圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法

(当且仅当 m = n时 ,取“ = ”)
又因当 θ∈[ 0,π)时 , y = cosθ为单调减函数
所以
θ≤a
rcco
s
(
2b2 a2
-
1)
并且在
m
= n时 ,θ取得最大值
a
rcco
s
(
2b2 a2
-
1)
或
π
+
a
rcco
s
(
2b2 a2
-
1)
又因 m + n = 2a
所以 m = n = a时 ,θ取得最大值
PF1 - PF2 = ±2a
PF1 2 + PF2 2 - 2 PF1 · PF2 cos60°= ( 2c) 2 解得 PF1 · PF2 = 64
所以
S△PF1 F2
=
1 2
× PF1
·
PF2
sin60°= 1 2
×64 ×
3 2
= 16
3
如为客观题 , 可直接代入焦点三角形面积公式得 :
S△PF1F2 = 16 3 小结 : ( 1)求椭圆和双曲线的焦点三角形面积 , 需要
对率 。焦点三角形面积公式便是解一些圆锥曲线客观题
的一种解题技巧和解题方法 。
例 2:如图 3, 已知曲线 x2 - y2 = 1, P 为双曲线上一 16 16
点 , F1 、F2 是 双 曲 线 的 两 个 焦 点 , ∠F1 PF2 = 60°, 求 △PF1 F2 的面积 。
分析 :常规解法 :由双曲线定义 ,余弦定理得 :
=
1 m n sinθ= b2 2
1
+sincθo sθ=
b2
tan
θ 2
(1)
由此类比双曲线还可得到 :
如图
2,
F1 、F2
是
x2 a2
-
y2 b2
= 1 ( a > 0, b > 0 ) 的两个焦
点 , P是双曲线上一点 ,且 ∠F1 PF2 =θ,则
S△F1 PF2
= b2 cot θ 2
(2)
co t
θ。
2
2
注 : (1)此结论称为圆锥曲线焦点三角形面积公式。
( 2)此结论可用于客观题的解题 。在解圆锥曲线的问题
中 ,有些选择题或填空题 ,如果用常规方法去解题 , 无疑是
小题大做 ,这在考试特别是高考中 , 是非常不可取的 。运
用特殊解法 ,显得很重要 ,不但可以节省时间 , 还可提高答
解 :根据椭圆定义有 : A F1 + A F2 = 2
B F1 + B F2 = 2 所以 △AB F2 的周长 = 2 + 2 = 4 小结 :解此类题的关键是应用椭圆或双曲线的定义来
表达三角形的周长 。
二 、求焦点三角形的面积
在求椭圆或双曲线的焦点三角形的面积时 , 需要用圆
锥曲线的第一定义结合勾股定理 正弦定理或余弦定理
即 △F1 PF2 的周长无最大值 。 小结 :解和焦点三角形有关的最值问题 ,主要是利用
圆锥曲线的第一定义 ,并借助正弦定理 余弦定理以及均
值定理和函数的单调性等来解决 。
参考文献 : [ 1 ]汤小元 ,舒林军. 椭圆与双曲线焦点三角形的性质 [ J ].
数理化解题研究 :高中版 , 2005, (12).
