浙教版九年级上圆的基本性质
浙教版九年级上册 《圆的基本性质圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结
《圆的基本性质:圆、图形旋转、垂径定理》知识点总结1.圆的定义;在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭曲线叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”2、与圆有关的概念（1）弦和直径（连结圆上任意两点的线段BC叫做弦，经过圆心的弦AB叫做直径）（2）弧和半圆（圆上任意两点间的部分叫做弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆），大于半圆的弧叫优弧（优弧用⌒和三个字母表示）、小于半圆的弧叫劣弧（用⌒和两个字母表示）。
（3）等弧：能够互相重合的两段弧（4）等圆（半径相等的两个圆叫做等圆）（5）点和圆的位置关系：如果P是圆所在平面内的一点，d 表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，则：（1）d<r → 圆内（2）d=r → 圆上（3）d>r → 圆外（6）不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
过不在同一条直线上的三点做圆，能找出圆的圆心（7）三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。
三角形的外心到各顶点距离相等。
一个三角形有且仅有一个外接圆，但一个圆有无数内接三角形。
3、图形的旋转：原图形上的所有点都绕着一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个固定的点叫做旋转中心。
图形经过旋转所得到的图形和原图形全等。
对应点到旋转中心的距离相等，任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度。
旋转作图基本步骤：1、明确旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）；2、找出关键点；3、找出关键点的对应点；4、作出新图形；5、写出结论。
4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
圆课件5(数学浙教版九年级上册)
圆在物理学中的应用
01
02
03
04
总结词
圆在物理学中也有着广泛的应 用，它涉及到许多物理现象和
规律。
运动学
圆在运动学中有着重要的应用 ，如匀速圆周运动、离心运动
等。
光学
圆在光学中也有着广泛的应用 ，如透镜的焦距、反射定律等
。
电磁学
在电磁学中，圆的应用也十分 广泛，如交流电的相位、电磁
场的分布等。
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垂径定理及其应用
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的弧。
应用
利用垂径定理可以证明一些与圆 有关的性质，例如圆的对称性、 圆心角与弧的关系等。
圆周角定理及其应用
圆周角定理
同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于所对弧所夹的圆心角的一半。
应用
利用圆周角定理可以证明一些与圆有 关的性质，例如圆内接四边形的性质 、圆的切线的判定和性质等。
碗、盘子、杯子等餐具的形状大多为圆形 ，因为圆形的弧度可以方便我们捧住，同 时也可以减少食物残渣的残留。
交通工具
建筑
汽车、火车的车轮都是圆形的，这是因为 圆形可以保证车轮在转动时保持稳定，使 车辆顺利前进。
许多建筑物的窗户、门洞等都是圆形的， 这不仅可以增加建筑的美观度，还可以提 高采光效果。
圆在几何图形中的应用
弦心距定理及其应用
弦心距定理
弦心距平分弦，并且平分弦所对的弧。
应用
利用弦心距定理可以证明一些与圆有关的性质，例如圆的切线的判定和性质、 圆的弦与半径的关系等。
03
圆的综合问题
圆与其他图形的综合问题
圆与直线的综合
涉及圆与直线的相切、相 交、相离等关系，以及由 此产生的切线长定理、切 割线定理等。
浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析
浙教版九年级数学上册第三章圆的基本性质教材分析九年级数学圆的有关性质圆属于空间与图形这部分内容，在前面学生已经学习了直线形图形的有关的性质，会借助于变换、坐标、证明等手段去认识图形的性质，并在小学的基础上，学生已经积累了大量有关圆的经验，本章是在此基础上，对圆的概念及其有关的性质进行系统的梳理，从圆的概念形成，圆本身的性质，圆中的量之间的关系以及圆中有关量的计算等方面，加强对圆的认识．圆是一种特殊的图形，它对于培养学生的数学能力，形成数学的思想方法具有重要的价值．由于圆既是中心对称图形又是轴对称图形,学生可以通过多种方式来认识它，这样有助于培养学生的数学能力．同时，圆的有关性质的探索是通过多种方法进行的，这样有助于学生形成基本的数学思想和方法．这些基本的数学思想方法有：⑴对称思想：圆的轴对称性、中心对称性．⑵推理思想：由对称性及其他方法来验证圆的有关结论．⑶分类归纳思想：将圆周角和圆心角之间的关系归结为同弧上圆周角与圆心角的关系，让学生形成分类讨论的思想．⑷算法思想：弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．不仅仅要求学生会计算，而且应该理解公式及其算法的意义．本章教学时间约需15课时，具体安排如下：3.1 圆 2课时3.2 圆的对称性 2课时3.3 圆心角 2课时3.4 圆周角 2课时3.5 弧长及扇形的面积 2课时3.6 圆锥的侧面积和全面积 1课时复习、评估3课时，机动使用1课时，合计 15课时一、教科书内容和课程教学目标⑴本章知识结构框图如下：⑵本章教学要求①通过日常生活中的实例，让学生感受圆是生活中大量存在的图形．