钟表问题

课前练习：
1、圆形时钟的钟面被分成多少个大格？多少 个小格？一个大格是多少度？一个小格是多 少度？ 2、时针每小时走过多少度？为什么？每分钟 呢？ 3、分针每分钟走过多少度？为什么？

时钟钟面上的时针和分针之间的夹角问题， 历来是许多同学求解的困惑问题之一，事实 上，只要同学们能弄清时针、分针之间的关 系：
都知道钟面的一周分为60格， 分针每走60格，时针正好走 5格，所以时针的速度是分针速度
垂直、两针成直线、两针成多少度角提出问题。因为 时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动， 所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
知识准备
分针：
360°/60min=6°/min 时针：30°/60min=0.5
1）时针与分针重合。从3点开始，分针要比时针多走 15格，需15÷ 2）时针与分针成180°角。从3点开始，分针要比 时针多走15＋30
例4 晚上7点到8点之间电视里播出一部动画 片，开始时分针与时针正好成一条直线，结 束时两针正好重合。这部动画片播出了多长 时间？ 分析与解：这道题可以利用例3的方法，先求 出开始的时刻和结束的时刻，再求出播出时 间。但在这里，我们可以简化一下。因为开 始时两针成180°，结束时两针重合，分针 比时针多转半圈，即多走30格，所以播出时 间为

总结
例1～例4都是利用追及问题的解法，先找 出时针与分针所行的路程差是多少格，再除 以它们的速度差求出准确时间。 但是，有些时钟问题不太容易求出路程差， 因此不能用追及问题的方法求解。如果将追 及问题变为相遇问题，那么有时反而更容易。

例5 3点过多少分时，时针和分针离“3”的距离 相等，并且在“3”的两边？

分析与解：假设3点以后，时针以相反的方向行 走，时针和分针相遇的时刻就是本题所求的时刻。 这就变成了相遇问题，两针所行距离和是15个格。
例6 小明做作业的时间不足1时，他发现结束时手表上 时针、分针的位置正好与开始时时针、分针的位置交 换了一下。小明做作业用了多少时间？
分析与解：从左上图我们可以看出， 时针从A走到B，分针从B走到A， 两针一共走了一圈。换一个角度， 问题可以化为：时针、分针同时从B出发， 反向而行，它们在A点相遇。两针所行的
例 现在是2点，什么时候时针与分针第一次重合？

分析：如右图所示，2 点分针指向12，时针指 向2，分针在时针后面


例 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相 互垂直？
分析与解：7点时分针指向12，时针指向7（见右 图），分针在时针后 面5×7＝35（格）。时针与分 针垂直，即时针与分针相差15格，在7点与8点之间， 有下图所示的两种情况：
1、时钟的时针、分针从一次重合到下一次重 合需多长时间？24小时之内可有多少次重合？ 2、时钟的时针和分针在24小时之内可成多少 次平角？成多少次直角？
【例题1】 从钟表的12点整开始，时针与分针的第一次垂直与再一次重叠 中间相隔的时间约（ ） A.43分钟 B.45分钟 C.49分钟 D.61分钟




具体为：整个钟面为360度，上面有12个大格，每个 大格为30度；60个小格，每个小格为6度。 分针速度：每分钟走1小格，每分钟走6度 时针速度：每分钟走 1/12小格，每分钟走0.5度 注意：但是在许多时钟问题中，往往我们会遇到各种 “怪钟”，或者是“坏了的钟”，它们的时针和分针 每分钟走的度数会与常规的时钟不同，这就需要我们 要学会对不同的问题进行独立的分析。 要把时钟问题当做行程问题来看，分针快，时针慢， 所以分针与时针的问题，就是他们之间的追及问题。 另外，在解时钟的快慢问题中，要学会十字交叉法。 例如：时钟问题需要记住标准的钟，时针与分针从一 次重合到下一次重合，所需时间为 分
抓住起始和终止两个时刻算出分针走了多少分钟， 由上述表格算出时针和分针各转了多少度，再在钟 面上比较，求出结果.现举例说明.
时钟问题知识点说明



