等差数列中的三类难点问题解析
高中数学素材——等差数列中的三类难点问题解析
等差数列中的三类难点问题解析某某省利津县第一中学 胡彬 257400一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题例1.已知{a n }为等差数列，公差d ≠0，{a n }中的部分项所组成的数列1k a ，2k a ，3k a ，…，n k a ，…恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17.(1)求k n ；(2)求证：k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1.分析：(1)易知n k a 是等比数列中的第n 项，于是有n k a ＝a 11-n q ；另一方面，n k a 是等差数列中的第k n 项，又有n k a ＝a 1＋(k n －1)d 。
从而得a 1q n －1＝a 1＋(k n －1)d 。
在上式中除了k n 为所求外，a 1、d 和q 均为待定系数。
虽然a 1、d 和q 不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a 1与d 的关系和q 的值。
从何入手呢？注意到k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，我们可以利用等比数列的子数列1k a ，2k a ，3k a ，即a 1，a 5，a 17也成等比数列，据此可以求出d 与a 1的关系和q 的值。
(2)要证明k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝3n －n －1，实质上是求数列{k n }的前n 项的和，而这可以由通项k n 来确定。
解：(1)由题设知1k a ，2k a ，3k a 即a 1，a 5，a 17成等比数列，所以a 52＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)。
因d ≠0，所以a 1＝2d ，于是公比q ＝15a a ＝3，所以n k a ＝1k a q n －1＝a 1⋅3n －1 又n k a ＝a 1＋(k n －1)d ＝a 1＋(k n －1) ⋅21a ，所以a 1＋(k n －1) ⋅21a ＝ a 1⋅3n －1 因而k n ＝2⋅3n －1－1(2)k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n ＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n －1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1说明：在求得d ＝21a 和公比q ＝3后，还有如下更为简捷的解法： 因为3112)1(2)1(1111111=++=⋅-+⋅-+=---n n n n k k k k a k a a k a a a n n . 所以{k n ＋1}是首项为k 1＋1＝2，公比为3的等比数列，于是k n ＋1＝ 2⋅3n －1，即k n ＝2⋅3n －1－1。
专题02 等差数列(重难点突破)解析版
专题02 等差数列一、考情分析二、经验分享【基础知识】1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
①等差数列定义：定义法或。
②分类：若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
2、等差数列的判断方法：定义法或3、等差数列的通项：或。
①当0d ≠时，等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 4、等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。
①前n 和是关于n 的二次函数且常数项为0.5、等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。
①当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 6、若{}n a 是等差数列 ，232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列. 【方法总结】1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a 1和公差d ．（2）列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d 的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法.（2）前n 项和法，即根据前n 项和n S 与n a 的关系求解. 3、等差数列前n 项和公式的应用方法：根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用1(1)=2n n n S na d -+； 若已知通项公式，则使用1()=2n n n a a S +，同时注意与性质“”的结合使用. 4、等差数列的判定与证明的方法：①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N 是等差数列；②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ； ③等差中项法：为等差数列；④通项公式法：通项公式形如为常数)⇔为等差数列；⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔为等差数列．5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若m n p q +=+，则q p n m a a a a +=+(,m n,p, ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{a n }的前n 项和S n 中的n 为奇数时，才有S n =na 中成立.6、等差数列的前n 项和的最值问题（3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和n S的最大值．三、题型分析(一) 等差数列的概念及其定义一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示，即：____________________________或____________________________。
高中数学核心考点：数列 难点3 数列中的奇偶项问题 - 解析
微专题2：数列中的奇偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征如：等差、等比数列或其他特征求解原数列．题型一：等差等比数列的奇偶项特性例1-1：已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40【解析】 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10.例1-2：已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.规律方法：若等差数列{a n }的项数为偶数2n ，则：①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1.若等差数列{a n }的项数为奇数2n ＋1，则：①S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；②S 奇S 偶＝n ＋1n .若等比数列{a n }中，公比为q .当项数是偶数时，S 偶＝S 奇·q ；当项数是奇数时，S 奇＝a 1＋S 偶·q .若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q1＋q(q ≠1且q ≠－1)．1. 在等差数列{a n }中，前2m (m 为正整数)项的和为155，其中奇数项的和为70，且 a 2m －a 1＝27，则该数列的通项公式为_____________.【解析】 由题得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶－S 奇＝md ＝85－70＝15，a 2m －a 1＝(2m －1)d ＝27，解得d ＝3，m ＝5.又S 2m ＝S 10＝(a 1＋a 10)×102＝155，解得a 1＝2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3n －3＝3n －1.2. 在等比数列{a n }中，已知a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两根，则a 5等于( )A. 1B. －1C. ±1D. 3【解析】 在等比数列{a n }中，因为a 3，a 7是方程x 2－6x ＋1＝0的两个根，所以a 3＋a 7＝6＞0，a 3·a 7＝1＞0，所以a 3＞0，a 7＞0，a 5＞0.因为a 3·a 7＝a 25＝1，所以a 5＝1.题型二：奇偶分析求通项例2：设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈求n a 的通项式∵1(1)2nn n n S a =--∴当2n ≥时，11111(1)2n n n n S a ----=--两式相减得111111(1)(1)22n n n n n n n n S S a a -----=----+，即111(1)(1)2n n n n n n a a a --=---+ 当n 是偶数时，112n n n n a a a -=++，所以112n n a -=-，即n 是奇数时，112n n a +=-； 当n 是奇数时，1122n n n a a -=-+，1111222n n n n a a --=-+=，即当n 是偶数时，12nna =.1.,32,122,1n n a a a a ===+，求n a 的通项式2.,52,311+=+=+n a a a n n 求n a 的通项式题型三：奇偶分析求和例3：在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n . 解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a 2n＝⎝⎛⎭⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，规律方法：对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1. 数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3) ＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2.设数列{}n a 满足123411,1,4,4a a a a ====，数列{}n a 前n 项和是n S ，对任意的*n N ∈，()()242122cos x n n n n n n n a af x x a a a x e a a +++++=++--，若()00f '=，当n 是偶数时，n S 的表达式是___________．【解析】()()242122sin x n n n n n n n a af x a a a x e a a +++++'=-+--， 因为()00f '=，所以2420n n n n a a a a +++-=，即242n n n n a aa a +++=，所以数列{}n a 中所有的奇数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n 是偶数时，n S 的表达式是22111114424111433214nn n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅- ⎪⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=-+-⨯-． 3. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2， 又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *. (2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0， 当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0， 即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎡⎦⎤n ×1＋12n (n －1)×2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.题型四：由奇偶项分类讨论求参数例4：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________． 解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n (2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立， 所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n (2n －1)－p ]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1， 因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】当1n时，134a 当2n时，11111(1)42n n n n S a n ----=-++-，所以11(1)(1)12n n n n n na a a -=-+--+ 当n 为偶数时，1112n n a -=-； 当n 为奇数时，11212n n n a a -=--+，即1112122n n n a --=--+，1232n n a -=-. 所以113,211,2nn n n a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数为奇数.当n 为偶数时，1113,324n n a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭，当n 为奇数时，11311,24n n a +⎛⎤=-∈--⎥⎝⎦又因为1()()0n n t a t a +--<恒成立，1n n a t a +<<，所以31144t.。
初三数学等差数列应用题解决技巧
初三数学等差数列应用题解决技巧数学是一门需要不断练习和应用的学科，而初三数学中的等差数列应用题是让很多学生头疼的一环。
然而，只要我们掌握了一些解决技巧，这些题目也可以变得轻松起来。
本文将为大家分享初三数学等差数列应用题解决技巧，希望能对同学们的数学学习有所帮助。
一、了解等差数列的定义和性质在解决等差数列应用题之前，我们首先需要了解等差数列的定义和性质。
等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项之差保持恒定的数列。
而对于一个等差数列，我们可以通过以下性质来进行分析：1. 公差的求法：等差数列的公差是指相邻两项的差值，我们可以通过已知条件求得。
2. 首项和末项的求法：已知等差数列的首项、公差和项数，我们可以通过公式求得末项。
3. 求和公式的运用：对于给定的等差数列，我们可以通过求和公式来计算数列中任意一段的和。
了解了等差数列的定义和性质后，我们可以更好地应用这些知识来解决等差数列应用题。
二、应用技巧之确定已知条件在解决等差数列应用题时，我们需要首先确定已知条件。
根据题目提供的信息，我们可以将问题归纳为以下几种类型：1. 已知第几项和公差，求某项的值：对于这类问题，我们需要利用等差数列的定义和性质，通过公式计算出所求项的值。
2. 已知前几项和公差，求某项的值：这种情况下，我们可以通过已知条件计算出前几项的值，然后利用等差数列的定义和性质，求出所求项的值。
3. 已知前几项和某项的值，求公差：在这种情况下，我们可以通过已知条件列出方程组，解方程求出公差。
4. 已知前几项和公差，求项数：对于这类问题，我们可以通过已知条件列出方程，解方程求出项数。
通过确定已知条件，并根据不同题型运用相应的解题思路，我们可以更加高效地解决等差数列应用题。
三、应用技巧之列方程解题在解决等差数列应用题时，列方程是非常重要的一步。
通过列方程，我们可以将问题转化为代数方程，从而利用数学知识求解。
下面是几个常见的列方程应用技巧：1. 根据已知条件列出等差数列的通项公式。
等差数列的三种常考题型及解答方法
等差数列的三种常考题型及解答方法 一、 通项公式的运用1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公差为（A ）2- （B ） 3- （C ） 2 （D ）32. 已知数列的等差数列，若，则数列的公差等于A ．1B ．3C ．5D ．63. 在等差数列{a n }中，a 1=13,a 3=12若a n =2，则n 等于A ．23B ．24C ．25D ．264. {a n }是首项a 1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n =2008，则序号n 等于（ ）A 、667B 、668C 、669D 、6705. 在等差数列{a n }中，若等于 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10二、 性质：1）若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+2）若m+n=2p ，p n m a a a 2=+运用6. 数列为等差数列，且，则．7. 在等差数列{}中，已知则等于A.40B.42C.43D.458.已知等差数列中，，则________。