面积 最值等 。主要可分成以下几类 :
(1)利用椭圆 双曲线的第一定义求周长 ;
(2)利用圆锥曲线定义和正弦定理 余弦定理求焦
点三角形的面积 ;
(3)综合运用有关知识解综合性焦点三角形问题 ,如
最值问题 。
下面我们来探讨如何求焦点三角形的周长 面积以
及和焦点三角形有关的最值问题 ,并总结得出一些相关结
教师 ,从事中学数学教学研究 。
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证明 :设 PF1 = m , PF2 = n,由余弦定理得
m2 + n2 - 2m ncosθ= F1 F2 2 = 4c2
①
由椭圆定义得
m + n = 2a
②
由
①得
:m
n
=
2 ( a2 1+
- c2 ) co sθ
=
1
2b2 + cosθ
所以
S△F1 P F2
+
y2 b2
= 1, ( a > b > 0) , F1 、F2
分别为其左右两焦点 , P为椭圆上任意一点 ,θ= ∠F1 PF2 , 求 : ( 1)θ的最大值 ;
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( 2) △PF1 F2 的面积的最大值 ;
( 3) △PF1 F2 的周长的最大值 。
分析 : ( 1)令 PF1 =m , PF2 = n,则有 :
〔责任编辑 :李海波 〕
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关键词 :圆锥曲线 ;焦点三角形 ;解法 中图分类号 : G633. 65 文献标志码 : A 文章编号 : 1008 - 6714 (2008) 04 - 0086 - 02
所谓焦点三角形就是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲
线上的任意一点组成的三角形 ,它在圆锥曲线中有着重要
的地位 ,常见的问题有求圆锥曲线的焦点三角形的周长
公式 ( 1) 、( 2)对于焦点在 y 轴上的椭圆和双曲线同
样成立 。
由此可见 ,圆锥曲线焦点三角形的面积只与 b和曲线
上的这点与两个焦点的视角有关。假设这个视角为 θ, F1 、
F2 分别是曲线的两个焦点 , 在椭圆中焦点三角形的面积 S
= b2
tan
θ ,
在双曲线里焦点三角形的面积
S
= b2
即 P位于椭圆短轴外端点时 ,θ取得最大值 。
2( ) S△PF1F2 = F1 F2 ·h 显然 , 由于 F1 F2 = 2c, 三角形的顶点位于椭圆短轴
外端点时 , h取得最大值 ,此时 S 取得最大值 。
( 3) △F1 PF2 的周长 C = F1 F2 + PF1 + PF2
因为 PF1 + PF2 = 2a, F1 F2 = 2c 所以 C为常数 2a + 2c
利用椭圆和双曲线的第一定义 ,并结合正弦定理 余弦定
理来解 。 ( 2)解客观题 , 我们可直接利用焦点三角形面积
公式求解 。
三 、最值问题
椭圆和双曲线的焦点三角形 ,有时还表现出它的几何
特征 ,这些图形的出现 ,暗示着可用定义思考 , 如求和焦点
三角形有关的最值问题 。
例
3:如图
4, 已知椭圆
x2 a2
来解决 。
我们先来探求一个普遍结论 :
如图 1,若
F1 、F2
是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
= 1 ( a > b > 0)的两个
焦点 , P是椭圆上一点 ,且 ∠F1 PF2
=θ, 则
S△F1 P F2
= b2 tan θ 2
收稿日期 : 2008 - 03 - 25 作者简介 :刘豪 (1967 - ) ,男 ,江苏靖江人 ,中学一级
m + n = 2a
m2 + n2 - 2m ncosθ= ( 2c) 2
所以 cosθ= m2 + n2 - 4c2 2m n
又因 m2 + n2 = 4a2 - 2m n
所以 cosθ= 4a2 - 2m n - 4c2 = 2b2 - 1
2m n
mn
又因 2a =m + n≥2 m n
所以 m n≤a2
2008年第 4期 总第 133期
林区教学
Teaching of Fo restry Region
No. 4 2008 General No. 133
圆锥曲线中焦点三角形几个问题的解法
刘 豪
(靖江市第三中学 ,江苏 泰州 214500)
摘 要 :焦点三角形是圆锥曲线的两个焦点与圆锥曲线上的任意一点组成的三角形 ,它在圆锥曲线中有着重要 的地位 。详细介绍如何求焦点三角形的周长 面积及和焦点三角形相关的最值问题 。
论。
一 、求焦点三角形的周长
在求椭圆或双曲线的焦点三角形的周长时 ,经常要应
用椭圆或双曲线的第一定义 。
例 1: F1 、F2 是椭圆 x2 + 4y2 = 1的两个焦点 , A 是椭圆 上任一点 , A F1 的延长线交椭圆于 B ,求 △AB F2 的周长 。
分析 :由于三角形的周长由 A F1 、A F2 、B F1 、B F2 构成 , 故可考虑利用椭圆的定义来解题 。