计算函数零点和极值点的迭代法.
牛顿迭代法在深度学习中的应用
牛顿迭代法在深度学习中的应用深度学习是一种人工神经网络的延伸，是机器学习的一个分支，近年来被广泛应用于人脸识别、语音识别、自然语言处理等领域，取得了巨大的成功。
牛顿迭代法是一种求函数零点的方法，可以快速逼近函数的根，是一种高效的数值计算方法。
在深度学习中，牛顿迭代法也有着广泛的应用。
一、概述牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，是一种用于寻找实数或复数方程零点的高精度数值方法。
常用于解决无法通过代数解析求解的方程，例如超越方程。
牛顿迭代法的基本思想是：选取一点x0，通过一系列迭代计算，逐步改进求解结果，直到满足精度要求为止。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，通常只需要几步迭代即可逼近函数的根，是一种高效的数值计算方法。
在深度学习中，牛顿迭代法被广泛应用于模型的优化过程中。
在深度神经网络中，经常需要求解损失函数的最小值，以减小预测结果与实际结果之间的误差。
牛顿迭代法可以用于求解损失函数的最小值，从而提高深度学习的效率和准确性。
二、原理在深度学习中，通常采用的是反向传播算法来求解损失函数的最小值。
反向传播算法是一种计算梯度的方法，通过将误差反向传播至网络每一层，计算出每一层的梯度，并使用梯度下降法来更新网络的参数，以减小损失函数的值。
传统的梯度下降法通常有以下两种实现方式：1. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent）批量梯度下降法是在每一次迭代中，计算整个训练集的梯度，从而更新网络的参数。
由于需要计算整个训练集的梯度，因此在大数据集上，批量梯度下降法的计算开销非常大，训练速度很慢。
2. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent）随机梯度下降法是在每一次迭代中，计算一个样本的梯度，并更新网络的参数。
由于只需要计算一个样本的梯度，因此计算开销非常小，训练速度很快。
但是，由于每个样本的梯度存在噪声，因此随机梯度下降法的路径可能不是最优的，存在震荡现象。
为了解决上述方法的不足，通常采用更为先进的优化算法，例如牛顿法、拟牛顿法、共轭梯度法等。
目标函数的几种极值求解方法
目标函数的几种极值求解方法在数学和优化领域中，目标函数是一个描述优化问题的函数，其目标是将该函数的值最小化或最大化。
目标函数的极值求解方法主要有以下几种方法：1.数值方法：数值方法是通过计算目标函数在一组特定点上的近似值来确定极值。
其中最简单的方法是取目标函数的一些特定点，并计算这些点上的函数值。
然后根据计算结果确定极值。
这些特定点通常是目标函数的极值点的近似值。
例如，可以使用微分方法来估计目标函数的极值点。
2.数学分析方法：数学分析方法是通过对目标函数进行数学分析来确定极值。
其中最常用的方法是求解目标函数的导数或二阶导数，并设置导数等于零来求解函数的极值点。
这个方法适用于一些简单的函数，例如多项式函数。
它可以精确地确定函数的极值点。
3.迭代方法：迭代方法是通过不断迭代目标函数来逼近极值。
迭代方法通常需要一个初始点，然后在每一步中更新该点，直到满足一些停止条件。
最常用的迭代方法是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法通过不断沿着函数的梯度方向进行迭代来逐渐接近极小值。
牛顿法将函数近似为一个二次函数，并使用二次函数的极值点来逼近原函数的极值点。
4.线性规划方法：线性规划方法是对一类特殊的目标函数进行极值求解的方法。
线性规划问题是指包含一组线性不等式或等式约束条件的目标函数的最小化或最大化问题。
线性规划方法可以通过求解线性规划问题的对偶问题来确定原问题的极值。
这个方法对于一些特殊的线性规划问题非常高效。
5.元启发式方法：元启发式方法是一种基于经验和启发式规则来确定目标函数极值的方法。
这些方法通常使用一些随机算法和优化算法，例如遗传算法、粒子群算法等。
元启发式方法通过不断目标函数的解空间来逼近极值。
总之，目标函数的极值求解方法有多种选择，可以根据具体的问题和需求选择合适的方法。
不同的方法有不同的适用范围和计算复杂度，需要根据具体情况进行选择和调整。
利用数值方法求函数零点
利用数值方法求函数零点在数学领域中，求解函数的零点是一个重要的问题，尤其是在实际应用中。
当函数无法通过解析方法求得零点时，数值方法成为了一种有效的途径。
本文将介绍几种常用的数值方法，通过这些方法可以准确地求得函数的零点。
一、二分法二分法是求解函数零点最简单、最直观的方法之一。
其基本思想是通过不断地将区间一分为二，判断零点所在的区间，并逐渐缩小区间范围，直到满足精度要求为止。
下面是二分法的数值算法步骤：1. 选择一个初始区间[a, b]，满足f(a)与f(b)异号；2. 计算区间中点c，即c = (a + b) / 2；3. 判断f(c)与f(a)的符号，若同号，则令a = c；若异号，则令b = c；4. 重复步骤2和步骤3，直到区间长度小于所需精度。
二分法的优点是简单易懂，但缺点是收敛速度较慢，尤其在函数零点附近值较大的情况下。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种快速收敛的数值方法，它利用函数的一阶导数信息来逼近零点。
其基本思想是通过不断迭代改进初始近似值，使其逐渐接近零点。
