江苏省镇江中学2020—2021学年度第一学期高二年级期初考试数学试题及答案
2021-2022学年江苏省镇江一中高二(上)月考数学试卷(10月份)(附答案详解)
2021-2022学年江苏省镇江一中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为( )A. 43，53B. −43，−53C. −34，−54D. 34，542. 在复平面内，复数6+5i 与−3+4i 对应向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是( )A. −1+9iB. 9+iC. −9−iD. 9−i3. 下列说法正确的是( )A. “a =−1“是“直线a 2x −y +1=0与直线x −ay −2=0互相垂直”的充要条件B. 经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x +y −2=0C. 过(x 1,y 1)，(x 2,y 2)两点的所有直线的方程为y−y 1y 2−y 1=x−x 1x 2−x 1D. 直线ax +2y +6=0与直线x +(a −1)y +a 2−1=0互相平行，则a =−14. 设a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，则下列说法正确的是( )A. 若a//α，b ⊂α，则a//bB. 若a//b ，a//α，则b//αC. 若a ⊥α，a//β，则α⊥βD. 若a ⊥α，a ⊥b ，则b//α5. 若α∈[π6,π2)，则直线4xcosα+6y −7=0的倾斜角的取值范围是( )A. [π6,π2)B. [5π6,π)C. (0,π6]D. (π2,5π6]6. 已知圆锥的母线长为3√2，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的底面面积是( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π7. 在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x +2y +1=0和x +2y +3=0，另一组对边所在的直线方程分别为3x −4y +c 1=0和3x −4y +c 2=0，则|c 1−c 2|=( )A. 2√3B. 2√5C. 2D. 48. 已知三条直线l 1：mx +ny =0，l 2：nx −my +3m −n =0，l 3：ax +by +c =0，其中m ，n ，a ，b ，c 为实数，m ，n 不同时为零，a ，b ，c 不同时为零，且a +c =2b.设直线l 1，l 2交于点P ，则点P 到直线l 3的距离的最大值是( )A. √10+5√22B. √102+√582 C. √10+√582 D. √102+5√22二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知复数z =√3+i(i 为虚数单位)，z −为z 的共轭复数，若复数z 0=z−z，则下列结论正确的是( )A. z 0在复平面内对应的点位于第四象限B. |z 0|=1C. z 0的实部为12D. z 0的虚部为√3210. 已知直线l ：kx +y =0与圆M ：x 2+y 2−2x −2y +1=0，则下列说法中正确的是( )A. 直线l 与圆M 一定相交B. 若k =0，则直线l 与圆M 相切C. 当k =−1时，直线1与圆M 的相交弦最长D. 圆心M 到直线l 的距离的最大值为√211. 光线自点(2,4)射入，经倾斜角为135°的直线l ：y =kx +1反射后经过点(5,0)，则反射光线还经过下列哪个点( )A. (14,2)B. (14,98)C. (13,2)D. (13,1)12. 已知图1中的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的底面边长为2，体积为2√2，去掉其侧棱，再将上底面绕上下底面的中心所在直线逆时针旋转180°后，添上侧棱，得到图2所示的几何体，则下列说法正确的是( )A. A 2B 2//平面ABCB. AB 2=2√63C. 四边形ABA 2B 2为正方形D. 正三棱柱ABC −A 1B 1C 1与几何体ABCA 2B 2C 2的外接球的体积相等三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.过点A(1,3)，斜率是直线y=−4x斜率的1的直线方程为______．314.方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，则实数a的范围为______．15.直线l：mx−y+1=0截圆x2+y2+4x−6y+4=0的弦为MN，则|MN|的最小值为______，此时m的值为______．16.四棱锥A−BCDE的各顶点都在同一球面上，AB⊥底面BCDE，底面BCDE为梯形，∠BCD=60°，且AB=CB=BE=ED=2，则此球的体积等于______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)．(1)求AC边的长；(2)求AC边中线所在直线的方程；(3)求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求证：(1)直线PA//平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC．19.已知直线l过点(2,1)，点O是坐标原点．(1)若直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l方程；(2)若直线l与x轴正方向交于点A，与y轴正方向交于点B，求OA+OB的最小值及此时的直线方程．20.如图，公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα=−1，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM、AN的距离分别为1km，√2km，现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．(1)以A为坐标原点建立适当的平面直角坐标系，并求出P点的坐标；(2)三条公路围成的工业园区ABC的面积恰为4km2，求公路BC所在直线方程．21.如图，在三棱锥P−ABC中，底面ABC是边长2的等边三角形，PA=PC=√5，点F在线段BC上，且FC=3BF，D为AC的中点，E为的PD中点．(Ⅰ)求证：EF//平面PAB；(Ⅱ)若二面角P−AC−B的平面角的大小为2π，求直线3DF与平面PAC所成角的正弦值．22.已知直线l：(m+2)x+(1−2m)y+4m−2=0与圆C：x2−2x+y2=0交于M，N两点．(1)求出直线l恒过定点的坐标；(2)求直线l的斜率的取值范围；(3)若O为坐标原点，直线OM，ON的斜率分别为k1，k2，试问k1+k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：直线3x +4y +5=0化为y =−34x −54．∴直线3x +4y +5=0的斜率和它在y 轴上的截距分别为−34，−54． 故选：C ．把直线方程化为斜截式即可得出．本题考查了把直线的一般式方程化为斜截式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,5)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−9,−1)， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数是−9−i ． 故选：C ．由向量减法的坐标运算求得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，则答案可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查向量减法的坐标运算，是基础题．3.【答案】D【解析】A 选项：根据直线垂直的定义可知，①若两直线斜率都存在且不为0时，k 1⋅k 2=−1⇔l 1⊥l 2，本题中当两直线斜率都存在且不为0，即a ≠0时，k 1=1a 2,k 2=a ， 则当1a 2⋅a =−1⇔a =−1时，两直线垂直；②当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线垂直，此时a =0，故A 错误；B 选项：根据题意假设直线在x ，y 轴上的截距分别为a ，b ，则有①当a =b =0时，即直线经过原点，且过点(1,1)，此时直线方程为x −y =0； ②当a =b ≠0时，则可设直线的截距式方程为xa +yb =1，代入点(1,1)可得， 直线方程为x +y −2=0；故B 错误；C选项：根据直线的两点式方程定义可知，若直线经过点(x1,y1)，(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2时，可得直线的两点式方程为，但当①x1=x2，y1≠y2时，直线方程为y=y1；②x1≠x2，y1=y2时，直线方程为x=x1；故C错误；D选项：根据直线平行的判定可知，当两直线的斜率都不存在，或都存在且相等时，两直线平行；本题中，①当a=0时直线ax+2y+6=0斜率为0，直线x+(a−1)y+a2−1=0斜率为1，此时两直线不平行；②当a≠0时，k1=−a2,k2=11−a，若两直线平行，则有−a2=11−a，解之可得，a=2，或a=−1；故D选项正确．故选：D．A选项，可根据两直线的垂直关系进行证明，但是在用斜率关系判定直线的垂直关系时，需要考虑斜率不存在的特殊情况；B选项是对直线的截距式方程进行考查，所以可以用直线的截距式方程定义进行求解但需要考直线在坐标轴上的截距为0的特殊情况；C选项主要考查直线的两点式方程定义，在定义中一定要注意条件x1≠x2，y1≠y2；D选项主要考查两直线平行的判定，所以可以根据两直线斜率相等进行判断．本题主要考查直线位置关系的判定，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：对于A：a//α，b⊂α，则a//b，a与b可能异面；对于B：a//b，a//α，则b//α，b可能在面α内；对于C，a⊥α，a//β，则α⊥β，满足直线与平面垂直的性质，所以C正确；对于D：a⊥α，a⊥b，则b//α，b可能在面α内．故选：C．利用直线与平面的位置关系以及直线与平面垂直的位置关系，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，直线与直线以及直线与平面的平行与垂直关系的应用，是中档题．5.【答案】B【解析】解：直线4xcosα+6y−7=0的斜率为−2cosα3，∵α∈[π6,π2),∴0<cosα≤√32,∴−√33≤−2cosα3<0，∴直线4xcosα+6y−7=0的倾斜角的取值范围为[5π6,π)，故选：B．由α的取值范围求出cosα的范围，进而计算出直线的斜率的范围，再利用直线的倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角范围．本题主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系，是基础题．6.【答案】B【解析】解：设圆锥的底面半径为r，由题意可得，3√2=2π3，解得r=√2，所以圆锥的底面面积为π⋅(√2)2=2π．故选：B．设圆锥的底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，列式求出半径r，由圆的面积公式求解即可．本题考查了圆锥的侧面展开图的理解与应用，解题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，半径等于圆锥的母线长，考查了逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由题意，根据菱形的两组对边间的距离相等，所以√12+22=12√32+42，解得|c1−c2|=2√5．故选：B．利用菱形的性质结合两条平行直线间的距离公式，列式求解即可．本题考查了菱形性质的应用，两条平行直线间的距离公式的应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：由题可知：a +c =2b ，∴直线l 3：ax +a+c 2y +c =0过定点E(1,−2)，直线l 1，l 2交点P(n 2−3mn m 2+n 2,3m 2−mn m 2+n 2)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即|PE|， |PE|=√(3m 2−mn m 2+n 2−1)2+(3mn−n 2m 2+n 2+2)2=√26−22n 2+4mn m 2+n 2，当m =0时，|PE|=2，当n =0时，|PE|=√26， 设nm =t ，当m ≠0时，|PE|=√26−22×n 2m 2+4×n m 1+n 2m2=√26−22t 2+4t 1+t 2，令y =26−22t 2+4t 1+t 2，由判别式法可得：(4−y)t 2−4t +26−y =0，则△=16−4(4−y)(26−y)≥0，解得y ≤15+5√5， ∴|PE|≤√102+5√22． 故选：D ．由题可知：a +c =2b ，从而直线l 3：ax +a+c 2y +c =0过定点E(1,−2)，直线l 1，l 2交点P(n 2−3mn m 2+n 2,3m 2−mn m 2+n 2)，点P 到直线l 3的距离的最大值为P 到定点的距离，即|PE|，由此能求出结果．本题考查本题考查点到直线的最大距离的求法，考查两直线交点坐标、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】ABC【解析】解：∵z =√3+i ，∴z 0=z −z =√3−i √3+i =(√3−i)2(√3+i)(√3−i)=√3i+i 2(√3)2+12=2−2√3i 4=12−√32i ， 则z 0在复平面内对应的点位于第四象限，故A 正确； |z 0|=√(12)2+(−√32)2=1，故B 正确；z 0的实部为12，故C 正确； z 0的虚部为−√32，故D 错误．由已知利用复数代数形式的乘除运算化简z 0，然后逐一分析四个选项得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】BCD【解析】解：由x 2+y 2−2x −2y +1=0，得(x −1)2+(y −1)2=1，直线l ：kx +y =0过原点O ，且不与y 轴重合， ∴当k >0时，直线l 与圆M 相离，故A 错误； 若k =0，则直线l 与圆M 相切，故B 正确； 当k =−1时，直线1过圆心M ，直线l 与圆M 的相交弦最长，故C 正确；当k =1时，圆心M 到直线l 的距离取最大值为√2，故D 正确． 故选：BCD ．化圆的方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，画出图形，然后逐一分析四个选项得答案．本题考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】BD【解析】解：由题意知，直线l 的斜率k =tan135°=−1， ∴直线l 的方程为y =−x +1，设点(2,4)关于直线l 的对称点为B(m,n)，则{n+42=−m+22+1n−4m−2⋅(−1)=−1，解得m =−3，n =−1，∴B(−3,−1)，∴反射光线所在直线的方程为y =0−(−1)5−(−3)⋅(x −5)，即x −8y −5=0， 当x =14时，y =98；当x =13时，y =1， ∴反射光线还经过(14,98)和(13,1)．设点(2,4)关于直线l的对称点为B(m,n)，根据中点坐标公式和两条直线垂直的条件，求出点B的坐标，再由点斜式写出反射光线所在直线的方程，然后代入选项中的点，进行验证即可．本题考查直线的方程，两条直线的位置关系，直线中的对称问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．12.【答案】ACD【解析】解：对于A：因旋转前后，A1，B1，C1，A2，B2，C2，共面，由棱柱的性质得知：平面A2B2C2//平面ABC，从而A2B2//平面ABC，故A正确；对于B：因棱柱体积V=S△ABC⋅AA1=√34×22⋅AA1=2√2，解得AA1=2√63，设H为B2在平面ABC上的射影，如图所示：则：点H在BO的延长线上，且OH=OB=2√33，又B2H=OO2=AA1=2√63，从而AH=AO=BO，所以AB2=√B2H2+AH2=2，故B错误；对于C：因为A2B2//A1B1//AB，且A1B1=A2B2=AB，故四边形ABB2A2为平行四边形，由对称性可知：AA2=BB2，又AB2=AB=2，所以四边形ABA2B2为正方形，故C正确；对于D：因旋转前后正三棱柱ABC−A1B1C1与几何体ABCA2B2C2的外接球都是是以OO2为直径的球G上，故球的体积相等，故D正确．直接利用柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：柱体的旋转前后的面面和线线的位置关系，柱体的体积公式，几何体和球的位置关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．13.【答案】4x+3y−13=0【解析】解：直线y=−4x的斜率是−4，则所求直线的斜率是13×(−4)=−43，所以直线方程为y−3=−43(x−1)，化为一般式方程是4x+3y−13=0．故答案为：4x+3y−13=0．求出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．本题考查了直线的斜率与直线方程的求法问题，是基础题．14.【答案】(0,1)【解析】解：方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0化为标准方程为(x−a)2+(y−2a)2=a−a2，则圆心坐标为(a,2a)，因为方程x2+y2−2ax−4ay+6a2−a=0表示圆心在第一象限的圆，所以{a>02a>0a−a2>0，解得0<a<1，所以实数a的范围为(0,1)．故答案为：(0,1)．先将方程化为标准方程，求出圆心坐标，然后列出不等式组，求解即可．本题考查了圆的一般方程与标准方程的应用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．15.【答案】21【解析】解：直线l：mx−y+1=0恒过(0,1)，圆x2+y2+4x−6y+4=0的圆心(−2,3)，半径为3，所以定点与圆心的距离为：√(0+2)2+(1−3)2=2√2，所以则|MN|的最小值为：2√32−(2√2)2=2，此时直线MN与定点和圆心连线的直线垂直．可得m=−−2−03−1=1．故答案为：2；1．求出圆的圆心与半径，直线系经过的定点，利用圆心到定点的距离，半径转化求解弦长的最小值，推出m即可．本题考查直线与圆的位置关系的应用，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】20√53π【解析】解：如图，由已知可得，底面四边形BCDE为等腰梯形，设底面外接圆的圆心为G，连接BG，则2BG=2sin30o=4，∴BG=2，又AB=2，设四棱锥外接球的球心为O，则OA=√5，即四棱锥外接球的半径为√5．∴此球的体积等于V=43π×(√5)3=20√53π.故答案为：20√53π.由题意画出图形，可得底面四边形BCDE为等腰梯形，求底面外接圆的半径，进一步求得四棱锥外接球的半径，代入球的体积公式即可．本题考查多面体外接球的体积的求法，考查转化思想方法、计算能力，是中档题．17.【答案】解：(1)△ABC的顶点坐标为A(−3,9)、B(2,2)、C(5,3)，则AC=√(5+3)2+(3−9)2=10；(2)AC的中点M的坐标为(1,6)，所以直线AM的方程为y−6=9−6−3−1(x−1)，即AC边中线所在直线的方程为4x−y−10=0；(3)由题意可得，直线AC的方程为y−9=3−95−(−3)(x+3)，即3x−4y−27=0，所以点B到直线AC的距离为ℎ=√32+42=135，则△ABC的面积为S=12×AC×ℎ=12×10×135=13．【解析】(1)利用两点间距离公式求解即可；(2)求出AC的中点M的坐标，由点斜式求解方程即可；(3)求出直线AC的方程，利用点到直线的距离公式求出三角形的高，由三角形的面积公式求解即可．本题考查了直线方程的求解与应用，两点间距离公式、点到直线的距离公式的应用，中点坐标公式的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．18.【答案】证明：(1)∵D、E为PC、AC的中点，∴DE//PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA//平面DEF；(2)∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=12PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=12BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE//PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，AC，EF⊂平面ABC，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．【解析】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，属于中等题．(1)由D、E为PC、AC的中点，得出DE//PA，从而得出PA//平面DEF；(2)要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．19.【答案】解：(1)①当直线l过原点时，直线l的方程为y=12x，即x−2y=0，②当直线l不过原点时，设直线l的方程为xa +ya=1，代入点(2,1)得：2a +1a=1，解得：a=3，所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y−3=0，综上所述，直线l方程为x−2y=0或x+y−3=0．(2)设直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0)，代入点(2,1)得：2a +1b=1，∴OA+OB=a+b=(a+b)(2a +1b)=3+2ba+ab≥3+2√2ba⋅ab=3+2√2，当且仅当2ba =ab，即a=2+√2，b=1+√2时，等号成立，此时直线l的方程为x+2y−(2+√2)=0．【解析】(1)对直线l是否过原点分情况讨论，分别求出直线l的方程即可．(2)依题意可设直线l的方程为xa +yb=1(a>0,b>0)，则2a+1b=1，再利用基本不等式即可求出a+b的最小值，以及此时直线l的方程．本题主要考查了直线方程的截距式，考查了基本不等式的应用，是基础题．20.【答案】解：(1)以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，由题意，设点P(a,1)，且直线AN 的斜率为k AN =tanα=−1，经过点A(0,0)， 所以直线AN 的方程为x +y =0， 又点P 到直线AN 的距离为√2， 所以|a+1|√2=√2，解得a =1或a =−3(舍)，故点P 的坐标为(1,1)；(2)由题意可知，直线BC 的斜率一定存在， 设直线BC 的直线方程为y −1=k(x −1)， 联立直线BC 与AN 的方程，{y −1=k(x −1)x +y =0，解得点C 的坐标为(k−1k+1,1−kk+1)，在直线BC 的方程中，令y =0，解得x B =−1k +1=k−1k，所以S △ABC =12⋅k−1k⋅(−k−1k+1)=4，解得k =−13，故直线BC 的方程为x +3y −4=0．【解析】(1)以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，设点P 的坐标，求出直线AN 的方程，利用点到直线的距离公式求出a 的值，即可得到答案；(2)设直线BC 的方程，与AN 的方程联立，求出点C 的坐标，由三角形的面积公式求出k 的值，即可得到直线BC 的方程．本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．21.【答案】(Ⅰ)证明：如图所示，在平面PAC 内作EG//AC ，交PA 于点G ，在平面BAC 内作EH//AC ，交BA 于点H ，则：GE =12AD =14AC =FH ，从而四边形EGHF 为平行四边形，EF//GH ， 而EF 不在平面PAB 内，GH 在平面PAB 内， 故EF //平面PAB ；(Ⅱ)解：如图所示，以点D 为坐标原点，DA ，DB 方向分别为x 轴，y 轴正方向，与平面ABC 垂直的方向为z 轴正方向建立空间直角坐标系D −xyz ，由于PD =√5−1=2，故：A(1,0,0),B(0,√3,0),P(0,−1,√3),D(0,0,0),F(−14,3√34,0)， 从而：DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−14,3√34,0)，设平面PAC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则：{m ⃗⃗⃗ ⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(1,0,0)=x =0m ⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ⃗⃗⃗ ⋅(−1,−1,√3)=−x −y +√3z =0，取y =√3，则z =1，x =0，即m ⃗⃗⃗ =(0,√3,1)， 直线DF 与平面PAC 所成角的正弦值： sinθ=|DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |=942×√72=9√728．【解析】(Ⅰ)作出辅助线，利用线面平行的判断定理即可证得题中的结论；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后计算线面角的正弦值即可．本题主要考查线面平行的证明，空间直角坐标系的应用等知识，属于中等题．22.【答案】解：(1)由直线l ：(m +2)x +(1−2m)y +4m −2=0，得m(x −2y +4)+(2x +y −2)=0， 联立{x −2y +4=02x +y −2=0，解得{x =0y =2，∴直线l 恒过定点(0,2)；(2)由圆C ：x 2−2x +y 2=0，知圆心C(1,0)，半径r =1， 当直线l 和圆C 相切时，√(m+2)2+(1−2m)2=1，得m =12或m =−12，当m =12时，直线l 方程x =0，当m =−12时，直线l 方程3x +4y −8=0，∴直线l 与圆C 相交时，直线l 的斜率取值范围(−34,0)； (3)由(2)知直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y =kx +b ， 联立{y =kx +bx 2−2x +y 2=0，得(1+k 2)x 2+(2kb −2)x +b 2=0， x 1+x 2=−2kb−21+k 2，x 1x 2=b 21+k 2，k 1+k 2=y 1x 1+y2x 2=x 2y 1+x 1y 2x 1x 2=x 2(kx 1+b)+x 1(kx 2+b)x 1x 2=2kx 1x 2+b(x 1+x 2)x 1x 2=2k +b ⋅x 1+x 2x 1x 2=2k +b ⋅2−2kb b 2=2k +2b −2k =2b ．由(1)可知，b =2，则k 1+k 2=1， ∴k 1+k 2是定值，定值为1．【解析】(1)直接由直线系方程求解直线l恒过定点的坐标；(2)先分析直线与圆相切时的斜率，进而可知直线和圆相交时斜率的取值范围；(2)设直线l方程为y=kx+b，联立直线与圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可证明k1+k2为定值．本题考查直线系方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题．。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题(精品解析版)
