北师大版本-命题及其关系

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1. 2. 3. 4.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数； 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。
观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系？
1.
2.
互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题：其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题：另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p
例1 判断下列语句中哪些是命题？是 真命题还是假命题？
(1)空集是任何集合的子集;
(2)若整数a是素数，则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗？
疑问句 真命题 假命题
(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行; 假命题
(5)
22 2;
开语句 祈使句
真命题
(6)x>15. (7)画线段AB=CD. (8) 一中的景色多美啊！
2 、设有两个命题：p：|x|+|x-1|≥m的解集为 R;q：函数f(x)= - (7-3m)x 是减函数，若两个 命题中有且只有一个真命题，求实数m的取 值范围。
注意：这4个命题中真命题的个数一定为 偶数个。
六： 四种命题之间的 关系
原 命 题 与 逆 否 命 题 同 真 假 。
原命题
若p则q
互逆
逆命题
若q则p
互 否
互 否
互逆
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
原 命 题 的 逆 命 题 与 否 命 题 同 真 假。
结论1：
1、两个命题互为逆否命 题，它们有相同的真假性； 2、两个命题为互逆命题 或互否命题，它们的真假性没有 关系。
一：命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 分类 判断为假的语句叫假命题。
理解： 1）判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合“是陈 述句”和“可以判断真假” 这两个条件，切记：判断的标 准必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2）注意不要把假命题误认为不是命题．
相等，那么它是正方形。
（1）正方形的四条边相 等。
假
原命题：如果一个 四边形是正方形， 那么它的四条边相 等。 真
否命题：如果一个四边
形不是正方形，那么它的 四条边不相等。 假
逆否命题：如果一个
四边形四边不相等，那 么它不是正方形。 真
逆命题：
若X2－３Ｘ＋２＝０， 真 则Ｘ＝１或Ｘ＝２ 。
否命题：
七：下面是一些常见的结论的否定形式.
原结论 反设词 原结论 反设词 一个也没有
是 都是
不是
至少有一个
至少有两个 不都是 至多有一个 大于 至少有n个 至多有（n-1)个 不大于 小于 大于或等于 至多有n个 至少有（n+1)个 对所有x, 存在某x， 对任何x， 存在某x， 成立 不成立 成立 不成立
例4：写出下列命题的原命题、逆命题、否命 题、逆否命题
原命题： 若一个整数的末位是 0 ，则这个整数可被5整除
真 逆命题： 若一个整数可被5整除，则这个整数的末位是0 假 否命题：若一个整数的末位不是 0 ，则这个整数不能被5整除 假
逆否命题： 若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位不是0 真
例5：写出下列命题的原命题、逆命题、 否命题和逆否命题： 逆命题：如果一个四边形四边
你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？
某人请客,请了四人,赵二,张三,李四,王五, 吃饭时来了赵二,张三,李四三人,王五没来.主 人说: “该来的没来”.李四听了 “该来的没 来”，心想看来我是不该来的，就转身走了,主 人看李四走了,又说: “不该走的又走了”.张 三一听,起身走了,主人急了,忙去拖他: “我 说的不是你呀”这句话说完,赵二也走了.
例3 把下列命题改写成“若p则q”的形 式,并判定真假。
(1) 负数的平方是正数. (2) 偶函数的图像关于y轴对称.
(3)垂直于同一条直线的两条直线平行
(4) 面积相等的两个三角形全等. (5) 对顶角相等.
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习1:把下列命题改写成“若p,则q”的形式， 并判断它们的真假.
（2）若X=1或 X=2，则X2－ 3X+2=0。
真
若Ｘ１且Ｘ２， 则Ｘ２－３Ｘ＋２ ０。 真
逆否命题：若X2－３
Ｘ＋２ ０， 则Ｘ１且Ｘ ２ 。
真
五：一般地,四种命题的真假性,有而且 仅有下面四种情况:
原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 真 假 假
结论2：（1）“或”的否定为“且”， （2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。（4）“一定是”的否定为“一定 不是”
练习3：用否定的形式填空：
（1）a > 0； a≤0。 a<0且b≥0。
（2）a ≥0或b<0； （3）a、b都是正数； a、b不都是正数。
（4）A一定是B的子集；A一定不是B的子
逆否命题： x 1 且 x 8 ，则 x 2 7 x 8 0 若
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1. 下列命题是真命题的为（ A） 1 1 A．若 x y ,则 x=y B．若x2=1,则 x=1 C．若x=y,则 x y D．若x<y,则x2<y2
2. 命题“若一个数是负数，则它的平方是正数” 的逆命题是（ ） B A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 解析： 因为一个命题的逆命题是将原命题的 条件与结论进行交换，因此逆命题为 “若一个 数的平方是正数，则它是负数”.
3. 命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为 若a b，则2a 2b-1 ______________________.
解析：因为一个命题的否命题是同时否 定原命题的条件和结论，所得的命题，因 此答案为若a<=b，则2a<=2b-1 .
4. 命题“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 D （ ） A.若x2 ≥ 1，则x ≥ 1; B.若-1<x<1，则x2<1； C.若x>1或x<-1,则x2>1; D.若x ≥ 1或x ≤ -1，则x2 ≥ 1 解析：交换原命题的条件和结论，并且同时 否定，所得的命题，因此答案为D.

