1.1探索勾股定理(一)
《探索勾股定理》第一课时上课课件
课堂作业： 课堂作业： 教材P7（知识技能1， 教材 （知识技能 ，问题 解决4） 解决 ） 家庭作业： 家庭作业： 全品第一章第一课时 制作四个全等的直角三角形
图 1 图2
1 4 9
1 4 9
2 8 18
SA+SB=SC
图3
直角三 角形三 边数量 关系
a2+b2=c2
（二）自主探索二
你还能数出图 中正方形A、B、 C各占多少个 小格子吗？完 成表格，探究 规律。 图1 图2
A的面积 的面积 单位面积） （单位面积） 图1 图2 A、B、C 面积 、 、 关系
D
） D 7或25 或
C 7
实践应用二： 实践应用二：探索情境 1、某楼发生火灾，消防车立即赶到距大 某楼发生火灾， 楼6米的地方搭建云梯，升起云梯到 米的地方搭建云梯， 达火灾窗口。已知云梯长10 10米 达火灾窗口。已知云梯长10米，问发生 火灾的窗口距离地面多高？ 火灾的窗口距离地面多高？ （不计消防车的高度） 不计消防车的高度）
（一）新知引入
C C B A B
A
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
A的面 B的面积 C的面 的面 的面积 的面 (单位 积(单位 单位 单位 积(单位 单位 面积) 面积) 面积) 面积 面积 面积 图1 图2 图3 A、B、 、 、 C 面积 关系
（二）自主探索一
B的面积 的面积 单位面积） （单位面积）
C的面积 的面积 单位面积） （单位面积）
16 4
9 9
25 13
直角三角形 三边数量关系
SA+SB=SC
a2+b2=c2
（二）自主探索三
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
探索勾股定理ppt课件
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
新北师大版八年级上册数学1.1探索勾股定理(1)课件
△ABC面积为2__4___,斜边为上的高为4_._8____.
A D
C
B
4．在△ABC中，∠C=90º, （1） 若a=5，b=12，则c=___1_3____； （2） 若a=15，c=25，则b=__2_0_____； （3） 若c=61，b=60，则a=___11_____； （4） 若a:b=3:4，c=10，则a=__6______，b=__8______； （5） 若a:c=3:5 ，b=8，则a=___6_____；
勾股定理在中国有着悠久的历史, “勾三,股四,弦五” 结论可以上溯到大禹治水时代(大约公元前21世纪),一般 勾股定理最晚到公元前6至7世纪己经明确并得到广泛的 应用.
勾股定理是数学中最重要的基本定理之一,20世纪80 代,科学界曾征集有史以来科学上的十大发现,结果数学只 有唯一的一条入选,它就是勾股定理.
5. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙 上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
解：在Rt△ABC中，根据勾
股定理，得 BC2+AC2=AB2
即 BC2+2.42 = 2.52
∴ BC=0.7.