江苏省镇江中学高二教学质量检测（数学）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）1. 在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A. 8 B. 8- C. 16 D. 16-【答案】C 【解析】 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值.【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C.2. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是( )A. 30B. 45C. 60D. 90 【答案】D 【解析】 【分析】可以建立空间直角坐标系，求出向量1AM 与DN 的夹角进而求出异面直线1A M 与DN 所成角． 【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2， 则1(2,A 0，2)，(0,M 1，0)，(0,D 0，0)，(0,N 2，1)，1(2,AM =-1，2)-，(0,DN =2，1)， 设异面直线1A M 与DN 所成角为θ， 则11cos 0A M DN A M DNθ⋅==⋅，90θ∴=．∴异面直线1A M 与DN 所成角的大小为90．故选D ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查正方体的结构特征，异面直线所成角等基础知识，是基础题．3. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α⊂，b β⊂，则,a b 是异面直线B. 若,a b 是两条直线，且//a b ，则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C. 若直线a 与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D. .若直线a //平面α，点P α∈，则平面a 内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条 【答案】D 【解析】根据两直线的位置关系判断．【详解】A. 若,a b 是两条直线，αβ，是两个平面，且a α⊂，b β⊂，则,a b 可能平行、可能相交、也可能是异面直线，A 错；B. 若,a b 是两条直线，且//a b ，,a b 确定平面α，则直线a α⊂，B 错；C. 若直线a 与平面α不平行，若a α⊂，则a 与平面内的无数条直线平行，C 错；D. .若直线a //平面α，点P α∈，a 直线与点P 确定平面β，β与a 相交于直线b ，则//a b ，这样的直线b 有且只有一条，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查空间直线的位置关系，空间直线有三种位置关系：相交、平面、异面直线，掌握它们的位置关系是解题基础．4. “珠算之父”程大为是我国明代伟大数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成，程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上稍四节储三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”（【注】三升九：3.9升，次第盛；盛米容积依次相差同一数量.）用你所学的数学知识求得中间两节的容积为（ ） A. 1.9升 B. 2.1升C. 2.2升D. 2.3升【答案】B 【解析】 【分析】设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，根据题意得出关于1a 、d 的方程组，解出这两个量的值，即可计算出中间两节盛米的容积45a a +升.【详解】要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米， 设相差的同一数量为d 升，下端第一节盛米1a 升，由题意得319511323 3.92{9854(9)(5)322S a d S S a d a d ⨯=+=⨯⨯-=+-+=，解得1 1.4,0.1a d ==-，所以，中间两节盛米的容积为45111(3)(4)27 2.80.7 2.1a a a d a d a d +=+++=+=-=（升），【点睛】本题考查等差数列的应用，解题的关键就是将问题转化为等差数列的问题，并建立首项和公差的方程组求解，考查方程思想的应用，属于中等题.5. 已知抛物线2:C y x =的焦点为F ，00(,)A x y 是C 上一点，05||4AF x =，则0x =（ ） A. 1 B. 2 C. 4D. 8【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义、焦半径公式列方程即可得出．【详解】由抛物线2:C y x =可得11,224p p ==， 准线方程14x =-，0(A x ，0)y 是C 上一点，054AF x =，00x >． ∴00051442p x x x =+=+， 解得01x =． 故选：A ．6. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2log n n b a =，n *∈N ，其中{}n b 是等差数列，且920121=4a a ，则1232020b b b b ++++=（ ）A. 2020B. -2020C.2log 2020D. 1010【答案】B 【解析】 【分析】由条件有201292b b +=-，由于{}n b 是等差数列, 则2012009212b b b b +=+，利用等差数列的求和公式即可解得.【详解】因为920121=4a a ⋅，则()2012201220129292292log log log 124log b a a a b a ++=⋅==-=由{}n b 是等差数列，则2012009212b b b b +=+()1202012320201202022020202022b b b b b b +++++=⨯=⨯-⨯=- 故选：B7. 如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.212- B.212+ C. 612- D.312- 【答案】D 【解析】因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离13142d =-=，而截面到球体最低点距离为31-，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为13311222⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭. 点睛:本题主要考查折叠问题，考查球体有关的知识.在解答过程中，如果遇到球体或者圆锥等几何体的内接或外接几何体的问题时，可以采用轴截面的方法来处理.也就是画出题目通过球心和最低点的截面，然后利用弦长和勾股定理来解决.球的表面积公式和体积公式是需要熟记的.8. 如图所示，在多面体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，且ADE ∆、BCF ∆均为正三角形，//EF AB ，2EF =，则该多面体的体积为（ ）A.23B.33C. 23D.43【答案】A 【解析】 【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【详解】在EF 上取点,M N 使12EM FN ==，连接,,,AM DM BN CN ， ABCD 是边长为1的正方形，且ADE 、BCF △均为正三角形，EF AB ∥，所以四边形ABFE 为等腰梯形，2EF =，1MN =，根据等腰梯形性质，,,,AM EF DM EF BN EF CN EF ⊥⊥⊥⊥，,AM DM 是平面AMD 内两条相交直线，,BN CN 是平面BNC 内两条相交直线，所以EF ⊥平面AMD ，EF ⊥平面BNC ，3MA MD NB NC ====， 几何体体积为2E AMD AMD BNC V V V --=+2222113111312121132222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选：A【点睛】此题考查几何体的体积的计算，关键在于将几何体进行切割成规则的几何体，再分别利用锥体柱体体积计算方法求解，属于中档题.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上）9. 如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是（ ）A. B.C. D.【答案】BD 【解析】 【分析】采用逐一验证法，结合线线位置关系以及线面垂直的判定定理，可得结果. 【详解】对于A ，由AB 与CE 所成角为45︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于B ，由ABCE ，AB ED ⊥，CE ED E ⋂=，可得AB ⊥平面CDE ；对于C ，由AB 与CE 所成角为60︒， 可得直线AB 与平面CDE 不垂直； 对于D ，连接AC ，由ED ⊥平面ABC ， 可得ED ⊥AB ，同理可得EC AB ⊥， 又ED EC E ⋂=，所以AB ⊥平面CDE . 故选：BD【点睛】本题考查线线位置关系，还考查线面垂直的判定定理，属基础题.10. 等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A. 0d <B. 10a <C. 当5n =时n S 最小D. 0n S >时n 的最小值为8【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.11. 已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P 的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可.【详解】由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =， 由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF ==， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==， 则11337||833PF =+=，则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确， 在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角， 则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确，2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ， 故选：BC ．【点睛】本题主要考查与双曲线性质有关的命题的真假判断．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12. 设A ，B 是抛物线2yx 上的两点，O 是坐标原点，下列结论成立的是（ ）A. 若OA OB ⊥，则2OA OB ≥B. 若OA OB ⊥，直线AB 过定点(1,0)C. 若OA OB ⊥，O 到直线AB 的距离不大于 1D. 若直线AB 过抛物线的焦点F ，且13AF =，则||1BF = 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线AB 方程为y kx b =+，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，逐一分析判断得解.【详解】B.设直线AB 方程为y kx b =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线AB 方程代入抛物线方程2y x ，得20x kx b --=，则12x x k +=，12x x b =-，OA OB ⊥，1OA OB k k b ∴=-=-，1b =．于是直线AB 方程为1y kx =+，该直线过定点(0,1)．故B 不正确； C.O 到直线AB的距离1d ，即C 正确；A.||||OA OB =．||||2OA OB ∴正确； D.由题得11111,4312y y +=∴=,所以211==12x x ∴±，x =所以113k -==-AB的方程为14y x =+，所以14b =.由题得212121211111||()2244222AB y y y y k x x b k b =+++=++=+++=++ =1114++=3223.所以41||133BF =-=.所以D 正确.故选：A CD ．【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的综合问题，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力．解题的关键是灵活利用韦达定理和抛物线的定义.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，不需要写出解答过程，请将答案填写在符题卡相应的位置上.）13. 双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为________.【答案】34y x 【解析】 【分析】令220169x y -=解得结果【详解】令220169x y -=解得两条渐近线的方程为34yx 【点睛】本题考查双曲线渐近线的方程，考查基本分析求解能力，属基础题.14. 谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，在他的《好玩的数学》一书中，有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》，文章告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数），则下列埃及分数1111,,,,13355720192021⨯⨯⨯⨯的和是_______.【答案】10102021【解析】 【分析】利用裂项相消法可求题设中的和.【详解】因为对任意的*n N ∈，总有()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，故111113355720192021++++⨯⨯⨯⨯3520111111111111101012135720212202192021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：10102021. 15. 四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，则PA 的长为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ,可得O 为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上，可得P A 的值.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，取PC 的中点O ，连接OE ，如图，可得OE ∥P A ,OE ⊥底面ABCD ，可得O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O 为球心，设球半径为R ，可得211822R PC PA ==+，可得324198322PA ππ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭， 解得P A =1, 故答案为：116. 设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为,P O 为原点，OP OF =，则双曲线C 的右焦点的坐标为__________；离心率为_________________.【答案】 (1). ()5,0 (2). 5 【解析】 【分析】根据题意，画出图象结合双曲线基本性质和三角形几何知识 【详解】如图所示：直线43200x y -+=过点F ，()5,0F ∴-，半焦距5c =，则右焦点为()25,0FA 为PF 中点，OP OF =，2//OA PF ∴由点到直线的距离公式可得2045OA ==，228PF OA =∴=，由勾股定理可得：22226FP FF PF =-=，再由双曲线定义可得：222PF PF a -==1a ，则离心率5ce a== 故答案为：()5,0，5【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，结合圆锥曲线基本性质和几何关系解题是近年来高考题中常考题型，往往在解题中需要添加辅助线，属于中等题型.四、解答题（本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为棱BC 的中点，1,AB BC BC BB ⊥⊥，111,2AB A B BB ===．求证：（1）1A B ⊥平面ABC ； （2）1A B ∥平面1AC D ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析； 【解析】 【分析】【详解】试题分析：（1）先证出1BC ABB ⊥平面，得出1AB BC ⊥，再由平面几何知识得出1A B AB ⊥，则可由线面垂直的判定证得；（2）由三角形中位线得线线平行，再由线面平行的判定证得； 试题解析：（1）因为1111,,,AB BC BC BB ABBB B AB BB ABB ⊥⊥=⊂、平面，所以111BC ABB AB ABB ⊥⊂平面,又平面，所以1AB BC ⊥； 又因为，得22211AA AB A B =+，所以1A B AB ⊥．又AB BC ABC AB BC B ⊂=、平面，，所以1A B ⊥平面ABC ；（2）连接1A C 交1AC 与点E ，连接DE ，在1A BC 中，D E 、分别为1BC AC 、的中点，所以1//DE A B ，又111,A B AC D DE AC D ⊄⊂平面平面，所以1A B ∥平面1AC D ．考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定与性质；18. 设*N n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12n n n S S a +=++，______.请在①1a ，2a ，5a 成等比数列，②69a =，③535S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()121na nn n b a +=+-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T .【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）首先根据12n n n S S a +=++判断出数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.通过①或②或③求得数列{}n a 的首项1a ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）求得{}n b 的表达式，结合分组求和法、并项求和法求得2n T .【详解】选①，（1）由12n n n S S a +=++得：()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列得()()211128a a a +=+，解得11a =. ∴()*21N n a n n =-∈.（2）()()()1212121na nnn n n b a n +=+-=+--，()()()22122211357 (434122221)n n n T n n n+-=+-+-+---+-=-+⎡⎤⎣⎦-. 选②，（1）由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列. 由69a =得1529a +⨯=，解得11a =-， ∴()*23N n a n n =-∈.（2）()()()1112123na nnn n n b a n +-=+-=+--，∴()()22211135 (454321)n n T n n -=++-+---+-⎡⎤⎣⎦- 2212412n n n n =-+=-+.选③，（1）同理，由12n n n S S a +=++得()*12N n n a a n +-=∈，∴数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列， 由535S =得151035a d +=，解得13a =， ∴()*21N n a n n =+∈. （2）()()()1112121na n nn n n b a n ++=+-=+-+，∴()()()2222213579 (414121)n nTn n -=+-+-+---++⎡⎤⎣⎦- 221242442n n n n ++=-+=-+.【点睛】本小题主要考查等差数列的定义，考查分组求和法、并项求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19. 如图四边形ABCD菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -，求该三棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析（2）5【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 为菱形知AC ⊥BD ，由BE ⊥平面ABCD 知AC ⊥BE ，由线面垂直判定定理知AC ⊥平面BED ，由面面垂直的判定定理知平面AEC ⊥平面BED ；（2）设AB =x ，通过解直角三角形将AG 、GC 、GB 、GD 用x 表示出来，在Rt ∆AEC 中，用x 表示EG ，在Rt ∆EBG 中，用x 表示EB ，根据条件三棱锥E ACD -6求出x ，即可求出三棱锥E ACD -的侧面积.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ， 因为BE ⊥平面ABCD ，所以AC ⊥BE ，故AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED（2）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由 ∠ABC =120°，可得AG =GC =32x,GB =GD =2x .因为AE ⊥EC ，所以在 Rt ∆AEC 中，可得EG 3x. 连接EG ，由BE ⊥平面ABCD ，知∆EBG 为直角三角形，可得BE 2x .由已知得，三棱锥E -ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==.故 x =2 从而可得AE =EC =ED 6. 所以∆EAC 的面积为3，∆EAD 的面积与∆ECD 的面积均为 5故三棱锥E -ACD 的侧面积为3+25【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力.20. 已知数列{}n a 满足11a =，124n n a a n +-=+，设1n n n b a a +=-，*n ∈N . （1）求证：{}1-n b 是等比数列； （2）设()124n n n c n a +=+-，数列{}n c 的前n 项和为n S ，求证：13n S <. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式，找到11n b +-与1n b -的关系，即可证明；（2）由（1）可写出1(1)2nn c n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，知各项为正，故11n S S ≥=，再利用错位相减法求出332n n n S +=-即可证明.【详解】（1）124n n a a n +-=+，11222n u na a +∴=++，21111112122n n n n n a a a a +++++∴--=++-- 113222n n a +=-++111132222n n n a a a ++⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭1111222n n a a +=-- ()1112n n a a +=--， ()11112n n b b +∴-=-，即又112212b a a a =--=-，而2121214631a a a b =++=⇒=⇒=，{}1∴-n b 是以1为首项，12为公比的等比数列， （2）由（1）知11111122n n n n b b --⎛⎫⎛⎫-=⇒=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则02212211111,1,,1()222n n n a a a a a a --⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1121111121122112212n n n n a a n n n ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=-+=-+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-，所以2122n n a n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以()111112(1)04422n nn n n n c n a n -++⎛⎫⎛⎫=+-=⋅=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则n S 单调递增，所以111n n S S S ≥=⇒≥,而()12111231222nn S n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①()()211111212222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②,①-②得：()()21111122111111111122222212nn n n n S n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-+=+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-, 2131233222n n n nn n S ++∴=+--=-<, 综上：13n S <【点睛】关键点点睛：由递推关系结合要证的式子特点，有意识，有方向的的变形，是解决此类问题的主要思路，数列通项公式为差比数列积的形式，求和需要用到错位相减法，要求熟练掌握，本题属于难题. 21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，己知PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，,2,12ABC BAD PA AD AB BC π∠=∠=====.（1）求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值：（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求段BQ 的长.【答案】（13（225. 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面PAB 与平面PCD 的法向量后可求它们所成二面角的余弦值.（2）BQ BP λ=，则可用λ表示CQ ，再用λ表示,CQ DP 所成角的余弦值，利用二次函数的性质可得何时取最小值.【详解】解：以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建系A xyz -如图，由题可知(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P .（1）∵AD ⊥平面PAB ，∴(0,2,0)AD =是平面PAB 的一个法向量，(1,1,2),(0,2,2)PC PD =-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，由00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得20220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取1y =，得而(1,1,1)m =，3cos ,||||AD m AD m AD m ⋅∴<>==，∴因为平面PAB 与平面PCD 3. （2）(1,0,2)BP =-，设(,0,2)(01)BQ BP λλλλ==-，又(0,1,0)CB =-，则(,1,2)CQ CB BQ λλ=+=--， 又(0,2,2)DP =-，从而2cos ,||||210CQ DP CQ DP CQ DP λ⋅<>==+，设12,[1,3]t t λ+=∈，则2222229cos ,5109101520999t CQ DP t t t <>==-+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，当且仅当95t =，即25λ=时， |cos ,|CQ DP <>因为cos y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值. 又215BP BQ BP ==∴==【点睛】方法点睛：利用空间向量计算角、长度时，需要根据题设条件合理建立空间直角坐标系，从而把空间角的计算归结为方向向量或法向量的夹角的计算，对于动点坐标的计算，也要作合理的假设.22. 已知双曲线()222210x y b a a b -=>>渐近线方程为y =，O 为坐标原点，点(M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OP OQ +的值． 【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ）221113OP OQ +=. 【解析】【分析】（Ⅰ）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（Ⅱ）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OP OQ +=． 【详解】（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为y =，∴设双曲线方程为22(0)3y x λλ-=≠， ∵点(M 在双曲线上． ∴2(λ-=，∴2λ=． ∴双曲线方程2223y x -=，即22126x y -=． （Ⅱ）由题意知OP OQ ⊥．设OP 直线方程为y kx =， 由22126x y y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩ ，解得222226363x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ∴22222222666(1)||333k k OP x y k k k +=+=+=---． 由OQ 直线方程为1=-y x k .以1k-代替上式中的k ，可得 2222216[1()]6(1)||1313()k k OQ k k+-+==---． ∴22222222113312(1)1+=6(1)6(1)6(1)3k k k k k k OP OQ --++==+++．衡石量书整理。
江苏镇江中学2024年高二上学期期初学情检测数学试题(解析版)
江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知数列2，，是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项C. 第22项D. 第19项【答案】A 【解析】，解出即可得.，解得20n =，20项. 故选：A.2. 已知等差数列{aa nn }的前n 项和为n S ，若91S =，则37a a +=（ ）A. 2−B. 73C. 1D.29【答案】D 【解析】【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成1a 和d 来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.【详解】方法一：利用等差数列基本量由91S =，根据等差数列的求和公式，911989193612S a d a d ×=+=⇔+=， 又371111222628(936)99a a a d a d a d a d +=+++=+=+=.故选：D方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，1937a a a a +=+，由91S =，根据等差数列的求和公式，193799()9()122a a a a S ++===，故3729a a +=. 故选：D方法三：特殊值法的不妨取等差数列公差0d =，则9111199S a a ==⇒=，则371229a a a +==. 故选：D3. 设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，259,,a a a 成等比数列，则135147a a a a a a ++=++（ ）A.1011B.1110C.34 D.43【答案】A 【解析】【分析】由题意可得18d a =，根据135331474433a a a a a a a a a a ++==++求解即可. 【详解】因为公差0d ≠的等差数列{aa nn }中，259,,a a a 成等比数列，所以2529a a a =⋅，即()()()211148a d a d a d +=+⋅+，解得18d a =，所以135331147441328210338311a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++. 故选：A.4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nS n n =+，1)n b n n ∗=∈≥N ,，则数列{}n b 的前n 项和为n T =（ ）A. −B. 1−C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用,n n a S 的关系求出n a ，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列{}n a 的前n 项和22nS n n =+， 当2n ≥时，2212[(1)2(1)]21nn n a S S n n n n n −=−=+−−+−=+，而113a S ==满足上式， 因此21na n =+，n b =−，所以n T =++++ .故选：D5. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ， 则SS nn =nnaa 1+nn (nn−1)2dd ,SS nn nn=aa 1+nn−12dd =dd 2nn +aa 1−dd 2,SS nn+1nn+1−SS nn nn=dd2，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =nnSS nn+1−(nn+1)SS nn nn (nn+1)=nnaa nn+1−SSnn nn (nn+1)为常数，设为t ， 即nnaa nn+1−SS nn nn (nn+1)=tt ，则SS nn =nnaa nn+1−tt ⋅nn (nn +1)，有SS nn−1=(nn −1)aa nn −tt ⋅nn (nn −1),nn ≥2，两式相减得：aa nn =nnaa nn+1−(nn −1)aa nn −2ttnn ，即aa nn+1−aa nn =2tt ，对1n =也成立， 因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2nn n S na d −=+， 则SS nnnn=aa 1+(nn−1)2dd =dd 2nn +aa 1−dd2，因此{}nS n为等差数列，即甲是乙充分条件； 反之，乙：{}n S n为等差数列，即SS nn+1nn+1−SS nn nn =DD ,SSnn nn =SS 1+(nn −1)DD ，即SS nn =nnSS 1+nn (nn −1)DD ，SS nn−1=(nn −1)SS 1+(nn −1)(nn −2)DD ，当2n ≥时，上两式相减得：SS nn −SS nn−1=SS 1+2(nn −1)DD ，当1n =时，上式成立， 于是aa nn =aa 1+2(nn −1)DD ，又aa nn+1−aa nn =aa 1+2nnDD −[aa 1+2(nn −1)DD ]=2DD 为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.的故选：C6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．若125n n a a n ++=+，则8S =（ ） A. 48 B. 50C. 52D. 54【答案】C 【解析】【分析】根据125n n a a n ++=+得到127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=，相加得到答案.