②理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆的位置关系．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④使学生经历探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤认识圆的轴对称性和中心对称性．⑥了解三角形的外心．⑦会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积．⑶本章教材分析本章主要学习圆的定义、弦、弧、弦心距、圆心角、圆周角、扇形和三角形的外接圆等有关概念．在“圆”这一节，主要是让学生通过圆的形成归纳出圆的定义．虽然在小学阶段，学生已经具有了圆的有关的知识，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆”的概念．通过探索如何过一点、两点和不在同一条直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．另外，也使学生初步了解三角形的外心等有关知识．本节主要使学生体会圆的概念的形成过程．圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，这一点在前面学习对称性时，学生已经有所了解．本章安排圆的对称性主要是借助于圆的轴对称性，去探索“垂经定理”；借助于圆的旋转不变性去探索圆中弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系．而且由对称性可以尝试用其他的方法来验证有关的结论．在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系(即圆周角定理)，让学生形成分类讨论的思想．弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式不是直接给出的，而是让学生去进行探索、类比、归纳．弧长的公式是类比圆的周长公式而归纳得出，扇形的面积公式是类比圆的面积公式而得；圆锥的侧面积是通过其侧面展开图是一个扇形，而由扇形的计算公式而得出的．因此，“弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积”这两节不仅仅要求学生会计算，而且应该使他们理解公式的意义，理解算法的意义．二、本章编写特点⑴体现数学来源于生活，展示丰富多彩的几何世界人们生活在三维空间中，丰富多彩的图形世界给“空间与图形”的学习提供了大量现实有趣的素材．其中包含了大量与圆有关的现实物体、现实问题等内容，反映数学在建筑、机械、艺术等方面的广泛应用，体现数学丰富的文化价值的内容，既可以很好地体现圆作为联系数学与现实生活、科技发展的桥梁作用，也可以很好地呈现它丰富的数学内涵．在本章内容的呈现中，充分体现从生活中的立体图形到平面图形，立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容，分别从观察和分析生活中大量存在的圆入手，来探索一种特殊的曲线形----圆的有关性质．学生在已有的大量的空间与图形经验的基础上，通过折纸、对称、平移、旋转、推理等认识图形的性质．在本章设计中，在探索圆的垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角和圆心角之间的关系时，充分利用多种方式来认识、验证有关圆的性质．⑵从学生的已有知识和经验出发，引导学生探索发现圆的性质等知识，培养学生的探究习惯本章在内容的编排上都力图提供生动有趣、便于学生活动、交流的问题情境，并通过深入观察、分析、探究等活动，进一步丰富学生对圆的正确理解和准确把握，形成有关对圆比较全面的认识．《数学课程标准》(实验稿)对圆的性质的要求是：使学生经历探索圆的性质．即通过实例去探索，以达到理解的目的．比如，①通过探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，使学生认识到“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”这一确定圆的条件，它不仅仅是一个画圆的问题，而是使学生体会到在画圆中所体现的归纳的思想．②通过折纸，让学生探索圆的对称性，并在此基础上，让学生再通过折纸探索出圆的有关性质（垂径定理）等有关内容．③利用圆的旋转不变性探索圆中弧、弦、圆心角之间的关系．而在探索圆周角和圆心角之间的关系时，主要是归结为同弧上圆周角与圆心角的关系．④利用“合作学习”“做一做”等让学生自己探索有关的结论，比如通过学生自己合作，把圆锥沿母线剪开、铺平，并探索出圆锥侧面积和全面积的计算公式等等．整个设计意图，不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的圆的现象，自觉总结圆的有关性质并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，并通过圆进一步丰富学生的数学活动经验和体验，在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度，认识数学丰富的人文价值，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展．从而进一步培养学生探究习惯、把握和研究“空间与图形”的水平．⑶转换学习方式，强调学生的动手操作和主动参与学习方式的转变是课程改革的一个重要目标，与其他数学内容相比，“空间与图形”的教学更容易激起学生学习数学的热情．在本章的编写中，注意从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供“现实的、有意义的、富有挑战性的”学习材料，提供充分的数学活动和交流的机会，引导他们在“做数学”的活动中，在自主探索的过程中获得知识和技能，掌握基本的数学思想方法．