单跨静定梁、多跨静定梁受力分析

内力图特征 B Q图(kN)
20
A
斜直线
两端点
10 2.5
A
曲线 M图 B (kN· m) 三点（两端点和杆件的中点） 24
(3)悬臂梁在集中力偶作用下 10kN· m
A x
10kN· m MC QC C 1-x
C 1m
B
Σy=0 ΣMC=0
QC=0 kN
剪力方程
0≤x≤1 MC=-10 kN· m
力的代数和。
任一横截面的弯矩等于此截面以左(或以右)梁上
的外力对该截面形心力矩的代数和。
17
2.绘制梁的内力图――剪力图和弯矩图
悬臂梁

简支梁
18
1. 悬臂梁
(1)集中荷载作用 A x C
20kN
C
20kN MC QC 1-x B
B 1m
Σy=0 ΣMC=0
QC=20 kN
0≤x≤1
剪力方程
MC=-20×(1-x) kN· m
弯矩方程
19
20kN
A x 1m C
Q=20 B
M=-20×(1-x) 注意: 弯矩图不标正负, 标在受拉侧 B Q图(kN) Q=20
20
A
20
A B M图 (kN· m)
x=0
x=1
M=-20
M=0
20
20kN
A 1m
B
受力特征
仅在杆件端部有集中 荷载，而AB间无荷载
C
15
20kN/m A 1m 10
10kN· m D 1m
E 1m B MB右
10kN
1m
20
C 10kN
取B右C为隔离体 QB右 Σx=0 Σy=0 ΣMB=0 NB右=0 QB右=10 kN
B
C
NB右 1m
MB右=-10×1=-10 kN· m
16
结论： 任一截面上的剪力等于截面以左(或以右)梁上外
MB=0 kN· m MC MC=10 kN· m 1m
39
10
A 10 Q M Q图(kN) A C 10 0 10
20kN
C
10
B
-10
10
0
B 10
0
M图 (kN· m) A
C
10 1 Pa 4
0
B
40
(2) 简支梁在均布荷载作用下 20kN/m A C 2m 分析 B
a. 先求支座反力
b. AB段 指定截面的内力 剪力图：斜直线（两点） QA QB MA MC MB
B 148 2m
-88 60 20kN/m
D
Q 72
20 20kN D
QB左
B左
20kN/m 148 2m D
20kN QB右 B右
2m
QB左=20×2+20-148=-88
QB右=20×2+20=60
q
(2)分布荷载向下,曲线向下凸
q M
33
q(x) M
A x 结论 K J dx B
P
C
x
dQ(x) dM(x) d2M(x =q(x) =Q(x) =q(x) 2 ) dx dx dx
3. 杆件上某一截面的剪力为零 Q=0
弯矩图的斜率为零，在这一截面上的 弯矩为一极值
34
q(x) M
A B
P
C
内力图特征
20
A
B
Q图(kN)
水平直线
一点
20
A
B
M图 (kN· m)
斜直线 两端点
21
(2)悬臂梁在均布荷载作用下 20kN/m A x 20kN/m
C 1m
B
C MC
B
QC
1-x
Σy=0 ΣMC=0
QC=20(1-x) kN
0≤x≤1
剪力方程
MC=-20×(1-x)×(1-x)/2 =-10×(1-x)2 kN· m
Q M
B 20
B
M图(kN· A m)
1 qa2 8
43
(3) 简支梁在均布荷载作用下 10kN· m A 1m 分析 C 1m B
a. 先求支座反力
b. AC或BC段 无荷载作用 指定截面的内力
AB段剪力图：水平线（一点） QA 弯矩图：斜直线（两点） MA MC左 MC右 MB
44
解：
QA=-5 kN
隔离体(左边)
HA
MK 隔离体(右边) K
P1 B
P2
NK
QK
VB
取左边的好
Σx=0 NK
力的平衡方程求解
Σy=0 QK ΣMK=0 MK
7
实
例
例1： 简支梁如图，试求C截面的内力。
10 3kN
A 1m
分析：
C B 1m
300
MC
NC
10 3
C B 1m
300
QC
区别 左边隔离体 含支座否 右边隔离体
20kN/m
A 1m VA 分析：
10kN· m D 1m
10kN
B C 1m VB
HA
E 1m
1. 左边或右边隔离体 都含支座,先求支座反力
2. B、E截面分左右侧 B、E点上有力作用,则左侧 和右侧的隔离体受力不同 10
20kN/m A 1m
10kN· m D