9. （2008•海南）已知{a n}为等差数列，a3+a8=22，a6=7，则a5=_____________10.已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20=_______________11.已知等差数列中，和是方程的两根，则——————————————12.在等差数列中，若，则等于 A．30 B．40 C．60 D．80 13. 已知数列{a n}是等差数列，且a4+a7+a10=17，a8+a9+a10=21，若a k=13，则k=14.已知等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差________。
15.等差数列共有项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则中间项为16.在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于______________17.等差数列{a n}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a1=1，求其项数和中间项．18.（2005•黑龙江）如果数列{a n}是等差数列，则（）A、a1+a8＞a4+a5B、a1+a8=a4+a5C、a1+a8＜a4+a5D、a1a8=a4a519.（2005•黑龙江）如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则（）A、a1a8＞a4a5B、a1a8＜a4a5C、a1+a8＞a4+a5D、a1a8=a4a5三、灵活求解20.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成的一个首项为1/4的等差数列,则|m-n|等于______________21.首项为-30的等差数列，从第7项开始为正，则公差d的取值范围是（）A 、5≤d ＜6B 、d ＜6C 、5＜d ≤6D 、d ＞522. 已知动点P(x,y)，若lgy,lg|x|,lg2x y -成等差数列，则点P 的轨迹图形是什么？23. 已知数列{}n a 的首项135a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，求{}n a 的通项公式。
高中数学等差数列问题解答易错点探析
高中数学等差数列问题解答易错点探析作者：***来源：《中学生数理化·高考理化》2020年第06期等差数列是高中数学的重要内容，有关等差数列定义的判断，相对比较简单，但是其涉及的题型变化是多样的，如何从多变的题型中回归到最初等差数列的定义上来，这是我们要研究的解决等差数列的最好方式。
从高中数学等差数列问题的解答易错点分析，能够真正了解当前同学们在等差数列学习中存在的问题，针对当前问题进行针对性的解决，可以提升同学们的学习能力。
一、高中数学等差数列问题解答易错点1.错误理解等差数列公差的取值对于等差数列公差的取值，根据等差数列的定义进行判断比较简单，但是一旦放在实际问题中，同学们就极容易错误理解等差数列的公差，从而出现错误。
例1 已知log2 （a+1），log2（b-1），log2（c- 1）成等差数列，且b是a，c的等差中项，a+b+c=15，求abc的值。
分析：由等差数列的定义列方程组，并解出来，应该有两组解，a=1，b=5，c=9或a=7，b=5，c=3。
根据等差数列的定义进行解题相对比较简单。
但是，在解题过程中，同学们极易受到自身观念的影响，默认为公差为正数，从而舍去a=7，b=5，c=3这组解。
因此，在学习时，同学们要不断加强对等差数列定义的理解，强化等差数列及公差的特点，以便更加全面、系统地理解等差数列公差的取值——公差不仅可以是正数，还可以是负数，也可以是零。
2.错误理解等差数列的性质分析：同学们错误地理解等差数列的性质，归根结底是同学们不能正确理解等差数列的取值，因为同学们的抽象思维不够，没有建立对数的具体认知，这就需要同学们在今后的学习过程中，有意识地利用具体的数值总结推导出相应的规律，并将规律普遍化，充分运用于解题之中。
二、提升高中数学等差数列答题效率的措施解答等差数列的试题时，一方面，要理解等差数列的性质;另一方面，要进行有针对性的训练，不断夯实基础。
与此同时，等差数列和等比数列也经常一起考查，同学们要对两者的性质进行清晰、明确的划分，什么时候用什么性质。
数列知识点归纳总结难点
数列知识点归纳总结难点数列作为数学中的重要概念和工具，常常在各个学科和实际问题中出现。
在学习数列的过程中，我们需要理解和掌握一系列的知识点，其中包括数列的定义、分类、通项公式、递推关系、求和公式等等。
同时，也存在一些难点和容易混淆的概念。
本文将对数列的知识点进行归纳总结，并针对其难点进行深入讲解。
一、数列的定义和分类数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的有序集合。
数列中的每个数字称为数列的项，通常用$a_1,a_2,a_3,...$表示。
数列可以分为等差数列、等比数列、递推数列、Fibonacci数列等等。
等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定，等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定，递推数列是指数列中的每一项都依赖于它前面的一项或多项。
二、数列的通项公式和递推关系数列的通项公式是指可以通过项号$n$来表示数列中第$n$项的公式。
通项公式在数列的研究和分析中起到了至关重要的作用，它能帮助我们快速计算和推导数列中的各个项。
对于等差数列，通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$表示首项，$d$表示公差；对于等比数列，通项公式为$a_n=a_1\cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$表示首项，$r$表示公比。
递推关系是指数列中的每一项都通过前面一项或多项进行计算得到的关系式。
通过递推关系，我们可以递推出数列中的每一项，从而不需要知道特定项号的具体值。
递推关系的建立需要根据数列的特点和规律进行分析和推导，通常可以通过观察数列前几项的变化规律来确定。
三、数列的求和公式和性质数列的求和是指对数列中的若干项进行求和运算。
求和公式是用来计算数列前$n$项和的公式。
对于等差数列，求和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和；对于等比数列，求和公式为$S_n=\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$，其中$S_n$表示前$n$项和。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是初等数学中最基础的数列形式。
在这篇文章中，我们将对等差数列的定义、性质以及常见问题进行总结。
让我们一起来探索等差数列的奥秘吧！一、等差数列的定义等差数列是指数列中任意两个相邻项之间的差都相等的数列。
简单来说，如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
通常用字母 "a" 表示首项，字母 "d" 表示公差，递推公式可以写作：an = a1 + (n-1)d，其中 n 表示数列中的第 n 项。
二、等差数列的性质1. 公差 (d)：等差数列中相邻两项之间的差称为公差。
任意两项之差为公差的倍数。
2. 首项 (a1)：等差数列中第一项称为首项。
3. 通项公式：等差数列的通项公式用来计算数列中第 n 项的值。
通项公式为：an = a1 + (n-1)d。
4. 项数 (n)：数列中项的个数称为项数。
5. 数列和公式：等差数列的前 n 项和可以通过数列的首项、末项以及项数来计算得出。
数列和公式为：Sn = (n/2)(a1 + an)。
三、等差数列的常见问题1. 求和问题：给定一个等差数列，如何计算前 n 项的和？使用数列和公式 Sn = (n/2)(a1 + an) 可以得到结果。
2. 求特定项问题：在一个等差数列中，找到第 n 项的值。
可以利用通项公式 an = a1 + (n-1)d 来计算。
3. 求公差问题：已知一个等差数列的首项和任意两个相邻项之间的差，怎样求出公差？公差可以通过任意两项之差来求得。
4. 推理问题：已知一个等差数列中的几个项，如何判断一个数是否属于这个数列？当且仅当这个数与该等差数列中的任意两个相邻项之差相等时，该数属于该等差数列。
四、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学、物理、经济等领域。
在数学中，等差数列是数学研究的基础，也是其他数列的基础形式之一。
在物理学中，等差数列用来描述匀速直线运动的位移变化。
数列难题知识点总结及归纳
数列难题知识点总结及归纳数列是数学中常见的概念，它是一系列按照特定规律排列的数的集合。
在数列的研究中，难题常常是学生们在学习过程中遇到的挑战之一。
本文将对数列难题的相关知识点进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和解决数列难题。
一、等差数列等差数列是最简单的一种数列，其规律是每一项与前一项之差都相等。
在解决等差数列难题时，我们常常关注以下几个重要的知识点：1. 公差（d）：等差数列中相邻两项之差称为公差。
在数列题中，要注意根据已知条件求解公差的值，进而利用公差求出数列中的其他项。
2. 通项公式：对于等差数列，我们可以通过求解通项公式来确定数列中任意一项的值。
通项公式的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an 表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
3. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求解求和公式来得到。
求和公式的一般形式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。
二、等比数列等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值都相等。
在解决等比数列难题时，我们需要关注以下几个关键的知识点：1. 公比（q）：等比数列中相邻两项的比值称为公比。
在解决数列问题时，要注意利用已知条件求解公比的值，并根据公比确定数列中的其他项。
2. 通项公式：对于等比数列，我们可以通过求解通项公式来确定数列中任意一项的值。
通项公式的一般形式为an = a1 * q^(n-1)，其中an 表示第n项，a1表示首项，q表示公比。
3. 求和公式：等比数列的前n项和可以通过求解求和公式来得到。
求和公式的一般形式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，q表示公比。
三、递推数列递推数列是一种数列，其中每一项都由前一项推导而来。
在解决递推数列难题时，以下几个关键的知识点需要引起我们的注意：1. 递推关系式：递推关系式描述了数列中每一项与前一项之间的关系。
高中数学等差数列问题解答易错点分析
等差数列问题一直都是高中数学的重要组成部分，为学生解决现实问题提供有效的解决方案，但学生在学习过程中或多或少的受到自身学习水平的影响，出现系列错题思维，为此笔者结合我班学生易错类型总结出以下四点。
希望能够给各位同仁一定的帮助，让广大师生朋友在本文中了解自己出错或者是班级学生出错的原因。
一、取值理解错误在等差数列的学习过程中由于教师一般都会选择一些正值作为等差数列中的公差，这样的题型能够帮助学生快速的理解等差数列，但是这样的题型变多之后就会让学生产生等差数列的公差基本都是正值的惯性思维，从而导致学生在解题过程中会主观的认为公差大于0而疏漏。
例如：已知c 是a 、b 的等差中项，且lg （a+1），lg （c-1），lg （b-1）为等差数列，a+b+c=15，求a ，b ，c 的值。
学生从等差中项中可以清楚2c=a+b ，而a+b+c=15可以得出c=5，在求公差的过程中学生会得出（d-1）2=9的这一步，学生就会想当然的认为d=4，但是事实上d 还可能等于-2，学生因为没有思考周到，就会在结果处失了分数。
因此教师在讲解如何解题的过程中，应该要求学生将自己所解的每一个答案都在解题步骤中写出。
一旦遇到算数平方根的时候应该将答案全都写出来，然后再根据题目条件来取舍答案。
二、等差数列性质理解错误在等差数列的解答过程中，学生或多或少会出现没有正确理解等差数列的性质而造成的错解，例如在等差数列{a n }中a q =p ，a p =q ，且p≠q ，试求a q+p 的值。
学生清楚m+n=p+q ，则a m +a n =a q +a p 的等差数列性质，但学生却会想当然的认为a q+p =a q +a p ，因此遇上上文出现的例题学生机会想当然的认为a q+p =q+p 。
实际上这样的题目不应该如此简单，但仔细解答还是能够利用等差数列的性质来获得一定的解答的。
因此教师在讲解等差数列的时候，应该要避免学生出现这个想当然的想法。
高中数学解等差数列问题的技巧
高中数学解等差数列问题的技巧在高中数学中，等差数列是一个非常重要的概念。
解等差数列问题需要掌握一些技巧和方法，本文将介绍一些解等差数列问题的技巧，帮助高中学生更好地理解和解决这类问题。
一、等差数列的定义和性质首先，我们来回顾一下等差数列的定义和性质。
等差数列是指一个数列中的每个数，与它的前一个数之差都相等。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中，aₙ表示数列的第n项。
通过这个公式，我们可以求得数列的任意一项。
等差数列的性质之一是：数列的前n项和可以用以下公式表示：Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2其中，Sₙ表示数列的前n项和。
这个公式可以帮助我们快速求解等差数列的前n项和。
二、等差数列问题的解题技巧1. 求等差数列的第n项当我们需要求等差数列的第n项时，可以直接使用通项公式。
例如，有一个等差数列的首项为3，公差为4，我们需要求第10项的值。
根据通项公式可知：a₁₀ = 3 + (10-1) * 4 = 39因此，该等差数列的第10项为39。
2. 求等差数列的前n项和当我们需要求等差数列的前n项和时，可以使用前面提到的前n项和公式。
例如，有一个等差数列的首项为2，公差为3，我们需要求前8项的和。
根据前n项和公式可知：S₈ = (2 + a₈) * 8 / 2 = (2 + (2 + (8-1) * 3)) * 8 / 2 = 100因此，该等差数列的前8项和为100。
3. 求等差数列的项数当我们已知等差数列的首项、公差和某一项的值，需要求该项的位置时，可以使用通项公式进行变形。
例如，有一个等差数列的首项为5，公差为2，我们已知第12项的值为27，需要求该项的位置。
根据通项公式可知：a₁₂ = 5 + (12-1) * 2 = 27解方程可得：12 = (27 - 5) / 2 + 1因此，该等差数列的第12项为27。
三、举一反三通过以上的解题技巧，我们可以解决很多等差数列问题。
高中数学人教版必修5——第四讲：等差数列的概念、性质(解析版)
等差数列的概念、性质考查重点：等差数列的通项公式、等差中项以及等差数列的判定 所占分数：10--25分教学重点： 掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数的关系；教学难点： 通项公式的求解及等差数列的判定。
1. 等差数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 来表示。
用递推关系系表示为()1n n a a d n N ++-=∈或()12,n n a a d n n N -+-=≥∈ 2. 等差数列的通项公式若{}n a 为等差数列，首项为1a ，公差为d ，则()11n a a n d =+- 3. 等差中项如果三个数,,x A y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项 4. 通项公式的变形对任意的,p q N +∈，在等差数列中，有：()11p a a p d =+-()11q a a q d =+- 两式相减，得()p q a a p q d =+- 其中,p q 的关系可以为,,p q p q p q <>=5. 等差数列与函数的关系由等差数列的通项公式()11n a a n d =+-可得()1n a dn a d =+-，这里1,a d 是常数，n 是自变量，n a 是n 的函数，如果设1,,d a a d b =-=则n a an b =+与函数y ax b =+对比，点(),n n a 在函数y ax b =+的图像上。