《数学课程标准》中指出：“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”．本章非常重视向学生提供充分从事数学活动的机会．课本通过“合作学习”“探究活动”“想一想”“做一做”等栏目中安排了大量的数学活动题材，其中一些重要的数学概念及数学方法，都是需要学生通过数学活动获得．例如，圆的定义、圆的对称性、圆锥的侧面积等等．学生在亲身体验和探索中认识数学解决问题，理解和掌握数学知识和方法．并通过与他人的合作，学会交流思想，学会表达自己的观点，学会质疑，学会倾听，学会尊重他人，学会评价信息．这种“过程”会改变数学学习的过程和结果，对促进学生的发展具有非常重要的意义．另外，通过这些“探究点”，它可以帮助学生认识图形，丰富直观，验证学生的空间想象能力．三、教学建议⑴注意与前两个学段的衔接这一部分知识与前两个学段联系密切，大多数图形、概念在前两个学段都接触过，要衔接前两个学段，就要深入了解前面两个学段数学中“空间与图形”的内容、要求，了解它们与这一部分内容的联系与区别．⑵在教学中要注意如下几点：①要使学生从事观察、测量、折叠、平移、旋转、推理等活动，帮助他们有意识地积累活动经验，获得成功的体验．教学中，应鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的合作交流．②充分利用现实生活和数学中的素材，使学生探索与圆有关的概念和性质．尽可能地设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．③本章的一个特点是由圆的旋转不变性、轴对称性导出圆的有关性质（如圆心角定理、垂径定理等），体现了利用运动观点来研究图形的思想和方法．也让学生通过本章的学习，体验用运动观点来研究图形的思想和方法．因此，在圆的对称性、圆周角与圆心角的关系等内容中，要有意识地满足学生多样化的学习要求．④在观察、探究和推理活动中，使学生有意识地归纳数学思想方法，发展学生的有条理地思考，并能清晰地表达自己的发现．教学中，教师一方面应充分运用好课本已提供的丰富的素材，另一方面也应该选取一些学生身边的、熟悉的材料，丰富教学内容，以帮助学生对圆的概念的认识和圆的性质的理解．⑤从学习方式上，通过合作学习、探究活动这种形式，促进学生相互交流，从而最大限度获得数学能力的培养和体验数学思想．教学中应积极鼓励学生，当学生在探究过程中遇到困难时，应给予诱导启发，或给予必要的阶梯．让学生在这过程中体验如何学会学习，千万不能包办代替，过早给学生答案．应鼓励合作学习，从多角度思考，采用多种解决问题的办法，创造积极合作、讨论氛围．⑥评价时要关注学生思考方式的多样化，注重对学生观察、操作、探索圆的性质、推理等活动进行评价，包括学生在活动中的主动性、参与程度、与同学合作与交流的意识、思考与表达的条理性等；比如，对有关圆的概念的评价应侧重于通过实例是否理解概念；对于圆的有关性质的评价应看学生是否借助于具体的思考方法去理解．对与圆有关的计算的评价，着重看学生是否懂得了基本的算理．⑦在日常教学中，不仅仅关注学生是否计算或推出某个结论，而且应该关注学生在各种数学活动中的情感和态度，特别是学生在小组活动中的表现．对于学生在探索过程中出现的新的方法、新的思想，教师要及时帮助学生解决问题过程中的创意．。
浙教版数学九年级上册 第3章 圆的基本性质(含答案)
第3章 圆的基本性质班级 学号 得分 姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章 圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
浙教版初中数学初三数学上册《圆的基本性质》教案及教学反思
浙教版初中数学初三数学上册《圆的基本性质》教案及教学反思一、教学目标1.理解圆相关的基本概念和公式；2.学会根据规定条件求圆的性质和参数；3.培养学生在解决问题中自行思考、自行探究和合作探讨的能力。
二、教学内容1. 内容概述本课时主要介绍圆的相关概念和性质，包括圆的定义、圆心、半径、直径、弧、圆周角以及它们之间的关系。
通过学习，学生能够熟练掌握圆的基本概念和公式，理解圆的性质和参数，能够在实际问题中应用所学知识解决问题。
2. 课时安排课时主要内容时间第一课时圆的定义和基本概念15分钟第二课时圆心、半径、直径的定义和关系20分钟第三课时弧和圆周角的定义和关系25分钟第四课时圆的基本性质及其证明30分钟3. 课前准备为了能够达到本课的教学目标，我们需要为前三个课时准备符合学生年级的简单例子，包括但不限于：1.定义圆心和半径；2.用单位圆说明弧、弧长、角度度数、弧度、正弦、余弦和正切的概念；3.圆内、圆外、切线、割线的定义及其相互关系；对于第四节课，我们需要为学生准备一个较为具体的实例，让学生能够在实际问题中应用所学知识解决问题。
三、教学重难点1. 教学重点1.圆的定义和基本概念；2.圆心、半径、直径的定义和关系；3.弧和圆周角的定义和关系；4.圆的基本性质及其证明。
2. 教学难点1.如何理解圆的性质和参数，以及如何应用知识解决实际问题；2.如何引导学生自主学习，自主探究，促进学生的思维能力和解决问题的能力。
四、教学策略1. 探究式教学通过实际例子引导学生自主学习和自主探究，激发学生学习兴趣，激发学生自己动手思考、解决问题的能力，促进学生主动学习和发展思维能力。
2. 合作学习鼓励学生合作探讨、交流思想，激励学生相互协作，激发学生的团队合作意识，以此提高学生合作学习的能力。
3. 认知策略通过理解、记忆、练习、应用等环节，掌握圆的基本概念和性质，并通过理解、分析和解题，培养学生的思维能力。
五、教学反思通过本课的教学，我认为自己还存在以下问题：1.不够熟练运用探究式教学、合作学习和认知策略，需要进一步探索适合学生的教学策略；2.教学方法还需要更加灵活多样，避免过度讲解，更加注重学生的思维发展和能力培养；3.教学素材需要进一步丰富和调整，使其更加贴合学生的需求。