C
B
6.在等腰三角形ABC中， AC=BC=5cm,AB=6cm,
求三角形ABC的面积
重要的 思想方 法及数 学思想
格？它们的面积各是多少？
4,4,8
C
A
（3）你能发现两图中三个
B
C 图1-1 A
正方形A，B，C的面积之 间有什么关系吗？
9,9,18； 4,4,8
B
图1-2
SA+SB=SC
（图中每个小方格代表一个单位面积）
2.阅读课本P3做一做
1.1 勾股定理学案
1.1 探索勾股定理（1）一、课前预习1、正方形面积的计算公式，边长为5时，面积为多少？2、三角形两边分别是2,5第三边是c ，求第三边的取值范围.3、直角三角形两直角边为3、4求则第三边斜边的取值范围，斜边与这两条直角边的长度之间还有什么关系？二、新课学习 1、观察下面两幅图：2、填表：A 的面积（单位面积） B 的面积（单位面积） C 的面积（单位面积）左图 右图（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？ 【小结】求面积常用方法： ____________________________（4）你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？【结论】：以_______三角形两_______边为边长的小正方形的面积的和，等于以______边为边长的正方形的面积．AB CC BA思考：（1）若直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？★【勾股定理】如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_________________ 即_______三角形两_____边的______和等于斜边的_______． 几何语言：∵在△ABC 中，∠____＝900∴____2＋____2＝____2三、典型例题及练习：例1、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？ 解：∵在△ABC 中，∠____ ＝900 ∴____2＋____2＝____2 即92 ＋122＝AB 2∴AB 2＝____ ∴AB ＝____∴大树在折断之前高 。
【跟踪练习】：1、如下图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米.弦股勾ACBabc2、求图形中未知正方形的面积：3、若△ABC 中，∠C =90°，（1）若a =5，b =12，则c =________；（2）若a =6，c =10，则b =________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =________，b =________.4.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为多少？5.底边长6cm ，底边上的高为4cm 的等腰三角形的腰长为多少？6.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积的和是_________cm 2．1.1 探索勾股定理（2）一、课前复习：1、勾股定理：直角三角形_________________________ 几何语言：在△ABC 中，∵∠____ ＝900∴____2＋____2＝____22、在直角三角形ABC 中, ∠C =900,BC =12,CA =5,AB = ______.3、 如果直角三角形的一条直角边长为40，斜边长为41，那么另一条直角边的长为______.?2251002572577cmDACB二、典型例题：例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？例2、受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？(提示：方程思想)三、课堂练习：1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为多少？2．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？6米5000m4000mC B A500m400m C B A“路”4m3m3、一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30cm 2 B ．130cm 2 C ．120cm 2 D ．60cm 25、轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.6、如图学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开 拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅 少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花 草．7、一个25m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时的AO 距离为24m ，如果梯子的顶端A 沿墙下滑4m ，那么梯子底端B 也外移4m 吗？A BOCD3米9km AB9km 4km6km9km 2km8、△ABC中，∠C=900,AC=6,BC=8,沿AD折叠，使C点与AB边上的E点重合，求CD的长。
1.1探索勾股定理(教案)
今天在教授《1.1探索勾股定理》这一章节时，我发现学生们对勾股定理的概念和应用表现出很大的兴趣。在导入新课环节，通过提出与日常生活相关的问题，成功激发了学生的好奇心。然而，我也注意到在讲授过程中，部分学生对代数证明部分的理解存在困难。
在理论介绍环节，我尽量用简单明了的语言解释勾股定理，并通过案例分析让学生了解其在实际中的应用。不过，我意识到在讲解难点时，需要更多具体的例子和图形演示来帮助学生理解。今后，我可以在这一部分增加一些互动环节，如让学生自己动手画图，加深对定理的理解。
2.教学难点
（1）理解勾股定理的证明过程，尤其是代数证明部分。
（2）将勾股定理应用于解决实际问题，特别是需要将实际问题转化为数学模型的能力。
举例：
-在代数证明部分，学生可能对平方的概念理解不深，教师需要通过具体例子和图形演示，帮助学生理解平方的含义。
-在解决实际问题时，学生可能不知道如何将问题转化为直角三角形的模型。教师可以通过案例分析和示范，引导学生学会提取关键信息，建立数学模型。
3.培养学生的数学应用意识，将勾股定理应用于解决实际问题，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.培养学生的合作意识和探究精神，鼓励学生在小组讨论、合作探究中发展团队协作能力和创新思维。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握勾股定理的表达式：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
1.1探索勾股定理18
A
90
B
C 40
160
算一算!
1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少? A
C
B
实 践 运 用
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？ 我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
(1)已知: a=1, b=2, 求c;
(2)已知: a=15, c=17, 求b;
(3)已知: a=4/5,b=3/5, 求c;
(4)已知:c=34,a : b=8 : 15,求a,b. 你能作一条线段,使它的长度为 2 cm? 5 cm呢?
想一想!
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
心动
不如行动
探索勾股定理（1）
合作学习!
（1）作两个直角三角形，使其两直角边分 别是3厘米和4厘米,5厘米和12厘米.