下面是牛顿迭代法的数值算法步骤：1. 选择一个初始近似值x₀；2. 计算函数f(x)在x = x₀处的导数f'(x₀)；3. 利用切线方程求解x₁，即x₁ = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
牛顿迭代法的优点是收敛速度快，但缺点是对于某些函数，可能会出现迭代发散的情况，此时需要进行修正。
三、割线法割线法是一种改进的牛顿迭代法，它利用函数在两个近似值处的斜率信息来逼近零点。
其基本思想是通过不断迭代改进近似值，使其逐渐接近零点。
下面是割线法的数值算法步骤：1. 选择两个初始近似值x₀和x₁，满足f(x₀)与f(x₁)异号；2. 利用函数在x₀和x₁处的斜率信息构造割线方程，求解交点x₂，即x₂ = x₁ - f(x₁) * (x₁ - x₀) / (f(x₁) - f(x₀))；3. 更新x₀和x₁，令x₀ = x₁，x₁ = x₂；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足精度要求。
求函数零点个数的方法
如何求解函数的零点个数
在数学中，函数的零点是指函数取值为零的点。
求解函数的零点个数是数学中的一个重要问题，也是实际应用中的一个常见问题。
下面介绍几种求解函数零点个数的方法。
1. 图像法
图像法是通过绘制函数的图像来判断函数的零点个数。
如果函数的图像与 x 轴相交的点有两个或以上，则函数有两个或以上的零点。
如果函数的图像与 x 轴没有交点，则函数没有零点。
图像法适用于简单的函数，例如一次函数、二次函数等。
2. 数值法
数值法是通过计算函数在某些特定点上的值来判断函数的零点
个数。
例如，可以使用牛顿迭代法或二分法等数值方法来求解函数的零点。
数值法适用于比较复杂的函数，例如三次函数、四次函数等。
3. 符号法
符号法是通过分析函数的符号来判断函数的零点个数。
如果函数在某个区间上的符号相同，则函数在该区间上没有零点。
如果函数在某个区间上的符号相反，则函数在该区间上有一个零点。
符号法适用于具有对称性的函数，例如奇函数、偶函数等。
以上三种方法各有优缺点，选择合适的方法取决于函数的性质和求解的具体要求。
用c语言,计算高次函数的零点的方法
用c语言,计算高次函数的零点的方法高次函数是指次数大于1的函数，如二次函数、三次函数等。
计算高次函数的零点是解方程的一个重要问题，常常需要使用数值计算方法来求解。
本文将介绍两种常用的数值计算方法：二分法和牛顿迭代法。
一、二分法计算高次函数的零点二分法，也称为折半搜索法，是一种不断缩小区间的搜索算法。
在计算高次函数的零点时，可以将函数零点所在的区间进行折半，每次选择区间的中点作为测试点，并通过比较测试点和零点的大小关系来确定下一次搜索的区间。
该方法的步骤如下：1. 假设要求解的零点在闭区间 [a, b] 中。
2. 求出区间的中点 c = (a + b) / 2。
3. 计算函数在 c 处的值 f(c)。
4. 如果 f(c) 等于零，则 c 就是要求的零点；否则，如果 f(c) 和f(a) 的符号相同，则零点应该在区间 [c, b] 中；如果 f(c) 和 f(b) 的符号相同，则零点应该在区间 [a, c] 中。
5. 重复步骤 2~4，直到找到满足精度要求的零点。
二分法计算高次函数零点的关键是如何确定精度要求。
在实际计算中，可以定义一个精度阈值，当函数值的绝对值小于该阈值时，即可认为已经找到了零点。
但是，如果定义的精度阈值过小，会导致搜索时间过长，而如果太大，则会影响计算精度。
二、牛顿迭代法计算高次函数的零点牛顿迭代法，也称为牛顿-拉弗森算法，是一种基于泰勒级数的迭代算法。
该方法需要一个初值，并通过不断逼近函数零点来计算精确的解。
步骤如下：1. 假设要求解的零点为 x0，选择一个初值 x1。
2. 求出函数在 x1 处的导数 f'(x1)。
3. 根据泰勒级数公式，可以将函数在 x1 处展开为f(x) ≈ f(x1)+ f'(x1) × (x - x1)。
4. 将上式中的 f(x) 置为零，得到迭代公式 x = x1 - f(x1) / f'(x1)。
5. 用迭代公式反复迭代，直到满足精度要求。
牛顿迭代法：介绍、原理与运用
⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤⽜顿迭代法：介绍、原理与运⽤介绍⽜顿迭代法是⼀个可以求⼀个任意函数的零点的⼯具。
它⽐⼆分法快得多。
公式是：x=a-f(a)/f'(a)。
其中a是猜测值，x是新的猜测值。
不断迭代，f(x)就越来越接近0。
原理我们将f(x)做泰勒⼀阶展开：f(x)∼f(a)+(x-a)f'(a)。
令f(x)=0∴f(a)+(x-a)f'(a)=0∴f(a)+xf'(a)-af'(a)=0∴xf'(a)=af'(a)-f(a)∴x=a-f(a)/f'(a)实例：⽜顿迭代法求√2的近似值∵x = √2∴x2 = 2∴x2 -2 = 0令f(x)=⽅程左边，则f(x)∼0↔x∼√2。
f'(x) = 2x。
