数学物理方法 第5章 傅里叶变换
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问题的提出：周期性的非简谐物理量可分 解为一系列简谐物理量的叠加。在物理学 中更广泛的是非周期性的物理量，如一段 歌曲的声波是非周期性。那么，非周期的 物理量能否也可分解为一系列简谐物理量 的叠加呢？
一、实数形式的傅里叶变换
f 傅里叶积分定理：(x) 如果是定义在 (,) 上的非周期函数，满足以下两个条件：⑴ 在 x 的任意有限的区间上满足狄里希利条 件，⑵在 (,) 上绝对可积，即 f ( x) dx 存在。则 f ( x) 可表示为：
a kx kx kx 2 f ( x) a0 (a k cos bk sin ) a0 a k bk2 sin[ tan 1 ( k )] l l l bk k 1 k 1
其中a0 称为直流分量，与原物理量同频的简谐分量称为基 波，频率是原物理量频率倍的简谐分量称为次谐波。
(1) k 1 (1) k 1 (k 1) (k 1) 0
k2 k 1
2 E 0 2 [( 1) k 1] 2 (k 1) 0
2 E0 (1 4n 2 ) 0
k2 k 1
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移
kx F ( x) a 0 a k cos l k 1
( x )
(0 l x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l
【几点结论】
1. 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开有 无穷多种形式。 f (0) f (l ) 0 2. 偶延拓可使级数满足边界条件 奇延拓可使级数满足边界条件 f (0) f (l ) 0 。
2．信号频谱
k 次谐波的频率 k k
谱，如图5.4所示。
l
与幅度
图5.4
2 Ak a k bk2 的关系称为信号的频
三、奇的和偶的周期函数
1．奇的周期函数 如果 f (x) 是以 2l 为周期的奇函数，满足狄里希 利条件，则 f (x) 可展开为正弦傅里叶级数。
kx f ( x) bk sin l k 1
第五章 傅里叶变换
引言——傅里叶级数和积分的意义
1. 一种重要的数学方法
把非简谐的函数分解为一系列简谐函数的叠加的方法。
2. 解决复杂物理问题的有效手段
正是由于有傅里叶级数和积分才使大量的物理现象 。应用物理学的基本原理结合该数学方法可以解决 许多重要的实际物理问题。如一般的振动、波动、 交流电等问题。
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
l 4l F ( x) 2 2
1 (2n 1)x cos (2n 1) 2 l n 0
( x )
l 4l f ( x) 2 2
1 (2n 1)x (2n 1) 2 cos l n 0
等号在 f (x) 的连续点成立， 在 f (x) 的间断点级数的收敛值等于
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例1：交流电压 e(t ) E0 sin t ，经过半波整流， 负压被“削去”（如图5.2所示），试研究半波整 流电压的傅里叶级数。试研究半波整流电压 i (t ) u 的傅里叶级数。
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
bk E0 sin t sin ktdt 0 E0 0 [cos(k 1)t cos(k 1)t ]dt 2
E sin(k 1)t sin(k 1)t 0 (k 1) (k 1) 2 0 E0 sin 2t t 2 2 0 k2 k 1
1 l 其中 a0 f ( x)dx l 0
2 l kx a k f ( x) cos dx 0 l l
特点：余弦傅里叶级数满足边界条件
f (0) f (l ) 0
例3：如图5.6所示，f (x) 是以 2l 为周期的周期函 数，在 [l , l ] 周期上 f ( x) x ，试求其傅里叶级数。
(0 x l )
方法二：奇延拓法，所找的周期 F (x) 函数为奇函 数，如图5.7(b)所示。
F(x)
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移
0 xl l x 0 x l
-l
0 l
x
图5.7(b)
(1) k 1 kx F ( x) sin k 1 k l 2l
此时网络的输出电压如何求出？
例2. 振动问题。
振动的方式有多少种，是不是每一种可能振动都需要研究？ 只研究谐振动能不能提供关于振动的全部知识？
例3. 波动问题。
空间电磁波有无穷多种波动形式，只研究平面电磁波， 能不能提供关于电磁波的全部物理知识?