动画
勾股定理（gou-gu theorem)
一般地,如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么 c a 2 2 2
a b c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。 在西方又称毕达 哥拉斯定理！
A =625 225 B =144 40081Fra bibliotek225
想一想!
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 49 正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
C D
北师大版数学八年级上册课件 第一章 1.1 探索勾股定理(共19张PPT)
探索勾股定理（1）
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下 图是该届数学家大会的会标：
赵爽弦图
毕达哥拉斯——神奇的发现
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古 希腊著名的数学家、 哲学家.
发现了直角三角形三边 的数量关系！
探究活动1
ac
请你数一数下图正方形A、B、C各占多少个小格子？ b
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
求图1中正方形C的面积？ 方法二：“补”
Sc
49
4
(
1 2
3
4)
C
25.
求图2中正方形C的面积？
方法一：“割”
Sc 4 ( 1 2 3) 1 2
C
13
求图2中正方形C的面积
方法二：“补”
Sc 25 4 ( 1 2 3)
2
C
13
求图2中正方2 4 5
C
13
总结归纳，得出定理
ac
勾股定理
b
如果直角三角形两直角边长分别
为a，b，斜边长为 c ，那么
a2 b2 c2
即直角三角形两直角边的平方和等于
1．这一节课我们一起学习了哪些知识 和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？ 请你在小组内交流.
知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜
边长为 c ，那么 a2 b2 c2.
方法： “割、补、拼”法求面积.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想.
布置作业
1.1 探索勾股定理(1)
课题：1.1探索勾股定理 (1)【教学目标】(1) 经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，进一步发展学生的推理能力.(2)掌握勾股定理,并能运用它解决一些实际问题1、课前练习：1、三角形的三个内角的比为1:2:3, 则这个三角形是____________ 三角形.2、一个三角形的其中两边为5和8 , 则第三边x 的取值范围是_______________3、等腰三角形的其中两边为5和1, 则这个三角形的周长为___________4、已知a = 3, b = 4, 则a 2 + b 2=______, ( a + b ) 2=________。
5、如果a 2 = 25, 则 a = _____2课前预习：（阅读书本P 1—5页）（1） 直角三角形三边有什么关系？你是怎样得到的? （2）勾股定理的内容？勾、股各是什么？【知识点一】出示投影（课本 P3 图1一2 1--3）并回答：1、观察图1一2中的左上图，正方形A 中有 个小方格，即A 的面积为个 面积单位。
正方形 B 中有 个小方格．即B 的面积为 个面积单位。
正方形 C 中有 个小方格，即C 的面积为 个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？3、图 l 一2中，A 、B 、C 之间的面积之间有什么关系？_______________4、图1一 3中，A 、B 、C 之间有什么关系？【练习一】1、右图中字母所代表的正方形的面积,A=_____________B=______________【知识点二】小结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积_____，等于以_____为边的正方形面积。
勾股定理: 直角三角边的________的平方和等于______的平方。
也就是说：如果直角三角形的两直角边为a 、b ，斜边为c 。
那么a 2+____=______【练习二】2、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=6 ,b =8 ,则c 2=__________a3、若一个直角三角形的的两条直角边长分别为3、4，以第三边的长向外作正方形，则这个正方形的面积是（ ）A 、25B 、49C 、 7D 、25或74、 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°。
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
1
第1课时
探索勾股定理
探索勾股定理（一）
知识导航
勾股定理
文字语言：直角三角形两直角边的 平方和 等于斜边
的 平方 .
符号语言：
在Rt△ ABC 中，∵∠ ACB ＝90°，
∴ BC2＋ AC2＝ AB2.
拓展：因为用“∵”表示，所以用“∴”表示.
知识导航
如图，如果用 a ， b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边
有一卡车在公路 MN 上以5 m/s的速度沿 PN 方向行驶，
卡车行驶时周围100 m以内都会受到噪音的影响，请你
算出该学校受影响的时间为 24 s.