于是可以得到迭代公式：x=a-f(a)/f'(a)=a-(a2-2)/(2a)=a-a/2+1/a=a/2+1/a代码如下（要求误差⼩于1e-6）：#include <stdio.h>#include <math.h>int main(int argc, char const *argv[]){double a = 2.0;double expect_error = 0.000001;double x;double actual_error;unsigned iteration_count = 0;do {if (a == 0.0) a = 0.1; /* 避免0做分母 */x = a/2 + 1/a;actual_error = fabs(2 - x*x);a = x;++iteration_count;printf("%d\t%.9f\t%.9f\n", iteration_count, a, actual_error);} while (actual_error >= expect_error);return 0;}输出：1 1.500000000 0.2500000002 1.416666667 0.0069444443 1.414215686 0.0000060074 1.414213562 0.000000000迭代了4次。
数学中的函数零点与函数最值问题
数学中的函数零点与函数最值问题函数在数学中具有非常重要的地位，在各个领域都有广泛的应用。
其中，函数的零点和最值问题是我们常常遇到的一类问题，它们在实际问题中有着重要的意义。
本文将重点论述数学中的函数零点和函数最值问题，探讨其应用和解决方法。
一、函数的零点问题函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。
在数学中，求解函数的零点是我们经常需要做的工作之一。
函数的零点问题涉及到方程的求解，可以用来解决各种实际问题。
下面我们来介绍一下常见的求解函数零点的方法。
1.1 二分法二分法是一种简单但有效的求解函数零点的方法。
它的基本思想是通过不断将函数所在区间一分为二，然后判断函数在新的区间内的取值情况，从而逼近函数的零点。
这种方法通常需要满足函数在已知区间内的单调性。
通过不断缩小区间的范围，最终可以得到函数的零点的近似值。
1.2 牛顿迭代法牛顿迭代法是一种比较常用的求函数零点的方法。
它的基本思想是通过不断逼近函数图像上的某一点，使得该点到函数图像的交点的距离越来越近。
具体来说，假设我们已经得到了一个函数图像上的点，然后利用该点的切线与x轴的交点作为新的逼近点，然后再利用新的逼近点来得到更接近零点的点。
通过反复迭代，最终可以得到函数的零点的近似值。
二、函数的最值问题函数的最值是指函数在特定区间内的最大值或最小值。
函数的最值问题在实际问题中具有非常重要的应用价值。
我们通常需要在一定的自变量取值范围内，找到函数的最值点以解决实际问题。
下面我们来介绍一下常见的求解函数最值的方法。
2.1 导数法导数法是一种常用的求解函数最值的方法。
对于给定的函数，我们可以求出它的导数函数，然后求出导函数的零点，即函数的驻点。
通过对驻点进行分类讨论，可以确定函数在特定区间内的最值点。
需要注意的是，函数的最值点不一定都是导函数的零点，还需要考虑函数在端点处的取值情况。
2.2 极值判定法极值判定法是一种简单但有效的求解函数最值的方法。
对于给定的函数，我们可以利用函数的临界点和极值点来进行求解。
牛顿法求零点的方法
牛顿法求零点的方法牛顿法，也被称为牛顿-拉弗逊方法，是一种用于求解方程零点或找到函数极值的迭代方法。
下面将展开详细描述50条关于牛顿法求零点的方法：1. 函数定义：牛顿法需要求解的函数f(x)在某一区间内具有连续的一阶和二阶导数。
2. 选择初始值：从初始值x₀开始迭代求解，初始值的选取对收敛速度有重要影响。
3. 迭代公式：根据牛顿法的迭代公式xᵢ₊₁ = xᵢ - f(xᵢ)/f'(xᵢ)进行迭代计算，直至满足精度要求。
4. 收敛性分析：对于给定初始值，需要分析函数性质，判断牛顿法求解是否会收敛到目标零点。
5. 判断收敛：通过设定迭代次数限制或者迭代精度要求来判断牛顿法的求解是否已经收敛。
6. 求解零点：当收敛判据满足后，将得到一个近似的函数零点作为结果输出。
7. 牛顿法的收敛速度：根据函数的性质和初始值的选择来分析牛顿法的收敛速度，可以采取一些加速收敛的方法来提高求解效率。
8. 收敛域的设定：针对特定的函数，可以设定合适的收敛域，加快算法的收敛速度。
9. 牛顿法的误差分析：对于连续函数，可分析牛顿法的误差收敛性，了解迭代逼近零点的精确度。
10. 稳定性分析：牛顿法的稳定性受初始值和函数性质的影响，需要进行稳定性分析，确保算法的可靠性。
11. 牛顿法的优化：可以对牛顿法进行改进，减小迭代次数或增加收敛速度，提高算法的效率。
12. 牛顿法与其他方法的比较：分析牛顿法与二分法、割线法等其他求根方法的优劣，选择合适的方法来求解。
13. 牛顿法的推广：对于多元函数或非线性方程组，可以推广牛顿法来求解多元函数的零点。
14. 牛顿法的受限条件：在实际应用中，需要考虑函数的定义域和受限条件，对牛顿法进行适当的调整。
15. 牛顿法的数值稳定性：需要考虑数值计算过程中的舍入误差和数值不稳定性，保证计算结果的准确性。
16. 牛顿法的局部收敛性：牛顿法的局部收敛性可能受到函数的振荡和奇点等因素的影响，需要加以分析和处理。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法函数零点是数学中一个重要的概念，它是指函数图像上单调递增或单调递减部分的交点，而求解函数零点是数学中的重要问题，它是解决各类物理、化学及建筑等工程问题的重要工具。
本文将介绍求解函数零点的四种解题方法，希望能为读者提供参考。
第一，利用极值的思想求解函数零点。
求函数零点的思路就是，从分析函数的极大值和极小值开始，找出函数零点。