浙教版九年级圆知识点
浙教版九年级圆知识点圆是一种基本的几何图形，它在我们日常生活中无处不在。
在浙教版九年级数学课本中，关于圆的知识点主要包括圆的定义、圆的性质、圆的元素、弧长与扇形面积等内容。
本文将逐一介绍并详细解释这些知识点。
1. 圆的定义圆是由平面内与一个确定点的距离相等于一定长度的所有点组成的图形。
圆通常由一个圆心和半径来确定，圆心即为圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。
2. 圆的性质（1）圆的任意两点之间的距离都相等，这就是圆的最重要的性质，也被称为圆周上两点之间的弦长。
（2）圆的半径相等的两个或多个弦相等。
（3）半径垂直于弦，并且平分弦。
（4）圆周角是由圆周上的两条弧所对应的角，圆周角的大小等于其所对应的弧所对的圆心角的一半。
3. 圆的元素一个完整的圆通常包括圆心、半径、直径、弧、弦和切线等元素。
（1）圆心：圆的中心点。
（2）半径：从圆心到圆上任意一点的距离。
（3）直径：穿过圆心的线段，它的两个端点在圆上。
（4）弧：圆上的一段弧线，可以用圆心角度数或弧长来表示。
（5）弦：圆上连接两个点的线段，它的两个端点在圆上。
（6）切线：与圆只有一个交点，且与半径垂直的直线。
4. 弧长与扇形面积（1）弧长：弧长是指圆上一段弧线所对应的弧长，可以用度数或弧长来表示。
（2）扇形面积：扇形是由圆周上的弧和两条半径所围成的图形，扇形的面积可以通过圆心角的度数来计算。
通过以上的阐述，我们对浙教版九年级数学课本中关于圆的知识点有了更深入的理解。
圆作为一种常见的几何图形，在生活中存在着广泛的应用和意义。
通过学习圆的定义、性质、元素以及弧长和扇形面积的计算方法，我们可以更好地理解并运用圆的相关概念。
在解决生活和学习中的问题时，我们可以运用这些知识点，帮助我们更好地理解和分析几何图形的性质和关系，提升数学解题能力。
新浙教版初三上第三章《圆的基本性质》各节知识点及典型例题
圆的基本性质第一节 圆 第二节 图形的旋转 第三节 垂径定理（选学） 第四节 圆心角 第五节 圆周角 第六节 圆内接四边形第七节 正多边形 第八节 弧长及扇形的面积十二大知识点：1、圆的概念及点与圆的位置关系2、三角形的外接圆3、旋转的概论及性质4、垂径定理5、垂径定理的逆定理及其应用6、圆心角的概念及其性质 【课本相关知识点】1、圆的定义：在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O ，另一端点P 所经过的 叫做圆，定点O 叫做 ，线段OP 叫做圆的 ，以点O 为圆心的圆记作 ，读作圆O 。
2、弦和直径：连接圆上任意 叫做弦，其中经过圆心的弦叫做 ， 是圆中最长的弦。
3、弧：圆上任意 叫做圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成的两条弧，每一条弧都叫做 。
小于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母上加上“⌒”就可表示出来，大于半圆的弧叫做 ，用弧两端的字母和中间的字母，再加上“⌒”就可表示出来。
4、等圆：半径相等的两个圆叫做等圆；也可以说能够完全重合的两个圆叫做等圆5、点与圆的三种位置关系：若点P 到圆心O 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，则： 点P 在⊙O 外⇔ ； 点P 在⊙O 上⇔ ； 点P 在⊙O 内⇔ 。
6、线段垂直平分线上的点 距离相等；到线段两端点距离相等的点在 上7、过一点可作 个圆。
过两点可作 个圆，以这两点之间的线段的 上任意一点为圆心即可。
8、过 的三点确定一个圆。
9、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 。
三角形的外心是三角形三条边的【典型例题】【题型一】证明多点共圆例1、已知矩形ABCD ，如图所示，试说明：矩形ABCD 的四个顶点A 、B 、C 、D 在同一个圆上【题型二】相关概念说法的正误判断 例1、（甘肃兰州中考数学）有下列四个命题：① 直径是弦；② 经过三个点一定可以作圆；③ 三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④ 半径相等的两个半圆是等弧。
浙教九年级圆知识点
浙教九年级圆知识点圆是数学中的一个重要概念，是几何形体中常见的一个形状。
它具有独特的性质和应用，对于学生来说，掌握圆的知识点对于解决几何问题非常重要。
在本文中，我们将探讨浙教九年级圆知识点，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、圆的定义和基本性质首先，我们来了解圆的定义和基本性质。
圆是由平面上所有距离等于半径的点组成的集合。
圆由圆心和半径确定，其中圆心是圆上所有点的中心点，半径是圆心到圆上任意点的距离。
除了定义之外，圆还具有一些基本的性质。
例如，圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段，直径等于半径的两倍。
圆的周长是围绕圆的线段的长度，等于2π乘以半径。
圆的面积是圆内部所包围的平面区域的大小，等于π乘以半径的平方。
二、圆的相关定理和推论在学习圆的知识过程中，我们还需要了解一些相关的定理和推论。
其中，最基本的定理之一是圆的切线定理。
这个定理指出，通过圆上一点的切线与半径垂直，切线与切点之间的线段是切线长所对应的半径的垂直平分线。
圆内接四边形定理是另一个重要的定理。
这个定理指出，如果一个四边形的四个角都在圆上，那么这个四边形是内接四边形，并且相对的两条边和相对的两个角互为补角。
圆锥曲线也是与圆相关的一个重要的数学概念。
圆锥曲线是平面上除了直线之外的其他曲线，由圆上的不同点所确定。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。