§5.1傅里叶级数
一、狄里希利定理：
如果函数 f (x)是以为 2l 周期的周期函数， 满足以下的狄里希利条件， ①在每个周期内只有有限个第一类间断点； ②在每个周期中只有有限个极值点； 则 f ( x) 可展开为以下的傅里叶级数：
E0 cos(k 1)t cos(k 1)t (k 1) 2 (k 1) 0 E0 cos 2t 2 2 0
k2 k 1
E 0 2
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
kx 0 cos l dx
l
f(x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l
0 -l l x
图5.6
四、定义在有限区间上的函数的傅里叶 级数
f (x) 是定义在区间 (0, l ) 上的函数，该函数一定 不是周期函数，将该函数展开为傅里叶级数的方 法如下： ⅰ）找一周期函数 F (x) ，满足条件：当 0 x l 时,有 F ( x) f ( x) 。 ⅱ）将 F (x) 展开为傅里叶级数，该级数在整个 实轴上成立。 ⅲ）把变量 x 限制在区间 (0, l ) ，得到 f (x) 的傅里叶级数。
。
二、奇和偶函数的傅里叶变换
1.如果 f (x)是奇函数，则： f ( x) B() sin xd , B( ) 2 f ( x) sin xdx
0
0
2.如果是偶函数，则： f ( x) 0 A( ) cosxd
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
wk.baidu.com
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
(c)
u 0 (t )
E 1 ( RC ) 2
sin[t tan 1 ( RC )]
ui
t (d) 图5.1
问题：如果网络的输入电压不是正弦电压，而是直流脉动电
压，例如图5.1(d)所示的半波整流电压，在这个周期内半波整流 电压可表示为：
E cost , 0 t ui 0 t 2
0 E0 2
k2 k 1
E0 2 E0 u i (t ) sin t cos 2nt 2 2 n 1 (1 4n )
E0
二、傅里叶级数的物理意义和信号频谱
1．傅里叶级数的物理意义
周期性的非简谐物理量可以分解为一系列简谐物 理量的叠加，简谐物理量的频率只能是原物理量 频率的整数倍。
f ( x) a0 (a k cos
k 1
kx kx bk sin ) l l
1 l 其中： a0 l f ( x)dx 2l
1 l kx ak f ( x) cos dx l l l
1 l kx bk f ( x) sin dx l l l
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
2 l kx 其中 bk l 0 f ( x) sin l dx
特点：正弦傅里叶级数满足边界条件
f (0) f (l ) 0
2．偶的周期函数 如果 f (x) 是以 2l 为周期的偶函数，满足狄里希利 条件，则可展开为余弦傅里叶级数。
kx f ( x) a0 ak cos l k 1
l l 2 kx l x sin l k l 0 k l 2 l 2 kx kx 0 sin l dx l k cos l 0 l
2l k 2
[( 1) k 2
0 1] 4l 2 (2n 1) 2
R
3. 几个物理问题
例1. 非正弦交流电问题。
如图5.1(a)所示的低通滤波网络，如果输入电压为图 5.1(b)所示的正弦交流电 ui (t ) E sin t
ui
i
C
uo
(a) ui
t
(b)
由于电阻两端的电压降与电流同相，电容两端的 电压降滞后电流 90o 因此，电压、电流向量 如图5.1(c)所示，因此网络的输出电压为：
五、复数形式的傅里叶级数
如果 f (x) 是以 2l 为周期的周期函数，且满足狄里 希利条件，则可把 f (x) 展开为以下的复数形式的 傅里叶级数。
f ( x)
k
c e
k
i
kx l
其中
1 c k f ( x )e 2l l
l
i
kx l
dx
§5.2傅里叶积分与傅里叶变换
[ , ] 内： 在周期
ui
0
t
0 ui (t ) E0 sin t
t 0 0t
图5.2
ui (t ) a0 [ak cos