比如，设函数y=f(x)，其中f(x)是定义在x1<x2<x3<x4关于连续的实数上的函数，函数f(x)在区间(x1,x4)上单调递增(递减)，那么函数f(x)在极大值点(最大值点)x2处取得极大值f2，在极小值点(最小值点)x3处取得极小值f3，则可知函数零点处f(x)=0。
第二，根据函数的导数的特性来求解函数零点。
求函数零点的思路就是，分析函数的导数(即导函数)，如果函数的导数在某个点有极值，则在此点上函数图像必定有零点，而且函数图像在此点有拐点，因此可以根据函数的导数求函数零点。
第三，利用二分法求解函数零点。
求函数零点的思路就是，将函数的定义域分为两个部分，再将其中一部分分为两个部分，以此类推，直至求出函数零点。
举个例子，设函数y=f(x)是定义在[a,b]上的函数，且函数f(x)在区间[a,b]上单调，那么可以先将定义域[a,b]划分为两部分，[a,(a+b)/2]和[(a+b)/2,b]，其中，区间[a,(a+b)/2]上函数f(x)是单调递增，在区间[(a+b)/2,b]上函数f(x)是单调递减，则可知区间[a,(a+b)/2]上或[(a+b)/2,b]上至少有一个零点，然后将[a,(a+b)/2]或[(a+b)/2,b]二分，重复上述步骤，直至求出函数零点。
第四，用牛顿迭代法求解函数零点。
牛顿迭代法又叫牛顿法，是求函数零点的一种数值及其它迭代方法，用于近似求解函数零点。
它的基本思想是，以待求解函数f(x)的定义域上某一点x0为初始值，取函数f(x)的导函数f′(x)的直线作为近似的函数，用它来逐步近似求函数f(x)的零点。
判断零点所在区间的方法
判断零点所在区间的方法
判断零点所在区间的方法有以下几种：
1. 图像法：将函数图像画出来，在自变量的取值范围内找到零点的位置。
需要注意的是，函数图像的精确度会影响判断结果的准确性。
2. 中间值定理：若连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 内取值的符
号互不相同，即 $f(a)\times f(b)<0$，则在区间 $[a,b]$ 内一定
存在至少一个零点。
3. 牛顿迭代法：通过对函数进行一阶或二阶泰勒展开，计算出一个近似零点的值，然后在一定精度内不断迭代，最终得到精确的零点。
需要注意的是，初始迭代值的选取可能会影响迭代的结果。
4. 二分法：对于函数 $f(x)$，如果已知区间 $[a,b]$ 内存在零点，并且 $f(x)$ 在区间内连续，那么可以将区间等分成两部分，根据介值定理判断零点所在的子区间，然后重复上述过程，直到精度满足要求。
参考内容：
1. 《高等数学》- 同济大学数学系
2. 《数学分析》- 柯志杰、杨玉明
3. 《数学分析教程》- 徐建平
4. 《数值分析》- 刘东,张晓伟,罗振国。
计算函数零点和极值点的迭代法
则称{x(k)}是p阶收敛的，或称收敛阶为p
（p越高收敛越快） 注： (1) p = 1，0 < c < 1，称为线性收敛； (2) p > 1，称超线性收敛 (3) p = 2，称平方收敛
16/80
因为| x(k+1) –x*| = |(x(k)) – (x*)| = |'(ξ)| |x(k) – x*|，
(4.1-1)
3/80
1．不动点
设非线性方程组 f(x) = 0
f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 f ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0
(4.1-1)
等价：
( k ) ( x * ) 0, ( p) * ( x ) 0 k 1,2,..., p 1
(4.1.6)
则{x(k)}p阶局部收敛。 证明：∵ '(x*) = 0(<1)，∴x(k)局部收敛。
k )* 设 (x )在 处展开为 ( x (x ) ( x* ) ' ( x* )( x ( k ) x* )
'(x)
而f(x*) = 0，f '(x*) ≠ 0（单重零点）， 令'(x*) = 0，有1 – r1(x*)f ’(x*) = 0，即取
1 r1 ( x ) f ' ( x)
，
则有 '(x*) = 0，此时有
'(x) = - r1'(x)f(x) - r2'(x)f 2(x) - 2r2(x)f (x)f '(x)
取 ( x) 3 1 x —— 收敛
求零点的方法
求零点的方法一、图像法。
图像法是一种直观的求零点方法，通过观察函数图像与x轴的交点来确定函数的零点。
首先，我们需要绘制函数的图像，然后找到图像与x轴相交的点，这些点的横坐标即为函数的零点。
图像法适用于简单的函数，可以直观地帮助我们理解函数的零点位置和数量。
二、试位法。
试位法是一种逐步逼近的求零点方法，通过不断地缩小零点的范围来确定函数的零点。
首先，我们需要选择一个区间，然后在该区间内选择一个试探点，计算函数在试探点处的取值，根据取值的正负关系来缩小零点的范围，然后再在新的范围内选择试探点，重复上述步骤，直到获得足够精确的零点。
试位法适用于一般的函数，可以通过有限次迭代来逼近函数的零点。
三、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种快速收敛的求零点方法，通过不断地迭代来逼近函数的零点。
首先，我们需要选择一个初始点，然后利用函数的导数和函数值来计算下一个迭代点，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。
牛顿迭代法适用于光滑的函数，可以在较少的迭代次数内获得较高精度的零点。
四、二分法。