【详解】因为125n n a a n ++=+，所以127a a +=，3411a a +=，5615a a +=，7819a a +=， 所以8711151952S =+++= 故选：C7. 已知函数()()633,7,7x a x x f x a x − −−≤= > ，若数列{}n a 满足*()(N )n a f n n =∈且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9(,3)4B. 9[,3)4C. (2,3)D. [2,3)【答案】C 【解析】【分析】()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，结合函数图象，得到不等式，求出23a <<.【详解】由题意可知，()f x 在[)1,,N x x ∗∈+∞∈上单调递增，由于()33y a x =−−和6x y a −=均为单调函数，故()86301733a a a a − −>> −−<，解得23a <<. 故选：C8. 在正项等比数列{}n a 中，4561,32a a a =+=．则满足1212n n a a a a a a +++> 的最大正整数n 的值为（ ）A. 12B. 11C. 9D. 10【答案】D 【解析】【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和12n a a a +++ 及12n a a a 的表达式，化简可得关于n 的不等式，解之可得n 的范围，取上限的整数部分即可得答案.【详解】设正项等比数列{}n a 公比为q ，则0q >，由题意可得()31411213a q a q q =+=， 解之可得1116a =，2q ，故其通项公式为1512216n n n a −−=×=． 记()1241122116122n n n nT a a a −−+++===− ， ()943542235122222n n n n n n a S a a −−−−−−−+−××× ．由题意可得n n T S >，即()9242122n n n−−>，化简得()942212n n n−+−>，由*N n ∈且1n >，因此只须()942n n n >−+，即21180n n −+<，n <<， 由于n 为正整数，因此n的整数部分，也就是10． 故选：D.二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ） A. 若{}n a 是等差数列，且22n S n n k =++，则0k =B. 若{}n a 是等比数列，且213n n S k +=+，则3k =−C. 若2321n S n n =−+，则{}n a 是等差数列 D. 若{}n a 是公比大于1的等比数列，则22n n S S >【答案】AB 【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用3221a a a a −≠−判断选项C ；通过举例2n n a =−，判断选项D.【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，则()2111222n n n d d d S na n a n −=+=+−， 且22n S n n k =++，故 0k =，故A 正确；对于B ，若{}n a 是等比数列，则当1q ≠时，()1111111n n n a q a aS q q q q−==−+−−−，且21339n n n S k k +=+=×+，则3k =−；当1q =时，2113n n S na k +=≠+，舍去，故B 正确；对于C ，若2321n S n n =−+，则112a S ==，221927a S S −=−==， 33222715a S S −−===，故3221a a a a −≠−，所以{}n a 不是等差数列，故C 错误；对于D ，若2nn a =−，则()21246,2224S S =−−=−=×−=−,此时212S S <，不满足22n n S S >，故D 错误. 故选：AB10. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*111,2n n a a S n +==∈N ，则有（ ）A. 13n n S −=B. {}n a 为等比数列C. 28nn a =⋅D. {}n S 为等比数列【答案】AD 【解析】【分析】BC 选项，根据11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ 得到21,123,2n n n a n −= = ×≥ ，从而得到BC 错误；A 选项，结合等比数列求和公式得到A 正确；D 选项，计算出13n nS S +=，得到D 正确. 【详解】BC 选项，12n n a S +=①，当1n =时，211222a S a ===， 当2n ≥时，12n n a S −=②，①-②得11222n n n n n a a S S a +−−−，故13n n a a +=，故{}n a 从第二项开始，为公比为3的等比数列，B 错误； 故21,123,2n n n a n −= =×≥，C 错误； A 选项，121223126231313n n n n S −−−−×=++++×=+=− ，A 正确；D 选项，11333nn n nS S +−==，故{}n S 为等比数列，D 正确. 故选：AD11. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件：11a >，202420251,a a >20242025101a a −<−，下列结论正确的是（ ）A. 20242025S S <B. 202420261a a <C. 2024T 是数列{}n T 中的最大值D. 数列{}n T 无最大值 【答案】ABC 【解析】【分析】根据条件202420251a a >判断0q >，分1q ≥和01q <<两情况讨论20242025101a a −<−得成立与否得出01q <<，即可判断A ；对于B ，利用A 的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C ，D ，由前面推得的202420251,01a a ><<即可判断.【详解】对于A ，由20242025101a a −<−可得，20242025(1)(1)0a a −−<（*），由20242024202251,a a q a >=可得0q >.当1q ≥时，因11a >，则202420251,1a a >>，即（*）不成立；当01q <<时，202420251,01a a ><<，（*）成立，故20242025S S <，即A 正确；对于B ，因2202420262025110a a a −=−<，故B 正确； 对于C,D ，由上分析202420251,01a a ><<，且01q <<，则2024T 是数列{}n T 中的最大值，故C 正确，D 错误. 故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知{}n a 是公比为12的等比数列，若14797100a a a a ++++=，则36999a a a a ++++= ______. 【答案】25 【解析】【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为3699942971714a a a a a a a a q ++++++=++=所以3699925a a a a ++++=故答案为：2513. 数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+，则数列{}n a 的通项公式为n a =______． 【答案】2n n ⋅ 【解析】【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将1112122n nn n aa +++=+，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得.【详解】由题意知1122n n n a a ++=+将等式两边同时除以12n +， 可得11122n n n na a ++=+，因为12a =，所以可知112a =， 则数列2n n a是以12a 为首项，1为公差的等差数列， 所以()112nna n n =+−=，所以2n n a n =⋅. 故答案为：2n n ⋅14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为24dm 20dm ×的长方形纸，对折1次共可以得到12dm 20dm,24dm 10dm ××两种规格的图形，它们的面积之和21480dm S =，对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，它们的面积之和22360dm S =，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折n 次，那么1nk k S ==∑______2dm ．【答案】 ①. 6 ②. 515(3)14402n n −+− 【解析】分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得n S ，再根据错位相减法得结果. 【详解】第一空：由对折2次共可以得到6dm 20dm ×，12dm 10dm,24dm 5dm ××三种规格的图形，所以对折三次的结果有：3dm 20dm ×，6dm 10dm ×，512dm 5dm,24dm dm 2××共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：3dm 20dm 2×，3dm 10dm ×，6dm 5dm ×，5512dm dm,24dm dm 24××，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：3dm 20dm 4×，3dm 10dm 2×，3dm 5dm ×，56dm dm 2×，5512dm dm,24dm dm 48××，共6种不同规格；第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为12的等比数列，首项为2240dm , 第n 次对折后的图形面积为12402n n S −=，对于第n 此对折后的图形的规格形状种数为1n +种， 则01211240224032404240(1)2222k n nk S n S −==××=××+++++∑ ， 1232124022403404240(1)22222n S n ×=×××+++++ ， 两式作差得：12312122402402402402400(1)242282n nS n −=×+++++−+ 11112(1)240224240(1)240(1)240(3)70720280240122212n n nn n n n n −−−+×−−×+××+−=−+−=， 因此515(3)14402n n S −=−+. 【故答案为：①6；②515(3)14402n n −+−.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +结构，利用分组求和法； （4）对于11{}n n a a +结构，其中{}n a 是等差数列，公差为()d d ≠0，则111111()n n n n a a d a a ++=−，利用裂项相消法求和.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知{aa nn }}是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+． （1）求{aa nn }的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ．【答案】（1）212n na −=（2）21223n n S +−=【解析】【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前n 项和公式，即可求解.小问1详解】因为数列{aa nn }是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{aa nn }的公比为q ()0q >，22312a a qq ==，212a a q q ==， 所以22416q q =+，解得2q =−（舍去）或4，所以数列{aa nn }是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a −−=×=．【小问2详解】 因为212n n a −=，求和可得：()2121422143n n n S +−−==−． 【16. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ． 【答案】（1）152na n =− （2）2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ 【解析】分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果； （2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ， 由题意可得211011*********a a d S a d =+= ×=+=，即1111298a d a d += += ，解得1132a d = =− ， 所以()1321152n a n n =−−=−，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +−==−， 令1520n a n =−>，解得152n <，且*n ∈N ， 当7n ≤时，则0n a >，可得2121214nn n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==−； 当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n −−−×−−−−+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n −≤= −+≥ .17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a =是公差为13的等差数列． 【（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ． 【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+−=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,进而得：111n n a n a n −+=−，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n +++=− + ，进而证得. 【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =, 又∵n n S a是公差为13的等差数列， ∴()121133n n S n n a +=+−=,∴()23n n n a S +=, ∴当2n ≥时，()1113n n n a S −−+=， ∴()()112133n n n n n n a n a a S S −−++=−=−,整理得：()()111n n n a n a −−=+, 即111n n a n a n −+=−, ∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a −−−=×××…×× ()1341112212n n n n n n ++=×××…××=−−，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=； 【小问2详解】 ()12112,11n a n n n n ==− ++ ∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n =−+−+−=−< ++18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足222n nn S a a =+−. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设,2n n n n a a b T =为数列{}n b 的前n 项和.若()332n n k n T S +−≤对任意的*n ∈N 恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1n a n =+（2）5,8 +∞【解析】【分析】（1）运用公式，已知n S 求n a 即可；（2）求出n b ，后运用错位相减求出n T ，后结合函数单调性可解．【小问1详解】222n n n S a a =+−①，且0n a >， 当1n =时，代入①得12a =；当2n ≥时，211122n n n S a a −−−=+−.②①-②得22112n n n n n a a a a a −−=−+−，整理得()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−+=−=−+， 因为0n a >，所以()112n n a a n −−=≥，所以数列{aa nn }为等差数列，公差为1，所以1n a n =+.【小问2详解】112n n n b ++=，()2341111123412222n n T n +=×+×+×+++ ，③ ()345121111112341222222n n n T n n ++=×+×+×++×++ ，④ ③-④得()2341211111121222222n n n T n ++=×++++−+ ， 所以13322n n n T ++=−，所以()332n n k n T S +−≤，且()32n n n S +=，化简得()232n n n k ++≥， 令()212334,22n n n n n n n n n c c c ++++−−=−=，所以1234c c c c <>>> ， 所以n c 的最大值为258c =，所以58k ≥. 所以k 的取值范围为5,8∞ +. 19. 设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn n b a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和． （1）若2133333,21a a a S T =++=，（ⅰ）求{}n a 的通项公式；（ⅱ）若,,n n na n cb n = 为奇数为偶数数列{}nc 的前n 项和为n T ，求20T ． （2）若{}n b 为等差数列，且191919S T −=，求d ． 【答案】（1）（ⅰ）3n a n =；（ⅱ）20340T = （2）1110d =【解析】【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及,n n S T 的定义即可求解； （2）由等差数列前n 项和基本量的计算结合分类讨论即可求解.【小问1详解】 （ⅰ）由21333a a a =+，得132d a d =+，解得1a d =， 则()321336S a a d d ==+=，又31232612923T b b b dd d d=++=++=， 有339621S T d d +=+=，即22730d d −+=，解得3d =或12d =（舍去），所以()113n a a n d n =+−⋅=.（ⅱ）3n a n =，则22133n n n n n n n b a n +++===， 则()()201234192013192420T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++ ()357213135193403++++=+++++= . 【小问2详解】 若{bb nn }为等差数列，则有2132b b b =+，即21312212a a a =+， 得2323111616d a a a a a −== ，即2211320a a d d −+=，解得1a d =或12a d =， 由1d >，则0n a >，又191919S T −=，，由等差数列性质知，1010191919a b −=， 即10101a b −=，得10101101a a −=， 即100211100a a −−=，解得1011a =或1010a =−（舍去），当12a d =时，10111119a a d d=+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解； 当1a d =时，10110119a a d d=+==，解得1110d =. 11110a d ==时，1110n a n =，()10111n n b +=，符合题意， 所以等差数列{aa nn }的公差1110d =.。
江苏省镇江中学2020-2021学年高三上学期9月期初教学质量检测数学试题(wd无答案)
江苏省镇江中学2020-2021学年高三上学期9月期初教学质量检测数学试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 复数的实部与虚部分别为（）A．2，1B．2，C．11，D．11，(★★) 3. 已知，则A．B．C．D．(★) 4. 记 S n为等差数列{ a n}的前 n项和．若 a 4+ a 5＝24， S 6＝48，则{ a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8(★) 5. 如图，已知点 C为△ OAB边 AB上一点，且 AC=2 CB，若存在实数 m， n，使得，则的值为（）．A．B．0C．D．(★★) 6. 在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（）A．B．C．D．(★★) 7. 已知边长为2的正六边形，则的值是（）A．6B．C．D．(★★★) 8. 已知函数的图象过点，令，记数列的前项和为，则（）A．B．C．D．二、多选题(★) 9. 下列函数中，在其定义域内是偶函数有（）A．B．C．D．(★★) 10. (多选题)下列四个条件，能推出＜成立的有（）A．b＞0＞a B．0＞a＞bC．a＞0＞b D．a＞b＞0(★★) 11. 函数的（）A ．图象对称中心为B ．增区间为C ．图象对称轴方程为，D ．最大值是2，最小值是-2(★★★) 12. 已知函数，当 时， 的取值范围为 ，则取下列哪些值时符合题意（）A ．-2B ．4C ．6D ．10三、填空题(★★) 13. 首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有_____种（结果用数值表示） (★★) 14. 随机变量 的分布如下表，则_______.240.40.30.3(★★) 15. 在平面直角坐标系中，已知点、 ， 、 是 轴上的两个动点，且，则的最小值为____． (★★★) 16. 设是函数 的导数，是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则_______.四、解答题(★★) 17. 在数列中，，若平面向量与平行，则在① ，；② ，；③ ，这三个条件中任选一个，求数列的通项公式.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(★★★) 18. 在三角形中，角，，分别对应这边，，.已知，且.（1）求的值；（2）若，求的值.(★★★) 19. 已知数列是首项为的等比数列，前项和中，，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，若，求证.(★★★) 20. 在数列中，，.（1）求证数列为等比数列，并求关于的通项公式；（2）若，求数列的前项和.注：将第（2）小题结果化为的形式.(★★★) 21. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序12345678零件尺寸9．9510．129．969．9610．019．929．9810．04抽取次序910111213141516零件尺寸10．269．9110．1310．029．2210．0410．059．95经计算得，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，．（1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）附：样本的相关系数，．(★★★★) 22. 已知函数.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若，求的取值范围.。
江苏省镇江中学2020-2021学年第一学期高二12月份月考数学
江苏省镇江中学高二教学质量检测(数学)一､单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上)1.在等比数列{}n a 中,24a =,532a =,则4a =()A.8B.-8C.16D.-162.如图,在正方体1111A BCD A B C D -中,M,N 分别是棱CD,CC 1的中点,则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是()A.30︒B.45︒C.60D.90︒3.下列命题中正确的是()A.若a,b 是两条直线,α，β是两个平面,且a α∈b β∈,则a,b 是异面直线B.若a,b 是两条直线,且//a b ,则直线a 平行于经过直线b 的所有平面C.若直线a 与平面a 不平行,则此直线与平面内的所有直线都不平行D.若直线a ∥平面a,点P α∈,则平面α内经过点P 且与直线a 平行的直线有且只有一条4.“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家,他的应用数学巨著《算法统宗》的问世,标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成.程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”([注释]三升九:3.9升.次第盛:盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为()A.1.9升B.2.1升C.2.2升D.2.3升 5.已知抛物线2:C y x =的焦点为F,()00,A x y 是C 上一点,05||4AF x =，则0x =()A.1B.2C.4D.86.已知数列{}n a ､{}n b 满足2n n b log a =,,*n N ∈,,其中{}n b 是等差数列,且9201214a a ⋅=,.则1232020b b b b ++++=() A.2020 B.-2020 C.22020log D.10107.如图所示,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为43π的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋(球体离蛋巢底面的最短距离为()A.12B.12C.12D.128.如图所示,在多面体ABCDEF 中,已知ABCD 是边长为1的正方形,且ADE ，BCF 均为正三角形,//EF AB ,2EF =,则该多面体的体积为()C.43D.32二､多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分,请把正确选项前的字母填涂在答题卡相应位置上)9.如图,在以下四个正方体中,直线AB 与平面CDE 垂直的是()10.等差数列{}n a 是递增数列,满足753a a =,前n 项和为S π,下列选择项正确的是()A.0d >B.10a <C.当5n =时n S 最小D.0n S >时n 的最小值为811.已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上,1F ､2F 是双曲线C 的左､右焦点,若12PF F 的面积为20,则下列说法正确的有()A.点P 到x 轴的距离为203B.1250||||3PF PF +=C.12PF F 为钝角三角形D.123F PF π∠= 12.设A,B 是抛物线2y x =上的两点,O 是坐标原点,下列结论成立的是()A.若OA OB ⊥,则||||2OA OBB.若OA OB ⊥,直线AB 过定点()1,0C.若OA OB ⊥,O 到直线AB 的距离不大于1D.若直线AB 过抛物线的焦点F,且|31|AF =,则||1BF = 三､填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上13.双曲线221169x y -=的渐近线方程为________. 14.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家,在他的《好玩的数学》一书中,有一篇文章《五分钟挑出埃及分数》,文章告诉我们,古埃及人喜欢使用分子为1的分数(称为埃及分数).则下列埃及分数1111,,,,43355720192021⨯⨯⨯⨯的和是_____. 15.四棱锥P ABCD -的底面为正方形ABCD,PA ⊥底面ABCD,2AB =,若该四棱锥的所有顶点都在体积为92π的同一球面上,则PA 的长为_______. 16.设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为F,直线43200x y -+=过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ,O 为原点,||||OP OF =,则双曲线C 的右焦点的坐标为______,离心率为________.四､解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题卡指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,D 为棱BC 的中点,AB BC ⊥,1BC BB ⊥,11AB A B ==,1BB =(1)证明:1A B ∥平面1AC D ；(2)证明:1A B ⊥平面ABC.18.设*n N ∈,数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12n n n S S a +=++,______.请在①1a ,2a ,5a 成等比数列,②69a =,③535S =这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面问题.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足()11n a nn n b a +=+-,求数列{}n b }的前2n 项的和2n T .19.如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC ⊥平面BED;(2)若120ABC ︒∠=,AE EC ⊥,三棱锥E-ACD ，求该三棱锥的侧面积.20.已知数列{}n a 满足11a =,124n n a a n +-=+,设1n n r b a a +=-,*n ∈N .(1)求证:{1}n b -是等比数列；(2)设()124n n n c n a +=+-,数列{}n c 的前n 项和为n S ,求证:13n S <.21.如图,在四棱锥P ABCD -中,已知PA ⊥平面ABCD,且四边形ABCD 为直角梯形,2ABC BAD π∠=∠=，2PA AD ==1AB BC ==.(1)求证平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值(2)点Q 是线段BP 上的动点,当直线CQ 与DP 所成的角最小时,求线段BQ 的长.22.已知双曲线()222210x y b a a b -=>>渐近线方程为y =,O 为坐标原点,(M 在双曲线上. (1)求双曲线的方程:(2)已知P ,Q 为双曲线上不同两点,点O 在以PQ 为直径的圆上,求2211||||OP OQ 的值.。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题