三、圆的应用圆的应用非常广泛，在日常生活和各个行业都有重要的应用。
在建筑领域，圆被广泛应用于设计和建造圆形的建筑物，如圆形剧院和圆型广场。
在物理学中，圆的运动被广泛地应用于描述天体运动和粒子运动的轨迹。
在工程学中，圆的应用也非常重要。
例如，土木工程师常常使用圆的知识点来设计桥梁和隧道的曲线形状。
电子工程师也需要掌握圆的性质，以设计圆形的电路和电子器件。
此外，圆也在数学的其他分支中应用广泛。
在数据分析和统计学中，圆可用于绘制散点图和回归分析。
在微积分中，圆被用于描述极坐标系和旋转曲线。
总结：通过对浙教九年级圆知识点的探讨，我们可以看到圆的重要性和应用广泛性。
浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质(含答案)
浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（ ）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（ ）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（ ）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（ ）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8． 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（ ）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（ ）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（ ）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是 ．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为 ．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为 ．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(−1,−2)，B2(1,−3)，C2(0,−5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,−1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C 是BD 的中点，∴CD =BC ，∴∠DBC=∠A ，∴∠ECB=∠DBC ，∴CF= BF ；（2）解：∵BC =CD ，∴BC=CD=6．在Rt △ABC 中，AB= BC 2+AC 2=62+82=10，∴⊙O 的半径为5；∵S △ABC = 12AB×CE= 12BC×AC ，∴CE= BC ×AC AB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD ，∵D 为BC 的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD ，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD ∥AE.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥EF.∴OD 的长是圆心O 到EF 的距离.∵AB=90 cm ，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O 作OG ⊥AD 交AD 于点G.∵DA=DF ，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD ，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2−O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52−32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP，所以∠ADP=∠ADQ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC，因为AB是直径，AB⊥CD，所以AC=AD，CE=DE，所以△ACP≌△ADP（SSS），所以∠ACP=∠ADP，因为∠ACP=12ADQ，∠ADQ=12ACQ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ+ACQ）=180°．。
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.1 圆课件(新版)浙教版
圆
缺
B A
圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧
A
B
小于半圆的 弧叫做劣弧
A
B
D
E
c
大于半圆 的弧叫做 优弧
A
B
弦所对的弧
（1）找出图中所有的弦 弦AB 、AC、BC
（2）指出每条弦所对的弧
弦AB所对的弧是＿＿
A
O
C
B
⊙O的半径为r
点
点到圆心的距离为d
与 圆内
d＜r
圆
的 位
圆上
d＝r
置
关 圆外
例1 如图所示，在A地正北60m的Ｂ处有一幢民 房，正西80m的C处有一变电设施，在BC的中点D处 是一古建筑。
变式：若BC是一条马路，且马路上有行人和 车辆, 在爆破时也不能影响到马路的行人和车 辆，那结果又如何呢？
E
如图,一根
3m 长 的 绳 子 , 一
B
端栓在柱子上,
围
另一端栓着一
只羊(羊只能在
墙
草 地 上 活 动 ),
请画出羊的活
A
O
动区域.