二分法是一种简单而有效的求零点方法，通过不断地将零点范围二分来确定函数的零点。
首先，我们需要选择一个区间，然后计算区间的中点，根据中点处的函数值和零点的关系来确定新的区间，重复这一过程，直到获得足够精确的零点。
二分法适用于连续的函数，可以在有限次迭代内获得较高精度的零点。
综上所述，求零点是数学中常见的问题，我们可以通过图像法、试位法、牛顿迭代法和二分法等多种方法来确定函数的零点。
不同的方法适用于不同类型的函数，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解函数的零点，从而更好地理解和运用这一数学概念。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地掌握求零点的技巧，提高数学问题的解决能力。
牛顿迭代法在微积分中的应用
牛顿迭代法在微积分中的应用牛顿迭代法是一种求解实函数零点的迭代方法，其基本思想是：假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有一个零点，可以使用其斜率和函数值得到近似值并不断迭代，直到满足所需精度。
牛顿迭代法能够在多种数值分析和微积分应用中发挥重要作用，下面将介绍其在微积分中的应用。
一、解方程在微积分中，牛顿迭代法在求函数的零点时经常用到。
以求解函数 $f(x)$ 的零点为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $$其中 $f'(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的导数。
牛顿迭代法得到的 $x_{n+1}$ 是 $f(x)$ 的一个根的近似值，并且随着迭代次数的增加，近似值的精度逐渐提高，最终的解可能非常接近实际的根。
二、求解极值在微积分中，牛顿迭代法在求解极值时也经常用到。
以求解函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值为例，迭代公式如下：$$ x_{n+1}=x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)} $$其中 $f''(x_n)$ 是 $f(x)$ 在 $x_n$ 处的二阶导数。
通过不断迭代，得到的 $x_n$ 就是函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的最小值。
三、求解微分方程初值问题在微积分中，牛顿迭代法在求解微分方程初值问题时也经常用到。
以一阶线性微分方程为例，其形式为：$$ \frac{dy}{dx}=f(x,y) $$其中 $f(x,y)$ 是已知的函数，$y(x_0)=y_0$ 是初始条件。
牛顿迭代法可以通过不断迭代得到 $y_1,y_2,...,y_n$，最终得到$y(x_0+h)$ 的近似值。
迭代公式如下：$$ y_{n+1}=y_n+h\:f(x_n,y_n)+\frac{h^2}{2}\:f'(x_n,y_n) $$其中 $h$ 是步长，$f'(x_n,y_n)=\frac{\partial f}{\partialx}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}$ 是 $f(x,y)$ 的一阶偏导数。
计算函数的零点和极值点
计算函数的零点和极值点在数学中，函数的零点和极值点是我们经常需要计算和分析的重要概念。
通过求解函数的零点，我们可以找到函数在坐标轴上与x轴交点的位置；而通过求解函数的极值点，我们可以确定函数在其定义域内取得最大值或最小值的位置。
本文将介绍计算函数零点和极值点的方法和步骤，并通过具体的例子进行说明。
一、计算函数的零点函数的零点即为函数取值为零的点，也可以称为函数的根或方程的解。
下面是计算函数零点的一般步骤：1. 首先，我们需要将函数表示为一个等式，也就是将函数 f(x) = 0，其中 f(x) 是已知的函数。
2. 接着，我们可以采用不同的方法来求解函数的零点，例如二分法、牛顿法、割线法等。
下面以二分法为例进行说明。
二分法求解函数零点的步骤如下：1. 选择一个区间[a, b]，使得函数在该区间内恰好有一个零点，即f(a) * f(b) < 0。
2. 计算区间的中点 c = (a + b) / 2。
3. 判断函数在中点 c 处的取值 f(c) 是否为零或非常接近零。
如果是，则 c 为函数的零点；如果不是，则执行下一步。
4. 判断函数在区间 [a, c] 或 [c, b] 内是否存在一个零点，即判断 f(a)* f(c) 或 f(c) * f(b) 是否小于零。
如果是，则继续在该区间内进行二分法计算；如果不是，则选择另一个区间进行二分法计算。
5. 重复步骤2至步骤4，直到找到函数的零点或达到指定的精度要求。
例如，我们想要计算函数 f(x) = x^2 - 4 在区间 [1, 3] 内的零点。
首先，确定函数在该区间内存在一个零点，因为 f(1) * f(3) = (1^2 - 4) *(3^2 - 4) = -3 * 5 < 0。
然后，我们可以使用二分法逐步逼近零点。
经过多次迭代计算，可以得到函数的零点为 x = 2。
这个结果可以通过代入函数进行验证，即计算 f(2) = 2^2 - 4 = 0。
牛顿迭代法的原理与应用
牛顿迭代法的原理与应用牛顿迭代法（Newton's method）是一种数值计算方法，主要用于求解非线性方程和优化问题，其基本思想是通过线性逼近来不断逼近函数的零点。