1m E 1m VB B 1m
10kN
B
M(x)+dM(x) Q(x)+q(x)dx-Q(x)-dQ(x)=0
dQ(x)=q(x)dx dQ(x =q(x) ) dx
Q(x)+dQ(x )
28
q(x) M A K J x q(x) M(x ) Q(x) dx dx M(x)+dM(x)
P C x
B
ΣMK=0 M(x)-q(x)dxdx/2 +[Q(x)+dQ(x)]dx -M(x)-dM(x)=0
静定梁结构的内力分析
1
1. 基本概念
梁的受力变形特点
阳台挑梁
门窗过梁
2
受力变形特点
梁的轴线
P
纵向对称面
变形后的轴线
受力特征： 所受的外力作用在梁的纵向对称平面。
变形特征：梁的轴线变成对称面内的一条平面曲线。
3
静定梁的基本形式 A （1）简支梁 HA B VB
VA
（2）悬臂梁 H A MA （3）外伸梁 HA VA
弯矩方程
22
20kN/m
QC=20(1-x) A x C 1m B MC=-10(1-x)2 0≤x≤1
20
A
B Q图(kN)
x=0
Q=20 Q=0 M=-10 M=-2.5 M=0
23
x=1
x=0
10 2.5
A
M图 B (kN· m)
x=0.5 x=1
20kN/m
A B 受力特征
1m
AB上有均布的线荷载
8
MC
10 3
C
Σx=0
300 B
NC
QC
N C 10 3Cos30 0 0
1m
N C 15kN
压力
Σy=0
QC 10 3Sin30 0 0
QC 5 3kN
ΣMC=0
M C 10 3Sin30 0 1 0
M C 5 3kN m 逆时针
9
例2：外伸梁如图，求D、B和E截面（左侧和右侧）的内力.
弯矩方程
25
A
x
C 1m
B 10kN· m
QC=0kN MC=-10kN· m
0≤x≤1
0
A B
Q图(kN)
10
A M图 B (kN· m)
26
3.弯矩、剪力和分布荷载集度之间的微分关系

微分关系 实例
27
1. 荷载与内力之间的微分关系 q(x) M A K J x M(x ) Q(x ) dx dx q(x) P C Σy=0 x
D
0
B
46
A
D 1m
10kN· m A B 1m
B
10kN· m
2m
同左
B
A 5
Q图(kN)
0 A
5
5
D
0
B
0 A
B
10 M图(kN· m)
47
例：外伸梁，绘此梁的剪力图和弯矩图。
160kN· m 20kN/m 20kN
HA
A 2m
C 8m
B
2m
D
VA
分析 Σx=0 Σy=0 a. 先求支座反力 HA=0 ΣMA=0
1m
20
C
Σx=0
ND=0
QD A 1m 10
D
MC
ND
Σy=0
10-20×1-QD=0 QD=-10kN
ΣMD=0
MD=10×1-20×1×0.5=0kN· m
12
20kN/m
10kN· m
10kN
A 1m 1m C E 1m B D 1m 10 20 （2）求E左和E右截面的内力 20kN/m ME左 QE左 NE左取AE左为隔离体 A 1m D 1m E 10 NE左=0 Σx=0 Σy=0 ΣME=0 QE左=10-20×1=-10kN ME左=10×2-20×1×1.5=-10kN· m
HA
C
VA 求支座反力 ΣMA=0
Σx=0 HA=0
3VB -20×1×0.5 -10 -10×4 =0
VB=20 kN VA=10 kN
11
Σy=0
VA+VB-20×1-10=0
20kN/m A 1m D 1m 10 （1）求D截面的内力 取AD为隔离体 20kN/m
10kN· m
E 1m B
10kN
q(x) M
A B
P
C
x
结论
dQ(x) dM(x) d2M(x =q(x) =Q(x) 2 =q(x) ) dx dx dx
1. 杆件上无荷载 q(x)=0 Q(x)为常数 剪力图为水平直线
一点
M(x)为x的一次函数
弯矩图为斜直线 两点
31
q(x) M
A B
P
C
x
结论 2. 杆件上有分布荷载 q(x)=常数 Q(x)为x的一次函数 剪力图为斜直线 M(x)为x的二次函数
A
VA A
B
B
VB
4
2. 截面法求平面弯曲梁的内力 A K P1 B P2
取左边隔离体
A
HA
K
MK
QK
VA
NK
NK 轴力 拉为正 QK 剪力 使隔离体顺时 针转动为正 MK 弯矩 使隔离体上压 下拉为正