图3
典例导思
3. 如图所示，为了测得小水坑两边点 A 和点 B 之间的距
离，一个观测者在点 C 设桩，使∠ ABC ＝90°，并测得
AC ＝20 m， BC ＝16 m，则点 A 和点 B 之间的距离
正方形，所有三角形都是直角三角形.正方形 A ， B ，
C ， D 的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形 E 的面
积是（ B ）
A. 18
B. 114
C. 194
D. 324
图3
典例导思
（4）如图4，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°，分别以各边
为直径作半圆，当 AC ＝3， BC ＝4时，阴影部分的面积
和斜边，那么 a2＋ b2＝ c2 或 c2－ b2＝ a2 ， c2－
a2＝ b2 .
知识导航
注意：（1）勾股定理体现了数形结合的思想，即把各
边之间“形”的关系，转化为“数”的关系.
（2）在应用勾股定理时， a2＋ b2＝ c2只是边 c 所对的角
1.1 探索勾股定理 课件(北师大版上册)1
方法二：
方法三：
“割”
分割为四个直 角三角形和一 个小正方形
“补”
补成大正方形， 用大正方形的面 积减去四个直角 三角形的面积
“拼”
将几个小块拼成 一个正方形，如 图中两块红色 （或绿色）可拼 成一个小正方形
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 左图 右图 B的面积 C的面积
4 16
9 9
13 25
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的正方形的面积.
探究活动二：
观察右边两 幅图：
A B B C A C
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 左？
4
9
9
16
？
方法一：
1．习题1.1. 2．阅读《读一读》——勾股世界. 3．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足 a 2 b 2 c 2?
a
c b
a c
b
S A S B SC
结论2 以直角三角形两直角边为
边长的小正方形的面积的和，等于以
斜边为边长的正方形的面积.
议一议：
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和 斜边长c来表示图中正方形的面积吗？
A a
c
C A
a c b
C
B
b
B
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在 什么关系吗？ 2 2 2
1.1.1探索勾股定 理
（第1课时）
学习目标
• ● 知识与技能目标 • 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解 勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股 定理进行简单的计算和实际运用． • ● 数学思考 • 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结 合和特殊到一般的思想方法． • ● 解决问题 • 进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与 现实生活的紧密联系． • ● 情感与态度 • 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理 在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想， 激励学生发奋学习．zxxk
第1期1.1探索勾股定理(1)
课题：§1.1、探索勾股定理（1）主备：鱼晓娟审核：_____ 审批：________ 班级：______ 使用者：______【学习目标】1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
【学习重点】：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
【学习难点】：勾股定理的发现。
【学前准备】（1）三角形按角分类，可分为，，。
（2）三角形三边之间关系：三角形两边之和，三角形两边之差。
（3）:直角三角形的三边关系，除了满足一般关系外，还有另外的特殊关系吗？【自主探究】一、试一试1、观察课本图1一2，回答问题：正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？3、图l一2 中，A、B、C的面积之间有什么关系？二、做一做观察课本图1一3.1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、从图1一2 、1一3 、中你发现了什么？你用了-------分钟完成预习！【师生探究，合作交流】三、议一议1、图1一2、1一3中，你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？3、分别以5厘米和12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度请大家想一想（2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？四、结论勾股定理的内容：直角三角形的等于。
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。
五、想一想如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，问旗杆折断之前有多高？12米【课堂练习】1、已知在Rt△ABC中，∠C=90°。
①若a=3，b=4，则c=________；②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______；④若c=25，b=15，则a=________。
1.1 探索勾股定理 教案学案练习测试全
