江苏省镇江中学2020—2021学年度第一学期高二年级期初考试数学试题及答案
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22．已知抛物线 ： 的内接等边三角形 的面积为 （其中 为坐标原点）．
（1）试求抛物线 的方程；
（2Βιβλιοθήκη Baidu已知点 ， ， 两点在抛物线 上， 是以 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
江苏省镇江中学2020-2021学年度第一学期高二年级期初
C． 的最小值是 D．线段 的最小值是6
三、填空题
13．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的实部是_________．
14．已知 为双曲线 ： 的左焦点， ， 为双曲线 同一支上的两点．若 的长等于虚轴长的2倍，点 在线段 上，则 的周长为________．
15．如图， 是椭圆 上的一点， 是椭圆的左焦点，且 ， ，则点 到椭圆左准线的距高为________．
A． B． C． D．
8．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 ．已知双曲线的离心率为 ，则当入射光线 和反射光线 互和垂直时（其中 为入射点）， 的大小为（）
数学试题参考答案
2020.9.11
一、单选题
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C
6．A【解析】己知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ，离心率 ，∴ ．
7．D【解析】设 ， ，则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，
由于 且 ，由此可解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
江苏省镇江中学2020-2021学年度高二第一学期期初
数学试题2020.9.11
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．双曲线 的焦距是（）
A． B．8C．4D．
3．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 上顶点为 ．若 则该椭圆的方程为（）
A． B． C． D．
4．双曲线的方程为 ，则以双曲线右准线为准线的批物线的标准方程是（）
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， 则 是两条直线
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，以线段 为直径的圆交 轴于 ， 两点，设线段 的中点为 ．若抛物线 上存在一点 到焦点 的距离等于3．则下列说法正确的是（）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
8．D【解析】因为 ，所以 ， ．不妨设双曲线的标准方程为 ， ，
则 ．所以 ，解得 （ 已舍去）．所以 ，所以 ．
二、多选题
9．AB【解析】由题意知 ，当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ；当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ．
10．AC【解析】由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项正确；由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，所以错误；双曲线的右焦点坐标为 ，满足 正确；联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，错误．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆 的离心率 ，则 的值为（）
A．3B． C． D．
10．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
11．已知曲线 ： ．（）
A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
三、填空题
13．21 14．32 15．
16． 【解析】∵ ，∴ 为非零常数，故点 的轨迹是圆．
16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有 ， ， ，则当 的面积最大时，它的内切圆的半径为__________．
A． B． C． D．
5．如图所示，正方形 中， 是 的中点，若 ，则 为（）
A． B． C． D．2
6．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为（）
20．设椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的上顶点为 ，证明：当 的斜率为 时，点 在以 为直径的圆上．
21．已知 ： ．
（1）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距和等，求此切线的方程．
（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，且有 ，求使得 取得最小值的点 的坐标．
四、解答题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ：
（2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小．
19．已知抛物线
（1）求过点 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程．
（2）过焦点 作一条斜率为 的直线与抛物线交于两点 ， ，求 的长．
11．ACD【解析】若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，由 可得 ，正确；
若 ， 则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，正确．
12．BC【解析】抛物线 ： 的焦点为 ，得抛物线的准线方程为 ，点 到焦点 的距离等于3，可得 ，解得 ，则抛物线 的方程为 ，准线为 ，由题知直线 的斜率存在， ．设 ， ，直线 的方程为 ，由 ，消去 得 ，所以 ， ，所以 ，所以 的中点 的坐标为 ， ，故线段 的最小值是4；所以圆 的半径为 ，在等腰 中， ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，即正确．
（1）试求抛物线 的方程；