江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为（ ） A ．()0,2B ．()2,0-C ．()2,0D ．()0,2-2．双曲线2212x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．y x =±D ．2y x =±3．在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,2,3)A 关于x 轴的对称点的坐标为（ ） A ．1,23(,)--B ．(1,2,3)-C ．1,2)3(,---D ．(1,2,3)-4．在空间直角坐标系中，已知(103)A -，， ，(421)B -，， ，则AB = （ ）A BC D5．椭圆221925x y +=的焦点为1F ，2F ，AB 是过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长为( ) A ．20B ．12C ．10D ．66．已知双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．221410x y -=B ．221612x y -=C ．221814x y -=D ．22128x y -=7．已知抛物线24x y =上一点A 纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ）A B ．4C ．5D 8．已知向量(),1,2a x =-，(2,6,4)b =-，且a b ⊥，则x =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．89．(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--，(7,5,)c x =，若a ，b ，c 三向量共面，求实数x =（ ） A ．627B ．637C ．607D ．65710．若椭圆221168x y +=的弦被点(2,1)平分，则此弦所在的直线方程是（ ）A ．30x y +-=B ．240x y +-=C ．210140x y +-=D ．350x y +-=11．若直线2244mx ny x y +=+=和圆没有交点，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为（ ） A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个12．若Rt ABO 的直角顶点O 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心，,OA OB 交椭圆于,A B 两点，则点O 在斜边AB 上的射影H 的轨迹是（ ） A ．线段 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线的一支二、填空题13．已知三点(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(,,15)C x y 共线，则x y +=______． 14．已知向量(0,0,1)a =，(0,1,1)b =，则a 与b 的夹角为______．15．已知点F 是椭圆221259x y +=的右焦点，M 是这个椭圆上的点，(2,2)A 是一个定点，则5||||4MA MF +的最小值是_____． 16．设直线()300x y m m -+=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(),0P m 满足PA PB =，则该双曲线的离心率是_________．三、解答题17．（1）已知焦点在x 轴上的双曲线，它的离心率54e =，且其右焦点为2(5,0)F 求这个双曲线的标准方程；（2）若直线45200x y +-=恰好经过某抛物线的焦点，求此抛物线的标准方程．18．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1A ，离心率为2，过点()0,2B -及左焦点1F 的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为2F .（1）求椭圆的方程； （2）求2CDF 的面积.19．（用空间向量法）如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB ⊥平面BEC ，BE EC ⊥,2AB BE EC ===，,G F 分别是线段,BE DC 的中点．（1）求证：//GF 平面ADE ；（2）求平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的平面角的余弦值．20．在平面四边形ABCD 中，1AB BD CD ===，,AB BD CD BD ⊥⊥，将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，如图．（1）求证：AB CD ⊥；（2）若M 为AD 中点，求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值．21．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q.（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）；（ii ）当TF PQ最小时，求点T 的坐标.22．过抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点F 作斜率分别为12,k k 的两条不同的直线12,l l ，且122k k +=，1l E 与相交于点A ，B ，2l E 与相交于点C ，D ．以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N （M ，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l ． （I ）若120,0k k >>，证明；2·2FM FN P <；（II ）若点M 到直线l ，求抛物线E 的方程．参考答案1．C 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】由题意可知，抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，故选：C.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．A 【分析】利用渐近线公式，令2202x y -=，直接求解即得.【详解】令2202x y -=，解得：2y x =±故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，可利用“1变0”方法求解，属于简单题. 3．A 【分析】设(1,2,3)A 关于x 轴对称的点为A '，则AA '的中点为(1,0,0)，即可据此求解. 【详解】设(1,2,3)A 关于x 轴对称的点为A '， 则AA '的中点为(1,0,0)，由中点坐标公式可得：1,2,3x y z ==-=- 所以(1,2,3)A '--， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了空间直角坐标系的理解，空间中点关于轴的对称点的求法，属于容易题. 4．B 【解析】由空间中两点间的距离公式得AB ==选B ． 5．A 【分析】根据椭圆的标准方程求出a ，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程221925x y +=得椭圆的焦点在y 上，225,a = 故5a =，根据椭圆的定义可知：12210F A AF a +== 12210F B BF a +==∴2ABF ∆的周长为:22121220AB AF BF F A AF F B BF ++=+++=.故选：A 【点睛】本题考查了焦点三角形周长，考查了椭圆的定义，属于基础题. 6．D 【分析】根据双曲线虚轴长与实轴长的关系求出m 的值即可求解． 【详解】由题意可知a =b ==2m =，所以双曲线的标准方程为22128x y -=．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单几何性质，双曲线的标准方程，属于容易题. 7．C 【解析】抛物线24x y =的准线方程为1y =-，点A 到准线的距离为5，根据抛物线定义可知点A 到焦点的距离为5.故选择C. 8．C 【分析】由向量垂直，可知数量积为0即可求解． 【详解】 由题意可知，·2680a b x =--=，解得7x =． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，向量数量积的坐标运算，属于容易题. 9．D 【分析】若a ，b ，c 三向量共面，我们可以用向量a ，b 作基底表示向量c ，进而构造关于x 的方程，解方程即可求出实数x 的值． 【详解】 解：(2,1,3)a =-，(1,4,2)b =--∴a 与b 不平行，又a ，b ，c 三向量共面，则存在实数X ，Y 使c X a Yb =+即274532X Y X Y X Y x -=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩解得657x =故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是共线向量与共面向量及平面向量基本定理，其中根据a ，b ，c 三向量共面，a 与b 不共线，则可用向量a 、b 作基底表示向量c ，造关于x 的方程，是解答本题的关键． 10．A 【分析】设直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y ，把两点坐标代入椭圆方程，利用点差法求得斜率，然后求解直线方程． 【详解】设弦所在的直线与椭圆交()()1122,,,A x y B x y ，则2211222211681168x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：1212121212y y y y x x x x +-⨯=-+-， 因为弦中点为(2,1)， 所以12122,4y y x x +=+=，所以12121122y y x x -⨯=--， 即12121y y k x x -==--则直线方程为：1(1)(2)y x -=--,化简得 30x y +-=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系， “点差法”的解题思想方法，直线方程的求法，属于中档题． 11．A 【详解】直线2244mx ny x y +=+=和圆22202m n >∴<+<点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆22m n +=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，则过点(,)m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2个12．B 【分析】设出直线AB 的方程，与椭圆联立方程组，利用韦达定理以及点到直线的距离求证OH 为定值即可求解． 【详解】当直线AB 斜率不存在时，设(),A t t ，则22221t t a b+=，解得222222;a b OH t a b ==+ 当斜率存在时，设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 方程为y kx m =+， 代入椭圆方程化简得()22222222220b a kxkma x a m a b +++-=，则()222212122222222,,a m b kma x x x x b a k b a k-+=-=++ 因为OA OB ⊥，所以()()()()221212121212121x x y y x x kx m kx m kx xkm x x m +=+++=++++()()222222222222210a m b kmakkm m b a kb a k--=++⨯+=++，化简得()2222221a b k m a b +=+，利用点()0,0O 到直线距离公式，则22222221m a b OH k a b==++为定值， 综上可知H 的轨迹是以O的圆.故选：B ． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，向量垂直，点到直线的距离，分类讨论的思想，属于难题. 13．92-【分析】根据三点共线可知向量,AB BC 共线，利用共线向量的坐标运算即可求解. 【详解】因为三点(1,2,11)A -，(4,2,3)B ，(,,15)C x y 共线， 所以向量(3,4,8)AB =-，(4,2,12)BC x y =--共线， 即AB BC λ=，所以3(4)4(2)812x y λλλ=-⎧⎪=-⎨⎪-=⎩，解得21,,432x y λ=-=-=-， 所以92x y +=-， 故答案为：92-【点睛】本题主要考查了向量共线的坐标运算，属于中档题. 14．4π 【分析】根据空间向量的夹角公式直接计算即可. 【详解】因为(0,0,1)a =，(0,1,1)b =，所以cos ,2||||2a b a b a b ⋅<>===，因为,[0,]a b π<>∈， 所以,4a b π<>=，故答案为：4π【点睛】本题主要考查了向量的夹角计算公式，属于中档题. 15．174【分析】由题意，可得椭圆的离心率45e =，又椭圆的第二定义MF e d=，可得答案. 【详解】依题意可知，()4,0F ， 因为椭圆的离心率45e =， 过M 作右准线的垂线交于点K ，距离为d ． 又椭圆的第二定义MF e d=，554·445MA MF MA d +=+≥A 到准线的距离2251722.44a c =-=-=所以54MA MF +的最小值是174． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，椭圆的第二定义，属于中档题. 16【解析】试题分析：由双曲线的方程可知，渐近线方程为by x a=±，分别与()300x y m m -+=≠联立，解得(,),(,)3333am bm am bmA B a b a b a b a b-----++，所以AB 中点的坐标为2222223(,)99ma mb b a b a--，因为点(,0)P m 满足PA PB =，所以22222230939mb b a ma mb a --=---，所以2a b =，所以c =，所以2c e a ==． 考点：双曲线的几何性质．【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，直线与双曲线的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中用双曲线的渐近线与已知直线方程联立，求解点,A B 的坐标是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．17．（1）221169x y -=（2）220y x =或216x y =【分析】()1 根据条件求出,a b ，结合焦点位置即可写出双曲线的标准方程；()2 根据直线过抛物线的焦点，焦点在坐标轴上，可得焦点，得到抛物线标准方程．【详解】()1依题意设双曲线为22221x y a b-=，由已知5c =，又54c e a ==， 4a ∴=所以22225169b c a =-=-=，所双曲线的方程为221169x y -=．()2直线45200x y +-=，令0y =，知5x =， 令0x =，知4y =，所以抛物线的焦点为()5,0或()0,4， 所以10p =或8p =，所以抛物线的标准方程为220y x =或216x y = 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，抛物线的标准方程，属于中档题.18．（1）2212x y +=；（2.【分析】（1）根据椭圆的概念和平方关系，建立关于a 、b 、 c 的方程，解出a =1b c ==，从而得到椭圆的方程；（2）求出直线1F B 的斜率可得直线1F B 的方程为22y x =--，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算出12x x -，结合弦长公式可得CD =，最后利用点到直线的距离公式求出点2F 到直线1BF 的距离d ，即可得2CDF 的面积. 【详解】由题意知：2221b c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为： 2212x y +=（2）因为左焦点()11,0F -，()0,2B -，得直线1F B 的斜率为2-， 所以直线1F B 的方程为22y x =--，由222212y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：291660x x ++=， 因为2=16496400∆-⨯⨯=> ，所以直线与椭圆有两个公共点，设为()11,C x y ()22,D x y则121216923x x x x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩， 所以12CD x =-===， 又因为点2F 到直线1BF的距离d =， 所以2CDF的面积为：1122959S CD d =⨯=⨯=【点睛】本题出椭圆满足的条件，求椭圆的方程，并求三角形的面积.着重考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题. 19．（1）证明见解析（2）23【分析】()1根据题意证明线线平行，再证明线面平行；()2分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求二面角． 【详解】()1如图，取AE的中点H，连接HG，HD，G是BE的中点，//GH AB ∴，且12GH AB=，又F是CD中点，四边形ABCD是矩形，//DF AB ∴，且12DF AB=，即//GH DF，且GH DF=，∴四边形HGFD是平行四边形，//GF DH∴，又DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，//GF∴平面ADE()2如图，在平面BEC内，过点B作//BQ CE，BE EC⊥，BQ BE∴⊥，又AB⊥平面BEC，AB BE ∴⊥，AB BQ ⊥，以B 为原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则(0,A 0，2)，(0,B 0，0)，(2,0,E 0)，(2,2,F 1)AB ⊥平面BEC ，(0,0,2BA ∴=）平面BEC 的法向量， 设(,n x =y ，)z 为平面AEF 的法向量.又(2,02AE =-，），()2,?21AF =-， 由垂直关系可得·220,·220n AE x z n AF x y z ⎧=-=⎨=+-=⎩取2z =可得()2,1,2n =-．cos n ∴<，·23n BA BA n BA>==. 所以面AEF 与面BEC 所成锐二面角的平面角的余弦值为23． 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，以及利用空间向量求二面角，属中档题．20．（1）证明见解析；（2）3． 【详解】试题分析：(1)由AB BD ⊥,将ABD ∆沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ,即可得AB 垂直于平面BCD.从而得到结论.(2)依题意,可得0DBC=45∠,又由AB ⊥平面BCD.如图建立直角坐标系. 求直线AD 与平面MBC 所成角的正弦值.等价于求出直线AD 与平面MBC 的法向量所成的角的余弦值.写出相应的点的坐标以及相应的向量,求出法向量即可得到结论.试题解析：(1)因为ABD ⊥平面BCD ,平面ABD平面,BCD BD AB =⊂平面,,ABD AB BD ⊥所以AB ⊥平面.BCD 又CD ⊂平面,BCD 所以AB CD ⊥.(2)过点B 在平面BCD 内作BD 的垂线作为x 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系． ∵AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，∴B （0，0，0），C （1，1，0），A （0，0，1），D （0，1，0），M 11022⎛⎫ ⎪⎝⎭，，．∴AD =（0，1，﹣1），BC =（1，1，0），11022BM ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．设平面BCM 的法向量n =（x ，y ，z ），则01122n BC x y n BM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令y ＝﹣1，则x ＝1，z ＝1． ∴n =（1，﹣1，1）．设直线AD 与平面MBC 所成角为θ． 则sin θ＝|cos nAD ＜，＞|3n AD n AD⋅===考点：1.线面的位置关系.2.空间直角坐标系.3.空间想象力.21．(1)22162x y +=；（2）证明见解析，(3,0)T - 【分析】（1）由题意2c =，又222,a a b c ==+，由此可求出,a b 的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为2236x y +=.设PQ 的方程为2x my =-，代入椭圆方程得：()223420my my +--=.（ⅰ）设PQ 的中点为()00,M x y ，求出,OM OT k k ，只要OM OT kk =，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用m 表示出PQ ，TF可得：2|TF PQ =3⎫≥=.再根据取等号的条件，可得T的坐标. 【详解】（1）2c=，又22222,6,162x ya b a=⇒==∴+=.（2）椭圆方程化为2236x y+=.（ⅰ）设PQ的方程为2x my=-，代入椭圆方程得：()223420m y my+--=.设PQ的中点为()00,M x y，则002226,33my xm m==-++又TF的方程为()02y m x-=-+，则3x=-得y m=，所以03OM OTy mk kx==-=，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ）)2213mPQm+==+，又TF=，所以2212|mTFPQ++⎫===≥=当1m=±时取等号，此时T的坐标为()3,1T-±.【点睛】本题考查了椭圆的方程的求解，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查了最值问题的求解方法，属于中档题.22．（I）见解析（II）216x y=【解析】（1）依题意，抛物线E的交点为(0,)2pF，直线1l的方程为12py k x=+，由12{22py k xx py=+=得22120x pk x p--=，设A、B两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则12,x x是上述方程的两个实数根，从而1212121212{()2x x pky y k x x pk p+=+=+=+，所以点M的坐标为，211(,)FM pk pk =，同理可得N 的坐标为222(,)2ppk pk +，222(,)FN pk pk =，于是2221212·()FM FN p k k k k =+，由题设，1212122,0,0,k k k k k k +=>>≠，所以21212()012k k k k +<<=，故222·(11)2FM FN p p <+=；（2）由抛物线的定义得12,,22p pFA y FB y =+=+所以212122,AB y y p pk p =++=+从而圆M 的半径211r pk p =+，圆M 的方程为22222111()()(),2p x pk y pk pk p -+--=+化简得22221132(21)04x y pk x p k y p +--+-=，同理可得圆N 的方程为22222232(21)04x y pk x p k y p +--+-=，于是圆M 与圆N 的公共弦所在直线l 的方程为222121()()0k k x k k y -+-=，又21120,2k k k k -≠+=，则直线l 的方程为20x y +=，因为0p >，所以点M 到直线l 的距离21172()p k d ⎡⎤≥++⎢⎥==，故当114k =-时，d . 5=8p =，故所求抛物线E 的方程为216x y =。
2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高二上学期第二次月考数学试题(解析版)
2020-2021学年江苏省镇江市第一中学高二上学期第二次月考数学试题一、单选题1．已知命题p ：0x ∀≥，21x ≥，则命题p 的否定是（ ） A ．0x ∃≥，21x < B ．0x ∀≥，21x < C ．0x ∃<，21x < D ．0x ∀<，21x <【答案】A【分析】由全程命题的否定是特称命题，即可得出结果.【详解】命题：“0,21xx ∀≥≥”是全称命题，全程命题的否定是特称命题所以0,21xx ∀≥≥否定为0,21x x ∃≥< 故选：A2．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 ．A．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．)【答案】C【详解】试题分析：双曲线方程变形为222221311,12222y x a b c c -=∴==∴=∴=焦点为⎫⎪⎪⎝⎭【解析】双曲线方程及性质3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（ ）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π【答案】B【分析】根据题意，S S =圆环总成立可知，椭半球体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解.【详解】根据题意，由椭圆的短轴长为6，长轴长为8可知, 圆柱的高为4h =，底面半径3r =， 由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，()221=2-=23V V V r h r h ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭椭球体圆柱圆锥，即221=23434483V πππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭椭球体. 故选：B.【点睛】本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考查运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键;属于中档题. 4．正三棱柱111ABC A B C -中，若12AB BB =，则1AB 与1C B 所成的角的大小为（ ） A ．60° B ．90°C ．45°D ．120°【答案】B【分析】选出向量的基底，选BA ，BC ，1BB 为基底，将1AB 、1C B 用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角．【详解】设1BB m =，BA a =，BC b =，1BB c =， 则11AB BB BA c a =-=-，1111C B C B B B b c =+=--，()()()()211AB C B c a b c a c b c a b a c c b c ⋅=-⋅--=-⋅+=⋅+⋅-⋅-2102m =⨯-=，∴11AB C B ⊥，∴1AB 与1C B 所成的角的大小是90， 故选：B【点睛】方法点睛：求两条异面直线所成的角，常利用向量作为工具，将异面直线赋予向量意义，利用向量的数量积求出两个向量所成的角，再根据异面直线所成角的范围，求出异面直线所成的角5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若5624a a +=，848S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式直接求解 【详解】{}n a 是等差数列，且5624a a +=，848S =故11292482848a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115,6a d =-=， 故选：C.6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知lg 20.3010=，lg30.4771=，结果精确到0.1）（ ） A ．3.5 B ．3.6C ．3.7D ．3.8【答案】B【分析】可得蒲草和菀草每天长高数分别成等比数列，根据等比数列求和公式建立等量关系即可解出.【详解】设蒲草每天长高数形成数列{}n a ，则由题可得{}n a 是首项为6，公比为12的等比数列，设菀草每天长高数形成数列{}n b ，则由题可得{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，若第n 天，蒲草和菀草高度相同，则16112211212n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，可得()22132120n n -⋅+=，解得21n =或212n =，0n ∴=（舍去）或222lg30.4771log 12log 3log 422 3.6lg 20.3010n ==+=+=+≈. 故选：B.7．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为22(010)x y y =≤≤，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】设截面圆的圆心为(0,)b ，设抛物线上点的坐标为(,)P x y ，将圆心到点P 的距离r 表示出来，根据r 的最小值在原点(0,0)处取得，即可求解.【详解】设小球的截面圆的圆心为(0,)b 其中(0)b >，抛物线上点(,)P x y ， 则圆心到点P 的距离222222()2()2(1)r x y b y y b y b y b =+-=+-=+-+， 其中010y ≤≤由2r 的最小值在原点(0,0)时取得，则小球触及到杯底，故此二次函数的对称轴的位置在y 轴的左侧，所以10b -≥，解得01b <≤， 所以玻璃球的半径的最大值为1. 故选：B.8．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD，AB =6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A ．96B 93C 96D 93【答案】A【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,32CE CC AA BC AB ''=====，所以22361832BE CE CB =--=，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 636186S rl CC DC ππππ'==⨯⨯=⨯⨯=， 所以曲面面积为19668π⨯=. 故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力.9．已知点()00,P x y 是椭圆22:1716x y C +=上 一点（异于椭圆的顶点），1F 、2F 分别为C 的两个焦点，A 、B 是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F △周长为16 B ．1PF 的最大值为7C ．准线方程为73y =± D ．直线PA 与PB 的斜率的乘积为167-【答案】D【分析】根据标准方程确定出焦点，长半轴，短半轴的长，然后根据问题结合椭圆的性质逐项判断即可.【详解】因为椭圆22:1716x y C +=，故焦点在y 轴上，且43a b c ===，，因为点P 在椭圆上：故12PF F △的周长为：2214a c +=，故A 错误；因为点()00,P x y 异于椭圆顶点，所以17PF a c <+=，故B 错误；准线方程为2163a c y =±=±，故C 错误；易知(A ，B ，故20207PA PB y k k x ⋅==-，而22001716x y +=，故22716()7x y -=⨯，代入得167PA PBk k ⋅=-，故D 正确； 故选：D.二、多选题10．若m 、n 是两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ）A ．若//,//m n m α，则//n αB ．若//,/,//m n m n αβ，则//αβC ．若//,m n n α⊥，则m α⊥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥【答案】CD【分析】根据平行关系判断AB ，根据垂直关系判断CD.【详解】A. 若//,//m n m α，则//n α或n ⊂α，故A 不正确；B.若,m n 都与；两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出//αβ，故B 不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C 正确；D. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故D 正确. 故选：CD11．设椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=（其中0a b >>）的离心率分别为12,e e ，下列结论中正确的是（ ） A ．121e e < B ．22122e e +=C ．121e e >D ．122e e +<【答案】ABD【分析】求出1e =2e =.【详解】由题意可得1e =2e =对于A ，121e e ===，故A 正确、C 不正确； 对于B ，22222222212a b a b a ae e -+=++=，故B 正确； 对于D ，由1201,1e e <<>所以)122e e +==，122e e +<成立，故D 正确.故选：ABD12．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项和为n T ，下列说法正确的有（ ） A ．若10,0a d ><，则存在正整数n 使得0n a >且10n a +< B ．若10,0a d <>，则n S 有最小值无最大值C ．数列{}n b 是单调递增数列的一个充分不必要的条件是10,1b q >>D ．()()2232n n n n n T T T T T -=-对于任意正整数n 恒成立 【答案】BCD【分析】举反例可说明A ；根据等差数列前n 项和的二次函数特征可判断B ；根据数列{}n b 是单调递增数列得出10,1b q >>或10,01b q <<<可判断C ；由等比数列的求和公式可判断D.【详解】对于A ，等差数列{}n a 中，如12,1a d ==-，则数列中不存在正整数n 使得0n a >且10n a +<，故A 错误；对于B ，若10,0a d <>，则21+22n d d S n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，开口向上，所以n S 有最小值无最大值，故B 正确；对于C ，若数列{}n b 是单调递增数列，则10,1b q >>或10,01b q <<<，所以“10,1b q >>”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要的条件，故C 正确；对于D ，若1q =，则12112n n nb T T nb nb =-=-，()()()232111132n n n T T T nb nb nb nb -=-=，故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，当1q ≠时，()()()2211221111n n n n T T b q b q q q ⎡⎤--⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦- ()()2222211111n n n n b b q q q q q q ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭， ()()()()3211132111111n n n n n n T b q b q b q T q q T q ⎡⎤---⎢⎥----⎢⎥⎣⎦-= ()()()222232111111n n n n n b b q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】本题考查等差等比数列的前n 项和性质和单调性问题，解题的关键是熟悉等差等比数列的特性，熟悉求和公式.三、填空题13．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则a 可用b 和c 表示为______.【答案】1()2a b c =+ 【分析】根据三个向量,,a b c 共面，利用空间向量基本定理，由a b c λμ=+求解. 【详解】因为空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，且三个向量,,a b c 共面，所以a b c λμ=+，即1121m λμμλμ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得12121m λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以1()2a b c =+， 故答案为：1()2a b c =+14．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12319b b b b a a a a ++++=________.【答案】19218+【分析】由等差数列、等比数列的通项公式可得121n n b a -=+，再由等比数列的前n 项和公式即可得结果.【详解】由题意可得：1n a n =+，12n n b -=，1121n n b n a b -=+=+所以12191918191(12)(122)191921812b b b a a a ⨯-+++=++++=+=+-故答案为：19218+15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+，且||||OM OF =，则双曲线C 的离心率为________. 【答案】2【分析】先确定点M 的坐标，再确定点P 的坐标，代入双曲线的方程，即可求得双曲线的离心率，得到答案.【详解】由题意，点,M P 位于x 轴的上方，因为||||OM OF c ==，M 为直线2a x c =-上一点，可得2(a M c -，又因为OP OF OM =+，所以四边形OMPF 为菱形，//PM x 轴，所以2(a P cc -，即2(b P c ，代入双曲线的方程，可得422221b c c a b-=，整理得224c a =，所以2c a =， 所以双曲线的离心率为2ce a==.故答案为：2.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.3【分析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率. 【详解】作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点， 其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥， 根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==， 所以2212223OF OF OM MF ==-=，即23c =， 所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠=，所以60AOQ ∠=， 所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =， 所以椭圆的离心率为23342c e a ===. 故答案为：3.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.（1）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足232n a n nb a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）选择②填在第一行第二列时满足条件；32n a n =-；（2）1(35)210n n +-⋅+.【分析】（1）可知只有②满足题意，得出1231,4,7a a a ===，求出公差即得通项公式； （2）求出b n ，利用错位相减法即可求出.【详解】（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中 满足题意的1231,4,7a a a ===，因为{}n a 是等差数列，设公差为d 则32213d a a a a =-=-=，1(1)32n a a n d n =+-=-∴（2）232(32)2n a n n nb a n +=⋅=-⋅123124272(32)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412124272(35)2(32)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②两式相减得2312323232(32)2n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()2111321223225321012n n n n n -++⋅-=+--⋅=-⋅--1(35)210n n T n +∴=-⋅+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为()11,A x y 、()22,B x y ，其中12x x <，且||9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B 、O 、C 三点共线.【答案】（1）28y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）设出直线方程，联立直线与抛物线，利用焦点弦长公式即可求出； （2）可得出,,A B C 坐标，根据BO CO k k =即可证明. 【详解】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB的方程为y =，联立22y y px⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得22450x px p -+=.∵12x x <，0p >，222251690p p p ∆=-=>，解得12,4px x p ==. ∴经过抛物线焦点的弦129||94AB x x p p =++==，解得4p =. ∴抛物线方程为28y x =；（2）由（1）知A点的坐标为(1,-，B点的坐标为(4,， 过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，则C点的坐标为(2,--，∴BO CO k k ==，又直线BO 与直线CO 有一个公共点O ，所以B 、O 、C 三点共线.19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．. 【答案】（1）见解析（2）45°【详解】(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (030)，A 1(036)，M 6⎛ ⎝⎭. 所以1A B ＝(136)，AM ＝60,3,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.因为1A B ·AM ＝1×0＋(3(3＋(6)×620，所以A 1B ⊥AM . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB 是平面AMC 的一个法向量，CB ＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA ＝(－13，0)，BM ＝6⎛- ⎝⎭.由0,{0nBA nBM ==得0{0x x z -+=-+=，令z ＝2，得x，y. 所以n ＝，2)因为|CB |＝1，|n |＝cos 〈CB ，n 〉＝CB n CB n⋅⋅＝2， 因此二面角B -AM -C 的大小为45° 20．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N ).（1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22na nb <.【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈. 【分析】（1）将122n n n a a a +=+变形为11112n n a a +-=，由等差数列的定义得出数列1na 是等差数列；（2）将1n n n n b b a b +-=变形为121n n n b n a b n++=+=，利用累乘法求出数列{}n b 的通项公式，从而将22na nb <化简为(1)12n n n +>，令(1),2n nn n c n N *+=∈，求出当1,2,3,4,5n =时n c 的值并与1比较，当5n ≥时，求出{}n c 的增减性，由增减性确定不等式1n c >的解. 【详解】（1）证：由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a > 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列 由于1111,22d a ==，所以12n na =，即2n a n=；（2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +> 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >. 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合； 当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合；当5n =时，515116c =<，不符合； 而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈.【点睛】根据递推公式求等差数列的通项公式时，通常是将递推公式进行变形，结合等差数列的定义证明其为等差数列，进而得出其通项公式.21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB =，2PA =.（1）求PC与平面PBD所成角的正弦值；（2）在棱PC上存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP ，求PEPC的值.【答案】（1）1010；（2）23.【分析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与平面PBD所成角的正弦值；（2）设设在棱PC上存在一点(,,)E a b c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE⊥平面BDP，求出平面BDE的法向量，利用向量法能求出棱PC上存在一点E，使得平面BDE⊥平面BDP，且23PEPC=.【详解】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则2)P，(2,2,0)C，(2,0,0)B，(0,2,0)D，(2,2,2)PC=，(2,0,2)PB=，(0,2,2)PD=，设平面PBD的法向量(,,)n x y z=，则220220n PB x zn PD y z⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,1,2)n =，设PC 与平面PBD 所成角为θ，则||10sin 10||||104PC n PC n θ⋅===⋅⋅. ∴PC 与平面PBD 所成角的正弦值为1010. （2）设在棱PC 上存在一点(,,)E a b c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，则(,,2)(2,2,2)a b c λλλ-=-，∴(2,2,22)E λλλ-，(2,2,0)=-BD ，(22,2,22)BE λλλ=--，设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =， 则220(22)2(22)0m BD x y m BE x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩， 取1x =，得1,1,22m λ⎛= ⎪-⎝⎭，∵平面BDE ⊥平面BDP ， ∴42201m n λλ-⋅=+=-，解得23λ=.∴棱PC 上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，且23PE PC =. 【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成； ②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点F ，B 分别是椭圆的右焦点与上项点，O为坐标原点，记OBF 的周长与面积分别为C 和S .（1的最小值；（2）如图，过点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点过点F 作l 的垂线，交直线3x b =于点R||FR PQ ∣∣的最小值.【答案】（1）2+；（2.【分析】（1）根据题意可得C b c =++，12S bc =，再利用基本不等式即可求解.（2）由（1）可得b c =，设直线l 的方程为x my c =+，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PQ ，讨论0m =或0m ≠，设直线:()FR y m x c =--，再求出FR ，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）OBF的周长C b c =+，OBF 的面积12S bc =. 2==≥=+ 当且仅当b c =2+. （2）由（1）得当且仅当b c =的最小值为2+. 此时椭圆方程可化为222212x y c c+=依题意可得过点F 的直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为x my c =+. 联立22222x my c x y c=+⎧⎨+=⎩，整理得：()222220m y mcy c ++-=. 12222mc y y m -+=+，21222c y y m-=+2212m PQ m +===⨯+.当0m =时，PQ 垂直横轴，FR 与横轴重合，此时||PQ =，||32FR b c c =-=，||||FR PQ ==当0m ≠时，设直线:()FR y m x c =--，由b c =， 不妨令3x c =，得(3,2)R c mc -22FR c m +∣，22||2||FR PQ ==222⎫=>= 综上所述：当且仅当0m =时，||||FR PQ .【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、弦长公式，解题的关键是利用弦长公式求出PQ ，利用两点间的距离公式求出FR ，考查了计算求解能力.。
江苏省镇江中学2022-2023学年高二上学期期初数学试卷及答案
江苏省镇江中学2022-2023学年高二上学期期初数学试题一、单选题1．若复数z 满足(22i)4z +=，则z =（ ） A ．1i +B ．1i -C ．2i +D ．2i -2．某工厂的质检人员对生产的100件产品采用随机数表法抽取10件进行检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1，2，3，…，100；②001，002，…，100；③00，01，02，…，99；④01，02，03，…，100．其中正确的序号是（ ） A ．②③④B ．③④C ．②③D ．①②3．已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足222b c a bc +-=且3a =，则sin bB=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =，621S =，则9S =（ ）． A ．27B ．45C ．18D ．365．已知向量 a ，b 满足||5a =， ||6b =，6a b ⋅=-，则cos ,=a a b <+>（ ） A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19356．已知 sin 5πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则 sin 210πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．58B ．58-C ．38-D ．387．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（ ） A ．2021B ．-2021C ．-2022D ．20228．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 上一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A．4⎛ ⎝⎭B．4⎡⎢⎣⎦ C．2⎡⎢⎣⎦D．⎛ ⎝⎦二、多选题9．已知6个样本数据a ，0，1，2，3，5的平均数为1，则（ ） A ．5a =-B ．这组数据的中位数是1C ．从6个数中任取一个数，取到的数为正数的概率为23D ．每个数据都加上5后得到的新数据的方差是原来的方差的5倍 10．下列说法中正确的有（ ）A ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向B ．已知向量13(2,3),,24a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一个基底C ．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则向量b 在向量a上的投影向量是D ．若非零向量,a b 满足：||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60︒11．已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为89的是（ ）A ．颜色相同B ．颜色不全相同C ．颜色全不相同D ．无红球12．已知数列{}n a 满足12a =，11,3,n n na n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，记21n n b a -=，则（ ）A ．13b =B ．26b =C ．14n n b b +-=D ．42n b n =+三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知12316a a a ++=，14151653a a a ++=，则{}n a 的前16项和为___________.14．在ABC 中，已知72,8b c a A ===，则ABC 的面积S 为___________． 15．等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积为______.四、双空题16．如图，角α的终边与单位圆的交点0P 位于第一象限，则tan α=___________，0OP 顺时针旋转2π得1OP ，1OP 顺时针旋转2π得2OP ，……，1n OP -顺时针旋转2π得n OP ，则点2022P 的纵坐标为___________.五、解答题17．某校高二（5）班在一次数学测验中，全班N 名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在110～120分的学生有14人．(1)求总人数N 和分数在120～125的人数n ；(2)利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和下四分位数（即75百分位数）各是多少？ (3)现在从分数在115～120分的学生（男、女人数之比为1∶2）中任选2人，求其中至多含有1名男生的概率．18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23,2b c B C ==. (1)求cos C ; (2)若5a =，求c .19．如图，在三棱锥P ABC -中，PA AB =，,M N 分别为棱,PB PC 的中点，平面PAB ⊥平面PBC .求证：（1）BC ∥平面AMN ； （2）平面AMN ⊥平面PBC . 20．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足34117a a ⋅=，2522a a +=， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c ； 21．已知数列{}n a 中，()11231,22,N 25n n a a n n a *-==-≥∈，数列{}n b 满足：()1N 1n n b n a *=∈-． (1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； (2)求1220b b b +++的值；(3)求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由．22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 在线段1CD 上，12CEED =，点F 为线段AB 上的动点.(1)若EF 平面11ADD A ，求AFFB的值； (2)当F 为AB 中点时，求二面角E DF C --的正切值.参考答案：1．A 【分析】利用复数的除法运算求解z ，根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】解：因为(22i)4z +=，则422(1i)1i 22i 1i (1i)(1i)z -====-+++-，故1i z =+. 故选：A.2．C 【分析】根据随机数表法的的定义和编号规则，即可求解.【详解】根据随机数表法的步骤可知，①④编号位数不统一，②③的编号数字统一，所以②③正确. 故选：C.3．D 【分析】利用余弦定理边化角求得cos A ，由此可得3A π=，利用正弦定理可求得结果.【详解】由222b c a bc +-=得：2221cos 22b c a A bc +-==， ()0,A π∈，3A π∴=，由正弦定理得：3sin sin sin 3b a B A π===故选：D.4．B 【分析】根据等差数列前n 项和的性质可得3S ，63S S -，96S S -成等差数列，从而可列方程可求出结果.【详解】由已知3S ，63S S -，96S S -，即6，15，921S -成等差数列， 所以()9215621S ⨯=+-，所以945S =， 故选：B ．5．D 【分析】计算出()a ab ⋅+、a b +的值，利用平面向量数量积可计算出cos ,a a b <+>的值. 【详解】5a =，6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=.()2222257a b a ba ab b +=+=+⋅+=-=，因此，()1919cos ,5735a a ba ab a a b⋅+<+>===⨯⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.6．B 【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出cos 25πα⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值，再根据诱导公式可求出答案.【详解】因为sin 5πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以235cos 212sin 1255168ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以5sin 2sin 2cos 2105258ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B ．7．C 【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=， 当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-． 故选：C.8．B 【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接1A M 、1A N 、MN 、1BC 、NE ，证明出平面1//A MN 平面AEF ，可知点P 的轨迹为线段MN ，求出线段1A P 长度的最小值和最大值，即可得解.【详解】如图所示，分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接1A M 、1A N 、MN 、1BC 、NE ，因为M 、N 分别为1BB 、11B C 的中点，则1//MN BC ，同理可得1//EF BC ，//MN EF ∴，MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF ，因为11//BC B C 且11BC B C =，E 、N 分别为BC 、11B C 的中点，则1//BE B N 且1BE B N =， 所以，四边形1BB NE 为平行四边形，所以，1//EN BB 且1EN BB =， 11//AA BB 且11AA BB =，1//EN AA ∴且1EN AA =，所以，四边形1AA NE 为平行四边形，1//A N AE ∴，1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ，1A NMN N =，1A N 、MN ⊂平面1A MN ，所以，平面1//A MN 平面AEF ，当P MN ∈时，1A P ⊂平面1A MN ，则1//A P 平面AEF ， 所以，点P 的轨迹为线段MN ．在1Rt MB N △中，MN ===．在11Rt A B M △中，1A M ===．同理，在11Rt A B N 中，可得1A N =1A MN 为等腰三角形．设MN 的中点为O ，连接1A O ．当点P 位于MN 的中点O 处时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；当点P 位于M 、N 处时，1A P 最长．易求得1AO ===，因此，线段1A P 长度的取值范围是⎣⎦． 故选：B.9．AC 【分析】利用平均数公式判断A;利用中位数公式判断B;利用古典概型判断C;利用方差性质判断D【详解】因为样本的平均数为1，所以()10123516a +++++=，所以5a =-，所以A 项正确； 由题意得6个样本数据为5-，0，1，2，3，5，中位数为12322+=，所以B 项错误； 从6个数中任取一个数，取到正数的概率为4263=，所以C 项正确； 将6个样本数据5-，0，1，2，3，5，每个数字都加上5，得到的新数据的方差不变，所以D 项错故选：AC10．AB 【分析】把||||||a b a b -=+平方，由数量积的运算与性质判断A ，确定,a b 是否共线判断B ，根据投影向量的定义求出投影向量判断C ，根据向量的加减法法则（作出相应的图形）判断D ．【详解】A ．由||||||a b a b -=+得22()()a b a b -=+，即222222a a b b a a b b -⋅+=++，所以a b a b ⋅=-，,a b 是非零向量，因此它们共线且反向，A 正确； B ．由于4a b =，它们共线，不能作为平面的基底，B 正确；C ．向量b 在向量a 上的投影是615b a a ⋅-+==a 同向的单位向量为5a aa=，因此所求投影向量为a =-，C 错； D ．如图，OA a =，OBb =，作平行四边形OACB ，则BA a b =-，OC a b =+， 由||||||a b a b ==-得OAB 是等边三角形，四边形OACB 是菱形，30COA ∠=︒，D 错； 故选：AB ．11．ACD 【分析】把所有情况列举出来，找到符合要求的情况，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A 选项，颜色相同的情况有3种，故概率为31279=，不为89；B 选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为89；C 选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为62279=，不为89；D 选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为827，不为89.故选：ACD12．BC 【分析】代入前几项即可判断出A,B ，然后分奇偶可点数列{}n b 的通项公式，从而判断出C ，【详解】由题意可得21233413,36,17a a a a a a =+==+==+=， 所以11322,6b a b a ====，所以A 错误，B 正确；又()*2212121,3k k k k a a a a k N -++=+=∈，故21214k k a a +-=+，即14n n b b +-=，所以{}n b 为等差数列，故()21442n b n n =+-⨯=-，所以C 正确，D 错误， 故选：BC.13．184【分析】根据等差数列的性质可得116a a +的值，再由等差数列求和公式即可求解. 【详解】因为()123141516116369a a a a a a a a +++++=+=，可得11623a a +=， 所以{}n a 的前16项和为()11616162318422a a +⨯==.