第一章勾股定理1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25即AB 2=25，又AC =4，BC =3， AC 2+BC 2=42+32=25 ∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+722.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b,斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm 在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64 ∴AD =8 cm ∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2)3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm ∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25 ∴AB =3.5 cm ∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD∴AC ·BC =AB ·CD ∴CD =ABBC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm)(2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得： AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682 =(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x 在Rt △ABF 中由勾股定理得： AB 2+BF 2=AF 2，即82+BF 2=102， ∴BF =6 cm∴CF =BC －BF =10－6=4(cm)在Rt △ECF 中由勾股定理可得： EF 2=CE 2+CF 2，即(8－x )2=x 2+42 ∴64－16x +x 2=x 2+16 ∴x =3(cm),即CE =3 cm参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D 在Rt △ACD 中，∠A =60° ∠ACD =90°－60°=30° AD =21AC =12(cm)CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432， DB =AB －AD =15－12=3. 在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点.求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°， ∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS ) 则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB ，在Rt △ODB 中，OD 2+BD 2=OB 2 所以OB 2=32+42=52，即OB =5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.。
1.1探索勾股定理(1)导学案
第一章 勾股定理导学案1.1探索勾股定理（第1课时）年级： 八 班级： 学生姓名： 制作人：一、 学习目标：（1分钟）1、自主、合作探究勾股定理；2、掌握勾股定理；3、会用勾股定理解决实际问题 二、预习教材：（5分钟） （一）、预习教材P2---P4 （二）、思考：直角三角形的三边存在着怎样的平方关系 ？我们把这种关系称作什么定理？用关系式怎么表示？我们为什么把它叫做“勾股定理”？勾股定理在西方又叫做什么定理？课本上用什么方法进行初步验证？勾股定理有什么用处？ 三、探索发现：（12分钟）1、等腰直角三角形观察图5，对于等腰直角三角形，将正方形A 、正方形B 和已计算的正方形C 的面积填入下表，它们的面积有什么关系？发现： + = 。
2、一般直角三角形观察图6，对于一般直角三角形，正方形A 、正方形B 、正方形C 面积又有什么关系呢？发现： + = 。
3、正方形面积与直角三角形三边的关系（分组讨论，交流并发言）若我们设两条直角边长分别为a 、b ，斜边为c ，你能用三角形的边长来表示这三个正方形的面积吗？结论：由于 正方形A 面积 + 正方形B 面积 = 正方形C 面积，所以 （关系式）即：两条直角边的平方和等于斜边的平方。
四、归纳总结：（5分钟）1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b ，斜边为c ，那么 （关系式），即： （文字表达）。
注意：勾股定理研究的是直角三角形中边与边的关系，所以，勾股定理只在直角三角形中才适用。
2、数学小史：勾股定理是 （填一国家）最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为 ，较长的直角边称为 ，斜边称为 ，“勾股定理”因此而得名。
在西方一般称为 定理。
五、典例导学：（5分钟）例1：如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？例2：见课本P3想一想，回顾情景。
六、检测巩固：（15） 1、判断：（1）已知a 、b 、c 是三角形的三边，则222a b c += （ ） （2）在直角三角形中任意两边的平方和等于第三边的平方。
八上数学第一、二章预习习题
第一章勾股定理1.1探索勾股定理（1）一、选择题1.如图字母B 所代表的正方形的面积是（）A.12B.13C.144D.1942.如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是（）A.25B.12.5C.9D.8.53.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（）A.12米 B.13C.14米D.15米二、填空题4．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ：（1）如果8a =，15b =，则c =，三角形的周长为，面积为；（2）如果5a =，13c =，则三角形的周长为，面积为；（3）如果6b =，:4:5a c =，则a =，c =5.一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，则斜边上的高为；6．(教材P4习题T3变式)如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为；7．若一个直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，已知a 2＝25，b 2＝144，则c 2＝；三、解答题8．