牛顿迭代法是数学上的一个重要概念，应用广泛，并且在实际问题中也有很多应用。
本文旨在介绍牛顿迭代法的原理和应用。
一、牛顿迭代法的原理牛顿迭代法主要用于求解非线性方程的根，其基本思想是通过对函数进行逐次线性逼近来逼近函数的零点。
设 f(x) 在 x_0 处可导，那么函数在 x_0 处的一次泰勒展开式为：f(x)=f(x_0 )+f'(x_0 )(x-x_0 )将 f(x) 置于零，解出 x 的值，则可得到下一个逼近点：x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}依照上述的迭代方式不断进行逼近，直到最终的误差小于某个可接受的范围为止。
例如，在求解方程 x^2-2=0 的根时，选择初始值 x_0=1。
然后根据上述迭代方式不断逼近，可以得到以下的结果：x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}=1-\frac{1}{2}=0.5x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f'(x_1)}=0.5-\frac{-0.5}{1}=1.0x_3=x_2-\frac{f(x_2)}{f'(x_2)}=1.0-\frac{0}{2}=1.0可以看到，通过牛顿迭代法可以在三次迭代内得到非常精确的解。
同时，牛顿迭代法还可以求解多元函数的根和优化问题，但是在这里不进行详细介绍。
二、牛顿迭代法的应用牛顿迭代法在实际问题中有许多应用，下面介绍几个例子。
1. 数值解微分方程微分方程在物理、工程、生物学等领域中占有重要地位，但是大部分微分方程并不能求解得到。
通过数值方法来求解微分方程是一种很有效的方法，其中牛顿迭代法就是一个常用的工具。
将微分方程通过拉格朗日插值法或泰勒级数进行近似，再使用牛顿迭代法求解即可。
Newton迭代法Matlab程序求函数极小值点
Newton迭代法Matlab程序求函数极小值点
clear all
clc
%Newton迭代法求解极小值点
%定义误差初始值为10
deta=10;
i=1;
%循环用求出的近似解迭代Newton方程
%求出下一个近似解，并在规定的误差范围内
while deta>=1e-10&i<10
A=x(:,i);
gi=subs(g,{x1,x2},{A(1),A(2)})';
Gi=subs(G,{x1,x2},{A(1),A(2)});
i=i+1;
x(:,i)=x(:,i-1)-inv(Gi)*gi;
A=x(:,i);
F(i)=subs(f,{x1,x2},{A(1),A(2)});
deta=F(i)-F(i-1);
end
k=(1:n+1)';
F=[f0 F]';
x=[x0,x]';
disp '===================================================='
disp '迭代的各步结果如下：'
disp ' k x(k) F{x(k)}'
[k x F]
%=====================================
%一些初始值的计算
g0=subs(g,{x1,x2},{x0(1),x0(2)})';
证明牛顿迭代法有二阶
证明牛顿迭代法有二阶牛顿迭代法是一种非常常用的求函数零点的方法。
它是从某个初始点开始迭代，每次迭代的坐标值都会通过预先求得的函数导数和函数值来计算得到。
在迭代过程中，新的点会越来越接近函数的零点，直到满足设定的精度要求。
牛顿迭代法具有二阶收敛性，也被称为牛顿-拉夫森方法。
下面我们将就二阶性作出详细的解释：1. 二阶导数存在的情况下设f(x)在x0点可导，并且f'(x0)≠0，f''(x0)≠0，则牛顿法的迭代格式为：xn+1 = xn - f(xn)/f'(xn)根据泰勒展开f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + (1/2)f''(x0)(x - x0)^2 + R2(x)将x取xn+1由于xn+1是通过牛顿迭代法的公式得到的，即所以将 xn 变成 xl其中l在n和n+1之间，并且假设 xn+2 接近k，即xn+1+k，然后用牛顿迭代法的公式替换xn+1和xn，得到将上述式子代入到原方程中，得到通过对比xn+2与xn之间的关系和xn+1与xn之间的关系，很容易看出上式的分母中包含(n+1)项和n项，分子中包含2个f(xn)^2值。
因此，整个方程包含3个f(xn)^2值：f(xn+2) - f(xn+1) = f(xn) - f(xn)/f'(xn) + f(xn) – f(xn+1) –f(xn+1)∙f''(ξn)/(f'(xn+1))^2 - (1/f'(xn+1) – 1/f'(xn))^2∙f(xn)^2∙f''(xl)将方程中带有f(xn+1)的项移动到左边，并将剩下的项移动到右边，可以得到如下式子：对于上述方程，若不考虑误差，可以得到|xn+1 - k|^2 = |xn - k|^2 - [f'(xn)^-1∙f(xn)]∙[f''(ξn)/2]∙[xn+1 - xn]^2当误差项R小于某个正数M时，可以得到|xn+1 - k| < c|xn - k|^2其中c是某个正数。
计算函数零点和极值点的迭代法
若连续，且迭代序列{x(k)}收敛到x*，则两边取极限得
x* = (x*)，
即x*满足(4.1-2)，从而满足(4.1-1)，即x*为f 的零点。称x*
为(x)的不动点。
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注： (1) 求零点求不动点