围
墙
如图,一 根5m长的绳子, 一端栓在柱子 上,另一端栓 着一只羊(羊 只能在草地上 活动),请画出 羊的活动区域.
B
围
5
墙
A
O
围
墙
5m 4m o
5m 4m o
正确答案
如图,一 根 6m 长 的 绳 子 , 一端栓在柱子 上,另一端栓 着一只羊(羊 只能在草地上 活 动 ), 请 画 出 羊的活动区域.
d＞r
系
C
d
r
A
O
d
B
2020浙教版九年级数学上《圆的基本性质》章节知识点复习专题
- 1 -【文库独家】圆的基本性质章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图4图5- 2 -三、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD四、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
九年级数学上册浙教版：第三章-圆的基本性质复习PPT课件
1
知识体系
圆
基本性质
概
对
念
称
性
垂 圆心角、 径 弧、弦之 定 间的关系 理 定理
-
圆周角与 圆心角的 关系
弧长、扇形面积和圆锥 的侧面积相关计算
2
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段
OA叫做半径，以点O为圆心的圆，
-
5
圆的有关性质
过三点的圆
-
6
思考：确定一条直线的条件是什么？
类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？ 讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
-
7
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
CCC
B
M
A
P
关于弦的问题，常常需
O
要过圆心作弦的垂线段，
这是一条非常重要的辅 助线。
圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形，
便将问题转化为直角三
角形的问题。
-
15
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
-
16B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？
E
A
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点
浙教版-9年级-上册-数学-第3章《圆的基本性质》分节知识点一、圆的有关概念及圆的确定要点一、圆的定义1、圆的描述概念（1）如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：（1）圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；（2）圆是一条封闭曲线.2、圆的集合概念（1）圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.（2）平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.（3）圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点诠释：（1）定点为圆心，定长为半径；（2）圆指的是圆周，而不是圆面；（3）强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.要点二、点与圆的位置关系（1）点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.（2）若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：点P在圆内d＜r；点P在圆上d=r；点P在圆外d＞r.“”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点诠释：（1）点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；要点三、与圆有关的概念1、弦：（1）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.（2）直径：经过圆心的弦叫做直径.（3）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：（1）直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.（2）为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2、弧（1）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.（2）半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；（3）优弧：大于半圆的弧叫做优弧；（4）劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：（1）半圆是弧，而弧不一定是半圆；（2）无特殊说明时，弧指的是劣弧.3、等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：（1）等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；（2）圆中两平行弦所夹的弧相等.4、同心圆与等圆（1）圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.（2）圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点诠释：同圆或等圆的半径相等.5、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.要点诠释：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立.要点四、确定圆的条件（1）经过一个已知点能作无数个圆；（2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；(3）不在同一直线上的三个点确定一个圆.（4）经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.如图：⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心.外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等.要点诠释：（1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”.（2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定.二、图形的旋转要点一、旋转的概念（1）一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角.要点诠释：（1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.（2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点.点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段.要点二、旋转的性质一般地，图形的旋转有下面的性质：（1）图形经过旋转所得的图形和原图形全等；（2）对应点到旋转中心的距离相等；（3）任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.要点三、旋转的作图（1）在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；（2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；（4）连接所得到的各对应点.三、垂径定理知识点一、垂径定理1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.如图，几何语言为：CD 是直径要点诠释：2、推论（1）定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.（2）定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.要点诠释：（1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.（2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：（1）在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）四、圆心角要点一、圆心角与弧的定义1、圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点诠释：（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB.2、1°的弧的定义：1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点诠释：（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.CD ⊥ABAE=BE（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.要点二、圆心角定理及推论1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点诠释：（1）圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.（3）注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2、圆心角定理的推论：（1）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点诠释：（1）在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.五、圆周角要点一、圆周角1、圆周角定义：（1）像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．要点诠释：（1）圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.（2）圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）3、圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．4、圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等.六、圆内接四边形要点一、圆内接四边形（1）如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.要点二、圆内接四边形性质定理（1）圆内接四边形的对角互补.（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）.要点诠释：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补．七、正多边形和圆知识点一、正多边形的概念（1）各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：（1）各边相等；（2）各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).知识点二、正多边形的重要元素1、正多边形的外接圆和圆的内接正多边形（1）正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2、正多边形的有关概念（1）一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．（2）正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．（3）正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．（4）正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3、正多边形的有关计算（1）正ｎ边形每一个内角的度数是；（2）正ｎ边形每个中心角的度数是；（3）正ｎ边形每个外角的度数是.要点诠释：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.知识点三、正多边形的性质（1）正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.（2）正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.（3）正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.（4）边数相同的正多边形相似。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理
（米）.在中，（米），（米）.筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
知识点2 垂径定理的逆定理 重点
内容
数学语言
图示
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
敲黑板在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么可以推出其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简记为“知二推三”.
