : dy = df (u) du 不仅具有(3 − 6)式中的含义, dx du dx
而且还具有导数可以作为微分的商进行运算.
令x = x0 + ∆x,则x → x0时, ∆x → 0. 故∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′(x0 )∆x + o(∆x), (∆x → 0). ⇒ f (x)在点x0可微.
"⇒"若f (x)在点x0可微,则∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A∆x + o(∆x), (∆x → 0).
dt,
故 dy = 6at − 3at4 = 2t − t4 .
dx 3a − 6at3 1 − 2t3
dy
=
6at(1+ t3 ) − 3at 2 (3t 2 ) (1+ t3 )2
dt
=
6at − 3at 4 (1+ t3 )2
dt,
⇒
dy dx
t =1
=
2at − at 4 a − 2at3
t =1
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
4
由性质3.7知 :当f (x)在点x0可微时, f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f ′(x0 )∆x + o(∆x), (∆x → 0). 故当f ′(x0 ) ≠ 0且当∆x充分小时, o(∆x)可以忽略不计.
因此f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ≈ f ′(x0 )∆x, 即f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′(x0 )∆x,这是近似计算f (x0 + ∆x)的公式.
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
11
例(参数方程求导数法则) :
设参数方程
:
x y
= =
x(t) y(t)
t ∈[α , β ].
其中x(t), y(t)关于t可导且x′(t) ≠ 0,求 dy . dx
解 :由于dy = dy(t) = y′(t)dt, dx = dx(t) = x′(t)dt ⇒ dy = y′(t)dt = y′(t) ,t ∈[α , β ]. dx x′(t)dt x′(t)
从而当误差∆x充分小时, (∆x)2可以忽略不计. 即S (x0 + ∆x) − S (x0 ) ≈ 2x0∆x.
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
1
从类似的近似计算中可以抽象出一种数学概念 − 微分.
定义3.3 : 设y = f (x)在x0的某一领域内有定义,若在其中给x0一个改变量 ∆x,相应的函数值的改变量∆y可表示为如下 :
故 lim ∆x→0
∆y ∆x
=
lim
∆x→0
f
( x0
+ ∆x) − ∆x
f
(x0 )
=
lim
∆x→0
A∆x + o(∆x) ∆x
=
lim
∆x→0
A
+
o(∆x) ∆x
=
A.
因此f (x)在点x0可导且f ′(x0 ) = A.
从而dy
x= x0
= df
(x) x= x0
=
A∆x
=
f ′(x0 )∆x.
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
3
性质3.7 : y = f (x)在点x0可微 ⇔ f (x)在点x0可导. 而且当f (x)在点x0可导时, df x=x0 = f ′(x0 )∆x.
证 :"⇐"若f (x)在点x0可导,则由有限增量公式知 : f (x) − f (x0 ) = f ′(x0 )(x − x0 ) + o(x − x0 ), (x → x0 ).
Edited by Lin Guojian
8
由导数与微分的关系式dy = df (x) = f ′(x)dx容易得到微分的运算法则 :
性质3.8 : (1)d (C) = 0, (C为常数);
(2)d[Cf (x)] = Cd[ f (x)];
(3)d[ f (x) ± g(x)] = d[ f (x)] ± d[g(x)];
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
7
注 : 微分函数df (x) = f ′(x)dx是指它作为自变量x的函数, 而且习惯上也称f (x)为微分函数df (x)的原函数.
注 : 对可微函数y = f (x),由公式dy = df (x) = f ′(x)dx知 :
微分dy既与x有关又与dx有关, 但x与dx相互独立.
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
12
例 : 设参数方程x
y
= =
3at
1 + t3 3at 2
1 + t3
,求
dy dx
及在t
=
1处的切线方程与法线方程.
解
:
dx
=
3a(1+ t3) − 3at(3t 2 ) (1+ t3 )2
dt
=
3a − 6at3 (1+ t3 )2
解二 : dy = d (x x ) = d (exln x ) = exln xd (x ln x) = exln x[(ln x)dx + xd (ln x)]
= exln x[(ln x)dx + x 1 dx] = exln x[(ln x) +1]dx. x
=
−1.
且t = 1时, x = 3 a, y = 3 a.
2
2
故参数方程在t = 1处的切线方程为: y − 3 a = −(x − 3 a) ⇒ y = −x + 3a.
2
2
故参数方程在t = 1处的法线方程为: y − 3 a = (x − 3 a) ⇒ y = x.
2
2
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
证 :由于y = f (u)可微与u = g(x)可微,故y = f (u)可导与u = g(x)可导, 由性质3.6知 : 复合函数y = f [g(x)]可导 ⇒ y = f [g(x)]可微.
那么dy = df [g(x)] = ( f [g(x)])′dx = f ′[g(x)]g′(x)dx = f ′[g(x)]d[g(x)] = f ′(u)du.
5
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
5
例 : 求 sin 59的近似值.
解 : sin 59 = sin(60 − 1 ) = sin(π − π )
3 180 设y = f(x) = sin x.
由于f(x)在x =
π 点可导,故f(x)在x =
π 点可微且f ′(π ) = cos π
(4)d[ f (x)g(x)] = g(x)d[ f (x)] + f (x)d[g(x)];
(5)d
f (x)
g(x)
=
g(x)d[
f
(
x)] − f ( [ g ( x)]2
x)d
[
g
(
x)]
.
′
证 : (5)d
f (x)
g
(
x)
=
f (x)
g
(
x)
dx
=
g(x)
f
′(x) − f (x)g′(x) [ g ( x)]2
dx
=
g(x)
f
′(x)dx − f (x)g′(x)dx [ g ( x)]2
=
g(x)d[
f
(
x)] − f ( [ g ( x)]2
x)d
[
g
(
x)]
.
2018/11/1
Edited by Lin Guojian
9
性质3.9 : 设y = f [g(x)]是由可微函数y = f (u)与u = g(x)复合而成,则y = f [g(x)]关于x可微.
13
例: 求y = xx的微分.
[ ] 解一 : dy = d (xx ) = d (exln x ) = exln x ′ dx = [exln x (x ln x)′]dx
= exln x[(ln x) +1]dx.
或者 : y′ = (x x )′ = (exln x )′ = exln x (x ln x)′ = exln x[(ln x) +1]. 故dy = exln x[(ln x) +1]dx.