生存模型讲稿(201009)(0920)

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○
S y F y
1 y 2 〖 ：中位数〗
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Monday, September 20, 2010
《生存模型》讲稿
◎精算生存模型记号：
●总量模型： S ( x) （ x 0 ） ： x ， e0 ○死力（the force of mortality）
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(t )
f (t ) ： S (t )

0
“常力” （分布）

1
E (T ) tf (t )dt
20
Var (T ) E (T 2 ) [ E (T )]2 ，
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○模型适宜性讨论
在一个较长的时间间隔中，至少对人的生存模型，均匀分 布作为一个生存模型并不合适。然而，在历史上它正是为 此目的而被提出的第一个连续型概率分布（Abraham de Moivre, 1724）。 该分布的主要用于较短的时期。
○
○
y dy ln S t
0
t
○
t S t exp y dy 0
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● t ， f t 与 S t
d S t d dt t ln S t S t dt
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◎横截面研究（Cross_Sectional Studies）
首先定义研究群体 （study group） ,即一个可看作是相同人的总体。 如： 一个城市 （国 家，民族）的全部人口，一家人寿保险公司的保单持有人（policyholders），一个 养老金计划（a pension plan）的成员。 其次是观察期（observation period）的选择。这个时期一开始，作为研究群体成员 的许多人就被臵于观察之下。在观察期间，可能有其他人加入研究群体，也会有一 些人未死亡就退出了研究，这种进出活动称为迁移（migration） 。
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●选择模型 S (t , x) （ x 0 ：选择年龄） ： [ x ]t ， e[ x ]
○危险率函数（HRF）
[ x ]t
d S t, x d dx ln S t , x dx S t, x
○均匀分布生存模型
1 , t [0, ] f (t ) 0 , 其他
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○均匀分布生存模型：性质
F (t ) f ( y)dy
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◎纵剖面研究（Longitudinal Studies）
不是选择一个时间区间，而是选择一研究群体并纵向地追踪该群体的经历至将来。 其中一种称为群体完整设计（cohort complete design）〖a group of people who share a
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◎定义
随机变量T 表示一个研究对象从 t 0 到它失效的时间，因此常称为失
效时间随机变量（failure time random variable） 。
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●指数分布
○指数分布生存模型：定义
S (t ) et , t 0, 0
○指数分布生存模型：性质
F t 1 e t ， f t e t
Topics:
■生存模型 （Survival Models） 与精算生存模型 （Actuarial Survival Models） ■研究方案设计（Study Design） ■生存模型数学（mathematical foundation） ■小结（summary）
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common feature or aspect of behavior〗：一旦选择了最初的群体（t
0，可以是同一日
历日，也可以是不同的日期），就保持对其进行观察，直到全体死亡（失效），并 记录下每个成员死亡的时间。在未死亡（失效）前，该研究单位不允许有任何成员 失踪——控制数据研究（controlled_data study）
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有时，为了避免过长的研究时期，纵剖面研究也可以在全体研究对象未死亡之前就 终止——称不完整数据研究（incomplete data study）。 通常有两种终止研究的方法：如果研究终止在预先指定的一个固定的日期，则称数 据被截尾（truncted）了；如果研究进行到一个预先确定的观察到的死亡个数而终 止，则称数据被截断（censored）了。 就绝大部分情况而言， 精算师和人口统计学家涉及大样本研究， 因而用横截面设计， 而大多数医学临床研究（clinical study）基于小样本，故用纵剖面设计。
0 t
，
t
t
S (t ) 1 F (t ) f ( y)dy
t

(t )
f (t ) 1 S (t ) t

E (T ) tf (t )dt
0
2

2
，
Var (T ) E (T ) [ E (T )]
2
2
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如果T 是失效时间，那么在时间 t 该研究对象仍然运行的概率等于失 效时间迟于 t 的概率。也就是：
S (t) Pr(T t)
称为生存分布函数（survival distribution function）
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◎另一个例子：
相伴变量（日历年龄，性别，是否吸烟…）
○保险签约：保险签约是定义在 t 0 时的初始事件。 x 表示保险签约 时投保人的日历年龄。当 t 0 时， x 25 与 x 55 会使 S (t) 在有不同的 值…… 基于同样的理由：m 表示保险签约时投保人的性别，s（smoking）表 示 保 险 签 约 时 投 保 人 是 否 为 吸 烟 者 。 当 t 0 时 ， m "male" 与

○ x 岁人群未来预期寿命（生命期望）
e[ x ] E T , x tf (t , x)dt
0wenku.baidu.com
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◎参数生存模型举例
●均匀分布
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◎分布函数 F t 与生存分布函数 S t
●定义
F t Pr T t , S t Pr T t
择模型（select models）,记为 S (t; x,m, s) 。 （ x ，m ，s …）称为相伴变量（Concomitant
variables） 。 S (t; x) 为常用的精算生存模型，其中 x 为某一选择年龄（select age） 。 如果， 定义在 t 0 时的初始事件是某人的实际出生日， 则T 亦即死亡时间， 通常用 X 表示，称死亡年龄（Age at death）或将来寿命随机变量（Future lifetime random variable） 。连同其生存分布，称综合模型，记为 S (x) 。
m " female" ， s "smoking " 与 s "no smoking " 都会使 S (t ) 在有不同的
值……
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◎定义
如果失效时间随机变量T 的生存分布函数与其他变量（ x ，m ，s …）有关，则称选
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f y dy
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◎危险率（函数）（hazard rate function, HRT）
●定义
t
f t S t
●含义
t 0时的群体中，那些生存到时间t的成员，在时间t处瞬间死亡的密 度〖单位时间内死亡人数〗
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◎三个例子：
失效时间（failure time）…
○一台空调机在室温很高的实验室中运转。空调机开始工作时相当 于时间 t 0 …… ○考虑注射了致癌物质的实验动物的生存研究。 注射致癌剂就是 t 0 的最初事件…… ○考虑己被诊断患某种疾病且已开始治疗的某些人的生存研究。如 果患病的那天记为 t 0 ……
● t ， E T 与 var T
t t y dy ln S t 〖累积危险函数〗 S t e ，
0 t
○
○
E T tf t dt
0


0
S t dt ,
var T E T 2 ET
d S x d dx x ln S x dx S x

○新生婴儿未来寿命完全期望（the complete expectation of life at
birth）
e0 E X
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0
xf x dx
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●关系
F t 1 S t , F t 0 t 0 , F 1
f t
d d F t S t t 0 〖 t 0 的群体在时间 t 失效的密度〗 dt dt
t 0 t
F t f y dy, S t