6. 等差数列的性质及应用（1）12132...n n n a a a a a a --+=+=+=（2）若2,m n p q w +=+=则2m n p q w a a a a a +=+=（,,,,m n p q w 都是正整数） （3）若,,m p n 成等差数列，则,,m p n a a a 也成等差数列（,,m n p 都是正整数） （4）()n m a a n m d =+-（,m n 都是正整数）（5）若数列{}n a 成等差数列，则(),n a pn q p q R =+∈（6）若数列{}n a 成等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数）仍为等差数列 （7）若{}n a 和{}n b 均为等差数列，则{}n n a b ±也是等差数列类型一： 等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解例1.（2015河北唐山月考）数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2015,n a = 则n =A.672B.673C.662D.663 解析：由题意得()()1111334,n a a n d n n =+-=-+-⨯=-令2015n a =，解得673n = 答案：B练习1. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2003,n a = 则n = A.669 B.673 C.662 D.663 答案：A练习2. 数列{}n a 是首项11a =-，公差3d =的等差数列，若2000,n a = 则n = A.669 B.668 C.662 D.663 答案：B例2.（2015山西太原段考）一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，则其公差d 为（）A.-2B.-3C.-4D.-6 解析：由题意知670,0a a ≥< 所以有115235062360a d d a d d +=+≥+=+<解得2323,456d d Z d -≤<-∈∴=- 答案：C练习3. 一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d 为（） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案：D练习4.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列{}n a 满足1111,1,4n na a a +==-其中n N +∈设221n n b a =-（1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2） 求数列{}n a 的通项公式解析：（1）1144222222121212121n n n n n n n n n a a b b a a a a a ++--=-=-==----- 所以数列{}n b 是等差数列（2）()111121,21221212,212n n n a b b b n d n a n n a a n=∴==∴=+-=-+∴==-答案：（1）略 （2）12n n a n +=练习5.已知数列{}n a 满足()1114,21n n n a a a n a --==≥+令1n nb a =（1） 求证：数列{}n b 是等差数列（2） 求数列{}n b 与{}n a 的通项公式 答案：（1）数列{}n b 是公差为1的等差数列 （2）443n a n =- ，34n b n =- 练习6.在等差数列{}n a 中，已知581,2,a a =-= 求1,a d 答案：15,1a d =-=例4.已知数列8,,2,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 解析：a 为8与2的等差中项，得8252a +== ；2为,ab 的等差中项得1b =-；由b 为2与c 的等差数列，得4c =- 答案：5，-1，-4练习7. 已知数列8,,2,,a b 是等差数列，则,a b 的值分别为____________ 答案：5，-1练习8. 已知数列2,,8,,a b c 是等差数列，则,,a b c 的值分别为____________ 答案：5，11,14类型二：等差数列的性质及与函数的关系例5.等差数列{}n a 中，已知100110142015a a +=，则12014a a +=（）A.2014B.2015C.2013D.2016解析：1001101412014+=+，且{}n a 为等差数列，12014100110142015a a a a ∴+=+=故选B 答案：B练习9.在等差数列{}n a 中，若4681012120,a a a a a ++++=则10122a a -的值为 （） A.24 B.22 C.20 D.18 答案：A练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列{}n a 中，1007100812015,1,a a a +==-则2014a = _____ 答案：2016例6.已知数列{}n a 中，220132013,2a a ==且n a 是n 的一次函数，则 2015a =________ 解析：n a 是 n 的一次函数，所以设()0n a kn b k =+≠代入22013,a a 解得20151,20152015201520150n k b a n a =-=∴=-+∴=-+=答案：0练习11.若,,a b c 成等差数列，则二次函数()22f x ax bx c =-+的零点个数为（）A.0B.1C.2D.1或2 答案：D练习12.已知无穷等差数列{}n a 中，首项13,a = 公差5d =-，依次取出序号被4除余3的项组成数列{}n b （1） 求1b 和2b （2） 求{}n b 的通项公式 （3）{}n b 中的第503项是{}n a 的第几项答案：数列{}n b 是数列{}n a 的一个子集列，其序号构成以3为首项，4为公差的等差数列，由于{}n a 是等差数列，所以{}n b 也是等差数列 （1）()()13,5,31585n a d a n n ==∴=+--=- 数列{}n a 中序号被4除余3的项是{}n a 中的第3项，第7项，第11项，…13277,27b a b a ∴==-==-（2）设{}n a 中的第m 项是{}n b 的第n 项即n mb a =()()413414185411320n m n m n n b a a n n -=+-=-∴===--=- 则1320n b n =-（3）503132*********b =-⨯=- ，设它是{}n a 中的第m 项，则1004785m -=-，则2011m =，即{}n b 中的第503项是{}n a 中的第2011项1.在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，则a5的值为()A．5 B．6 C．8 D．10答案：A2.在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a101的值为()A．49 B．50 C．51 D．52答案：D3. 如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14 B．21 C．28 D．35答案：C4. 已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0 C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案：D5. 等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30 B．27 C．24 D．21答案：B6. 等差数列{a n}中，a5＝33，a45＝153，则201是该数列的第()项()A．60 B．61 C．62 D．63答案：B_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1.在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝()A ．11B ．12C ．13D ．14 答案：C2. 若数列{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＝45，a 2＋a 5＝39，则a 3＋a 6＝( )A ．24B ．27C ．30D ．33 答案：D3. 已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12等于( )A ．15B ．30C ．31D ．64 答案：A4. 等差数列中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝420，则a 2＋a 10等于( )A ．100B ．120C ．140D ．160 答案：B 5. 已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A.3 B.2 C.13 D.12答案：A6. 在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 答案： 747. 等差数列{a n }中，公差为12，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝60，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝_______. 答案： 858. 在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A ．14B ．15C ．16D ．17 答案：C9. 在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＋a 3＝13，则a 4＋a 5＋a 6＝________. 答案：4210. 等差数列{a n }的前三项依次为x,2x ＋1,4x ＋2，则它的第5项为__________． 答案：411. 已知等差数列6,3,0，…，试求此数列的第100项． 答案：设此数列为{a n }，则首项a 1＝6，公差d ＝3－6＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝6－3(n －1)＝－3n ＋9. ∴a 100＝－3×100＋9＝－291.能力提升12. 等差数列的首项为125，且从第10项开始为比1大的项，则公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325 C.875<d <325 D.875<d ≤325答案：D13. 设等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 是( )A ．48B ．49C ．50D ．51 答案：C14. 已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，又数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 11等于( )A ．0 B.12 C.23 D ．－1答案：B15. 若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1、d 2，则d 1d 2等于( )A.32B.23C.43D.34 答案：C16. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升． 答案：676617. 等差数列{a n }中，a 2＋a 5＋a 8＝9，那么关于x 的方程：x 2＋(a 4＋a 6)x ＋10＝0( ) A ．无实根 B ．有两个相等实根 C ．有两个不等实根 D ．不能确定有无实根答案：A18. 在a 和b 之间插入n 个数构成一个等差数列，则其公差为( ) A.b －a n B.a －b n ＋1 C.b －a n ＋1 D.b －a n －1答案：C19. 在等差数列{a n }中，已知a m ＋n ＝A ，a m －n ＝B ，，则a m ＝__________. 答案：12(A ＋B )20．三个数成等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，则这三个数为__________． 答案：4,6,821. 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 答案：2022. 已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝11，a 2＝8.(1)求a 13的值；(2)判断－101是不是数列中的项； (3)从第几项开始出现负数？ (4)在区间(－31,0)中有几项？答案：(1)由题意知a 1＝11，d ＝a 2－a 1＝8－11＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. ∴a 13＝－3×13＋14＝－25.(2)设－101＝a n ，则－101＝－3n ＋14， ∴3n ＝115，n ＝1153＝3813∉N ＋.∴－101不是数列{a n }中的项． (3)设从第n 项开始出现负数，即a n <0， ∴－3n ＋14<0，∴n >143＝423.∵n ∈N ＋，∴n ≥5， 即从第5 项开始出现负数． (4)设a n ∈(－31,0)，即－31<a n <0， ∴－31<－3n ＋14<0， ∴423<n <15，∴n ∈N ＋， ∴n ＝5,6,7，…，14，共10项.23. 已知等差数列{a n }中，a 15＝33，a 61＝217，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？答案：设首项为a 1，公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(15－1)d ＝33a 1＋(61－1)d ＝217，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23d ＝4，∴a n ＝－23＋(n －1)×4＝4n －27，令a n ＝153，即4n －27＝153，得n ＝45∈N *， ∴153是所给数列的第45项．24. 已知函数f (x )＝3xx ＋3，数列{x n }的通项由x n ＝f (x n －1)(n ≥2，且n ∈N *)确定． (1)求证：{1x n }是等差数列；(2)当x 1＝12时，求x 100的值．答案：(1)∵x n ＝f (x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n ≥2，n ∈N *)，∴1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1， ∴1x n －1x n －1＝13(n ≥2，n ∈N *)． ∴数列{1x n }是等差数列．(2)由(1)知{1x n }的公差为13，又x 1＝12，∴1x n ＝1x 1＋(n －1)·13＝13n ＋53.∴1x 100＝1003＋53＝35，即x 100＝135.25. 四个数成等差数列，其平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四个数．答案：设四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，据题意得，(a －3d )2＋(a －d )2＋(a ＋d )2＋(a ＋3d )2＝94 ⇒2a 2＋10d 2＝47.①又(a －3d )(a ＋3d )＝(a －d )(a ＋d )－18⇒8d 2＝18⇒d ＝±32代入①得a ＝±72，故所求四个数为8,5,2，－1或1，－2，－5，－8或－1,2,5,8或－8，－5，－2，1. 26. 已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 3＋a 9.答案：解法一：a 2＋a 6＋a 10＝a 1＋d ＋a 1＋5d ＋a 1＋9d ＝3a 1＋15d ＝1，∴a 1＋5d ＝13.∴a 3＋a 9＝a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23.解法二：∵{a n }为等差数列，∴2a 6＝a 2＋a 10＝a 3＋a 9，∴a 2＋a 6＋a 10＝3a 6＝1，∴a 6＝13，∴a 3＋a 9＝2a 6＝23. 27. 在△ABC 中，若lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，且三个内角A ，B ，C 也成等差数列，试判断三角形的形状．答案：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴3B ＝π，B ＝π3. ∵lgsin A ，lgsin B ，lgsin C 成等差数列，∴2lgsin B ＝lgsin A ＋lgsin C ，即sin 2B ＝sin A ·sin C ，∴sin A sin C ＝34. 又∵cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ，cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ，∴sin A sin C ＝cos (A －C )－cos (A ＋C )2， ∴34＝12[cos(A －C )－cos 2π3]， ∴34＝12cos(A －C )＋14， ∴cos(A －C )＝1，∵A －C ∈(－π，π)，∴A －C ＝0，即A ＝C ＝π3，A ＝B ＝C . 故△ABC 为等边三角形．。
等差数列及其求和精讲精析篇(含解析)