规范表达（严格按格式）：如图，已知∠A=90°，AC=5，AB=12，BE=3.求长方形的面积第1题第2题1.1探索勾股定理（2）一、选择题1.如图，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是（）A.8B.20C.336D.4642.如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A和B 的距离为（）.A.80mmB.100mmC.90mmD.120mm.3.【关注数学文化】“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b .若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()A．9B．6C．4D．3二、填空题4.在△ABC 中，∠C=90°，（1）若86==b a ，，则=c ；（2）若,3024==c a ，则=b ；（3）若2524==c b ，，则=a .5.如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13厘米和5厘米，那么这个直角三角形的面积是.6.如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草.三、解答题7.4个全等的直角三角形的直角边分别为a ，b ，斜边为c .现把它们适当拼合，可以得到如图的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试．1.2一定是直角三角形吗一、选择题1.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是()A．b 2＝c 2－a 2B．a ∶b ∶c ＝3∶4∶5C．∠C＝∠A－∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶52.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是()3.三角形三边长分别为6，8，10，那么它最短边上的高为（）A.6B.4.8C.2.4D.8二、填空题4.已知RT△ABC，︒=∠90C ，︒=∠30B ,则=∠A .5.某农舍大门是一个木制矩形栏栅，它高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，模板的长为.6.如图，在△ABC 中，AC=.三、解答题7.(教材P9例题变式)：如图，在四边形ABDC 中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，CD＝13，BD＝12，求这个四边形的面积．[规范表达（严格按格式）]8.如图，点A、D、B 在同一直线上，BC=15，CD=12，AC=13，AD=5.求AB 的长915b1024c1.3勾股定理的应用一、选择题1.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形（）A.是直角三角形B.是锐角三角形C.是钝角三角形D.不是直角三角形2.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为（）A.8B.13C.25D.643.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为（）A.8米B.10米C.12米D.14米4．如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B 处作装饰，则这条丝线的最小长度是(D)A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm 二、填空题5．求图中直角三角形中未知的长度:b=__________,c=____________.6.已知三角形的三边长分别是m 2+1,2m,m 2-1（n 为正整数），则最大角等于_______度.三、解答题7.如图，长方体的高为3厘米，底面是正方形，边长为2厘米，现有一小虫从A 出发，沿长方体表面到达C 处，问小虫走的路程最短为多少厘米？8.如图，长方形ABCD 的边AD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 上的点F 处，已知AB＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于多少？第二章实数2.1认识无理数（1）一、选择题1．在等式x 2=3中，下列说法中正确的是（）A．x 可能是整数B.x 可能是分数C．x 可能是有理数D.x 不是有理数2．在中，），的个数逐渐加之间每两个，6.0107(7070070007.011371π不是有理数有（）个A.1个B.2个C.3个D.4个3．下列说法中，正确的有（）①无限小数都是有理数；②不循环小数不是有理数；③不是有理数的数都是无限小数；④0是有理数A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题4．已知2x =12，则x ______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）5．面积为5的正方形的边长______有理数；面积为9的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）三、解答题6.求出下图1-2中直角三角形未知边的长度；求x 的值.7.下列4×4的网格中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．1312x2.1认识无理数（2）一、选择题1．下列数中是无理数的是（）A.1．∙∙32 B.2π C.0 D.7222．在数0.222，2.525252…，π-3，31-，1.1351335…（相邻两个1之间3的个数逐次加1），其中无理数的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3．若方程x 2＝m 的解是有理数，则m 不能取下列四个数中的()A．1B．4 C.14 D.12二、填空题4．已知2x =8，则x ______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）5．面积为3的正方形的边长______有理数；面积为4的正方形的边长______有理数．（填“是”或“不是”）6．将下列各数按要求分类：－43，－∙∙24.1，π，3．