时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追 及或相遇问题，不过这里的两个“人”分别是时钟 的分针和时针。 我们通常把研究时钟上时针和分针的问题称为时钟 问题，其中包括时钟的快慢，时钟的周期，时钟上 时针与分针所成的角度等等。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总 路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小 时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每 分钟走多少小格”。对于正常的时钟，
【解析】 4：00时刻，时针分针夹角为120°， 成直线角度为180° 所以分针还要相对时针多走300° t=300/5.5=54又6/11分
重合问题
【例题3】 从6时整开始，经过多少分钟后，时针与分针第一次重合？ 【解析】第一次重合，分针要追时针180° 所以：追及时间=追及距离/追及速度 即：t=180/5.5=360/11=32又8/11分
三、时针与分针分别转过的角度



例3 若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各 转过多大角度？ 分析: 弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解. 解: 因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟， 所以时针转过的角度为 ×(55－30)＝6° ×25＝ 150°， 分针转过的角度为 ×(55－30)＝150°× ＝12.5°. 评注： 解答此类题目，抓住时针每分转0.5°，分针每 分转6°是求解的关键.
二、任意时刻两针的夹角


例2 钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角 的度数是多少？ 分析 要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少 度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟 转过的角度即可. 解 因为 ×2 ＝30°× ＝67.5°， ×15＝ 90°， 所以90°－67.5°＝22.5°. 评注： 通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟 分针比时针多转了5.5°，必要时可以利用方程求解 此类问题，有时会显得更加简捷.
垂直时：时针与分针夹角是90° 重合时：时针与分针是360 ° 追及距离：270 ° 速度差： 5.5 ° 追及时间=追及距离/速度差=270/5.5 min=49 min
成直线问题
【例题2】 四点半钟后，时针与分针第一次成直线的时刻为 （） A、4点40分 B、4点45又4/11分 C、4点54又6/11分 D、4点57分
练习

如图，在时钟盘面上，1点45分时的时针与分针之间的夹角 是多少？ 【解析】从1：00到1：45分 ，时针 走的度数为： 0.5 °/min×45 min=22.5° 9点整到13点整之间包含有4个小格 即 30 °×4=120 °
所以：夹角为120 °+22.5°=142.5°
6、小红傍晚6点钟去商场买本，走进商场看 到钟表上的时针和分针的夹角是120°，买 完本后，走出商场看到钟表上的时针和分针 的夹角又是120°，但已近晚上7点钟了，问 小红买本用了多长时间？
数量关系及资料分析
时钟问题
内容简介
概述 知识准备 例题 练习 小结

“时间就是生命”。 自从人类发明了计时工具——钟表，人们的 生活就离不开它了。什么时间起床，什么时 间吃饭，什么时间上学……全都依靠钟表， 如果没有钟表，生活就乱套了。

时钟问题
时钟问题就是研究钟面上的时针和分针关系的问题。 时钟问题经常围绕着两针重合、垂直、成直线等展开。









【巩固】 小强家有一个闹钟，每时比标准时间快3分。 有一天晚上10点整，小强对准了闹钟，他想第二天 早晨6∶00起床，他应该将闹钟的铃定在几点几分？ 【解析】 6：24 【巩固】 小翔家有一个闹钟，每时比标准时间慢3分。 有一天晚上9点整，小翔对准了闹钟，他想第二天早 晨6∶30起床，于是他就将闹钟的铃定在了6∶30。 这个闹钟响铃的时间是标准时间的几点几分？ 00002【解析】 7点 【巩固】 当时钟表示1点45分时，时针和分针所成的 钝角是多少度？ 00003【解析】 142.5度

（1）顺时针方向看，分针在时针后面15格。从7 点开始，分针要比时针多走35-15=20（格），需
（2）顺时针方向看，分针在时针前面15格。从7点 开始，分针要比时针多走35＋15＝50（格），需
例3 在3点与4点之间，时针和分针在什么时刻 位于一条直线上？