教材深挖（教材第78页作业题第6题结论）
文字语言
图示
数学语言
两条互相平行的弦所夹的弧相等.
，.
典例2如图，是的弦，是的中点，连结并延长交于点.若，，则的半径为__.
通常连半径构造直角三角形
[解析]如图，连结.
在中，，由勾股定理，得.,,，解得.
,AB=2,OC与AB垂直.
中考常考考点
难度
常考题型
内容
数学语言
图示
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
2.
也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段，常见情况如图：
3.相关概念
（1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.如表中图，是的中点，是的中点.
（2）弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.如表中图，的长是弦的弦心距.
第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理
学习目标
1.探索并掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理进行简单的计算和证明.
3.会利用垂径定理及其逆定理解决实际问题.
知识点1 垂径定理 重点
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.1 圆(第1课时)a课件 (新版)浙教版
（4）半圆是弧，弧小于半圆。
(× )
9
教学目 标
练一练
如图所示，你看到哪几条弦？哪几段弧？各如何表示？
解：有弦AB，弦BC，弦AC；
有
⌒ AB
B⌒C
⌒ AC
⌒ ACB
⌒ BAC
10
教学目 标
想一想 确定一个圆的两个必备条件是什么？
圆心，半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，确定一个圆两者缺 一不可。
3.1.1 圆
1
教学目 标
圆是我们生活中常见的几何图形 情境1
看了此画你有何感想？
2
教学目 标
情境2 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样 的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队 形？
通过前面的例子请你说说什么是圆？ 3
教学目 标
圆的概念
在同一平面内，线段OP 绕它固定的一个端点O旋转 一周，另一端点P所经过的 封闭曲线叫做圆.
B
D
r
A
O1
r
C
O2
在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫等弧 注意： 等圆：圆心不同，半径相等；
同心圆：圆心相同，半径不等 8
教学目 标
判断
（1）圆是一条封闭曲线，它上面的任何一点到某个定点的距离
都等于定长。( × )
（2）圆的任何一条弦的两端点，把圆分成两条弧，所以一条弦
对两条弧。 ( √ )
（3）直径是弦，且圆内最长的弦是直径。( √ )
22
教学目 标
6、如图，已知⊙P的圆心为P(－2，0)，与x轴有公共点(－6，
0)，(2，0).
(1)求⊙P的半径. (2)求A，B两点的坐标.
23
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理课件浙教版
AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧.
讨论
（1）过圆心（2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5） 平分弦所对的劣弧
C
A
M└
●O
D
（1） （3）
（2） （4）
（2） （4） （5）
（1） （4）
（1）（2） （3）（5） （5）
3.3 垂径定理
一、温故而知新
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它们的对称
轴
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？
.
圆是中心对称图形，圆心是对称中心
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．
（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
N
∴A⌒C＝B⌒D
夹在两条平行弦间的弧相等.
M
C
A
B
C
D
A
B
.
O
O.