等差数列及其求和精讲精析点点突破热门考点01 数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1n na a+>其中n∈N＋递减数列1n na a+<常数列1n na a+=按其他标准分类有界数列存在正数M ，使n a M ≤摆动数列n a 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典例1】（2020·安徽蚌埠 高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=（ ） A ．30 B ．29C ．28D ．27【答案】B 【解析】121n S n n+=+，∴ 221n S n n =+-， ∴ 21121112a S ==⨯+-=，22776(2771)(2661)27a S S =-=⨯+--⨯+-=, ∴ 1729a a +=，故选：B【典例2】（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________【答案】2 【解析】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===. 【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.热门考点02 数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指：1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.【典例3】（2019·内蒙古高二期中（文））已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-，若{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(],3-∞ C ．(),2-∞ D ．(],2-∞【答案】A【解析】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A.【典例4】（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项． 3.前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.热门考点03 由递推公式推导通项公式【典例5】（2018·上海市第二中学高一月考）在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a ，可以是（ ） A ．1nB ．121n - C ．12n n+ D ．2n 【答案】A 【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 111111+1nn a ⇒=++++=，1n a n⇒=， 当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈ 故选：A.【典例6】（2020·全国高三二模（文））已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n a n n =+，（2）21n nS n =+ 【解析】（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+， 所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-=（2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.热门考点04 由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a【典例7】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））已知数列{a n }的前n 项和21n S n n =-+，则这个数列的通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．12n naC ．22n a n =-D ．1,122,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】D 【解析】当1n =时，111111a S ==-+=当2n ≥时，()()221111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-1a 不满足22n a n =- 1,122,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩故选：D 【规律方法】已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．．热门考点05 等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．【典例8】（2019·山东高三期中）已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A ．1- B ．0 C ．14D ．12【答案】B 【解析】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因为324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.故选：B.【典例9】（2018·北京高考真题（理））设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【总结提升】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.2..运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．热门考点06 等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 【典例10】（2020·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.【典例11】（2020·海南省高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n - 【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.5.等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.6.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.热门考点07 等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【典例12】（2020·哈尔滨德强学校高一期末）在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．360B ．300C ．240D ．200【答案】B 【解析】因为34567750a a a a a ++++=，37465282a a a a a a a ++==+= 所以28300a a += 故选：B【典例13】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ） A ．10 B ．30-C ．15-D ．25【答案】C 【解析】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-故选：C【典例14】（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．热门考点08 等差数列综合问题【典例15】（2020·河南林州一中高二月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225- 【解析】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-.方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值， 最小值为15225T =-.【典例16】（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知数列{}n a 中148,2a a ==，且满足212n n n a a a +++=. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设n S 是数列{}na 的前n 项和，求nS.【答案】(1) *210()n a n n N =-+∈；(2) 229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩ . 【解析】（1）由题意得数列｛n a ｝是等差数列，4141a a d -==-－2， *210()n a n n N ∴=-+∈；（2）令0,5n a n ≥≤得,即当5n ≤时，0n a ≥，6n ≥时，0n a <， ∴当5n ≤时，n 12S a a =++…＋n a =12+n a a a ++=－29n n +当6n ≥时， 12n n S a a a =+++=125+a a a ++－（67+n a a a ++）12=(+)n a a a -++125+2(+)a a a ++()229220940n n n n =--++⨯=-+229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩ .【典例17】（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈【总结提升】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.热门考点09 等差数列与数学文化【典例18】（2020·浙江平阳 高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+= 故答案为：9566；20122【典例19】（2020·浙江湖州 高二期末）《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n 天织布的量为n a ，则1318a a +=_________，每天比前一天多织布________尺.【答案】26 1629【解析】由题数列{}n a 是公差为d 等差数列，则1303030()3902a a S +==，得13026a a +=，故1318a a +=13026a a +=，又15a =，得3021a =129a d =+，得21529d =+， 得1629d =. 故答案为：26；1629. 【规律总结】数学文化中的等差数列，主要涉及通项公式、求和公式基本量的计算，认真阅读题干，注意转化是关键.巩固提升1．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135C ．95D ．23【答案】C 【解析】 ∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 2.（北京高考真题（理））已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21-【答案】C 【解析】∵对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴p ＝q ＝n 时，有a 2n ＝2a n ． 又a 2＝－6，∴a 8＝2a 4＝4a 2＝－24，故a 10＝a 2＋a 8＝－30．3．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，248a a ⋅=，515S =，则10a =（ ） A ．10 B ．4-C ．10或4-D ．10-或4【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()1111383385101532a d a d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⎨⎨+==-⎩⎩211d d ⇒=⇒=或1d =-. 当1d =时，11a =，所以n a n = 当1d =-时，15a =，所以6n a n =- 所以1010a =或4-. 故选：C4．（2020·全国高三三模（文））记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若311a =，675S =，则12a =（ ） A ．28 B ．31C ．38D ．41【答案】C 【解析】由题知：3161211656752a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩. 所以12511338=+⨯=a . 故选：C5．（2020·全国高三其他（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若77217S a =-，则10S =（ ） A ．12 B ．15C ．18D ．21【答案】B 【解析】解：由17747772172a a S a a +=⨯==-，得473a a +=， 所以4710310101522a a S +=⨯=⨯=.故选：B .7. （2019·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20200a >，且201920200a a +<, 则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．2019 B ．2020C ．4039D ．4040【答案】C 【解析】20200a >，且201920200a a +<， 20190a ∴<．14039403920204039()403902a a S a +∴==>，140384038201920204038()2019()02a a S a a +==+<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为4039． 故选：C.8．（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知等差数列{}n a ，,,n m a m a n ==则m n a +=（ ） A ．m B ．nC ．0D ．m n +【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d ， 由题得111(1),1,1(1)a n d md a m n a m d n +-=⎧∴=-=+-⎨+-=⎩.所以1(1)(1)0m n a m n m n +=+-++-⨯-=. 故选：C9.（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n 项和．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，，排除B ，对C ，，排除C ．对D ，，排除D ，故选A ．详解：由题知，，解得，∴，故选A ．10.（2009·宁夏高考真题（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得220m m a a -=，解得0m a =或2m a =.因为12121(21)(21)382m m m a a S m m a --+=⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =.代入可得，2(21)38m -=，解得10m =11．（2020·江苏盐城 高二期末）【多选题】设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）【多选题】已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n S 中的最大项为10SB ．数列{}n a 的公差0d <C ．100S >D ．110S <【答案】BCD 【解析】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；故选：BCD .13．（2020·河北新华 石家庄二中高一期中）【多选题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值【答案】CD 【解析】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.14．（2020·山东烟台三中高二期中）【多选题】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．100a = B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【答案】ACD 【解析】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确；当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；1191910()191902a a S a +⨯===，D 正确.故选：ACD15.（2019·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 16.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 17.（2018·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18.（2017·全国高考真题（文））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和． 【答案】（1）221n -；（2）221n n + 【解析】（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2（n ﹣1）． ∴（2n ﹣1）a n ＝2．∴a n 221n =-． 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． ∴a n 221n =-． （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+． ∴数列{21n a n +}的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122121n n n -=++．。
高二数学 专题 等差数列的概念(九个重难点突破)(解析版)