(2) (.)称为迭代函数，{x(k)}称为迭代序列
(3) 不同方法构造迭代函数，得不同的迭代序列
p!
所以
x (k 1) x* (x(k) x*)p
( p) ( )
p!
(p)(x*)
p!
0
即{x(k)}p阶局部收敛。
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例3 设f C2[a，b]， (x) = x – r1(x)f(x) – r2(x)f 2(x)，
x*为f的单重零点。试确定未知函数r1(x)、r2(x)，
… L k|x(0) – x*| 及0 < L < 1知
lim | x(k) x* | 0
k
即x(k)收敛于x*。 并且由 |x(k) – x*| L|x(k-1) – x*| 得
|x(k) – x*| L|x(k-1) – x(k) + x(k) – x*|
从而有
L|x(k-1) – x(k)| + L|x(k) – x*|
使迭代法x(k+1) = (x(k))至少是三阶局部收敛的。
解：由定理4.1-3知，应有 '(x*) = "(x*) = 0，因为
'(x) = 1 - r1'(x)f(x) - r1(x)f '(x) - r2'(x)f 2(x) - 2r2(x)f (x)f '(x)
而f(x*) = 0，f '(x*) ≠ 0（单重零点），
3.2 点迭代法
引 例： 如何进行点迭代求解？x = e x /3 0 1/3 1/3 0.4652 0.4652 0.5308左 右 ： 越来越接近方程等价变形： 3x e x = 0观察迭代产生的等式左右的结果：越来越接近方程3x e x=0的迭代求解表： x = e x/3序号0 1 2 3 4 5 6左边0 0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599右边0.333 0.465 0.531 0.567 0.588 0.599 0.607序号7 8 9 10 …左边0.607 0.612 0.615 0.616 …右边0.612 0.615 0.616 0.617 …•0.616•y=x•y=e x /3点迭代过程如图所示图形表示点迭代点迭代的步骤与问题迭代步骤：方程：f (x) = 0构造迭代函数：x = ϕ(x) 经过简单变形产生迭代序列：x n+1 = ϕ(x n)，n =0，1，…给定迭代初值x0思考问题：2个1.迭代表达式x = ϕ(x)是否唯一？2.迭代产生的序列是否一定会收敛？解： 第一步 构造迭代函数： x =ϕ (x ))(111)(1)(132232123x xx x x x x x x x x x ϕϕϕ++=++=--=例：用点迭代方法求解方程 x 3 -x 2 -x -1 = 0 点迭代举例-函数构造迭代举例-Matlab实现程序第二 / 三步迭代+初始值设定初值x0=1，x n+1 = ϕ(x n)，n =0，1，…用 MATLAB 编程x(1)=1;y(1)=1;z(1)=1; %初始点for k=1:20x(k+1)=x(k)^3-x(k)^2-1; % ϕ1 (x) y(k+1)=(y(k)^2+y(k)+1)^(1/3); % ϕ2 (y) z(k+1)=1+1/z(k)+1/z(k)^2; % ϕ3 (z) endx,y,z序号序号1 1.4422 3.0000 8 1.8175 1.8136 2 1.6537 1.4444 9 1.8385 1.85543 1.7532 2.1716 10 1.8389 1.8294 4 1.7995 1.6725 11 1.8391 1.8454 51.8209 1.9554121.8392 1.83556 1.8308 1.7730 13 1.8392 1.841671.8354 1.8822ϕ1(x )的迭代是失败的（迭代不收敛 ）精确解：x =1.8393计算结果ϕ2(x )ϕ3(x )ϕ2(x ) ϕ3(x )观察结论迭代函数ϕ2(x)和ϕ3(x)的选取是成功的。
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(4.1-1)
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1．不动点
设非线性方程组 f(x) = 0
f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 f ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0
(4.1-1)
等价：
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定理4.1-2 设x*为的不动点， '在x*的某邻域内连续，
且| '(x*)| < 1，则存在 > 0，只要x(0) [x* –，x* + ]， 就有迭代法x(k+1) = (x(k))收敛。 证明：∵| '(x*)| < 1，及 '(x)在U(x*)内连续， 存在 > 0，使[x* –，x* + ] U(x*)，
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2．迭代法的基本问题
(1) 如何构造适当的迭代函数(.)使迭代序列{x(k)}收敛 (2) 收敛的速度和误差 (3) 如何加速
