勾股定理折叠问题与等面积法(习题及答案)

折叠问题与等面积法（习题）

例题示范

例1：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC 沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在AC边上的点B′处，若折痕交BC于点E，则B′E的长为_________．

思路分析:

1.找折痕：直线AE即为折痕

2.转移，表达

设B′E=x，则CE=4-x，

由折叠，得BE=B′E=x，AB′=AB=3

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4

由勾股定理，得

AC=5

∴B′C=2

3.利用勾股定理列方程

在Rt△EB′C中，

由勾股定理，得

x2+22=(4-x)2

解得x=1.5

例2：如图，在四边形ABCD 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，AD =12，CD =13，求四边形ABCD

的面积．

解：如图，连接AC

在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4

由勾股定理，得

AB 2+BC 2=AC 2

∴32+42=AC 2

∴AC =5

在△ACD 中，AC =5，AD =12，CD =13

∵52+122=132

∴AC 2+AD 2=CD 2

∴△ACD 是直角三角形，且∠CAD =90°

1122111253422

24ACD ABC

ABCD S S S AD AC AB BC =-=

⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯=△△四边形∴

巩固练习

1.如图，将长方形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，

若AB=3，AD=4，则DE的长为______．

2.如图，在长方形纸片ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与

对角线AC重合，点B落在点F处，折痕交BC于点E，若EF=3，则AB的长为（）

A．3B．4C．5D．6

第2题图第3题图

3.如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，

现将△ABC折叠，使点B与点A重合，若折痕交BC于点D，交AB于点E，则CD=________，DE=_________．

4.把长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，使点B与点D

重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则DE=_________．

5.如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB

上，对应点为D′，点C落在C′处．若AB=6，AD′=2，则DM=________，CN=_________．

第5题图第7题图

6.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB

的距离为____________．

7.如图，△ABC中，AB=15，BC=13，过点B作BD⊥AC于点

D，过点C作CE⊥AB于点E，若BD=12，则CE=_________．8.已知直角三角形的周长为22，斜边长为10，则该三角形的面

积为____________．

9.如图，一块四边形菜地ABCD，已知∠B=90°，AB=9m，

BC=12m，AD=8m，CD=17m．求这块菜地的面积．

思考小结

1.请系统回顾直角三角形的性质．

边：①直角三角形斜边长______任意一条直角边长．

②勾股定理：直角三角形两直角边的____________________．

角：直角三角形两锐角_________．

特殊元素：

中线：直角三角形斜边上的中线等于__________________．30°：30°角所对的直角边是____________________．

2.观察图中的3个图案，设△ABC的三边长分别为a，b，c，

请根据三角形的形状，猜测a2，b2，c2满足的条件．

（1）如果△ABC是直角三角形，则a2+b2______c2；

（2）如果△ABC是锐角三角形，则a2+b2______c2；

（3）如果△ABC是钝角三角形，则a2+b2______c2．

【参考答案】 巩固练习1.7

8

2.D

3.7

4cm，15

4

cm

4. 3.4cm

5.104

33，

6.36 5

7.56

5

8.11

9.这块菜地的面积为114m2

思考小结

1.①大于

②平方和等于斜边的平方

互余；斜边的一半；斜边的一半2.（1）=（2）>（3）<