（2Βιβλιοθήκη Baidu已知点 ， ， 两点在抛物线 上， 是以 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线．
江苏省镇江中学2020-2021学年度第一学期高二年级期初
C． 的最小值是 D．线段 的最小值是6
三、填空题
13．已知复数 （ 为虚数单位），则复数 的实部是_________．
14．已知 为双曲线 ： 的左焦点， ， 为双曲线 同一支上的两点．若 的长等于虚轴长的2倍，点 在线段 上，则 的周长为________．
15．如图， 是椭圆 上的一点， 是椭圆的左焦点，且 ， ，则点 到椭圆左准线的距高为________．
A． B． C． D．
8．智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用抛物线镜面反射出平行光线．如图，从双曲线右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 ．已知双曲线的离心率为 ，则当入射光线 和反射光线 互和垂直时（其中 为入射点）， 的大小为（）
数学试题参考答案
2020.9.11
一、单选题
1．D 2．B 3．A 4．B 5．C
6．A【解析】己知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ，离心率 ，∴ ．
7．D【解析】设 ， ，则 ，两式相减并化简得 ，
即 ，
由于 且 ，由此可解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
江苏省镇江中学2020-2021学年度高二第一学期期初
数学试题2020.9.11
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．双曲线 的焦距是（）
A． B．8C．4D．
3．设椭圆 的左、右焦点分别为 ， 上顶点为 ．若 则该椭圆的方程为（）
A． B． C． D．
4．双曲线的方程为 ，则以双曲线右准线为准线的批物线的标准方程是（）
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， 则 是两条直线
12．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，以线段 为直径的圆交 轴于 ， 两点，设线段 的中点为 ．若抛物线 上存在一点 到焦点 的距离等于3．则下列说法正确的是（）
A．抛物线的方程是 B．抛物线的准线是
8．D【解析】因为 ，所以 ， ．不妨设双曲线的标准方程为 ， ，
则 ．所以 ，解得 （ 已舍去）．所以 ，所以 ．
二、多选题
9．AB【解析】由题意知 ，当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ；当 时， ， ， ，
所以 ，解得 ．
10．AC【解析】由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项正确；由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，所以错误；双曲线的右焦点坐标为 ，满足 正确；联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，错误．
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知椭圆 的离心率 ，则 的值为（）
A．3B． C． D．
10．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
11．已知曲线 ： ．（）
A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
三、填空题
13．21 14．32 15．
16． 【解析】∵ ，∴ 为非零常数，故点 的轨迹是圆．
16．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 （ 且 ）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．现有 ， ， ，则当 的面积最大时，它的内切圆的半径为__________．
A． B． C． D．
5．如图所示，正方形 中， 是 的中点，若 ，则 为（）
A． B． C． D．2
6．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，若过点 且倾斜角为60°的直线 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率 的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 ： （ ）的右焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点．若 的中点坐标为 ，则 的方程为（）
20．设椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，其离心率为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 的上顶点为 ，证明：当 的斜率为 时，点 在以 为直径的圆上．
21．已知 ： ．
（1）若圆 的切线在 轴和 轴上的截距和等，求此切线的方程．
（2）从圆 外一点 向该圆引一条切线，切点为 ， 为坐标原点，且有 ，求使得 取得最小值的点 的坐标．
四、解答题
17．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．已知平面向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求 和 ：
（2）若 ， ，求向量 与向量 的夹角的大小．
19．已知抛物线
（1）求过点 与抛物线有且只有一个公共点的直线方程．
（2）过焦点 作一条斜率为 的直线与抛物线交于两点 ， ，求 的长．
11．ACD【解析】若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，正确；
若 ，则 可化为 ，此时曲线 表示双曲线，由 可得 ，正确；
若 ， 则 可化为 ， ，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，正确．
12．BC【解析】抛物线 ： 的焦点为 ，得抛物线的准线方程为 ，点 到焦点 的距离等于3，可得 ，解得 ，则抛物线 的方程为 ，准线为 ，由题知直线 的斜率存在， ．设 ， ，直线 的方程为 ，由 ，消去 得 ，所以 ， ，所以 ，所以 的中点 的坐标为 ， ，故线段 的最小值是4；所以圆 的半径为 ，在等腰 中， ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ，即正确．