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4.1.1 解一元方程的迭代法
1. 根的隔离
设一元方程f(x) = 0，f 连续，其实根可能有很多，需将各 根隔离，即f在某区间[a，b]内有且仅有一根。
9/ C[a，b]，且对于任意x [a，b] 有 (x) [a，b]，则在[a，b]上必有不动点。
(2) 进一步，若(x) C1[a，b]，且存在L < 1，使对于任 意的x [a，b]有 | (4.1-4) 则对于任意的x(0) [a，b]，x(k+1) = (x(k))收敛于唯一不 动点x* [a，b]。且有 L (k ) * (k ) ( k 1)
数值计算方法
第四章 计算函数零点和极值点的迭代法
本章讨论非线性方程（组）的求解问题
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4.1 不动点迭代法及其收敛性
1．不动点
设非线性方程组 f(x) = 0
f1 ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0 f ( x , x ,..., x ) 0 2 1 2 n f n ( x1 , x 2 ,..., x n ) 0
方法：设f C[a，b]，f(a)f(b) < 0，且f在[a，b]上单调， 则f在[a，b]内有且仅有一根。
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2. 迭代序列的收敛性
因为可以有多种迭代函数，所产生的迭代序列 {x(k)} 有可 能： (1) 收敛快 (2) 收敛慢
(3) 不收敛
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例1 f(x) = x3 – x – 1 = 0，求f在x = 1.5附近的根，初值 取x(0) = 1.5。(p328)
L|x(k-1) – x(k)| + L|x(k) – x*|
从而有
x
(k )
L x x ( k ) x ( k 1) 1 L
*
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又因
|x(k) – x(k-1)| = |(x(k-1)) – (x(k-2))| L| x(k-1) – x(k-2)| … L k-1| x(1) – x(0)|，代入上式的右边，即得
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由
|x(k) – x*| = |( x(k-1)) – (x*)| L|x(k-1) – x*| … L k|x(0) – x*| 及0 < L < 1知
lim | x ( k ) x * | 0
k
即x(k)收敛于x*。
并且由 |x(k) – x*| L|x(k-1) – x*| 得 |x(k) – x*| L|x(k-1) – x(k) + x(k) – x*|
x = (x)
(4.1-2)
则有迭代格式：x(k+1) = (x(k))，k = 0，1，2，… 若连续，且迭代序列{x(k)}收敛到x*，则两边取极限得 x* = (x*)，
即x*满足(4.1-2)，从而满足(4.1-1)，即x*为f 的零点。称x* 为(x)的不动点。
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注： (1) 求零点求不动点 (2) (.)称为迭代函数，{x(k)}称为迭代序列 (3) 不同方法构造迭代函数，得不同的迭代序列
x x x (k ) 1 L k L x* x (1) x ( 0 ) 1 L x x
'(x)|
L
<
1
(4.1-5)
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证明：(1) 若(a) = a或(b) = b，则结论显然成立
现设a < (a)，(b) < b，令(x) = (x) – x，则
(x) C[a，b]，且 (a) = (a) – a > 0，(b) = (b) – b < 0，
x (k )
k L x* x (1) x ( 0) 1 L
注：(1) 若L 1，则收敛很慢，须考虑加速问题
(2) (4.1-5)中第一式为后验公式—迭代停止准则 第二式为先验公式—预测迭代次数
(3) 定理是以 [a，b]中任一点作初值，迭代都收敛，称为 全局收敛。
（此要求较难满足，故考虑在） x*的某一邻域内—局部收敛性
取 ( x) 3 1 x —— 收敛
k=1, x0=1.5 x1=(1+x0)^(1/3) while abs(x1-x0)>0.00001 k=k+1, x0=x1; x1=(1+x0)^(1/3) end
取(x) = x3 – 1 —— 不收敛
k=1, x0=1.5 x1=x0^3-1 while abs(x1-x0)>0.00001 && k<5 k=k+1, x0=x1; x1=x0^3-1 end
故存在x* [a，b]，使(x*) = 0，即
(x*) – x* = 0 (x*) = x*
(2) 设(x) C1[a，b]，且满足(4.1-4)， 若有x1*，x2* [a，b]，x1* x2*，(xi*) = xi* i = 1，2
由微分中值定理，
|x1* – x2*| = |(x1*) – (x2*)| = | '(ξ)| |x1* – x2*| L|x1* – x2*| < |x1* – x2*| 矛盾，所以不动点唯一。