分析与解：3点时分针指向12，时针指向3（见右 图），分针在时针后 面5×3＝15（格）。时针与 分针在一条直线上，可分为时针与分针重合、时针 与分针成180°角两种情况（见下图）：
一、整点时刻两针的夹角

例1 求下午4时，时针与分针之间的夹角. 分析： 下午4时，时针指在4上，分针指在12上，于是可求 出它们之间的夹角. 解： 因为下午4时，时针指在4上，分针指在12上，所以 4×30°＝120°. 评注： 因为整点时，分针始终指向12，所以可把分针看作 角的始边，时针看作角的终边，时针旋转一周360º 需要12个 小时，所以时针每小时旋转的角度为360º ÷12＝30º .由于我 们现在研究的角都是小于平角的角，所以在1到6小时，两针 的夹角为30º ×n(n＝1，2，…，6)；在7到12小时，两针的 夹角为360º －30º ×n(n＝7，8，…，12).显然，任意整点时 刻时针与分针的夹角我们都可以通过上面的两个公式求出来， 值得注意的是，钟面上两针的夹角有可能会相等，如3点和9 点时两针的夹角都是90º ，但在不同时刻.

【例 1】 有一座时钟现在显示10时整．那么，经过 多少分钟，分针与时针第一次重合；再经过多少分 钟，分针与时针第二次重合?
例1 时针与分针的夹角 一钟表9点20分停了，这时表面上时针与分 针的夹角是多少度？
分析： “夹角”指的是两针所成角中小于 180°的那个角。
时针和分针中间夹着的大格数和小格 所占部分的和 就是夹角。 解：5×30+0.5×20=160°
时间是：
时针与分针的追及与相遇问题
【例 1】 王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟 每小时快 30 秒.而闹钟却比标准时间每小时慢 30 秒，那 么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差多少秒？ 闹钟比标准的慢 那么它一小时只走（3600-30）/3600个 小时， 手表又比闹钟快 那么它一小时走（3600+30）/3600个小 时，则标准时间走1小时 手表则走（3600-30）/3600* （3600+30）/3600个小时， 手表每小时比标准时间慢1—【（3600-30）/3600* （3600+30）/3600】=1—14399/14400=1/14400个小 时， 也就是1/14400*3600=四分之一秒，所以一昼夜24小时 比标准时间慢四分之一乘以24等于6秒
垂直问题
【例题4】 在4点与5点之间，时针与分针什么时候成直角？ 【解析】分两种情况： 分针在时针之前, 4：00两针夹角为 120°，垂直时90 ° 分针还需走 30 °， 则：30/5.5 min=5又5/11min 即：4点零5又5/11分时为直角 分针在时针之后, 分针还需走120 °+90°=210° 210/5.5 min=38又2/11min
2、由2点到7点30分，钟表的时针转过的角 度是多少？ 3、时钟的时针转了20°角，则时间过了 多少分？
例3： 巧用追及解钟表问题 在两点到三点之间，什么时刻时针和分针重 合？ 分析：速度差×时间=路程差 解：设两点x分时针与分针重合，根据题意得 （6 － 0.5）x = 60
练习：
1、从7点到8点之间，什么时刻时针与分针重合？ 2、在1点到2点之间，什么时刻时针与分针成直角？ 3、从5点到6点之间，什么时刻时针与分针成直角？ 4、8点几分时针和分针在一条直线上？
时钟问题
练习：
钟表在5点40分时时针与分针所夹的锐角 是多少度？ຫໍສະໝຸດ Baidu
例2：从一时刻到另一时刻走过的角度 从2点30分到2点45分，时针和分针各走 了多少度？
分析：时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°。 所走角度=每分钟走的度数×时间 解：6×15=90° 0.5×15=7.5°
练习： 1、从8点15分到8点25分，时钟的分针转 了多少度？时针转了多少度？