5
mP
A K
1
P2 B
m
取右边隔离体
MK
K
P1 B
P2
NK
QK
VB
6
A
K
QK VA
MK NK
41
有荷载作用
弯矩图：曲线（三点）
解： QA=20 kN
MA=0 kN· m A 20 1m 20kN/m
20kN/m
B C
1m 20
QB=-20 kN MB=0 kN· m
MC
20 1m
MC=20×1-20×1×0.5 MC=10 kN· m
42
20kN/m
A 20 0 20 Q图(kN) A 0 10 0 10 B -20 0
MA=0 kN· 5 m
10kN· m B C
5 1m MC左=-5 kN· m
A
1m
MB=0 kN· m
5
MC左 1m
10kN· m
MC右=10-5×1=5 kN· m 5 1m MC右
45
A
D 1m
10kN· m B 1m
-5 5 0 B
Q M
-5
0 A 5 0 A 5 5 -5
Q图(kN)
M图(kN· m)
B
1m
分析
1m
a. 先求支座反力
b. AC或CB段 指定截面的内力 剪力图：水平线（一点） QA QB MA MC MB
38
无荷载作用
弯矩图：斜直线（两点）
A
QA MA
解 A 10 1m
20kN B C 10 MB QB
A 10
10 无穷小
1m
无穷小
QA=10 kN
MA=0 kN· m 20kN
QB=-10 kN
36
小
1. 杆件上无分布荷载 剪力图为水平直线 弯矩图为斜直线 2. 杆件上有分布荷载 剪力图为斜直线 弯矩图为二次抛物线 3. 集中力偶作用点
结
定一点 定两点 定两点 定三点
剪力值无变化 4. 集中力作用点
弯矩值无变化
弯矩值有突变 剪力值有突变
37
实
例
(1) 简支梁在集中荷载作用下 20kN A C
14
20kN/m
10kN· m
10kN
A 1m 1m E 1m B D 1m 10 20 （3）求B左和B右截面的内力 MB左 B 取B左C为隔离体 NB左 20 1m QB左 Σx=0 Σy=0 ΣMB=0 NB左=0 QB左=10-20=-10 kN MB左=-10×1=-10 kN· m
C 10kN
x
M
M(x ) Q(x) dx
结论 M(x)+M1 4. 集中力偶作用点 剪力值无变化
Q(x)
弯矩值有突变, 突变值等于该集中力偶的数值
35
q(x) M
A x P K J dx B
P
C
x
结论
M(x) 5. 集中力作用点 弯矩值无变化
M(x ) Q(x) dx
Q(x)+Q1 剪力值有突变, 突变值等于该集中力的数值
dQ(x) dM(x) d2M(x =q(x) =Q(x) =q(x) 2 ) dx dx dx
两点 三点
32
弯矩图为二次抛物线
q(x) M
A B
P
C
x
结论
dQ(x) dM(x) d2M(x =q(x) =Q(x) =q(x) 2 ) dx dx dx M
弯矩图为二次抛物线时，曲线的性质
(1)分布荷载向上,曲线向上凸
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dx为无穷小，dx2高阶无穷小
Q(x)+dQ(x )
dM(x)＝Q(x)dx dM(x) =Q(x) dx
29
q(x) M
A K J x dx B
P
C
dQ(x) =q(x) dx
x
M(x ) Q(x) dx
M(x)+dM(x)
dM(x) =Q(x) dx d2M(x =q(x) 2 ) dx
30
Q(x)+dQ(x )
13
20kN/m
10kN· m
10kN
A 1m 1m E 1m B D 1m 10 20 10kN· m 20kN/m ME右 E
C
A 1m 10
Σx=0 Σy=0 ΣME=0
D
1m
取AE右为隔离体 NE右 QE右
NE右=0 QE右=10-20×1=-10 kN ME右=10×2-20×1×1.5+10=0 kN· m
VB
VB=148 kN
VA=72 kN
48
160kN· m
20kN/m
20kN
72
A
2m
C 8m
B 148 2m
D
b. 内力图特征 剪力图： AC段：直线； 弯矩图： AC段：斜直线； CB段和BD段 曲线；
49
CB段和BD段 斜直线；
160kN· m 72
20kN/m
20kN
A
2m
C 8m 72