1416，32，0，3.14，－0.2020020002……（相邻两个2之间0的个数逐次加1）有理数有________________________，无理数有__________________________．分数有_______________________，整数有__________________________．三、解答题7.如图，我们可以在网格图中以这样的方式画出面积为5的正方形，（1）请问它的边长是有理数吗?（2）你能用类似的方法画出面积为8和面积为13的正方形吗?一、选择题1．下列说法正确的是（）A．5是25的算术平方根B．16是4的算术平方根C．6-是2(6)-的算术平方根D．0没有算术平方根2．“1625的算术平方根是45”用式子表示为()A．±1625＝±45B.1625＝±45C.1625＝45D．±1625＝45）A．3B．3±D．二、填空题4．1.44的算术平方根为，13的算术平方根为，2(7)-的算术平方根为；=，=，=，=，2=，=，=，=6．若一个数的算术平方根是6，则这个数为；是的算术平方根三、解答题7.求下列各数的算术平方根:（1）6449（2）917（3）43-（4）|-25241|8.已知一直角三角形两边长分别为3和4，求第三边的长一、选择题1．2(11)-的平方根是（）A．121B．11C．11±D．不存在2．4的平方根是±2，用数学符号表示，正确的是()A.4＝2B．±4＝2C.4＝±2D．±4＝±23.如果24x =的值为（）A．2±B．2C．2-或不存在二、填空题4.3的算术平方根为，0.81的平方根为，25121的平方根为，17的平方根为，的平方根为，0的平方根为；6.1是的一个平方根，它的另一个平方根是；7.=，=；三、解答题8.求下列各式的值（1）（2）2)13(-（3）3649±（4）-9009．已知：一个正数的平方根是23a -和518a -，那么这个正数是多少？10．求下列各式中的x：(1)9x 2－25＝0；(2)4(2x－1)2＝36.2.3立方根一、选择题1.下列语句中不正确的是（）A．-1的立方根是-1 B.1的立方根是±1C．21是81的立方根 D.8的立方根是22.下列叙述正确的个数有（）1一个数立方根的符号与这个数的符号相同；2正数、负数、0都有立方根；3如果一个数的立方根是它本身，这个数一定是0；4两个互为相反数的数，开立方所得的结果仍然互为相反数；A.1个B.2个C．3个 D.4个3.下列各数互为相反数的是（）A．-2与2)2(-B．-2与38-C．|-2|与2D．22与2)2(-二、填空题4.立方根等于它本身的数为.5.若33)1(-x =1-x,则x 的值为；=，=，-=；－31－1927；三、解答题7.求满足下列各式中的未知数x :①310125x -=②33264x =8．已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的平方根?2.4估算一、选择题1.1．下列整数中，与10最接近的整数是()A．3B．4C．5D．62.设n 为正整数，且n＜65＜n＋1，则n 的值为(D)A．5B．6C．7D．811．(河北中考)如图，在数轴上标注了四段范围，则表示8的点落在()A．段①B．段②C．段③D．段④二、填空题3.比较下列各组数的大小⑴73⑵5.32(3)10－2212.=；=；=；==；==；=-=；=5.的算术平方根=，的平方根=，的立方根=；三、解答题6.一个正数的平方根是21a -和2a -+，求a 的值和这个正数7.如图，已知一灯塔A 周围2000米水域内有礁石，一舰艇由西向东航行，在O 处测得O，A 相距4000米．若使舰艇到达与灯塔最近处B,则还需航行3500米，问舰艇再向东航行有无触礁的危险？2.6实数一、选择题1.下列说法：①无理数是无限小数；②带根号的数一定是无理数；③任何实数都可以开立方；④有理数都是实数;其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.实数a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的结论是()A．a＞b B．a>－b C．－a＞b D．－a＜b3.下列各式化简结果为无理数的是（）A．327-B．（2−1）0C．8D．()22-二、填空题4.410-的相反数为，绝对值为；5.把下列各数填入相应的集合内:－7,0.32,31,46,0,8,21,3216,－2π.①有理数集合:{…};②无理数集合:{…};③正实数集合:{…};④实数集合:{…}.三、解答题6.计算：(1)(3＋2)－2；(2)|3－2|＋|3－1|.7.在数轴上作出2的对应点.8.已知a 是整数部分，b 是小数部分，求2a b +的值一、选择题1.实数0.5的算术平方根等于（）A．2B．2C．22D．212.下列计算正确的是（）A.2·3＝6B.2＋3＝6 C.8＝32 D.4÷2＝23.下列运算中错误的有（）个①416=②4936=±76③332-=-④3)3(2=-⑤±332=A．4B．3C．2D．1二、填空题4.=，=，，=，；5.=，，=，=，；6.，，=三、解答题7.计算（1）（2）（3）（4）÷一、选择题1.9的算术平方根是（）A．3B．±3C．3D．±33.下列各式中，正确的是（）A．2)2(2-=-B ．9)3(2=-C ．393-=-D．39±=±二、填空题4.，=，=；5.-，三、解答题6.(1-+（5）⨯（6）2)313(-2.7二次根式（3）一、选择题1.估计10的值在（）A.1到2之问B.2到3之间C.3到4之问D.4刊5之问2.实数0.2的算术平方根等于（）A．5B．C．5D．15A．加号B．减号C．乘号D．除号二、填空题4.大于2且小于5的整数是；5.已知1-a +1++b a ＝0，则a b =；6.比较下列实数的大小①14012②215-5.0；三、解答题7.(1)()2-()(232-+(4。
1.1 探索勾股定理 课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册
拨
［答案］ B
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
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方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
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例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