k 1
k t
bk sin
k t
]
a0 [a k cos kt bk sin kt ]
一、实数形式的傅里叶变换
f 傅里叶积分定理：(x) 如果是定义在 (,) 上的非周期函数，满足以下两个条件：⑴ 在 x 的任意有限的区间上满足狄里希利条 件，⑵在 (,) 上绝对可积，即 f ( x) dx 存在。则 f ( x) 可表示为：
a kx kx kx 2 f ( x) a0 (a k cos bk sin ) a0 a k bk2 sin[ tan 1 ( k )] l l l bk k 1 k 1
其中a0 称为直流分量，与原物理量同频的简谐分量称为基 波，频率是原物理量频率倍的简谐分量称为次谐波。
(1) k 1 (1) k 1 (k 1) (k 1) 0
k2 k 1
2 E 0 2 [( 1) k 1] 2 (k 1) 0
2 E0 (1 4n 2 ) 0
k2 k 1
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移
kx F ( x) a 0 a k cos l k 1
( x )
(0 l x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l
【几点结论】
1. 定义在有限区间上的函数的傅里叶级数展开有 无穷多种形式。 f (0) f (l ) 0 2. 偶延拓可使级数满足边界条件 奇延拓可使级数满足边界条件 f (0) f (l ) 0 。
2．信号频谱
k 次谐波的频率 k k
谱，如图5.4所示。
l
与幅度
图5.4
2 Ak a k bk2 的关系称为信号的频
三、奇的和偶的周期函数
1．奇的周期函数 如果 f (x) 是以 2l 为周期的奇函数，满足狄里希 利条件，则 f (x) 可展开为正弦傅里叶级数。
kx f ( x) bk sin l k 1
第五章 傅里叶变换
引言——傅里叶级数和积分的意义
1. 一种重要的数学方法
把非简谐的函数分解为一系列简谐函数的叠加的方法。
2. 解决复杂物理问题的有效手段
正是由于有傅里叶级数和积分才使大量的物理现象 。应用物理学的基本原理结合该数学方法可以解决 许多重要的实际物理问题。如一般的振动、波动、 交流电等问题。
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
l 4l F ( x) 2 2
1 (2n 1)x cos (2n 1) 2 l n 0
( x )
l 4l f ( x) 2 2
1 (2n 1)x (2n 1) 2 cos l n 0
等号在 f (x) 的连续点成立， 在 f (x) 的间断点级数的收敛值等于
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例1：交流电压 e(t ) E0 sin t ，经过半波整流， 负压被“削去”（如图5.2所示），试研究半波整 流电压的傅里叶级数。试研究半波整流电压 i (t ) u 的傅里叶级数。
k 2n, n 1 k 2n 1, n 0
bk E0 sin t sin ktdt 0 E0 0 [cos(k 1)t cos(k 1)t ]dt 2
E sin(k 1)t sin(k 1)t 0 (k 1) (k 1) 2 0 E0 sin 2t t 2 2 0 k2 k 1
1 l 其中 a0 f ( x)dx l 0
2 l kx a k f ( x) cos dx 0 l l
特点：余弦傅里叶级数满足边界条件
f (0) f (l ) 0
例3：如图5.6所示，f (x) 是以 2l 为周期的周期函 数，在 [l , l ] 周期上 f ( x) x ，试求其傅里叶级数。
(0 x l )
方法二：奇延拓法，所找的周期 F (x) 函数为奇函 数，如图5.7(b)所示。
F(x)
f ( x) F ( x) f ( x) 以2l为周期平移
0 xl l x 0 x l
-l
0 l
x
图5.7(b)
(1) k 1 kx F ( x) sin k 1 k l 2l
此时网络的输出电压如何求出？
例2. 振动问题。
振动的方式有多少种，是不是每一种可能振动都需要研究？ 只研究谐振动能不能提供关于振动的全部知识？
例3. 波动问题。
空间电磁波有无穷多种波动形式，只研究平面电磁波， 能不能提供关于电磁波的全部物理知识?