专题等差数列的概念知识点一等差数列的概念与通项公式1.等差数列的定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示.2.等差中项由三个数,,a A b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项.根据等差数列的定义可以知道,2A a b =+.3.等差数列的递推公式及通项公式已知等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ，则递推公式为1n n a a d +-=，通项公式为()11n da a n =+-知识点二等差数列的性质与应用1.等差数列通项公式的变形及推广（1）()()*1n a dn a d n N =+-∈（2）()*(),n m a a n m d m n N=+-∈.（3）(* ,n ma a d m n N n m-=∈-,且)m n ≠.2.若{}{},n n a b 分别是公差为,d d '的等差数列,则有数列结论{}n c a +公差为d 的等差数列(c 为任一常数){}·n c a 公差为cd 的等差数列(c 为任一常数){}n k an a ++公差为2d 的等差数列(k 为常数,*k N ∈){}n n pa qb +公差为pd qd +'的等差数列(p,q 为常数)3.下标性质在等差数列{}n a 中,若),(,,*m n p q m n p q N +=+∈,则m n p q a a a a +=+.特别的,若)2,(,*m n p m n p N +=∈,则有2m n pa a a +=重难点1利用定义判断等差数列1．已知数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=-，则8a =.【答案】12-【分析】先判断得{}n a 是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】因为12n n a a +=-，所以数列{}n a 是等差数列，公差2d =-，又12a =，所以()82(81)212a =+-⨯-=-．故答案为：12-．2．已知数列{}n a 的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？【答案】{}n a 一定是等差数列．【分析】根据等差数列定义证明数列是等差数列.【详解】取数列{}n a 中任意相邻两项n a 与()12n a n -≥，作差得()11n n a a pn q p n q p --=+--+=⎡⎤⎣⎦，它是一个与n 无关的常数，所以数列{}n a 一定是等差数列．3．判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．(1)7，13，19，25，31；(2)2，4，7，11；(3)1,3,5,7----．【答案】(1)是，公差为6(2)不是等差数列(3)是，公差为2-【分析】结合等差数列的定义判断即可；【详解】（1）因为371913251931256-=-=-=-=，所以是等差数列，且公差为6．（2）因为422,743-=-=，所以4274-≠-，因此不是等差数列．（3）因为3(1)5(3)7(5)2---=---=---=-，所以是等差数列，且公差为2-4．判断下列数列是否为等差数列：(1)an=3-2n ；(2)an=n2-n .【答案】(1)是等差数列(2)不是等差数列【分析】（1）（2）根据等差数列的定义判断即可.【详解】（1）因为1[32(1)](32)2n n a a n n +-=-+--=-，是常数，所以数列{a n }是以2-为公差的等差数列．（2）因为221[(1)(1)]()2n n a a n n n n n +-=+-+--=，不是常数，所以数列{a n }不是等差数列．5．已知在数列{}n a 中，11a =，11112n n a a +=+，则10a 等于．【答案】211【分析】根据题意可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解．【详解】解：因为11112n n a a +=+，所以11112n n a a +-=，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，12为公差的等差数列，则()1111111222n n n a a =+-⨯=+，故101111110222a =⨯+=，所以10211a =．故答案为：211．6．（多选）若{}n a 是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）A ．{}n aB ．{}1n n a a +-C ．{}n pa q +(,p q 为常数)D ．{}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列1,1,3-是等差数列，取绝对值后1,1,3不是等差数列，故选项A 不符合题意；对于选项B ，若{}n a 为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列1{}n n a a +-为常数列，故1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；对于选项C ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=为常数列，故{}n pa q +为等差数列，故选项C 符合题意；对于选项D ，若{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则121221n n a n a n d +++--=+为常数，故{2}n a n +为等差数列，故选项D 符合题意，故选：BCD.重难点2利用定义得到等差数列的通项公式7．等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（）A ．85n a n =+B ．85n a n =-C ．85n a n =--D ．85n a n =-+【答案】B【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式.【详解】因为等差数列{}n a 的首项13a =，公差1138d =-=，所以通项公式为()()1138185n a a n d n n =+-=+-=-.故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），则n a =．【答案】n【分析】由题意得到{}n a 为等差数列，公差为1，从而求出通项公式.【详解】因为11n n a a +=+（N n ∈，1n ≥），故{}n a 为等差数列，公差为1，所以()111n a n n =+-⨯=.故答案为：n9．在数列{}n a 中，1a ==，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】23n a n=可得为等差数列，从而可求{}na 的通项公式.，故为等差数列，()()11n n =-=-=，故23n a n =，故答案为：23n a n=10．已知数列{}n a 中，1231,4,9a a a ===，且{}1n n a a +-是等差数列，则6a =（）A ．36B ．37C ．38D ．39【答案】A【分析】根据等差数列的定义写出{}1n n a a +-的通项公式，再利用累加法求6a .【详解】因为21323,5a a a a -=-=，所以()()32212a a a a ---=，又{}1n n a a +-是等差数列，故首项为3，公差为2，所以132(1)21n n a a n n +-=+-=+，所以()()()665542112(54321)5136a a a a a a a a =-+-++-+=++++++= ．故选：A.11．在数列{}n a 中，11a =1=，则n a =（）A ．nB ．2nC ．2n +D【答案】B1=1=，再由等差数列的定义即可求出通项公式.1=1=，令n b =11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以11b ==为首项，1为公差的等差数列，所以()111n b n n =+-⨯=n =，所以2n a n =.故选：B12．已知数列(){}2log 1n a -（*N n ∈）为等差数列，且13a =，39a =，则数列{}n a 的通项公式为.【答案】21nn a =+【分析】根据等差数列的概念可得数列(){}2log 1n a -的通项公式，进而可得n a .【详解】设等差数列(){}2log 1n a -的公差为d ，由13a =，39a =，得()()2321log 1log 12a a d -=-+，解得1d =，所以()()2log 1111n a n n -=+-⨯=，即21nn a =+，故答案为：21nn a =+.重难点3等差数列基本量的计算13．已知递增数列{}n a 是等差数列，若48a =，()26263a a a a +=⋅，则2024a =（）A ．2024B ．2023C ．4048D ．4046【答案】C【分析】设数列{}n a 的公差为d （0d >），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求1,a d ，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以4a 为中心求d ，即可得结果.【详解】解法一：设数列{}n a 的公差为d （0d >），因为48a =，()26263a a a a +=⋅，则()()()1111132355a d a d a d a d a d +=⎧⎨+++=++⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，所以()202422202414048a =+⨯-=；解法二：设数列{}n a 的公差为d （0d >），由()26263a a a a +=⋅得()()4443222a a d a d ⨯=-+，又因为48a =，即()()488282=-+d d ，解得2d =，所以()202442202448220204048a a =+⨯-=+⨯=.故选：C ．14．已知等差数列{}n a 中，624a =-，3048a =-，则首项1a 与公差d 分别为（）A ．18,2--B ．18,1--C ．19,2--D ．19,1--【答案】D【分析】由题意列出方程组，即可求得答案.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题得115242948a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得1191a d =-⎧⎨=-⎩.故选：D15．已知等差数列{}n a 单调递增且满足1104a a +=，则8a 的取值范围是．【答案】()2,+∞【分析】根据题意求出首项和公差的关系，表示出8a 即可求出其取值范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为{}n a 单调递增，所以0d >，由11019442a d a a =++=⇒，所以1499222d da -==-，则18957272222a a d d d d =+=-+=+>，所以8a 的取值范围是()2,+∞.故答案为：()2,+∞16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足30a >，340a a +<，则1a d的取值范围是.【答案】5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】根据已知判断等差数列{}n a 先正后负，是递减数列，即可得出0d <，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案.【详解】30a > ，340a a +<，40a ∴<，则0d <，31341120230a a d a a a d a d =+>⎧⎨+=+++<⎩解得11252a da d >-⎧⎪⎨<-⎪⎩，0d < ，1522a d ∴-<<-，即1a d 的取值范围是5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：5,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.17．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=，712a =，则11a =．【答案】20【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，进而列出方程求得1a ，d ，进而求解即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得，1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得10a =，2d =，则11110010220a a d =+=+⨯=.故答案为：20.18．已知等差数列{}n a 满足3681112a a a a +++=，则9112a a -的值为.【答案】3【分析】由等差数列通项公式得122441a d +=，即163a d +=，进而求出9111263a a a d -=+=【详解】由等差数列通项公式得11111225710d d d a a a d a ++++++=+，即122441a d +=，故163a d +=，()9111112281063a a a d a d a d -=+--=+=.故答案为：3重难点4等差中项及其应用19．一个直角三角形三边长a ，b ，c 成等差数列，面积为12，则它的周长是.【答案】【分析】方法一：设出直角三角形的三边以及公差，进而通过基本量结合面积公式和勾股定理建立方程组求出三边，进而得到答案；方法二：设出直角三角形的三边，利用等差中项建立等式，进而结合面积公式和勾股定理解出三边，进而得到答案.【详解】方法一：设c 为斜边，公差为d ，则a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，所以2221()12,2()(),b b d b d b b d ⎧-=⎪⎨⎪+=+-⎩解得b ＝，d，从而a ＝c ＝，a ＋b ＋c ＝.方法二：设c 为斜边，因为是直角三角形且三边长a ，b ，c 成等差数列，且面积为12，可得：2222,112,2,b a c ab a b c =+⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩解得a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩故三角形的周长为a ＋b ＋c ＝.故答案为：.20．已知等差数列{}n a 满足213544,1a a a a =+=+，则7a =.【答案】2-【分析】由等差数列的性质可得3542a a a +=，代入条件式，可求得4a ，再根据1742a a a +=，可得解.【详解】在等差数列{}n a 中，23541a a a +=+ ，又3542a a a +=，24421a a ∴=+，解得41a =，又14a =，而1742a a a +=，解得72a =-.故答案为：2-.21．记等差数列{}n a 的公差为()0d d ≥，若22a 是21a 与232a -的等差中项，则d 的值为（）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【分析】根据给定条件，利用等差数列通项公式及等差中项的意义列式求解即得.【详解】等差数列{}n a 的公差为d ，由22a 是21a 与232a -的等差中项，得22223122a a a =+-，即2221112()(2)2a d a a d ++=-+，整理得21d =，而0d ≥，解得1d =，所以d 的值为1.故选：C22．有穷等差数列{}n a 的各项均为正数，若20233a =，则20002046212a a +的最小值是.【答案】34/0.75【分析】利用等差中项易知200020466a a +=，再由基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意取值条件.【详解】由20232000204626a a a +==，且0n a >，则204620002000204620002046200020462000204622112115=()()()262622a a a a a a a a a a ++=+++153(624≥+=，当且仅当200020464,2a a ==时等号成立且满足题设.故答案为：3423．已知{}n a 是等差数列，且21a +是1a 和4a 的等差中项，则{}n a 的公差为【答案】2【分析】利用等差中项的性质和通项公式转化为关于首项和公差的方程，即可求得公差的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件，得14a a +=()221a +，即()()111321a a d a d ++=++，解得2d =.故答案为：2.24．已知数列{}n a 满足：11a =，()*2121211N 2n n n a n a a a ++==+∈，，则2015a =．【答案】12015【分析】由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，可知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，从而可以求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而可求出2015a 的值．【详解】解：由12211n n n a a a ++=+，得2111111n n n na a a a +++-=-，∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又111a =，21111d a a =-=，∴1nn a =，∴1n a n =．∴201512015a =．故答案为12015．【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了通项公式的求法，证明数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解决本题的关键.重难点5等差数列的性质25．已知数列{}n a 为等差数列，则“4m =”是“2953m a a a a ++=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据等差数列的性质，结合已知可得充分性成立；举例即可说明必要性不成立.【详解】当4m =时，根据等差数列的性质可得()24915951955523a a a a a a a a a a a a ++=++=++=+=，故充分性成立；当{}n a 为常数列时，有1n a a =，由1293m a a a a ++=，529133m a a a a a ==++，此时*N m ∈即可，故必要性不成立．因此“4m =”是“2953m a a a a ++=”的充分不必要条件，故选：A ．26．已知正项等差数列{}n a ，若222985a a +=，3811a a +=，则n a =()A ．1B ．2C ．nD ．21n -【答案】C【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出2a 和9a ，进而求出公差d 即可求解.