［解题思路］设 AC=b，BC=a，AB=c，易得 AB⊥DE，所
考
点
清 以四边形 ACBE 的面积=S△ACB+S△ABE= AB·DG+ AB·EG=
单
解
2
读 AB·（DG+EG）= AB·DE= c ， 四边形 ACBE 的面积
=S
梯形 ACFE
）b+
+S△EFB=
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［答案］ 解：如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
所以∠ADB=∠ADC=90°．
设 BD=x，则 CD=21-x，
在 Rt△ABD 中，AD2=102-x2，
在 Rt△ADC 中，AD2=172-（21-x）2，
解得 x=6，所以 AD2=102-62=64，
所以 AD=8，即 BC 边上的高为 8．
（1）已知∠C=90°，a=6，b=8，求 c；
（2）已知∠B=90°，a=15，b=25，求 c.
1.1 探索勾股定理
考
点
清
第一章《勾股定理》(全章)
第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理（一）学习目标：1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
学习过程：一、自主学习画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
（勾3，股4，弦5）。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42_____52，52+122_____132，那么就有_____2+_____2=_____2。
(用勾、股、弦填空)对于任意的直角三角形也有这个性质吗？勾股定理内容文字表述：几何表述：二、交流展示例1、已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正即4×21×＋﹝﹞2＝c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷勾股定理的证明方法，达300余种。
这个古老而精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2＋b2=c2。
分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。
左边S=_____________右边S=_____________左边和右边面积相等，即_________________________化简可得_______________________三、合作探究bbbccccaabbbaaccaabcc1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则⑴c= 。
探索勾股定理ppt课件
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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“三六五”课堂教学模式导学案
年级学科组总课时数主备教师审查人时间
§1.1探索勾股定理（1）
一、学习目标
1、经历用测量的方法探索勾股定理及用数格子的方法简单的验证勾股定理的过程，提高合情
推理的能力，体会数形结合的思想。
（难点）
2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些简单的实际问题。
是本节的重点和难点。
二、自学感知
自学课本第2—4页解答下面的问题：
1、在纸上作出一个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么关系？
换一个直角三角形试一试此关系还成立吗？
2、如果直角三角形两直角边分别为a,b斜边为c，那么a2+ = 。
即直角三角形两直角
边的和等于斜边的。
3、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称
为。
4、如图（1）所示，求出直角三角形未知边的长度。
9
12
(1)
5、如图（2）所示，阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积。
（2）
三、小组合作
1、如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？
B 12米 C
2、如图，直角三角形三边的平方分别是多少，你能用它们验证勾股定理吗？你是如何计算的？与同伴交流。
四、展
示风
采
400 225
A
1、求下图中字母所代表的正方形的面积。
2、如图，求等腰△ABC的面积。
5
B
3、小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机。
小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有
58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
你同意他的想法吗？你能解释这是为
什么吗?
4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图
形，使得它们的面积之和恰好等于最大的正方形面积，尝试给出两种以上的方案。
五、小结
通过本节课的学习谈谈自己的收获和体会。
六、达标检测
1、已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长为。
2、在直角三角形中，一条直角边长为5，斜边长为13，则另一条直角边长为。
3、如图，在一块平地上，张大爷家屋前9米处有一颗大树，在一次强风中，这棵大树从离地
面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米，出门在外的张大爷担心自己的房屋被倒下的大树
砸倒，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算，分析后给出正确的回答（）
A、一定不会
B、可能会
C、一定会
D、以上答案都不对
4、如图，一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时，梯
底距墙底端0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子的底端将滑出多少米？
七、学（教）后反思与错题集锦
班级姓名完成时间小组评价个人评价。