E
.O
AC
DB
小结:
N
解决有关弦的问题，经常需要过圆心作弦的垂线、
作垂直于弦的直径、连结半径等辅助线，为应用垂径定
理创造条件.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥， 是我国古代 人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗 ？
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个 结论
一、判断下列说法的正误
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圆的基本性质自测题
一、填空题
1、已知圆O的半径为6㎝，弦AB=6㎝，则弦AB所对的圆心角是度。
2、内接于圆的平行四边形一定是形。
3、三角形ABC中，＜A:<B:<C=1:2:3，且AC＝3，则三角形ABC的外接圆半径是。
4、三角形ABC内接于圆O，AB＝AC，＜ACB＝50，若点P是弧BAC上任一点，则＜BPC的度数
为；若点P是弧BC上任一点，则＜BPC的度数为。
5、在圆O中，弦AB//弦CD，AB＝24，CD＝10，弦AB的弦心距为5，则AB和CD之间的距离
是。
6、已知如图1，弧AB的半径R＝10㎝，弓形高h＝5㎝，则这条弧的长为。
;
A
C
O
D
A
C
O
D P
图1 图2 图3 图4
7、如图2，半径OA垂直OB，C是弧AB上一点，CD垂直OA于D，CE垂直OB于E，若OD＝5，AD＝2，
则DE＝。
8、如图3，圆O的内接等腰梯形ABCD的下底AB恰为圆O的直径，＜CAD＝15，若圆O的半径为R，则图
中阴影部分的面积等于。
9、圆的弦与直径相交成30度角，并且分直径为8㎝和2㎝两部分，则弦心距＝。
10、如图4，矩形ABCD的边AB过圆O的圆心，且O为AB中点，E、F分别AB、CD与圆O的交点，
若AE＝3㎝，AD＝4㎝，DF＝5㎝，则圆O的直径＝。
二、选择题
1、下列命题为真命题的是( )
A、~
B、点确定一个圆B、度数相等的弧相等
C、圆周角是直角的所对弦是直径
D、相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等
2、若一个三角形的外心在这个三角形的国上，那么这个三角形是( )
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、不能确定
3、圆内接四边形ABCD，＜A，＜B，＜C的度数之比为3:4:6，则＜D的度数为( )
A、60
B、80
C、100
D、120
4、如图5，正方形ABCD内接于圆O点P在弧AD上，＜BPC＝( )
A、50
B、45
C、40
D、35
5、>
6、如图6，圆周角＜A＝30，弦BC＝3，则圆O的直径是( )
A、3
B、3 3
C、6
D、63
7、如图7，CD是圆O的弦，AB是圆O的直径，CD＝8，AB＝10，则点A、B到直线CD的距离的和是
A、6
B、8
C、10
D、12
A
C D
E F
O A
C
O
图5 图6 图7 图8 8、 如图8，弧AB 为50度，＜OBC ＝40，则＜OAC ＝ ( )
A 、15
B 、20
C 、25
D 、30
9、 如图9，分别 三角形三边为直径向外作三个半圆，如果轻音乐上的两个半圆面积之和等于较大的半圆
面积，则这个三角形为 ( ) ？
A 、锐角三角形或钝角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、直角三角形
A
C
D
E
B F
G O
A
C
D
E
图9 图10 图11
10、 如图10，圆O 的半径为5㎝，G 为直径AB 上一点，弦CD 经过G 点，CD ＝6㎝，过点A 和点B 分
别向CD 引垂线AE 和BF ，则AD －BF ＝ ( ) A 、6㎝ B 、8㎝ C 、12㎝ D 、16㎝
10、如图11，三角形ABC 是圆内接正三角形，弧AD 的度数为60，则三角形ADC 与三角形ABC 的面积之比
为 ( ) A 、5/8 B 、3/5 C 、2/3 D 、1/3 三、画图（保留画图痕迹，不写画法）
1、 》
2、 已知，如图12，是破铁轮的轮廓，求作它的圆心
A
B C
D E
F O
H
图12
图13 四、解答或证明下列各题
1、 如图13，弦AB 与弦CD 垂直于E ，F 为ED 上一点，且CD ＝EF ，延长AF 交BD 于H 。
求证：AH 垂直BD
2、 如图14，以等腰三角形ABC 的底边BC 直径的圆O 分别交两腰于D 、E ，连结DE ，求证：（1）DE//BC ，
（2）若D 是AB 中点，则ABC 是等边三角形。
B
A
C
D E
O
3、 如图15，BC 是圆O 的直径，AD 垂直BC 于D ，弧BA 等于弧AF ，BF 与AD 交于E ，求证：（1）AE ＝BE ，
（2）若A ，F 把半圆三等分，BC ＝12，求AE 的长。
`
B A
C
D E
F
图15
4、 如图16，高A 城气象台测得台风中心在A 城正西300方向千米的B 处，以每小时10 3千米的速度向
北偏东60度的BF 方向移动，距台风200中心千米的范围内是受到台风的区域。
（1） 是否受到这次台风的影响为什么
（2） 若A 城受到台风影响，那么A 城遭受到这次台风影响有多长时间
B
A
M
F
东北
B
A
C
D
M
F 东
北
（1）
（2） 图16
5、 如图17，直角三角形ABC 中，＜BAC ＝90，AB ＝AC ，AD 垂直C 于D ，过A 、D 的圆交AB 于E ，交AC
于F ，
（1） 求证：三角形ADF 全等三角形BDE
（2） 如果BC ＝4，AE ＝ 2 ＋1，求AF 和DE 的长
A C
D
F
E
图17。