§5.1傅里叶级数
一、狄里希利定理：
如果函数 f (x)是以为 2l 周期的周期函数， 满足以下的狄里希利条件， ①在每个周期内只有有限个第一类间断点； ②在每个周期中只有有限个极值点； 则 f ( x) 可展开为以下的傅里叶级数：
E0 cos(k 1)t cos(k 1)t (k 1) 2 (k 1) 0 E0 cos 2t 2 2 0
k2 k 1
E 0 2
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
kx 0 cos l dx
l
f(x)
(1) k 1 kx f ( x) sin k 1 k l 2l
0 -l l x
图5.6
四、定义在有限区间上的函数的傅里叶 级数
f (x) 是定义在区间 (0, l ) 上的函数，该函数一定 不是周期函数，将该函数展开为傅里叶级数的方 法如下： ⅰ）找一周期函数 F (x) ，满足条件：当 0 x l 时,有 F ( x) f ( x) 。 ⅱ）将 F (x) 展开为傅里叶级数，该级数在整个 实轴上成立。 ⅲ）把变量 x 限制在区间 (0, l ) ，得到 f (x) 的傅里叶级数。
。
二、奇和偶函数的傅里叶变换
1.如果 f (x)是奇函数，则： f ( x) B() sin xd , B( ) 2 f ( x) sin xdx
0
0
2.如果是偶函数，则： f ( x) 0 A( ) cosxd
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
wk.baidu.com
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
(c)
u 0 (t )
E 1 ( RC ) 2
sin[t tan 1 ( RC )]
ui
t (d) 图5.1
问题：如果网络的输入电压不是正弦电压，而是直流脉动电
压，例如图5.1(d)所示的半波整流电压，在这个周期内半波整流 电压可表示为：
E cost , 0 t ui 0 t 2
0 E0 2
k2 k 1
E0 2 E0 u i (t ) sin t cos 2nt 2 2 n 1 (1 4n )
E0
二、傅里叶级数的物理意义和信号频谱
1．傅里叶级数的物理意义
周期性的非简谐物理量可以分解为一系列简谐物 理量的叠加，简谐物理量的频率只能是原物理量 频率的整数倍。
f ( x) a0 (a k cos
k 1
kx kx bk sin ) l l
1 l 其中： a0 l f ( x)dx 2l
1 l kx ak f ( x) cos dx l l l
1 l kx bk f ( x) sin dx l l l
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
2 l kx 其中 bk l 0 f ( x) sin l dx
特点：正弦傅里叶级数满足边界条件
f (0) f (l ) 0
2．偶的周期函数 如果 f (x) 是以 2l 为周期的偶函数，满足狄里希利 条件，则可展开为余弦傅里叶级数。
kx f ( x) a0 ak cos l k 1
l l 2 kx l x sin l k l 0 k l 2 l 2 kx kx 0 sin l dx l k cos l 0 l
2l k 2
[( 1) k 2
0 1] 4l 2 (2n 1) 2
R
3. 几个物理问题
例1. 非正弦交流电问题。
如图5.1(a)所示的低通滤波网络，如果输入电压为图 5.1(b)所示的正弦交流电 ui (t ) E sin t
ui
i
C
uo
(a) ui
t
(b)
由于电阻两端的电压降与电流同相，电容两端的 电压降滞后电流 90o 因此，电压、电流向量 如图5.1(c)所示，因此网络的输出电压为：
五、复数形式的傅里叶级数
如果 f (x) 是以 2l 为周期的周期函数，且满足狄里 希利条件，则可把 f (x) 展开为以下的复数形式的 傅里叶级数。
f ( x)
k
c e
k
i
kx l
其中
1 c k f ( x )e 2l l
l
i
kx l
dx
§5.2傅里叶积分与傅里叶变换
[ , ] 内： 在周期
ui
0
t
0 ui (t ) E0 sin t
t 0 0t
图5.2
ui (t ) a0 [ak cos
k 1
k t
bk sin
k t
]
a0 [a k cos kt bk sin kt ]