例2 指出下列命题中的条件p和结论q：
1) 2)
若整数a能被2整除，则a是偶数； 菱形的对角线互相垂直且平分。
解：1) 条件p：整数a能被2整除， 结论q：整数a 是偶数。 2) 写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。 条件p：四边形是菱形， 结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。
5．有下列四个命题： ①“若x+y=0 , 则互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若 q≦1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题为（ C ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④
解答题：
提高练习: 1.已知命题 P： 2 2 x 2) ≥0 的解集是 A； lg(x 命题 Q ： (4 x) ≤ 0 x 的解集不是 B.若 P 是真命题，Q 是假命题，求 A∩B.
1.1命题及其关系
歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师，一 天，他与一位批评家“狭路相逢”，这位文艺批 评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让， 反而卖弄聪明，一边高傲地往前走。一边大声说 道：“我从来不给傻子让路！”而对如此的尴尬 的局面，但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁， 一边有礼貌回答道“呵呵，我可恰恰相反，”结 果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣.
q p
四：原命题、逆命题、否命题、逆否命题
四种命题形式: 若 p, 则q 原命题: 若 q, 则p 逆命题: 若 ┐p, 则┐q 否命题: 逆否命题: 若 ┐q, 则┐p 命题的否定：若 p, 则 ┐q
pq
q p p q
q p
p q
注意区别：否命题既否定条件，又否定结 论；命题的否定只否定结论，不否定条件。
思考：是主人不会说话还是客人误解？
思考
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断它们的真假吗?
(1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)若x2=1,则x=1;
(5)两个全等三角形的面积相等;
(6)3能被2整除.
特点：①都是陈述句 ②都可以判断真假 其中(1)(3)(5)为真,(2)(4)(6)为假.
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； p q 若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数； q p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是“两 直线平行，同位角相等”。
观察命题(1)与命题(3)的条件和结论之间 分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； q p 3. 若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
（1）等腰三角形两腰的中线相等；
（2）偶函数的图象关于y轴对称；
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。
(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两腰的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。 这是假命题。
感叹句
判断标准不明确
(9)这是一条大河。
二：命题形式“若p则q”
命题“若整数a是素数，则a是奇数。”具 q 有“若p则q”的形式。 p 通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条 件,q叫做命题的结论。 “若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。 pq 记作:
其中p和q可以是命题也可以不是命题. “若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易辨别,缺 点是太格式化且不灵活.
“若p则q”形式的命题的书写
有一些命题虽然表面上不是“若p则q” 的形式， 但也可以写成“若p则q” 的形式。 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 写成“若p则q”的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平 面平行。
1.
为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作 “┐p” “┐q” 互否命题 原命题 (原命题的)否命题
原命题:若p,则q
否命题:若┐p,则┐q
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的否命题是“同 位角不相等，两直线不平行”。
观察命题(1)与命题(4)的条件和结论之间 分别有什么关系？
若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数； q p 4. 若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
练习2：判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除;
真 假 真 真
(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形
是正方形;
(3)二次函数的图象是一条抛物线;
(4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三

角形.
观察：下列四个命题中，命题(1)与命题(2)(3)(4)的 条件和结论之间分别有什么关系？
集。
练习4、写出下列命题的逆命题、否命题、逆 否命题
x2 7 x 8 0 原命题： 若
逆命题： 若 x 1 或
，则 x 1 或 x 8 。 。
2 x 8 ， 则 x 7 x 8 0
否命题： 若 x 2 7 x 8 0
，则 x 1 且 x 8 。 。
1.
互为逆否命题 原命题 (原命题的)逆否命题
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p
例如，命题“同位角相等，两直线平行”的逆否命题是 “两直线不平行，同位角不相等”。
三：三个概念
１、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命 题的结论和条件，那么这两个命题叫互逆命题。其中一个命 题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。 ２、互否命题：如果一个命题的条件和结论是另一个命题的 条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。 其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题。 ３、互为逆否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一 个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互 为逆否命题。