【详解】在等差数列{}n a 中，依题意，293811a a a a +=+=，故()22929292121285a a a a a a +-=-=，解得，2918a a =，故2a 和9a 是211180x x -+=的两根，解得，12x =，29x =，因为{}n a 为正项等差数列，故公差0d ≥，从而22a =，99a =，则9277a a d -==，即1d =，所以2(2)1n a a n n =+-⨯=.故选：C .27．若{}n a 是公差不为0的等差数列，满足22223456a a a a +=+，则该数列的前8项和8S =（）A ．10-B ．5-C ．0D ．5【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，根据题意求得34560a a a a +++=，然后利用等差数列的基本性质得出450a a +=，利用等差数列求和公式可求得8S 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，可得0d ≠，22223456a a a a +=+ ，()()222253640a a a a ∴-+-=，即()()()()535364640a a a a a a a a -++-+=，()345620d a a a a ∴+++=，0d ≠ ，所以，34560a a a a +++=，由等差数列的基本性质可得()4520a a +=，即450a a +=，所以，()()188458402a a S a a +==+=.故选：C.【点睛】本题考查等差数列求和，考查了等差数列基本量和基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.28．已知等差数列{}n a 中，5a ，14a 是函数232()=--x x x f 的两个零点，则381116a a a a +++=（）A ．3B ．6C ．8D ．9【答案】B【分析】由等差数列的性质进行计算即可.【详解】由已知，函数232()=--x x x f 的两个零点，即方程2320x x --=的两根1x ，2x ，∴51412331a a x x -+=+=-=，∵数列{}n a 为等差数列，∴3168115143a a a a a a +=+=+=，∴3811166a a a a +++=.故选：B.29．已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =．【答案】5【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：530．在等差数列{}n a 中，若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，则210122022a a a ++=．【答案】15【分析】由等差数列的性质以及一元二次方程根与系数的关系求解即可.【详解】因为若12023,a a 为方程210160x x -+=的两根，由韦达定理可得1202310a a +=，所以由等差数列的性质得:2202212023101210,210,a a a a a +=+==10122101220225,15a a a a ∴=∴++=．故答案为：15.重难点6等差数列的证明31．已知数列{an }满足1311n n n a a a +-=+，13a =，令11n n b a =-.(1)证明：数列{}n b 是等差数列；(2)求数列{}n a 的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)21n a n=+【分析】（1）将递推关系代入1111n n n b b a ++-=-11n a --，利用定义证明{}n b 是等差数列；（2）由等差数列通项公式求n b ，进而得n a .【详解】（1）∵1111n n n b b a ++-=-11n a -=-1131111n n n a a a ----+11112131(1)12(1)2(1)2(1)2n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-=--==--+----，∴112n n b b +-=，又111112b a ==-，∴{}n b 是首项为12，公差为12的等差数列．（2）由（1）知()111222n n b n =+-=，21n a n ∴-=，∴21,n a n n*=+∈N .32．已知数列{}n a 满足12a =，112n n a a +=-（*n ∈N ），令11n n b a =-.(1)求23,a a 的值；(2)求证：数列{}n b 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式.【答案】(1)232a =，343a =(2)证明见解析，1n n a n+=【分析】（1）采用迭代法，可求2a ，3a ;（2）将112n n a a +=-转化为111111n n a a +=+--，即可证明数列{}n b 是等差数列，算出数列{}n b 的通项公式后即可计算数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）因为12a =，且112n na a +=-，当1n =时，211322a a =-=，当2n =时，321423a a =-=.（2）因为112n na a +=-，所以11111n n n na a a a +--=-=，两边同时取倒数有：1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，令11n n b a =-，有11111b a ==-，11n n b b +-=，所以数列{}n b 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n b n =，所以1n n a n+=.33．已知{}n a 满足11a =，且()21133n n na n a n n +-+=+.(1)求23,a a ；(2)证明数列{}na n是等差数列，并求{}n a 的通项公式.【答案】(1)238,21a a ==(2)证明详见解析，232n a n n=-【分析】（1）根据递推关系求得正确答案.（2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得n a .【详解】（1）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以，()1131n n n a a n n++=++，所以213223328,332112a a a a =+⨯==+⨯=.（2）依题意，11a =，()()1131n n na n a n n +-+=+，所以131n n a a n n +-=+，所以n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =，公差为3的等差数列，所以()232,3232nn a n a n n n n n=-=-=-.34．数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.(1)求34,a a 的值；(2)设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列.【答案】(1)345,10a a ==(2)证明见解析【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可；（2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可.【详解】（1）数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+所以3212222125a a a =-+=⨯-+=，43222252210a a a =-+=⨯-+=（2）∵()()21112122n n n n n n n n n a a a b a a a b a ++++++---=+-=-=∴{}n b 为等差数列.35．已知数列{}n a 满足11a =，1144n na a +=-.(1)证明：121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)设12nn n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)332n nn T +=-【分析】(1)将已知表达式变形为11422n na a +-=-，通过配凑的方法可以得到121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；(2)由第一问可以求得数列{}n a 的通项公式，代入{}n b ，用错位相减法可以求得前n 项和n T .【详解】（1）由题可知1211422n n n na a a a +--=-=，所以114221n n n a a a +=--，所以1221111121212121n n n n n n a a a a a a +-+===+----.所以11112121n n a a +-=--.又11121a =-，所以121n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得()111121n n n a =+-⨯=-，所以111122n n a n n+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭所以1122n n n n na n b -+==.所以12323412222n n n T +=++++ .所以234112341222222n n n n n T ++=+++++L .两式相减，得111423111*********22122222222212n n n n n n n T ++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 113113322222n n n n n ++++=--=-所以332n nn T +=-.36．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，数列{}n S 的前n 项积为n T ，且满足n n n n S T S T +=⋅()*N n ∈．求证：11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据所给递推公式及前n 项和、积的定义化简，由等差数列定义可得证；【详解】当1n =时，21111112S T S T a a +=⋅>=，解得12a =或10a =，又0n S ≠，所以10a ≠，故12a =，由n n n n S T S T +=⋅，可得1n S ≠，所以1nn n S T S =-，当2n ≥时，111n n n S T S ---=．所以11111n n n n n n T S S T S S ----=⨯-，即1111n n n n n S S S S S ---=⨯-，所以1111111n n n n S S S S --+==+-，即11111n n S S +-=-，所以11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1111S =-为首项，1为公差的等差数列．37．已知数列{}n a 的前n项和为11,1,1n n S a a +==+是等差数列；【答案】证明见解析【分析】利用n a 与n S 的关系及等差数列的定义即可求解.【详解】因为11n n n a S S ++=-，11n a +=+，11n n S S +∴-=+)2111n n S S +=+=，1=1=，∴是1为首项，1为公差的等差数列．重难点7构造等差数列38．在数列{}n a 中，12211211,,23n n n n n n a a a a a a a a ++++===+，若135k a =，则k =（）A ．18B ．24C ．30D ．36【答案】A【分析】由已知可得12211n n n a a a ++=+，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，从而可求出1na ，进而可求得n a ，然后由135k a =可求得结果.【详解】由21122n n n n n n a a a a a a ++++=+且数列不存在为0的项，得12211n n na a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且首项为111a =，公差为21112a a -=，所以()111221n n n a =+-⨯=-，所以121n a n =-．由112135k a k ==-，得18k =，故选：A ．39．已知数列{}n a 满足()*123N n n a a n n ++=+∈，则12024a a +=（）A ．2023B ．2024C ．2027D ．4046【答案】C【分析】由123n n a a n ++=+可得2125n n a a n +++=+，进而可得22n n a a +-=，则有数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解.【详解】由123n n a a n ++=+①，得125a a +=，2125n n a a n +++=+②，由②-①得22n n a a +-=，所以数列{}n a 的偶数项是以2为公差的等差数列，则20242220242120222a a a ⎛⎫=+⨯-=+ ⎪⎝⎭，所以1202412270220a a a a +=+=++=.故选：C.40．已知各项均不为0的数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，且112a =，则2023a =．【答案】12024/12024-【分析】将111n n n a a a +=+取倒数化简可得1111n na a +-=，即判断1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，即可求得{}n a 的通项公式，即可得答案.【详解】由题意知数列{}n a 满足111n n n a a a +=+，即11n n n a a a +=+，即11111111,n n n na a a a ++=+∴-=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项是112a =，公差为1的等差数列，故112(1)11,1n n n n a n a =+-∴=⨯++=，故202312024a =，故答案为：1202441．已知数列{}n a 满足13a =，11n n a a +=+，则10a =.【答案】120【分析】根据11n n a a +=+，可得)2111n a ++=，从而可证得数列是等差数列，可求得数列{}n a 的通项，即可得解.【详解】因为11n n a a +=+，所以2111n a ++=+，即)2111n a ++=，1=1=，所以数列2=，公差为1的等差数列，()2111n n =+-⨯=+，所以22n a n n =+，所以2101020120a =+=.故答案为：120.42．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，11n n n S S a ++⋅=，则n a =．【答案】2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩【分析】题中所给式子无法直接根据1n n n a S S -=-进行转化，考虑使用11n n n a S S ++=-进行转化，先求出n S ，再求n a ．【详解】由11n n n S S a ++⋅=，得到11n n n n S S S S ++⋅=-，然后两边同除以1n n S S +⋅得到1111n n S S +-=，即1111n n S S +-=-，于是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1-的等差数列．而12a =，于是()1132122n n n S -=--=，进而得到232n S n=-，所以当2n ≥时，有()()122432522325n n n a S S n n n n -=-=-=----（2n ≥）．综上所述，2,14,2(23)(25)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪--⎩．故答案为：2,14,2(23)(25)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩43．已知数列{}n a 满足14a =，()()1121n n na n a n n +-+=+.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n n nn b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)222n a n n=+(2)()111212n n T n +=-+【分析】（1）利用构造法，先求得n a n ，进而求得n a .（2）利用裂项求和法求得n T .【详解】（1）由()()1121n n na n a n n +-+=+得：121n n a a n n +-=+，∵141a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为2的等差数列，所以()41222n a n n n =+-⨯=+，所以222n a n n =+；（2）()()112211221212n n n n n n n n b a n n n n ++++===-+⋅+，所以123n nT b b b b =++++ ()22334111111111122222323242212n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ()111212n n +=-+.重难点8等差数列的实际应用44．习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列{}n a （单位万元，n N *∈），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金1a 的3倍，已知221272a a +=．