故答案为：184.142b c =，求得b c 、的值，再利用三角函数的基本关系式与三角形面积公式即可求得结果.【详解】因为72,8b c a A ===，所以由2222cos a b c bc A =+-得22276448c c c =+-⨯，解得2c =，故24b c ==，又因为0A π<<，所以sin 0A >，故sin A ==所以11sin 4222S bc A ==⨯⨯=15．)1π【分析】分两种情况：①若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，直接求表面积；②若绕斜边所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，分别求出两个圆锥的侧面积，即可求出表面积【详解】若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线长，所以所形成的几何体的表面积)2111S πππ=⨯⨯=.若绕斜边所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，圆锥的半径是直角三角形斜1，所以几何体的表面积21S π=⨯=.综上，所形成的几何体的表面积是)1π.故答案为：)1π.16．cos α，再由同角关系求tan α，再由诱导公式求点2022P 的纵坐标.【详解】角α的终边与单位圆的交点0P 位于第一象限，可得cos α且sin 0α>，则sin α==tan α=点2022P 的纵坐标为()sin 2022sin sin 2πααπα⎛⎫-⨯=-=-= ⎪⎝⎭17．(1)40N =，4n =；(2)众数为107.5，下四分位数是21163；(3)1415． 【分析】（1）求出分数在110～120分的频率后可得总人数N ，由频率分布直方图求得分数在120～125的频率后可计算出人数；（2）频率最大的那组数据的中间值为众数，由频率分布直方图求出频率0.75对应的值即为下四分位数；（3）求出分数在115～120分的学生中男女人数，分别编号后用列举法写出任取2人的基本事件，并得出至多含有1名男生的基本事件，计数后可计算概率． （1）由频率分布直方图知分数在110～120分的频率为(0.040.03)50.35+⨯=， 所以14400.35N ==， 分数在120～125的频率为1(0.010.040.050.040.030.01)50.1-+++++⨯=， 所以人数为400.14n =⨯=； （2）由频率分布直方图知分数在105～110的人最多，数学成绩的众数为107.5， 分数在120～130的频率为(0.010.02)50.15+⨯=，分数在95～115的频率为(0.010.040.050.04)50.7+++⨯=，因此下四分位数在115～120内，下四分位数为：0.750.711550.035-+⨯⨯21163=．（3）由频率分布直方图，分数在115～120分的学生数为0.035406⨯⨯=，男生2人，女生4人， 男生编号为,A B ，女生编号为a b c d ,,,，从中任取2人的基本事件有：,,,,,,,,,ab,ac,ad,bc,bd,cd AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd 共15个，其中至多含有1名男生的基本事件有：,,,,,,,,,,,,,Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd 共14个， 所以所求概率为1415P =． 18．(1)3cos 4C = (2)4c =【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合角之间的关系可得结果； （2）先根据余弦定理求出c 的值，结合题意进行取舍，可得结果. （1）因为 23b c =，由正弦定理得2sin 3sin B C = 又2B C =，所以sin 2sin cos ,sin 0B C C C =≠. 故3cos 4C =. （2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-将35,2c a b ==代入224592544c c c -=+；解得45c c ==或当4c =时，2116,cos ,cos 22cos 188b B C C ===-=， 满足2B C =当5c =时，17.5,cos 8b B ==-不满足2B C =，故舍去.综上:4c =.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）证得MN ∥BC ，由线面平行的判定定理证明即可；（2）证得AM ⊥平面PBC .由面面垂直的判定定理证明即可 【详解】（1）∵,M N 别为棱,PB PC 的中点，∴MN ∥BC又BC ⊄平面AMN ， ∴BC ∥平面AMN .（2）∵PA AB =，点M 为棱PB 的中点， ∴AM PB ⊥，又平面PAB ⊥平面PBC ，平面PAB ⋂平面PBC PB =， ∴AM ⊥平面PBC . ∵AM ⊂平面AMN ， ∴平面AMN ⊥平面PBC .【点睛】本题考查线面平行，面面垂直的判定，考查推理能力，属于基础题 20．（1）43n a n =-（2）12c =-【分析】(1)利用等差数列的性质可得25343422117a a a a a a +=+=⋅=⎧⎨⎩ ,联立方程可得34,a a ,代入等差数列的通项公式可求n a ;(2)代入等差数列的前n 和公式可求n S ,进一步可得n b ,然后结合等差数列的定义可得2132b b b =+,从而可求c .【详解】（1）{}n a 为等差数列，34117a a ⋅=，2522a a += 又253422a a a a +=+=34,a a ∴是方程2221170x x -+=的两个根，0d > 349,13a a ∴==1129313a d a d +=⎧∴⎨+=⎩ 14,1d a ∴==1(1)443n a n n ∴=+-⨯=-（2）由（1）可知，2(1)422n S n n n n n -⨯=+=- 22n n n nb nc c n S -==++ 1231615,,123b b b c c c∴===+++n b 为等差数列，22132,20b b b c c ∴=+∴+=1(02c c ∴=-=舍去)当12c =-时，2n b n =为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式的综合运用,属于中档题. 21．(1)证明见详解；272=-n b n (2)109(3)()max 3=n a ，()min 1=-n a ，理由见详解【分析】（1）求出11n n b b --=和1b ，可知数列{}n b 是252-为首项，1为公差的等差数列，即可求出{}n b 的通项公式； （2）由2702n b n =-≥可知，13n ≤时，0n b <，14n ≥时，0n b >，由此去绝对值可求出答案； （3）由（1）中{}n b 的通项公式代入可求出{}n a 的通项公式，令()21227f x x =+-，再判断()f x 得单调性，即可求出答案. （1） 因为111111111111121n n n n n n b b a a a a -----=-=-=-----()*2,N n n ≥∈， 又1112512b a ==--， ∴数列{}n b 是252-为首项，1为公差的等差数列． ∴()127112n b b n n =+-⨯=-. （2） 由2702n b n =-≥，得272n ≥，即13n ≤时，0n b <；14n ≥时，0n b >， ∴()123201213141520b b b b b b b b b b +++⋅⋅⋅+=-++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+251312277613171411092222⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦（3） 由12712n n b n a ==--，得()*21N 227n a n n =+∈- 又函数()21227f x x =+-在27,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和27,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上均是单调递减．由函数()21227f x x =+-的图象，可得：()14max 3n a a ==，()13min 1n a a ==-.22．(1)12AF FB =；【分析】（1）过E 作1EG D D ⊥于G ，根据线面平行的判定定理及性质，证明//EF GA ；推出GE AF =；求得13AF AB =，进而可得出12AF FB =； （2）利用坐标法即得；或过E 作EH CD ⊥于D ，过H 作HM DF ⊥于M ，根据题中条件，得到EMH ∠是二面角E DF C --的平面角，设正方体的棱长为3a ，求出cos EMH ∠，即可得出结果.（1）过E 作1EG D D ⊥于G ，连接GA .则∥EG CD ，而CD FA ∥， 所以EG FA ∥. 因为EF平面11,ADD A EF ⊂平面EFAG ，平面EGAF平面11ADD A GA =，所以EF GA ∥，所以四边形EGAF 是平行四边形， 所以GE AF =. 因为12CE ED =，所以11D E GE DC D C=. 所以13AF AB =， 所以12AF FB =. （2）法一：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为3a ，则()0,0,0D ，()()30,,2,0,3,0,3,,02a E a a C a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.易知平面DCF 的一个法向量()10,0,1n =， 设平面EDF 的法向量为()2,,n x y z =， 因为()33,,0,0,,22a DF a DE a a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则22330,220.ay n DF ax n DE ay az ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=+=⎩可取()21,2,1,n =-由图知两平面所成角θ为锐角，则其余弦值为12121cos 6n n nn θ⋅==⋅ 得tanθ即二面角E DF C --法二：过E 作EH CD ⊥于D ，过H 作HM DF M ⊥于，连接EM ，因为平面11CDD C ⊥平面,ABCD EH CD ⊥， 所以EH ⊥平面ABCD ，因为DF ⊂平面ABCD ， 所以EH DF ⊥，又HM DF ⊥，所以DF ⊥平面EMH ，因为EM ⊂平面EMH ， 所以DF EM ⊥.所以EMH ∠是二面角E DF C --的平面角. 设正方体的棱长为3a ，则2,EH a DH a ==.在Rt ADF 中，DF =， 则11,22DHFSDF MH DH AD MH =⋅=⋅⇒=tan EHEMH MH∠∴==即二面角E DF C --。
2024-2025学年江苏省镇江中学高二(上)期初数学试卷(含答案)
2024-2025学年江苏省镇江中学高二（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{a n }的通项公式a n =log (n +1)(n +2)，则它的前30项之积是( )A. 15B. 5C. 6D. log 23+log 313252.已知等差数列{a n }满足a 1+a 8=−16，a 10=3，设数列{|a n |}的前n 项和为T n ，则T 16=( )A. 32B. 28C. 128D. 03.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且公差不为0，若a 4，a 5，a 7构成等比数列，S 11=66，则a 8=( )A. 7B. 8C. 10D. 124.下列说法中正确的是( )A. 命题“若x >y ，则2x >2y ”的否命题为假命题B. 命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”的否定为“∀x ∈R ，满足x 2+x +1>0”C. 设x ，y 为实数，则“x >1”是“lgx >0”的充要条件D. 若“p ∧q ”为假命题，则p 和q 都是假命题5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，2S n =a 2n +a n ，则{1a n ⋅a n +1}的前n 项和为( )A. n 1−2nB. n 1+nC. n−1nD. n−1n +16.在数列{a n }中，a n +1={2a n ,a n <12a n −3,a n >1，若a 1=25，则a 2023=( )A. 15 B. 25 C. 45 D. 857.已知函数f(x)={(a−2)x,x ≥2(12)x −1,x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A. (1,+∞)B. (−∞,138]C. (−∞,138)D. (138,+∞)8.数列{a n }，{b n }满足：a 1=2,a n =a n−1+2n(n ∈N ∗,n ≥2),b n =a n ⋅(811)n ，则数列{b n }的最大项是第( )项．A. 6B. 7C. 8D. 9二、多选题：本题共3小题，共18分。
江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考数学试题
江苏省镇江市2020-2021学年高二上学期12月校际联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．全称量词命题“0x ∀≥，21x ≥”的否定为（ ）A ．0x ∃<，21x <B ．0x ∀≥，21x <C ．0x ∃≥，21x <D ．0x ∀<，21x <2．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为 （ ）．A ．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．)3．祖暅（公元5-6世纪，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体.如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上.以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立.据此，短轴长为6cm ，长轴为8cm 的椭球体的体积是（ ）3cmA ．24πB ．48πC ．192πD ．384π4．正三棱柱111ABC A B C -中，若1AB ，则1AB 与1C B 所成的角的大小为（ ）5．等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若5624a a +=，848S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．86．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长六尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高6尺，菀草第一天长高1尺，以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第（ ）天，蒲草和菀草高度相同.（已知lg 20.3010=，lg30.4771=，结果精确到0.1）（ ） A ．3.5B ．3.6C ．3.7D ．3.87．一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，设其方程为22(010)x y y =≤≤，在杯内放置一个玻璃球，要使玻璃球能接触到酒杯的底部，玻璃球的半径的最大值为（ ） A ．12B ．1C ．2D ．38．如图，四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为正方形，侧棱AA '⊥底面ABCD ，AB =6AA '=，以D 为圆心，DC '为半径在侧面BCC B ''上画弧，当半径的端点完整地划过C E '时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（ ）A B C D 9．已知点()00,P x y 是椭圆22:1716x y C +=上 一点（异于椭圆的顶点），1F 、2F 分别为C 的两个焦点，A 、B 是椭圆的左右两个顶点，则下列结论正确的是（ ） A ．12PF F △周长为16 B ．1PF 的最大值为7C ．准线方程为73y =± D ．直线PA 与PB 的斜率的乘积为167-二、多选题10．若m 、n 是两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，下列说法正确的有（ ）A ．若//,//m n m α，则//n αB ．若//,/,//m n m n αβ，则//αβC ．若//,m n n α⊥，则m α⊥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥11．设椭圆22221x y a b +=，双曲线22221x y a b-=（其中0a b >>）的离心率分别为12,e e ，下列结论中正确的是（ ） A ．121e e <B ．22122e e +=C ．121e e >D ．122e e +<12．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，前n 项和为n T ，下列说法正确的有（ ） A ．若10,0a d ><，则存在正整数n 使得0n a >且10n a +< B ．若10,0a d <>，则n S 有最小值无最大值C ．数列{}n b 是单调递增数列的一个充分不必要的条件是10,1b q >>D ．()()2232n n n n n T T T T T -=-对于任意正整数n 恒成立三、填空题13．空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，若三个向量,,a b c 共面，则a 可用b 和c 表示为______.14．设数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则12310b b b b a a a a ++++=________.15．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且位于x 轴上方，M 为直线2a x c=-上一点，O 为坐标原点，已知OP OF OM =+，且||||OM OF =，则双曲线C 的离心率为________.16．圆锥曲线（英语：conic section ），又称圆锥截痕、圆锥截面、二次曲线，约在公元前300年左右就已被命名和研究了，大数学家欧几里得.阿基米德、阿波罗尼斯对圆锥曲线的贡献都很大，阿波罗尼斯著有《圆锥曲线》，对圆锥曲线的性质已做了系统性的研究.之所以称为圆锥曲线，是因为他们是由一个平面截一个正圆锥面得到的一些曲线.其实用一个平面去截圆柱的侧面也会得到一个椭圆.如图，一个底面半径为2、高为12的圆柱内有两个半径为2的球，分别与圆柱的上下底面相切，一个平面夹在两球之间，且与两球分别相切于12,F F ，该平面与圆柱侧面的交线即为椭圆，则这个椭圆的离心率等于_________.四、解答题17．已知{}n a 为等差数列，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数都不在下表的同一列.请从①12a =，②11a =，③13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题.（1）直接将满足要求的条件填入相应的空格里，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足232n a n nb a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点，斜率为()11,A x y 、()22,B x y ，其中12x x <，且||9AB =.（1）求该抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，证明：B 、O 、C 三点共线.19．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，A 1A，M 是CC 1的中点．(1)求证：A 1B ⊥AM ；(2)求二面角B --AM--C 的平面角的大小．. 20．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N ).（1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22na nb <.21．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为正方形，已知PA ⊥平面ABCD ，2AB=，PA =.（1）求PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）在棱PC 上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，求PEPC的值. 22．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，点F ，B 分别是椭圆的右焦点与上项点，O为坐标原点，记OBF 的周长与面积分别为C 和S .（1（2）如图，过点F 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点过点F 作l 的垂线，交直线3x b =于点R||FR PQ ∣∣的最小值.参考答案1．C 【分析】由命题的否定的概念判断．否定结论，存在量词与全称量词互换． 【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“0,x ∀≥21x ≥”的否定是“0,x ∃≥21x <”．故选：C. 【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题． 2．C 【解析】试题分析：双曲线方程变形为222221311,1222y x a b c c -=∴==∴=∴=焦点为⎫⎪⎪⎝⎭考点：双曲线方程及性质 3．B 【分析】根据题意，S S =圆环总成立可知，椭半球体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，由椭圆的短轴长为6，长轴长为8可知, 圆柱的高为4h =，底面半径3r =， 由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，()221=2-=23V V V r h r h ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭椭球体圆柱圆锥，即221=23434483V πππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭椭球体.故选：B. 【点睛】本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考查运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键;属于中档题. 4．B 【分析】选出向量的基底，选BA ，BC ，1BB 为基底，将1AB 、1C B 用基底表示，求出两个向量的数量积，利用向量垂直的充要条件求出两个向量的夹角． 【详解】设1BB m =，BA a =，BC b =，1BB c =，则11AB BB BA c a =-=-，1111C B C B B B b c =+=--，()()()()211AB C B c a b c a c b c a b a c c b c ⋅=-⋅--=-⋅+=⋅+⋅-⋅-2102m =⨯-=，∴11AB C B ⊥，∴1AB 与1C B 所成的角的大小是90， 故选：B 【点睛】 方法点睛：求两条异面直线所成的角，常利用向量作为工具，将异面直线赋予向量意义，利用向量的数量积求出两个向量所成的角，再根据异面直线所成角的范围，求出异面直线所成的角 5．C 【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式直接求解 【详解】{}n a 是等差数列，且5624a a +=，848S =故11292482848a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得115,6a d =-=， 故选：C.【分析】可得蒲草和菀草每天长高数分别成等比数列，根据等比数列求和公式建立等量关系即可解出. 【详解】设蒲草每天长高数形成数列{}n a ，则由题可得{}n a 是首项为6，公比为12的等比数列， 设菀草每天长高数形成数列{}n b ，则由题可得{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，若第n 天，蒲草和菀草高度相同，则16112211212n n⎛⎫- ⎪-⎝⎭=--，可得()22132120nn -⋅+=，解得21n =或212n =，0n ∴=（舍去）或222lg30.4771log 12log 3log 422 3.6lg 20.3010n ==+=+=+≈. 故选：B. 7．B 【分析】设截面圆的圆心为(0,)b ，设抛物线上点的坐标为(,)P x y ，将圆心到点P 的距离r 表示出来，根据r 的最小值在原点(0,0)处取得，即可求解. 【详解】设小球的截面圆的圆心为(0,)b 其中(0)b >，抛物线上点(,)P x y ，则圆心到点P 的距离222222()2()2(1)r x y b y y b y b y b =+-=+-=+-+， 其中010y ≤≤由2r 的最小值在原点(0,0)时取得，则小球触及到杯底，故此二次函数的对称轴的位置在y 轴的左侧，所以10b -≥，解得01b <≤， 所以玻璃球的半径的最大值为1. 故选：B.【分析】先确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，利用圆锥的侧面积S rl π=即可得出结论. 【详解】由题意 6,CE CC AA BC AB ''=====，所以BE ==，所以45BCE ∠=， 45ECC '∠=， 所以曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18，所以圆锥的侧面积 6S rl CC DC πππ'==⨯⨯=⨯⨯=，所以曲面面积为184⨯=. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查曲面面积，考查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点D 为顶点， DC '为母线在平面 BCC B ''所形成的圆锥的侧面积的18是关键，考查系数的空间想象力. 9．D 【分析】根据标准方程确定出焦点，长半轴，短半轴的长，然后根据问题结合椭圆的性质逐项判断即可. 【详解】因为椭圆22:1716x y C +=，故焦点在y 轴上，且43a b c ===，，因为点P 在椭圆上：故12PF F △的周长为：2214a c +=，故A 错误；因为点()00,P x y 异于椭圆顶点，所以17PF a c <+=，故B 错误；准线方程为2163a c y =±=±，故C 错误；易知(A ，B ，故20207PA PBy k k x ⋅==-，而22001716x y +=，故22716()7x y -=⨯，代入得167PA PB k k ⋅=-，故D 正确；故选：D. 10．CD 【分析】根据平行关系判断AB ，根据垂直关系判断CD. 【详解】A. 若//,//m n m α，则//n α或n ⊂α，故A 不正确；B.若,m n 都与；两平面的交线平行，也满足条件，但不能推出//αβ，故B 不正确；C.两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于平面，故C 正确；D. 若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故D 正确. 故选：CD 11．ABD 【分析】求出1e =2e =.【详解】由题意可得1e =2e =对于A ，121e e ===<，故A 正确、C 不正确； 对于B ，22222222212a b a b a ae e -+=++=，故B 正确； 对于D ，由1201,1e e <<>所以)122e e +==，122e e +<成立，故D 正确.故选：ABD 12．BCD【分析】举反例可说明A ；根据等差数列前n 项和的二次函数特征可判断B ；根据数列{}n b 是单调递增数列得出10,1b q >>或10,01b q <<<可判断C ；由等比数列的求和公式可判断D. 【详解】对于A ，等差数列{}n a 中，如12,1a d ==-，则数列中不存在正整数n 使得0n a >且10n a +<，故A 错误；对于B ，若10,0a d <>，则21+22n d d S n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，开口向上，所以n S 有最小值无最大值，故B 正确；对于C ，若数列{}n b 是单调递增数列，则10,1b q >>或10,01b q <<<，所以“10,1b q >>”是“数列{}n b 是单调递增数列”的充分不必要的条件，故C 正确；对于D ，若1q =，则12112n n nb T T nb nb =-=-，()()()232111132n n n T T T nb nb nb nb -=-=，故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，当1q ≠时，()()()2211221111n n n n T T b q b q q q ⎡⎤--⎢⎥=---⎢⎥⎣⎦- ()()2222211111n n n n b b q q q q q q ⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭， ()()()()3211132111111n n n n n n T b q b q b q T q q T q ⎡⎤---⎢⎥----⎢⎥⎣⎦-= ()()()222232111111n n n n n b b q q q q q q q ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 故()()2232n n n n n T T T T T -=-成立，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查等差等比数列的前n 项和性质和单调性问题，解题的关键是熟悉等差等比数列的特性，熟悉求和公式.13．1()2a b c =+ 【分析】根据三个向量,,a b c 共面，利用空间向量基本定理，由a b c λμ=+求解. 【详解】因为空间向量(1,1,1),(1,0,1),(1,2,)a b c m ===，且三个向量,,a b c 共面，所以a b c λμ=+，即1121m λμμλμ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得12121m λμ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以1()2a b c =+， 故答案为：1()2a b c =+14．1033 【分析】先分别求出{}n a 和{}n b 的通项公式，求出121n n b a -=+，即可得出所求.【详解】数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，()2111n a nn ∴=+-=+⨯，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n b --∴=⨯=，121n n b a -∴=+， 12310101210103312b b b b a a a a -++=+=-∴++. 故答案为：1033.本题考查等差数列和等比数列简单应用，解题的关键是通过{}n a 和{}n b 得出121n n b a -=+.15．2 【分析】先确定点M 的坐标，再确定点P 的坐标，代入双曲线的方程，即可求得双曲线的离心率，得到答案. 【详解】由题意，点,M P 位于x 轴的上方，因为||||OM OF c ==，M 为直线2a x c =-上一点，可得2(a M c -，又因为OP OF OM =+，所以四边形OMPF 为菱形，//PM x 轴，所以2(a P c c -，即2(b P c ，代入双曲线的方程，可得422221b c c a b -=，整理得224c a =，所以2c a =， 所以双曲线的离心率为2ce a==. 