勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、41cmB、34cmC、50cmD、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC，根据已知条件，可以判断BD 是Rt△BCD 的斜边，BD 是Rt△ BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt△ABC 中，AB=5 ，AC=4，根据勾股定理，得BC= AB2 AC2 = 41 ，在Rt△BCD 中，CD=3，BC= 41 ，22BD= BC2 CD2 = 50 。

所以选C。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S、 F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3 的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm），FB=18―1―1=16 （cm），在Rt△SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF= SB2 FB 2 = 302 162 =34（cm），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm。

说明：将立体图形展开，转化为平面图形，或将曲面转化为平面，然后再运用“两点之间，线段最短”和勾股定理，则是求立体图形上任意两点间的最短距离的常用的方法，这也是一种重要的数学思想转化思想。

二、利用勾股定理确定最短问题我们知道，两点之间线段最短，但这两点之间的距离往往要通过适当的知识求出其大小，现介绍一种方法，用勾股定理确定最短问题.例1（恩施自治州）如图 1 ，长方体的长为15，宽为10 ，高为20，点 B 离点 C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，需要爬行的最短距离是（）图1①分析根据“两点之间，线段最短”和“勾股定理”，蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点B，较短爬行路线有如图 2 所示的 4 条粗线段表示的距离.可以通过计算得知最短的是第 2 条.解依题意蚂蚁要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B ，有如图 2 所示的 4 种粗线情形，其中图①中粗线的长度为的52 302＝5 37 ，图②中粗线的长度为的152 202＝25，图③中粗线的长度为的102 202 +5＝10 5 +5，图④中粗线的长度为的5+20+10＝35，显然35>5 37 >10 5 +5>25.故应选 B.说明在立体图形上找最短距离，通常要把立体图形转化为平面图形，即转化为表面展开图来解答，但是不同的展开图会有不同的答案，所以要分情况讨论.例2(青岛市)如图 1 ，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm. 如果用一根细线从点 A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm；如果从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点B，那么所用细线最短需要＿＿＿cm.分析要求最短细线的长，得先能确定最短线路，于是，可画出长方体的侧面展开图，利用两点之间线段最短，结合勾股定理求得.若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n圈到达点B，即相当于长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1 变成n(3+1+3+1)，同样可以用勾股定理求解.解如图 2 ，依题意，得从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕一圈到达点 B 时，最短距离为AB，此时，由勾股定理，得AB＝62 82＝10，即所用细线最短为10cm.若从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点B，则长方体的侧面展开图的一边长由3+1+3+1 变成n（3+1+3+1），即8n，由勾股定理，得628n 2＝36 64n2，即所用细线最短为36 64n2 cm，或2 9 16n2 cm.说明对于从点 A 开始经过 4 个侧面缠绕n 圈到达点 B 的最短细线不能理解为就是n个底面周长.例3（泸州市）在某段限速公路BC 上（公路视为直线），交通管理部门规定50汽车的最高行驶速度不能超过60 千米／时（即50米／秒），并在离该公路100 3米处设置了一个监测点 A.在如图所示的直角坐标系中，点 A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点 B 在 A 的北偏西60°方向上，点 C 在 A 的北偏东45°方向上，另外一条高等级公路在y轴上，AO为其中的一段.1）求点B和点C 的坐标；2）一辆汽车从点B 匀速行驶到点 C 所用的时间是15 秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速?（参考数据： 3 ≈1.7）（3）若一辆大货车在限速路上由 C 处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由 A 处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少?分析（1）要求点B和点C的坐标，只要分别求出OB和OC即得.（2）由（1）可知BC 的长度，进而利用速度公式求得并与50比较即可.（3）为了求解， 3 可设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，于是利用勾股定理可求出x 的表达式进而求得.1解（1）在Rt△AOB中，因为∠ BAO＝60°，所以∠ ABO＝30°，所以OA ＝1 AB，2 而OA＝100，所以AB＝200，由勾股定理，得OB＝AB2 OA2＝2002 1002＝100 3.Rt△AOC 中，∠CAO＝45°，所以OC＝OA＝100，所以B（－100 3 ，0），C（100，0）.（2）因为BC＝BO+CO＝100 3 +100，所以100 3 100≈18>50，15 3 所以这辆车超速了.（3）设大货车行驶到某一时刻行驶了x 米，则此时小汽车行驶了2x 米，且两车的距离为y＝100 x 2100 2x 2＝ 5 x 60 22000 ，显然，当x ＝60时，y有最小值是2000 ＝20 5米，即两车相距的最近距离为20 5米.说明本题在求最近距离时，一定要注意正确理解代数式的意义，注意到（x －60）2的最小值是0.例4（恩施自治州）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险” 著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线X的距离分别为10km 和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案，图1是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图2是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A′，连接BA′交直线X 于点P），P 到A、B 的距离之和S2＝PA+PB.（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA+PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图 3 所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X 旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.分析为了便于运用勾股定理求解有关线段的长，称等几何知识即可求解.解（1）如图 1 中，过 B 作BC⊥AP，垂足为可适当引垂线，并结合对C，则由勾股定理，得PC＝50240 10 2＝40.在Rt△ PBC 中，由勾股定理，得BP＝BC2 PC2＝402 402＝40 2 .所以S1＝40 2 +10（km）.如图 2 中，过 B 作BC⊥AA′垂足为C，由轴对称知PA＝PA′，则A′C ＝50，又BC＝40，所以由勾股定理，得BA′＝402 502＝10 41 ，所以S2＝BA′＝10 41 （km）.显然，S1>S2.（2）如图2，在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA′，由轴对称知MA ＝MA′，所以MB+MA＝MB+MA′>A′B，所以S2＝BA′为最小.（3）过A作关于X轴的对称点A′，过B作关于Y轴的对称点B′，连接A′B′，交X 轴于点P，交Y 轴于点Q，则P，Q 即为所求.过A′、B′分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G.由勾股定理，得A′B′＝1002 502＝50 5 ，所以所求四边形的周长为（50+50 5）km.说明本题既是一道对图形的操作题，又是一道利用勾股定理进行方案设计的试题，求解时一定要注意动手动脑，发挥想象，避免错误的出现.三、与勾股定理有关的探索性问题例析新课程要求通过学习培养同学们的自主探究能力。

探索性问题，正是新课程理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情推理能力的好材料，是近几年中考的一个热点。

围绕着勾股定理，出现了许多形式新颖，视点独特，内容丰富的新型试题，本文以直角三角形勾股定理为背景中考试题为例，加以评析，供同学们学习时参考。

例1．如图，以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第 2 个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第 3 个等腰直角三角形 A 1BB 1，⋯⋯，如此作下去，若 OA ＝OB ＝1，则第 n 个等腰直角三角形的 面积 S n ＝ _____ ．解析：本题是以一系列等腰直角三角形组成的图案为背景的规律探索型试 题。

要探求第 n 个等腰直角三角形的面积， 根据图形提供的数据和等腰直角三角 形的变化规律， 我们可以看到： 下一个等腰直角三角形的直角边是前一个等腰直 角三角形的斜边，因此在解题时， 先考虑特殊情形， 根据勾股定理得一系列等腰直角三角形面积和下一个直角三角形的斜边长为：所以：第 n 个等腰直角三角形的面积为 2n 2 。

规律探索性问题，正是新课程 理念下培养同学们的观察、实验、操作、归纳、猜想，发展直觉思维能力和合情 推理能力的好材料， 是近几年中考的一个热点， 本题考查了同学们从特殊到一般 的思考问题的方法。