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（）A ．72万元B ．96万元C ．120万元D ．144万元【答案】C 【分析】本题可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据题意得出五年累计总投入资金为()1210a a +，最后通过基本不等式即可求出最值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知，五年累计总投入资金为：()12345111212532010101010a a a a a a a d a a a a +++++创=+=+=+，因为221272a a +=，所以()1210120a a +=£=，当且仅当12a a =时取等号，故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元，故选：C.45．稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式：名称萘蒽并四苯…并n 苯结构简式……分子式108C H 1410C H 1812C H ……由此推断并十苯的分子式为.【答案】4224C H 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可.【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是：10,14,18 ，H 的下标分别是：8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列，首项为10，公差为4，所以通项公式为：10(1)446n C n n =+-⋅=+，稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列，首项为8，公差为2，所以通项公式为：8(1)226n H n n =+-⋅=+，所以并n 苯的分子式为：42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈，因此当10n =时，得到并十苯的分子式为：4224C H .故答案为：4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力和推理论证能力.46．百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为；2021年全年他们约定的“家庭日”共有个.【答案】14；27.【分析】根据等差数列的性质进行求解即可.【详解】设大张的休息日构成的等差数列为{}n a ，显然大张在2021年第1,5,9, 天放假，所以有14(1)43n a n n =+-=-，若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为{}n b ，则有17(1)76n b n n =+-=-，此时两数列的公共项为：1,29,57, ，首项为1，公差为28，末项为365，设共有m 项，所以有3651(1)2814m m =+-⋅⇒=；若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为{}n c ，则有47(1)73n c n n =+-=-，此时两数列的公共项为：25,53,81, ，首项为1，公差为28，末项为361，设共有t 项，所以有36125(1)2813t t =+-⋅⇒=，所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有141327+=天，故答案为：14；2747．某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d 的取值范围．【答案】1920.9<≤d 【分析】这台设备使用n 年后的价值构成一个数列{}n a ．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于2205%11⨯=万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{}n a 的通项公式列不等式求解．【详解】解：设使用n 年后，这台设备的价值为n a 万元，则可得数列{}n a ．由已知条件，得1(2)n n a a d n -=-≥．由于d 是与n 无关的常数，所以数列{}n a 是一个公差为d -的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以1220a d =-，于是1(1)()220n a a n d nd =+--=-．根据题意，得10112205%112205%11a a ≥⨯=⎧⎨<⨯=⎩，即22010112201111d d -≥⎧⎨-<⎩，解这个不等式组，得1920.9<≤d ．所以d 的取值范围为1920.9<≤d ．重难点9等差数列与数学文化的结合48．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（）A ．332尺B ．13尺C ．52尺D ．43尺【答案】D【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论．【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ，公差为d ，则由题意可得49.5a =，76a =，74736a a d -∴==-，则小满当日日影长11774464()63a a d =+=+⨯-=．故选：D ．49．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，在1980年庚申年，我国正式设立经济特区，请问：在100年后的2080年为（）A ．戊戌年B ．辛丑年C ．己亥年D ．庚子年【答案】D 【分析】将天干和地支分别看作等差数列，结合1001010÷=，1001284÷= ，分别求出100年后天干为庚，地支为子，得到答案.【详解】由题意得，天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，由于1001010÷=，余数为0，故100年后天干为庚，由于1001284÷= ，余数为4，故100年后地支为子，综上：100年后的2080年为庚子年.故选：D.50．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积是（）A ．6766升B ．176升C ．10933升D ．1336升【答案】A【分析】设此等差数列为{}n a ，利用方程思想求出1a 和d ，再利用通项公式进行求解．【详解】根据题意得该竹子自上而下各节的容积形成等差数列{}n a ，设其首项为1a ，公差为d ，由题意可得123478934a a a a a a a +++=⎧⎨++=⎩，所以114633214a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得113=227=66a d ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以511376744226666a a d =+=+⨯=，即第5节竹子的容积为6766升．故选：A ．51．中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、乙两人共分到77文，戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是（）A ．乙分到37文，丁分到31文B ．乙分到40文，丁分到34文C ．乙分到31文，丁分到37文D ．乙分到34文，丁分到40文【答案】A【分析】设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，再根据题意列方程组可解得结果.【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为3a d -，2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，3a d +，则32772375a d a d a d a d a d -+-=⎧⎨+++++=⎩，解得313a d =⎧⎨=-⎩，所以乙分得237a d -=（文），丁分得31a =（文），故选：A.52．诺沃尔（Knowall ）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年……人类都可以看到这颗彗星，即该彗星每隔83年出现一次.从现在（2023年）开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为.【答案】12【分析】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83，首项为1740的等差数列，求出通项公式，再解不等式即可.【详解】由题意可知：彗星出现的年份构成一个公差为83d =，首项为11740a =的等差数列，所以1(1)174083(1)831657n a a n d n n =+-=+-=+，令20233000n a ≤≤，即20238316573000n ≤+≤，解得36613438383n ≤≤，又*n ∈N ，所以5n =、6、L 、16，所以从现在开始到公元3000年，人类可以看到这颗彗星的次数为165112-+=次.故答案为：12.53．中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列最大项和最小项之和为．【答案】196【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可.【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，则815(1)157n a n n =+-=-，令157200n -≤，解得13.8n ≤，则数列{}n a 的最大项为15137188⨯-=，所以该数列最大项和最小项之和为1888196+=．故答案为：196.。
(完整版)等差数列知识点总结和题型分析
等差数列一．等差数列知识点： 知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示 知识点2、等差数列的判定方法:②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列 ③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为 d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数知识点4、等差数列的前n 项和:⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数 知识点5、等差中项:⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2b a A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧ 对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k kS S 23-成等差数列如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 10、等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2n n ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S aS a +=奇偶．②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶（其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 22．在数列{a n }中，a 1=2，2a n+1=2a n +1，则a 101的值为 （ ）A ．49B ．50C ．51D ．52 3．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是（ ）A ．92B ．47C ．46D ．45 4、已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是( )( ) A 15 B 30 C 31 D 64 5. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（ ）A.d ＞38B.d ＜3C. 38≤d ＜3D.38＜d ≤36、.在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直03=--y x 上，则n a =_____________.7、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ． 8、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若＝则432,3,1S a a ==（ ）（A ）12（B ）10 （C ）8 （D ）69、设数列{}n a 的首项)N n ( 2a a ,7a n 1n 1∈+=-=+且满足，则=+++1721a a a ______.10、已知{a n }为等差数列，a 3 + a 8 = 22，a 6 = 7，则a 5 = __________ 11、已知数列的通项a n = -5n +2,则其前n 项和为S n = .12、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，30S S 710=-，则9S ＝ .题型二、等差数列性质1、已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ）(A)4 (B)5 (C)6 (D)72、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =（ ）A ．8B ．7C ．6D ．53、 若等差数列{}n a 中，37101148,4,a a a a a +-=-=则7__________.a =4、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42=S ，204=S ，则该数列的公差d=（ ） A ．7 B. 6 C. 3 D. 25、等差数列{}n a 中，已知31a 1=，4a a 52=+，33a n =，则n 为（ ）（A ）48 （B ）49 （C ）50 （D ）516.、等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n =（ ）(A)9 (B)10 (C)11 (D)127、设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．21 8、已知等差数列{a n }满足α1＋α2＋α3＋…＋α101＝0则有( )A ．α1＋α101＞0B ．α2＋α100＜0C ．α3＋α99＝0D ．α51＝51 9、如果1a ，2a ，…，8a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( ) （A ）1a 8a >45a a （B ）8a 1a <45a a （C ）1a +8a >4a +5a （D ）1a 8a =45a a10、若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）（A ）13项 （B ）12项 （C ）11项 （D ）10项题型三、等差数列前n 项和 1、等差数列{}n a 中，已知12310a a a a p ++++=，98n n n a a a q --+++=，则其前n项和n S = ．2、等差数列 ,4,1,2-的前n 项和为 （ ）A. ()4321-n nB. ()7321-n nC. ()4321+n nD. ()7321+n n3、已知等差数列{}n a 满足099321=++++a a a a ，则 （ ）A. 0991>+a aB. 0991<+a aC. 0991=+a aD. 5050=a4、在等差数列{}n a 中，78,1521321=++=++--n n n a a a a a a ，155=n S ， 则=n 。
高中数学新教材选择性必修第二册《4.2等差数列》课件
∴ 当n≥2 时，由①-②得an=2pn+q-p........④ 又当n=1 时 ，a₁=S₁=p+q+r.........③ ∴ 当r=0 时，③式也适合④式，则an=2pn+q-p;
当r≠0 时，③式不适合④式，则
由等差数列与一次函数的关系，当r=0 时，{an}是等差 数列；当r≠0 时，{an}不是等差数列.
新知探究 (四)数列的递推公式
变 式 4 .在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km, 气温就下降某一个固定数值.如果1 km 高度的气温是8.5℃,5 km高度的气温是一17.5℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温.
【解析】由题意，从地面到10 km高空，气温关于高度n(km) 成 等差数列.设{an}表示自下而上n km高度的气温，则a₁=8.5,a₅ =—17.5.由等差数列的通项公式，a₅=a₁+4d=8.5+4d= 一 17.5,解得d=—6.5
.........③
又 当n=1 时，
也满足③式.
∴数列{a,}的通项公式为
典例突破 ( 一 )通过S,求a,
变式1-1.已知数列{a,}的前n项和为Sn=n²+n+1, 求数列{an}
的通项公式.
【解析】由题意
..........①
∴ 当n≥2 时，由①-②得
.........③
又 当n=1 时 ，
【解析】(1)由a₁=8,d=5-8=—3,n=20, 得a₂o=8+(20—1)×(一3)=—49;
(2)由a₁ =—5,d=—9— (一5) = — 4 , 得 这 个 数 列 的 通 项 公 式 为an=—5+(n—1)× (一4)= — 4n—1.