故答案为：2. 【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 16【分析】作出轴截面图，利用图形的几何性质，直线与圆相切的性质，以及三角函数的定义，求得椭圆的半焦距，长半轴，即可求得离心率.作出几何体的轴截面图，如图所示，点,M N 是圆柱内两个内切球的球心，12,F F 是椭圆的两个焦点， 其中O 是12O O 与12F F 的交点，12PQ O O ⊥， 根据圆的切线的性质，可得21,MF AB NF AB ⊥⊥，由题意可知：1221216,2OO OO MF MO NO NF ======，所以4OM ON ==，所以12OF OF ===c =， 所以在2OMF △中，221sin 42MOF ∠==，显然230MOF ∠=，所以60AOQ ∠=， 所以241cos 2OQ OA AOQ ===∠，即4a =，所以椭圆的离心率为42c e a ===.故答案为：2.【点睛】求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.17．（1）选择②填在第一行第二列时满足条件；32n a n =-；（2）1(35)210n n +-⋅+.【分析】（1）可知只有②满足题意，得出1231,4,7a a a ===，求出公差即得通项公式； （2）求出b n ，利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）将②①③分别填入第一、二、三列第一行表格中满足题意的1231,4,7a a a ===，因为{}n a 是等差数列，设公差为d 则32213d a a a a =-=-=，1(1)32n a a n d n =+-=-∴（2）232(32)2n a n n nb a n +=⋅=-⋅123124272(32)2n n T n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412124272(35)2(32)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅②两式相减得2312323232(32)2n n n T n +-=+⋅+⋅++⋅--⋅()()()2111321223225321012n n n n n -++⋅-=+--⋅=-⋅--1(35)210n n T n +∴=-⋅+.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用裂项相消法求和.18．（1）28y x =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出直线方程，联立直线与抛物线，利用焦点弦长公式即可求出； （2）可得出,,A B C 坐标，根据BO CO k k =即可证明. 【详解】（1）依题意可知抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，故直线AB的方程为y =-，联立22y y px⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得22450x px p -+=. ∵12x x <，0p >，222251690p p p ∆=-=>，解得12,4px x p ==. ∴经过抛物线焦点的弦129||94AB x x p p =++==，解得4p =. ∴抛物线方程为28y x =；（2）由（1）知A点的坐标为(1,-，B点的坐标为(4,， 过点A 作抛物线的准线的垂线，垂足为C ，则C点的坐标为(2,--，∴BO CO k k ==，又直线BO 与直线CO 有一个公共点O ，所以B 、O 、C 三点共线. 19．（1）见解析（2）45° 【解析】(1)以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系C －xyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (00)，A 1(0)，M ⎛ ⎝⎭. 所以1A B ＝(1)，AM＝0,⎛ ⎝⎭.因为1A B ·AM ＝1×0＋((＋(0，所以A 1B ⊥AM . (2)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC . 因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC . 所以CB 是平面AMC 的一个法向量，CB ＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA ＝(－10)，BM＝1,0,2⎛- ⎝⎭.由0,{0nBA nBM ==得0{0x x z -+=-+=，令z ＝2，得x，y. 所以n ＝，2)因为|CB |＝1，|n |＝2cos 〈CB ，n 〉＝CB n CB n⋅⋅＝2， 因此二面角B -AM -C 的大小为45° 20．（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈. 【分析】 （1）将122n n n a a a +=+变形为11112n n a a +-=，由等差数列的定义得出数列1na 是等差数列；（2）将1n n n n b b a b +-=变形为121n n n b n a b n++=+=，利用累乘法求出数列{}n b 的通项公式，从而将22na nb <化简为(1)12n n n +>，令(1),2n nn n c n N *+=∈，求出当1,2,3,4,5n =时n c 的值并与1比较，当5n ≥时，求出{}n c 的增减性，由增减性确定不等式1n c >的解. 【详解】 （1）证：由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a > 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列 由于1111,22d a ==，所以12n na =，即2n a n=； （2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +> 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >. 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合； 当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合；当5n =时，515116c =<，不符合； 而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合； 综上所述，{}2,3,4n ∈.【点睛】根据递推公式求等差数列的通项公式时，通常是将递推公式进行变形，结合等差数列的定义证明其为等差数列，进而得出其通项公式.21．（1）10；（2）23.【分析】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）设设在棱PC 上存在一点(,,)E a b c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，求出平面BDE 的法向量，利用向量法能求出棱PC 上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，且23PE PC =. 【详解】（1）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图，则P ，(2,2,0)C ，(2,0,0)B ，(0,2,0)D ，(2,2,PC =，(2,0,PB =，(0,2,PD =，设平面PBD 的法向量(,,)n x y z =，则2020n PB x n PD y ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取1x =，得(1,1,2)n =，设PC 与平面PBD 所成角为θ，则||sin ||||10PC nPC n θ⋅===⋅⋅. ∴PC 与平面PBD （2）设在棱PC 上存在一点(,,)E ab c ，PEPCλ=，(01)λ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，则(,,(2,2,)a b c λλ=，∴(2,2)E λλ，(2,2,0)=-BD ，(22,2)BE λλ=-，设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =， 则220(22)2)0m BD x y m BE x y z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 取1x =，得1,1,2m ⎛= ⎝， ∵平面BDE ⊥平面BDP ，∴42201m n λλ-⋅=+=-，解得23λ=. ∴棱PC 上存在一点E ，使得平面BDE ⊥平面BDP ，且23PE PC =. 【点睛】(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．22．（1）2+；（2.【分析】（1）根据题意可得C b c =+，12S bc =，再利用基本不等式即可求解. （2）由（1）可得b c =，设直线l 的方程为x my c =+，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出PQ ，讨论0m =或0m ≠，设直线:()FR y m x c =--，再求出FR ，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）OBF的周长C b c =+，OBF 的面积12S bc =. 2==≥=+ 当且仅当b c =的最小值为2+. （2）由（1）得当且仅当b c =的最小值为2+. 此时椭圆方程可化为222212x y c c+= 依题意可得过点F 的直线l 的斜率不能为0，故设直线l 的方程为x my c =+.联立22222x my c x y c=+⎧⎨+=⎩，整理得：()222220m y mcy c ++-=. 12222mc y y m -+=+，21222c y y m -=+2212m PQ m +===⨯+. 当0m =时，PQ 垂直横轴，FR 与横轴重合，此时||PQ =，||32FR b c c =-=，||||FR PQ ==当0m ≠时，设直线:()FR y m x c =--，由b c =，不妨令3x c =，得(3,2)R c mc - 22FR c m +∣，22||2||FR PQ ==222⎫=>= 综上所述：当且仅当0m =时，||||FR PQ. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系、弦长公式，解题的关键是利用弦长公式求出PQ ，利用两点间的距离公式求出FR ，考查了计算求解能力.。
专题10 圆锥曲线的方程(多选题)(11月)(人教A版2019)(解析版)
专题10 圆锥曲线的方程（多选题）1．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于A ，B 两点，C ，D 分别为A ，B 在l 上的射影，且||3||AF BF =，M 为AB 中点，则下列结论正确的是（ ） A ．90CFD ∠=︒ B ．CMD △为等腰直角三角形 C ．直线AB的斜率为D ．线段AB 的长为163【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】ACD【分析】由题意写出焦点F 的坐标及准线方程，设直线AB 的方程及A ，B 的坐标，可得C ，D 的坐标，再由|AF |＝3|BF |，求出直线AB 的参数，进而判断出所给命题的真假． 【解析】由题意由抛物线的对称性，焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1， 由题意可得直线AB 的斜率不为0，由题意设直线AB 的方程为x ＝my +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可知C （﹣1，y 1），D （﹣1，y 2）， 将直线AB 与抛物线联立整理得：y 2﹣4my ﹣4＝0，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，A 中，因为FC FD ⋅＝（﹣2，y 1）•（﹣2，y 2）＝（﹣2）（﹣2）+y 1y 2＝4﹣4＝0，所以FC FD ⊥，即∠CFD ＝90°，所以A 正确；B 中，由A 正确，不可能CM ⊥DM ，更不会∠C 或∠D 为直角，所以B 不正确； C 中，因为|AF |＝3|BF |，所以3AF FB =，即y 1＝﹣3y 2，y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，所以2222434y m y -=⎧⎨-=-⎩，解得m 2＝13，m＝AB的斜率为C 正确； D 中，由题意可得弦长|AB |＝=＝163=，所以D 正确，故选ACD ．2．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点()10M ，，直线l ：2x =-，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段B ．点P 的轨迹与直线'l ：1x =-是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点)C ．26y x =+不是“最远距离直线”D ．112y x =+是“最远距离直线” 【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】BCD【分析】先根据题意与抛物线的概念，可以得到点P 的轨迹方程，再根据“最远距离直线”逐一判断即可．【解析】由题意可得，点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，即等价于“点P 到点M 的距离等于到直线'l ：1x =-的距离”故P 点轨迹是以()10M ，为焦点，直线'l ：1x =-为准线的抛物线，其方程是24y x =，故A 错误;点P 的轨迹方程是抛物线24y x =，它与直线'l 没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确;要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线24y x =有交点，把26y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得2590x x ++=，因为25419110∆=-⨯⨯=-<，无解，所以26y x =+不是“最远距离直线”，故C 正确； 把112y x =+代入抛物线24y x =，消去y 并整理得21240x x -+=， 因为()2124141280∆=--⨯⨯=>，有解，所以112y x =+是“最远距离直线”，故D 正确．故选BCD ．【名师点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线的概念以及圆锥曲线的轨迹问题，还考查了分析问题与解决问题的能力，属于较难题．3．已知12,F F 分别是双曲线22:1C x y -=的左右焦点，点P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量120PF PF ⋅=，则下列结论正确的是（ ） A ．双曲线C 的渐近线方程为y x =± B ．以12F F 为直径的圆的方程为221x y += C ．1F 到双曲线的一条渐近线的距离为1D ．12PF F ∆的面积为1【试题来源】重庆市第一中学2020-2021学年高二上学期10月月考 【答案】ACD【分析】求出双曲线C 渐近线方程，焦点12,F F ，12PF F ∆的面积即可判断．【解析】A ．代入双曲线渐近线方程得y x =±，正确．B ．由题意得12(F F ，则以12F F 为直径的圆的方程，不是221x y +=，错误．C ．1F ，渐近线方程为y x =，距离为1，正确．D ． 由题意得12(F F ，设00(,)P x y ，根据120PF PF ⋅=，解得02x =±02y =±，则12PF F ∆的面积为1．正确．故选ACD ． 4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线上一点，且122PF PF =，若12sin F PF ∠=则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ）A ．e =B ．2e =C ．b =D ．b =【试题来源】山东省济南外国语学校2020-2021学年高三10月月考 【答案】ABCD【分析】根据余弦定理列方程得出a ，c 的关系，再计算离心率． 【解析】由双曲线的定义知：12212,4PF PF PF a PF a -==∴=，由12sin 4F PF ∠=可得121cos 4F PF ∠=±，在12PF F △中，由余弦定理可得：222416412244a a c a a +-=±⨯⨯，解得224c a =或226c a=，2ce a∴==，2c a ∴=或c =，又222c a b =+，可得b =或b =，故选ABCD ．5．已知椭圆C ：22221x y a b+=(0a b >>)的左､右端点分别为12,A A ，点P ，Q 是椭圆C 上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且1234PA PA k k ⋅=-，则下列说法正确的有（ ） A ．椭圆C 的离心率不确定B ．椭圆C 的离心率为12C ．11PA QA k k ⋅的值受点P ，Q 的位置影响D ．12cos A PA ∠的最小值为17-【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性调研 【答案】BD【分析】根据题中条件可求出2234b a =，继而可求出离心率，由此可判断AB ；根据题意可得出111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=-为定值，可判断C ；由和的正切公式可建立关系判断D ． 【解析】设(),P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()1,0A a -，()2,0A a ，故1222222222221PA PA x b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---， 依题意有2234b a -=-，即2234b a =，所以离心率12e ==，故A 不正确，B 正确；因为点P ，Q 关于原点对称，所以四边形12A PA Q 为平行四边形，即有12A Q A P k k =，代入题干条件可得；111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=-，不受点P ，Q 的位置的影响，故C 不正确； 设12PA A ∠为α，21PA A ∠为β，由题意可得3tan tan 4αβ⋅=，则有12A PA παβ∠=--， 从而有()()12tan tan tan tan tan 1tan tan A PA αβπαβαβαβ+∠=--=-+=-≤--⋅当αβ=，即当点P 为短轴端点时12A PA ∠最大，此时12cos A PA ∠最小，计算得17-，故D 正确．故选BD ．6．如图，过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B和,C D (其中,A C 位于x 轴上方)，直线,AC BD 交于点Q ．则下列说法正确的是（ ）A ．,C D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线2x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠ 【试题来源】湖南师大附中2021届高三（上）月考（二） 【答案】AB【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=．则124y y =-．故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -，直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+， 直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--，消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+， 将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上，故B 正确； 计算12,2PA OP ==可知C 错误；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误．故选AB ． 7．设F 是抛物线C ：24y x =的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ） A ．||4AB ≥ B ．||||8OA OB +>C ．若点(2,2)P ，则||||PA AF +的最小值是3D ．OAB 的面积的最小值是2【试题来源】湖南省湘潭市2020-2021学年高三上学期第一次模拟（理） 【答案】ACD【解析】F （1，0），不妨设A 在第一象限， （1）若直线l 无斜率，则A （1，2），B （1，−2）， 则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝14122OABS=⨯⨯=，显然B 错误； （2）若直线l 存在斜率，设直线l 斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k （x −1），显然k ≠0， 联立方程组()214y k x y x⎧=-⎨=⎩，消元得：()2222240k x k x k -++=，设()()1122,,,A x y B x y ，则212222442k x x k k++==+，所以|AB |＝12x x +＋2＝4＋24k ＞4， 原点O 到直线l的距离d =，所以21144222OABSAB d k ⎛⎫=⨯⨯=⨯+=> ⎪⎝⎭， 综上，|AB |≥4，OABS≥2，故A 正确，D 正确，过点A 向准线作垂线，垂足为N ，则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |，又P （2，2）在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确．故选ACD ．8．已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122b F F a=，点P为双曲线右支一点，I 为12PF F △的内心，若1212IPF IPF IF F S S S △△△成立，则下列结论正确的有（ ）A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B．离心率e =C．λ=D ．点I 的横坐标为定值a【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二） 【答案】BCD【解析】当2PF x ⊥轴时，221212b PFc F F a ===，此时121tan 2PF F ∠=，所以A 错误； 因为2122b F F a=，所以2222222b c a c a a -==，整理得210e e --=（e 为双曲线的离心率），因为1e >，所以e =B 正确． 设12PF F △的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得122PF PF a -=，122F F c =，1112IPF S PF r =⋅△，2212PF S PF r =⋅△，12122F F S cr cr =⋅=△， 因为1212IPF IPF IF F S S S △△△，所以121122PF r PF r cr λ⋅=⋅+，故12122PF PF a c c λ-====，所以C 正确．设内切圆与1PF 、2PF 、12F F 的切点分别为M 、N 、T ，可得11||||PM PN FM FT =⋅=，22F N F T =． 由1212122PF PF FM F N FT F T a -=-=-=，12122F F FT F T c =+=， 可得2F T c a =-，可得T 的坐标为(),0a ，即Ⅰ的横坐标为a ，故D 正确；故选BCD ．【名师点睛】本题考查双曲线的定义和简单性质，利用待定系数法求出参数的值，考查圆的切线的性质，化简运算能力和推理能力，属于中档题．9．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右两个顶点分别是A 1，A 2，左右两个焦点分别是F 1，F 2，P 是双曲线上异于A 1，A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ）A ．122PF PF a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使12PF F △为等腰三角形的点P 有且仅有4个D ．焦点到渐近线的距离等于b 【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】BD【分析】A ． 由双曲线的定义判断；B ．设()00,P x y ，利用斜率公式求解判断；C ．利用双曲线的对称性判断；D ．利用点到直线的距离公式求解判断； 【解析】A ． 因为122PF PF a -=，故错误；B ．设()00,P x y ，则2200221x y a b-=，所以1222000222020201⎛⎫⎪⎝⎭⋅-=⋅==+--PA PA y y k k x a x b a a x b x a a，故正确；C ．若点P 在第一象限，若122,22==-PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形；若212,22==+PF PF c c a ，12PF F △为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点P 有且仅有8个，故错误；D ．不妨设焦点坐标为()2,0F c ，渐近线方程为0bx ay -=，则焦点到渐近线的距离d b ==，故正确；故选BD ．10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线与抛物线交于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，则（ ） A ．C 的准线方程为y ＝1 B ．线段PQ 长度的最小值为4 C ．M 的坐标可能为(3，2)D ．OP OQ ＝－3【试题来源】江苏省徐州市市区部分学校2020-2021学年高三上学期9月学情调研考试 【答案】BCD【分析】根据条件可得出2p =，易得A 、B 的正误，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，算出12121212,,,x x x x y y y y ++即可得出C 、D 的正误．【解析】焦点F 到准线的距离为p =2，所以抛物线C 的焦点为(1，0)，准线方程为x=－1，则选项A 错误；当PQ 垂直于x 轴时长度最小，此时P (1，2)，Q (1，－2)，所以|PQ|=4，则选项B 正确； 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为x =my +1，联立x =my +1，y 2＝2px ，消去y 可得x 2－(4m 2+2)x+1=0，消去x 可得y 2－4my －4=0，所以x 1+x 2=4m 2+2，y 1+y 2=4m ， 当m =1时，可得M (3，2)，则选项C 正确；又x 1x 2=1，y 1y 2=－4，所以OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2=－3，则选项D 正确；故选BCD11．已知P 是双曲线C ：221169x y -=右支上一点，12,F F 分别是C 的左，右焦点，O 为坐标原点，19||4OP OF +=则（ ） A ．C 的离心率为54B ．C 的渐近线方程为43y x =±C ．点p 到C 的左焦点距离是234D ．12PF F △的面积为454【试题来源】江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考 【答案】AD【分析】对于AB ，直接利用双曲线的性质判断；对于C ，取线段1PF 的中点M ，连接2,MO PF ，利用中位线和双曲线的定义计算判断；对于D ，在12PF F △，利用余弦定理求出12cos PF F ∠，进而可得12sin PF F ∠，再用三角形的面积公式计算． 【解析】由已知4,3,5a b c ===，离心率54c e a ==，故A 正确； 渐近线方程为34=±=±b y x x a ，故B 错误； 如图，取线段1PF 的中点M ，连接2,MO PF ，则2//MO PF ，且22MO PF =122OP OF OM F P ∴+==，219||4F P OP OF ∴=+=，则129412844PF a PF =+=+=，故C 错误；在12PF F △中，22212419104044cos 41412104PF F ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯，则129sin 41PF F ∠===，则12PF F △的面积为1419451024414⨯⨯⨯=，故D 正确．故选AD ．12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA +=【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【解析】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =12=， 化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）的距离为=﹣4+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误； 对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=， 又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．故选ABD ．13．已知曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．当0k =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y = C ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件D ．存在实数k 使得曲线C【试题来源】湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期9月调研考试 【答案】AB【分析】根据双曲线的标准方程及简单的几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐项判定，即可求解．【解析】由题意，曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--，对于A 总，当4k =时，曲线C 的方程为222x y +=，此时曲线C 表示圆心在原点，半径的圆，所以是正确的；对于B 中，当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a b ==，此时双曲线C渐近线方程为y =，所以是正确的；对于C 中，当曲线C 的方程为221()26x y k R k k+=∈--表示焦点在x 轴上的双曲线时，则满足2060k k ->⎧⎨-<⎩，解得6k >，所以 “4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，所以不正确；对于D 中，当曲线C 的方程为22126x y k k+=--时，此时双曲线的实半轴长等于虚半轴长，此时26k k -=-，解得4k =，此时方程表示圆，所以不正确．故选AB ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力．14．已知椭圆()22105x y m m +=>的离心率5e =，则m 的值为（ ）A ．3B ．253C D ．3【试题来源】江苏省镇江中学2020-2021学年高二上学期期初 【答案】AB【分析】分焦点在x 、y 轴上讨论，分别求出m 的值．