等差数列知识点总结
例1：求等差数列首项为2，公差为3的前10项的和。
解析：根据列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2，代入已知条件，得到Sn = (2 + (2 + 3*(10-1))) * 10 / 2 = 55。
例2：已知等差数列的首项为4，末项为49，公差为5，求该数列共有多少项。
解析：根据项数公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到49 = 4 + (n-1)*5，解方程可得n = 10。
例3：已知等差数列的首项为-1，公差为2，求该数列的第15项的值。
解析：根据通项公式an = a1 + (n-1)d，代入已知条件，得到a15 = -1 + (15-1)*2 = 27。
通过以上例题解析，我们可以看到等差数列的定义、性质和应用方法。等差数列在数学中有着广泛的应用，例如在几何题、物理问题等方面。掌握等差数列的知识，对于理解数学的思维方式和解决实际问题都具有重要意义。
等差数列知识点总结
等差数列在数学中占据着重要的地位，它不仅是数学学科自身的基础概念，也在实际生活和其他学科中具有广泛应用。本文将总结等差数列的定义、性质和常见问题，并提供相关例题进行解析，帮助读者深入理解和掌握等差数列的知识。
一、等差数列的定义
等差数列是指数列中任意两项之间的差恒定的一种数列。它的一般形式可以表示为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
2.求项数：当已知等差数列的首项、末项和公差时，可以通过项数公式an = a1 + (n-1)d来计算项数。
3.求前n项和：对于已知等差数列的首项、末项和项数时，可以利用列和公式Sn = (a1 + an) * n / 2来求解前n项的和。
等差数列知识点及类型题详解(含精细化答案)
数列——等差数列【考纲解读】◆ 理解等差数列的概念。
◆ 掌握等差数列的通项公式n a 及前n 项和公式。
◆ 能根据具体条件识别等差数列，并灵活运用等差数列的性质解决问题。
◆ 了解等差数列通项公式与一次函数、等差数列前n 项和与二次函数的关系。
【知识储备】知识点1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
知识点2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则有d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112， 叠加得到等差数列的通项为：d n a a n )1(1-+= 该公式整理后是关于n 的一次函数。
例1：已知{}n a 是一个等差数列，请在下表中填入适当的数或式子。
知识点3、等差中项A ，b 成等差 如果a ，数列，那么A 叫做a 与b即：2b a A +=的等差中项b a A +=2或例2：已知{}n a 是等差数列。
（1）有3122a a a +=，那么7352a a a +=是否成立？ 9152a a a +=呢？为什么？ （2）)1(211n >+=+-n a a a n n 是否成立？（3）)0(2k k n >>+=+-k n a a a n n 是否成立？据此你能得出什么结论？知识点4、等差数列的前n 项和2)(1n n a a n S +=将d n a a n )1(1-+=带入可得 d n n na S n 2)1(1-+=该公式整理后是关于n 的二次函数。
例3：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S 。
（1）；，，8n 18481=-=-=a a （2）7.0185.141=-==d a a n ，，。
知识点5、等差数列的判定方法❖ 定 义 法：若d a a n n =-+1（d 是常数）或n n n n a a a a -=-+++112，则数列{}n a 是等差数列。
高考难点：等差等比数列的性质(含详解)
高考难点：等差等比数列的性质考点解析：等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容. 例1、已知函数f (x )=412-x (x <－2).(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f －-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 解：(1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y +, 即y =f －-1(x )=－214y+(x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1, 21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n =341-n .(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n ,设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立.例2、设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)解法一：设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得.设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3=(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大. 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大. 解法二：接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5.5. 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大.一、选择题1.等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( ) 32 B. 32A.- C.2 D.－2二、填空题2.已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________.3.等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________. 三、解答题5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.6.已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim. 7.设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 10.8.{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根； (2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x 为等差数列.难点磁场解法一：将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+1002)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二：由]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m［a 1+2)13(d m -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210.解法三：由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）.将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四：S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md )=S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d .由解法一知d =240m,代入得S 3m =210. 解法五：根据等差数列性质知：S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有：2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )∴S 3m =3(S 2m －S m )=210解法六：∵S n =na 1+2)1(-n n d , ∴n S n =a 1+2)1(-n n d ∴点(n , nS n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m ,mS m22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210.解法七：令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案：210 课后训练一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1,① ②∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21.∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案：B二、2.解析：解出a 、b ,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8) 3.解析：利用S 奇/S 偶=nn 1+得解. 答案：第11项a 11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2.答案：2三、5.(1)解：依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k为最大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d12＜4,得5.5＜k ＜7.因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，因此，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .所以有：2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0,∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n d d n d n n na S n -+-=-+= 222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----=最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d24)＜6.5.从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a da a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n + ②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1.(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C nn (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C nn )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31, .32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n b T 7.解：∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32, 得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=41.由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83,∴S 10=10a 1+2910⨯d =－855.由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22, ).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8.证明：(1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2,故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0,∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+ .21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数-+∴-=-=-=---=+-+-=+∴+++k k k k k k k k k x d d d a a d a d a x x d a x。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列中的三类难点问题解析
一.等差数列确定特殊项的序号及和序号的问题
例1.已知{a n}为等差数列，公差d≠0，{a n}中的部分项所组成的数列，，，…，，…恰为
等比数列，其中k1＝1，k2＝5，k3＝17.
(1)求k n；
(2)求证：k1＋k2＋k3＋…＋k n＝3n－n－1.
分析：(1)易知是等比数列中的第n项，于是有＝a1；另一方面，是等差数列中的第k n项，又有＝a1＋(k n－1)d。
从而得a1q n－1＝a1＋(k n－1)d。
在上式中除了k n为所求外，a1、d和q均为待定系数。
虽然a1、d和q不必都求出来，但从式子的结构看，需求出a1与d的关系和q的值。
从何入手呢？注意到k1＝1，k2＝5，k3＝17，我们可以利用等比数列的子数列，，，即a1，a5，a17也成等比数列，据此可以求出d与a1的关系和q的值。
(2)要证明k1＋k2＋k3＋…＋k n＝3n－n－1，实质上是求数列{k n}的前n项的和，而这可以由通项k n来确定。
解：(1)由题设知，，即a1，a5，a17成等比数列，所以a52＝a1a17，即(a1＋4d)2＝a1(a1＋16d)。
因d≠0，所以a1＝2d，于是公比q＝＝3，所以＝q n－1＝a1⋅3n－1
又＝a1＋(k n－1)d＝a1＋(k n－1) ⋅，所以a1＋(k n－1) ⋅＝ a1⋅3n－1
因而k n＝2⋅3n－1－1
(2)k1＋k2＋k3＋…＋k n＝(2⋅30－1)＋(2⋅3－1)＋…＋(2⋅3n－1－1)＝2(1＋31＋32＋…＋3n－1)－n＝3n－n－1
说明：在求得d＝和公比q＝3后，还有如下更为简捷的解法：
因为.
所以{k n＋1}是首项为k1＋1＝2，公比为3的等比数列，于是k n＋1＝2⋅3n－1，即
k n＝2⋅3n－1－1。
二.等差数列求各项绝对值的和
例2．已知等比数列{a n}的各项均为正数，公比q≠1，数列{b n}满足b1＝20，b7＝5，且(b n
－b n＋2)log m a1＋(b n＋2－b n)log m a3＋(b n－b n＋1)log m a5＝0。
＋1
(1)求数列{b n}的通项公式；
(2)设S n＝|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|b n|，求S n。
分析：(1)要求通项b n，关键在于确定数列{b n}的性质。
题设给出了数列{b n}所满足的关系式，看上去很复杂，但若注意到等式左边各项“系数”之和(b n＋1－b n＋2)＋(b n＋2－b n)＋(b n－
b n＋1)＝0，问题便容易解决。
(2)当数列{b n}的性质确定以后，便容易求得S n，但要注意b n的正负。
解：(1)将log m a3＝log m(a1q2)＝log m a1＋2log m q与log m a5＝log m(a1q4)＝log m a1＋4log m q代入已知等式，整理得2(b n－2b n＋1＋b n＋2)log m q＝0
因为q≠1，所以log m q≠1,于是有b n－2b n＋1＋b n＋2＝0，即b n＋b n＋2＝2b n＋1
故{b n}是等差数列。
设其公差为d，则由b7＝b1＋6d可得d＝－,所以b n＝20＋(n－1) (－)＝－n＋。
(2)令b n＝0，得n＝9。
当n≤9时，b n≥0，
则S n＝b1＋b2＋…＋b n＝20n＋。
当n>9时，b n<0，有S n＝b1＋b2＋…＋b9－b10－b11－…－b n
＝2(b1＋b2＋…＋b9)－(b1＋b2＋…＋b n)
＝180－()＝。
所以n≤9时，＝；n>9时，＝。
即.
说明：第二问中求出的实际上是一个关于的分段函数.且不可以写成两个函数.
三. 数列中的信息迁移题
例3.如图是一个计算装置示意图，J1、J2是数据入口，C是数据出口，计算过程是由J1、J2分别输入自然数m和n，经过计算后自然数k由C输出。
若此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：
(1)若J1、J2分别输入1，则输出结果为1；
(2)若J1输入任何固定的自然数不变，J2输入的自然数增大1，则输出的结果比原来增大2；
(3)若J2输入1，J1输入的自然数增大1，则输出的结果为原来的2倍。
试问：(1)若J1输入1，J2输入自然数n，输出结果为多少？
(2)若J1输入自然数m，J2输入自然数n，输出结果为多少？
分析：本题的信息量较大，粗看不知如何下手，但若把条件写成一个二元函数，并把它看作某一个变量的函数，抽象出等差数列的模型，问题便迎刃而解。
解：由题意，若取f(m,n)＝k，则有f(1,1)＝1，f(m,n＋1)＝f(m,n)＋2，f(m＋1,1)＝2f(m,1)。
(1)在f(m,n＋1)＝f(m,n)＋2中令m＝1，则有f(1,n＋1)＝f(1,n)＋2。
由此可知f(1,1)，f(1,2)，…，f(1,n)，…组成一个以f(1,1)为首项，2为公差的等差数列。
故f(1,n)＝f(1,1)＋2(2n－1)＝2n－1。
(2)因为f(m,n＋1)＝f(m,n)＋2。
所以f(m,1)，f(m,2)，…，f(m,n)，…组成一个以f(m,1)为首项，2为公差的等差数列。
所以f(m,n)＝f(m,1)＋2(n－1)＝2m－1＋2n－2。
说明：本题是一道典型的具有时代信息的信息迁移题，选择解题的突破口比较困难。
要将文字语言转化为数学符号语言，建立数学模型，就要有扎实的基础和较强的抽象、概括能力。
这是一道考查分析问题和解决问题能力的典型范例。