【解析】由题意知0m >，当5m >时，a =，b =c =所以5c e a ===，解得3m =；当5m <时，a =b =c =所以5c e a ===，解得253m =；故选AB ． 15．已知双曲线E ：2214x y m -=（0m >）的一条渐近线方程为30x y +=，则下列说法正确的是（ ）． A ．E 的焦点在x 轴上B ．49m =C ．E 的实轴长为6D ．E 【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考） 【答案】AD【解析】由0m >，可知双曲线E 的焦点一定在x 轴上，故A 正确； 根据题意得13b a ==，所以36m =，故B 错误；双曲线E 的实轴长为12==，故C 错误；双曲线E 的离心率c e a ====D 正确．故选AD ． 16．方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线可能是（ ）． A ．双曲线 B ．抛物线 C ．椭圆D ．圆【试题来源】广东省佛山市2019-2020学年高二上学期统考模拟 【答案】ACD 【解析】θ是任意实数，[]2sin 2,2θ∴∈-，当2sin 1θ=时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是圆；当2sin 0θ>且不等于1时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是椭圆；当2sin 0θ<时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是双曲线；当2sin 0θ=时，方程222sin 1x y θ+⋅=所表示的曲线是两条直线．故选ACD ．【名师点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．17．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，双曲线的离心率为e ，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，则（ ）A ．d =B ．d =C ．3e =D ．e 【试题来源】湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】AC【分析】利用双曲线的渐近线方程求出b ，然后转化求解离心率，求出双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，判断选项即可．【解析】双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，可得b =，1a =，所以3c e a ===．双曲线的右焦点(3,0)，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ==AC ．18．已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的两条渐近线分别为直线12:l y x =，2:2=-l y x ，则下列表述正确的有（ ）A ．a b >B ．2a b =C ．双曲线ED ．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线E 的焦点在x 轴上【试题来源】辽宁省朝阳市凌源市2019-2020学年高二下学期期末联考 【答案】CD 【分析】由已知可得2ba=，所以2b a =，由此可判断AB 选项，再由双曲线的方程和双曲线的离心率公式可判断CD 选项．【解析】因为双曲线E 的两条渐近线方程分别为2y x =，2y x =-，所以2ba=，所以2b a =，故AB 不正确；所以双曲线E 的离心率e ==E 的焦点在x 轴上．故CD 正确 ．故选CD ．19．已知双曲线的方程为2214x y -=，则双曲线的（ ）A B ．渐近线方程为14y x =±C ．共轭双曲线为2214y x -=D ．焦点在曲线()220x ty t R +=∈上【试题来源】湖北省仙桃市、天门市、潜江市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】AD【分析】由双曲线的离心率的定义，可判定A 正确；由双曲线的渐近线方程，可判定B 不正确；由双曲线的共轭双曲线的定义，可判定C 不正确；根据双曲线的焦点为(F ，代入验证，可判定D 正确．【解析】由双曲线的方程为2214x y -=，可得2,1a b ==，且c所以双曲线的离心率为c e a ==，故A 正确； 双曲线的渐近线方程为12b y x x a =±=±，所以B 不正确； 由双曲线的方程为2214x y -=，则其共轭双曲线为2214x y -=，所以C 不正确；由双曲线的方程为2214x y -=的焦点为(F ，代入曲线()220x ty t R +=∈，满足方程，所以D 正确．故选AD ．【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质，以及共轭双曲线的定义的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．20．若椭圆2214x y m +=的离心率为12，则m 的取值为（ ）A ．163B ．6C ．3D ．173【试题来源】江苏省南京市第十四中学2020-2021学年高二上学期学情调研测试 【答案】AC【分析】分焦点在x 轴或y 轴上，即4m >，或4m <结合离心率讨论求解．【解析】当4m >时，焦点在x 轴上，12=，解得163m =，满足4;m >当4m <时，焦点在y 12=，解得3m =，满足4;m < 综上m 的值为163或3，故选AC ． 21．已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则（ ）A ．C 的准线方程为4x =-B ．F 点的坐标为()0,4C ．12FN =D ．三角形ONF 的面积为（O 为坐标原点） 【试题来源】金太阳2020-2021学年高三第一次检测考试 【答案】ACD【解析】如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F '，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ．由抛物线的解析式可得准线方程为4x =-，F 点的坐标为()4,0，则4AN =，8FF '=，在直角梯形ANFF '中，中位线62AN FF BM '+==，由抛物线的定义有6MF MB ==，结合题意，有6MN MF ==，故6612FN FM NM =+=+=，ON ==142QNF S =⨯=△．故选ACD ．22．已知双曲线E 的中心在原点，对称轴为坐标轴，渐近线方程为2y x =±，则双曲线E 的离心率为（ ）ABC D 【试题来源】广东省珠海市2021届高三上学期第一次摸底 【答案】AB【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，得,a b 关系，再计算离心率即可． 【解析】若双曲线焦点在x 轴上，因为渐近线方程为2y x =±，故2ba=，215c b e a a ⎛⎫∴==+= ⎪⎝⎭；若双曲线焦点在y 轴上，由渐近线方程为2y x =±，得2a b =，251c b e a a ⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭．故选AB ． 23．设定点()10,3F -、()20,3F ，动点P 满足()1290PF PF a a a+=+>，则点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．线段 C ．椭圆D ．不存在【试题来源】山东省济南市商河县第一中学2020-2021学年高二10月月考 【答案】BC【分析】由基本不等式可得126PF PF +≥，可得1212PF PF F F +=或1212PF PF F F +>，即可判断轨迹．【解析】()10,3F -、()20,3F ，126F F ∴=，0a >，129926PF PF a a a a∴+=+≥⋅=，当且仅当9a a =，即3a =时等号成立，当96a a+=时，即1212PF PF F F +=，此时点P 的轨迹是线段12F F ， 当96a a+>时，即1212PF PF F F +>，此时点P 的轨迹是椭圆．故选BC ． 24．已知方程221mx ny +=(),m n R ∈，则（ ） A ．当0mn >时，方程表示椭圆 B ．当0mn <时，方程表示双曲线 C ．当0m =，n ＞0时，方程表示两条直线 D ．方程表示的曲线不可能为抛物线【试题来源】江苏省南京师范大学附属苏州实验学校2020-2021学年高二上学期教学质量调研（二） 【答案】BCD【分析】根据椭圆，双曲线，抛物线的定义依次判断每个选项即可得出答案． 【解析】A ：取1m n ==，此时表示圆，故A 错误；B ：当0mn <时，方程表示焦点在x 轴或y 轴上的双曲线，故B 正确；C ：当0m =，y n=±，方程表示两条直线，故C 正确； D ． 方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，故D 正确；故选B C D ．25．已知双曲线22:16y C x -=，则（ ）A ．CB ．C 的虚轴长是实轴长的6倍 C ．双曲线2216y x -=与C 的渐近线相同D ．直线3y x =上存在一点在C 上【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷） 【答案】AC【分析】根据双曲线方程求得a ，b ，进而可得c ，即可判断A 与B ；分别求两双曲线渐近线方程可判断C ；根据渐近线可判断D ．【解析】因为21a =，26b =，所以2167c =+=，则c e a ==22b a=A正确，B 错误．双曲2216y x -=与C 的渐近线均为y =，所以C 正确，因为C 的的渐近线的斜率小于的3，所以直线3y x =与C 相离，所以D 错误．故选AC26．在平面直角坐标系中，已知双曲线221,412x y -=则（ ）A ．实轴长为4B ．渐近线方程为3y x =± C ．离心率为2D ．一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为3【试题来源】江苏省镇江市大港中学2020-2021学年高二上学期10月学情检测 【答案】AC【分析】由双曲线的方程可得a ，b 的值，求出离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线的方程可得正确答案．【解析】由双曲线的方程可得，24a =，212b =，22216c a b =+=，所以2a =，b =4c =， 所以实轴长24a =，离心率2c a=，渐近线方程为by x a =±=，所以A ，C正确，B 错误；因为准线方程为21a x c==，设渐近线y =与渐近线的交点为A ，两个方程联立可得A ，另一条渐近线的方程为0y +=，所以A 到它的距离为d =D 不正确．故选AC ．【名师点睛】本题主要考查双曲线的方程，以及双曲线的离心率、实轴长，以及准线方程与渐近线方程的求解，属于基础题．27．若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中错误的是（ ）A ．若13t <<，则C 为椭圆B ．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t << C ．曲线C 可能是圆D ．若C 为双曲线，则1t <【试题来源】河北省沧州市第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】AD【分析】根据题意依次讨论各选项即可得答案．【解析】对于A 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆，故不正确；对于B 选项，当曲线C 为焦点在y 轴上的椭圆时，则130t t ->->，解得23t <<，故正确；对于C 选项，当2t =时，曲线为C 表示圆的方程，故正确；对于D 选项，当曲线C 为双曲线时，则()()310t t --<，解得1t <或3t >，故错误； 综上，错误的是AD ．故选AD ．28．设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ） A ．e ∈(0，12) B ．e ∈(18，14) C ．e ∈(14，12) D ．e ∈(12，1)【试题来源】江苏省徐州市沛县歌风中学2020-2021学年高二上学期学情调研 【答案】BC【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可．【解析】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<，选项A ，是充要条件，所以不满足；选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集，所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件．故选B ，C ．29．已知双曲线22126x y -=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的离心率2e = B0y ±= C．双曲线的焦距为D【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A 卷试题 【答案】AB【分析】根据双曲线的方程得到a ，b 的值，并根据a ，b ，c 的平方关系求得c 的值，根据离心率的定义求得e 的值，根据a ，b 的值写出渐近线方程，根据c 的值计算焦距2c 的值，利用点到直线的距离公式求得焦点到渐近线的距离，然后与各选择支对照，得出正确答案． 【解析】由双曲线的方程可得，这是中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线，a b c ====，2,ce a∴==渐近线方程为by x a=±=0y ±=，双曲线的焦距为2c =，焦点()±=故AB 正确，CD 错误，故选AB ．30．嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射．12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（ ）A ．焦距长约为300公里B ．长轴长约为3976公里C ．两焦点坐标约为()150,0±D ．离心率约为75994【试题来源】重庆市西南大学附属中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【分析】根据椭圆的几何性质及月球直径，分别求得椭圆的,a c 和月球半径，即可确定长轴长、焦距和离心率，因为没有建立坐标系，所以不能得到焦点坐标，即C 不正确． 【解析】设该椭圆的半长轴长为a ，半焦距长为c ．依题意可得月球半径约为1347617382⨯=，10017381838a c -=+=，40017382138a c +=+=， 2183821383976a =+=，1988a =，21381988150c =-=，椭圆的离心率约为150751988994c e a ===，可得结论A 、B 、D 项正确， 因为没有给坐标系，焦点坐标不确定，所以C 项错误．故选ABD ．31．已知双曲线22:13x y C m-=过点，则下列结论正确的是（ ）A ．C 的焦距为4B ．CC ．C 的渐近线方程为3y x =±D ．直线210x -=与C 有两个公共点【试题来源】湖南省益阳市2020-2021学年高三上学期9月调研考试 【答案】AC【分析】由题意先求出m 的值，得到双曲线C 的标准方程，确定,,a b c 的值，求出椭圆C 的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C ；将直线与双曲线的方程联立消y ，得到关于x 的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D ．【解析】由双曲线22:13x y C m-=过点，可得1m =，则双曲线C 的标准方程为2213x y -=；所以1,2a b c ====，因为椭圆C 的焦距为24c =，所以选项A 正确；因为椭圆C 的离心率为3c a ==，所以选项B 不正确；因为椭圆C 的渐近线方程为y x =，所以选项C 正确；将直线210x -=与双曲线2213x y -=联立消y 可得23440x x -+=，()24434320∆=--⨯⨯=-<，所以直线210x --=与双曲线，C 没有公共点，所以选项D 不正确；故选AC ．32．若椭圆222:11x y C m m +=-的一个焦点坐标为()0,1，则下列结论中正确的是（ ）A ．2m =B ．CC ．C 的短轴长为D ．C 【试题来源】湖南省怀化市2020-2021学年高二上学期10月联考 【答案】ACD1=，得到椭圆方程，再判断选项．1=，解得2m =或1m =-(舍去)，∴椭圆C 的方程为22132y x +=，所以23a =，22b = ，即a =b =∴长轴长为2a =，短轴长2b =，离心率c e a ===．故选ACD ． 【名师点睛】本题考查椭圆方程和椭圆的简单几何性质，重点熟记椭圆方程和椭圆的简单几何性质，属于基础题型．33．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道II 绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道III 绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭圆轨道I 和II 的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道I和II 的长轴长，则下列式子正确的是（ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c -=-C ．1212c a a c >D ．1212c c a a <【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高二上学期期中模拟 【答案】BC【分析】A 选项结合图象以及不等式的性质进行判断；B 选项结合椭圆的几何性质进行判断；CD 选项根据B 选项的结论进行变形来判断．【解析】由题图可得12121122,,>>∴+>+a a c c a c a c ，故A 不正确；11221122||,||,=-=-∴-=-PF a c PF a c a c a c ，故B 正确；由1122a c a c -=-得()()221221a c a c +=+，即22221112222122a c a c a c a c -+=-+，即22121122211221121222,,,+=+>∴>∴>c c b a c b a c b b a c a c a a ，故C 正确，D 不正确． 故选BC ．34．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ()120k k ≠，若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的方程为2214x y -=BC．函数(log 1a y x =++()0,1a a >≠的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．设1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，若12PF F △123PF F π∠=【试题来源】江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高二上学期10月月考。
江苏省镇江中学2020-2021学年高二下学期6月质量检测(数学)(含解析)
江苏省镇江中学2020-2021学年度高二下学期6月质量检测（数学）一、单选题（每小题5分，合计40分） 1．已知集合{}1,2M =且{}1,2,3M N =，则集合N 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}1D ．{}22．某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分，统计20人的得分情况如图所示，若该20人成绩的中位数为a ，平均数为b ，众数为c ，则下列判断错误的是（ ）A ．a=92B ．b=92C ．c=90D ．b+c<2a3．设0a b >>，则下列不等式中一定成立的是A ．0a b -<B ．01a b<< C 2a b+<D ．ab a b >+4．随机变量X 的分布列如下表，若(33)6E X +=，则()D X =（ ）A ．0B ．2C ．3D ．45．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是( ) A ．35B ．14C ．12D ．136．设α，β是空间中的两个平面，l ，m 是两条直线，则使得//αβ成立的一个充分条件是（ ）A ．l α⊂，m β⊂，//l mB ．l m ⊥，//l α，m β⊥C ．l α⊂，m α⊂，//l β，//m βD ．//l m ，l α⊥，m β⊥7．2020年是举办双十一的第12个年头，随着人们消费习惯发生大幅改变以及电商直播的快速发展，今年双十一人们的消费热情空前高涨.已知今年双十一期间某地居民网上购物的消费金额（单位：元）近似服从正态分布N （800，40000），则该地1000名居民中，网上购物消费金额超过1200元的人数约为（ ）（参考数据：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈）A ．23B ．50C ．159D ．3188．已知定义在R 上的奇函数f （x ）的导函数为f’（x ），当x<0时，f （x ）满足()()2? '()?f x xf x xf x +<，则f （x ）在R 上的零点个数为A ．1B ．3C ．5D ．1或3二、多选题（每小题5分，合计20分。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测数学试题(wd无答案)
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高二上学期初检测数学试题一、单选题(★★) 1. 设，则“ ”是“ ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 2. 若集合,则实数的取值范围是 ( )A．B．C．D．(★★) 3. 已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 如图所示的中，，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上有且仅有一解，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 6. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为( )A．(－2，4)B．(－2，－4)C．(2，4)D．(2，－4)(★★★) 8. （2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆 C：的左、右顶点分别为 A 1， A 2，且以线段 A 1 A 2为直径的圆与直线相切，则 C的离心率为A．B．C．D．二、多选题(★★★) 9. 下列说法中，正确的有（）A．过点且在，轴截距相等的直线方程为B．直线在轴上的截距为C．直线的倾斜角为D．过点并且倾斜角为的直线方程为(★★★) 10. 在中，角的对边分别为，下列结论中正确的选项有（）A．若，则B．若，则可能为等腰三角形或直角三角形C．若，则定为直角三角形D．若且该三角形有两解，则的取值范围是(★★) 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，，.若点在边上，且，是的外心.则下列判断正确的是（）A．B．的外接圆半径为C．D．的最大值为2(★★★) 12. 已知 P是椭圆 C：上的动点， Q是圆 D：上的动点，则（）A．C的焦距为B．C的离心率为C．圆D在C的内部D．的最小值为三、填空题(★★★) 13. 若命题“ p：, ”是假命题,则实数 a的取值范围是______．(★★) 14. 已知，则________．(★★★) 15. 已知，且，则的最小值为_________．四、双空题(★★) 16. 过点的直线与圆交于, 两点，当最小时，直线的方程为_________________，此时___________．五、解答题(★★) 17. 已知命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.（1）当时，判断“命题”是“命题”成立的什么条件？（2）若命题是命题成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.(★★★) 18. 在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．(★★★) 19. 某连锁分店销售某种商品，该商品每件的进价为元，预计当每件商品售价为元时，一年的销售量（单位：万件）该分店全年需向总店缴纳宣传费、保管费共计万元．（1）求该连锁分店一年的利润与每件商品售价的函数关系式；（2）求当每件商品售价为多少元时，该连锁店一年的利润最大，并求其最大值．(★★★) 20. 已知函数，.（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；（2）若存在，使成立，求实数的取值范围；（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.(★★★) 21. 己知圆的圆心在直线上，且过点，与直线相切．（）求圆的方程．（）设直线与圆相交于，两点．求实数的取值范围．（）在（）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．(★★★★) 22. 已知 A、 B分别为椭圆 E：（ a>1）的左、右顶点， G为 E的上顶点，， P为直线 x=6上的动点， PA与 E的另一交点为 C， PB与 E的另一交点为 D ．（1）求 E的方程；（2）证明：直线 CD过定点.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 ．已知双曲线的离心率为 ，则当入射光线 和反射光线 互和垂直时（其中 为入射点）， 的大小为（）
11．ACD【解析】若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，由 可得 ，正确；
若 ， 则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，正确．
12．BC【解析】抛物线 ： 的焦点为 ，得抛物线的准线方程为 ，点 到焦点 的距离等于3，可得 ，解得 ，则抛物线 的方程为 ，准线为 ，由题知直线 的斜率存在， ．设 ， ，直线 的方程为 ，由 ，消去 得 ，所以 ， ，所以 ，所以 的中点 的坐标为 ， ，故线段 的最小值是4；所以圆 的半径为 ，在等腰 中， ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，即正确．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆 的离心率 ，则 的值为（）
A．3B． C． D．
10．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（）
A． 的方的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
11．已知曲线 ： ．（）
A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
C． 的最小值是 D．线段 的最小值是6
三、填空题
13．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的实部是_________．
14．已知 为双曲线 ： 的左焦点， ， 为双曲线 同一支上的两点．若 的长等于虚轴长的2倍，点 在线段 上，则 的周长为________．
15．如图， 是椭圆 上的一点， 是椭圆的左焦点，且 ， ，则点 到椭圆左准线的距高为________．
20．设椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的上顶点为 ，证明：当 的斜率为 时，点 在以 为直径的圆上．
21．已知 ： ．
（1）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距和等，求此切线的方程．
（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，且有 ，求使得 取得最小值的点 的坐标．
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， 则 是两条直线
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，以线段 为直径的圆交 轴于 ， 两点，设线段 的中点为 ．若抛物线 上存在一点 到焦点 的距离等于3．则下列说法正确的是（）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有 ， ， ，则当 的面积最大时，它的内切圆的半径为__________．
数学试题参考答案
2020.9.11
一、单选题
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C
6．A【解析】己知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ，离心率 ，∴ ．
7．D【解析】设 ， ，则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，
由于 且 ，由此可解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
江苏省镇江中学2020-2021学年度高二第一学期期初
数学试题2020.9.11
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．双曲线 的焦距是（）
A． B．8C．4D．
3．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 上顶点为 ．若 则该椭圆的方程为（）
A． B． C． D．
4．双曲线的方程为 ，则以双曲线右准线为准线的批物线的标准方程是（）
8．D【解析】因为 ，所以 ， ．不妨设双曲线的标准方程为 ， ，
则 ．所以 ，解得 （ 已舍去）．所以 ，所以 ．
二、多选题
9．AB【解析】由题意知 ，当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ；当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ．
10．AC【解析】由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项正确；由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，所以错误；双曲线的右焦点坐标为 ，满足 正确；联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，错误．
22．已知抛物线 ： 的内接等边三角形 的面积为 （其中 为坐标原点）．
（1）试求抛物线 的方程；
（2）已知点 ， ， 两点在抛物线 上， 是以 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
江苏省镇江中学2020-2021学年度第一学期高二年级期初
A． B． C． D．
5．如图所示，正方形 中， 是 的中点，若 ，则 为（）
A． B． C． D．2
6．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为（）
四、解答题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ：
（2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小．
19．已知抛物线
（1）求过点 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程．
（2）过焦点 作一条斜率为 的直线与抛物线交于两点 ， ，求 的长．
三、填空题
13．21 14．32 15．
16． 【解析】∵ ，∴ 为非零常数，故点 的轨迹是圆．