第十二章 对策论

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如果双方不存在侥幸心理，考虑到在零和对策中双方利益的根本对立，对方必然会设法
使自己的赢得尽可能的小，理性的选择就应该是从各自可能出现的最不利的情形中争取尽可
能好的结果。
局中人Ⅰ、Ⅱ的理性选择应该是策略 α2 和 β2，在此局势下局中人Ⅰ的赢得值和局中人 Ⅱ的损失值的绝对值相等，每一方所选择的策略都是针对对方所选策略的最优反应，即如果
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对策现象的基本要素
1、对策行为和对策论 • 对策行为: 具有竞争和对抗性质的行为.
– 体育比赛 – 政治斗争 – 企业之间的竞争 • 对策论:
研究对策行为中斗争各方是否存在着最合理的行动 方案,以及如何找到这个合理方案的数学理论和方法。 需要建立对策模型。
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对策现象的基本要素
➢ 局中人: 有权决定自己行动方案的参与者. 具有广义性 I={1,2,...,n}, n>=2.
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矩阵对策的最优纯策略
问题：如何选择对自己最为有利的策略以谋取最大的赢得（或最小损失）。
【例 12.5】设有一矩阵对策 G S1，S2；A ，其中 S1={α1,α2,α3,α4}，S2={β1,β2,β3}，
2 1 6
A


3
2
4

6 2 7
3 0
a12 a22 am2
a1n
a2n amn

（12-3）
为局中人Ⅰ的赢得矩阵。由于对策为零和的，故局中人Ⅱ的赢得矩阵为-A。
当局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集 S1, S2 及局中人Ⅰ的赢得矩阵 A 确定后，一个矩阵对策就给定
了。因此将矩阵对策表示为 G S1，S2；A.
15000
20000 20000
由
于
max i
min j
aij

min j
max i
aij
20000

a33
，故 对策的 值为-2000 0，局 势（α3，β3）
为该对策的解，即秋季贮煤 200 吨为采购员的最优纯策略，冬季用煤的实际费用为 20000 元。第16页 这是一个稳妥、保险的策略选择。
运筹学课件
运
筹
帷
对策论Βιβλιοθήκη 幄之中决 胜 千 里 之 外
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对策论
• 对策论的基本概念 • 矩阵对策的基本理论 • 矩阵对策的解法 • 其他类型对策简介
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对策论的基本概念
➢对策论的由来和发展历史 ➢ 对策现象的基本要素 ➢ 对策问题举例及对策的分类
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对策论的由来和发展历史
在社会生活和经济、经常碰到各种各样具有竞争或利益相对抗的现象，研 究对抗或竞争现象的数学理论和方法，称为对策论。 20 世纪初数学家波雷尔（Borel）和策墨洛（E．Zermelo）开始用数学方 法研究对策现象，研究对象主要是日常生活中的一些游戏（如扑克、象棋 等），因而对策论在相当长的时间内发展缓慢。 冯• 诺依曼（Von Neumann）在 1928 年创立了二人零和对策理论，为对策 论的进一步发展奠定了基础。 1944 年冯•诺伊曼和摩根斯特恩（Morgenstern）合著的《对策论与经济 行为》一书的出版，标志着系统的对策理论的初步形成。 1994 年三位长期致力于对策论的理论和应用研究的学者纳什（John F Nash）、泽尔腾（Reinhard Selten）和海萨尼（John Harsanyi）共同获 得诺贝尔经济学奖，则更是对对策论地位和作用的最具权威性的肯定。 2005 年，以色列经济学家罗伯特·奥曼和美国经济学家托马斯·谢林获 得诺贝尔经济学 奖。罗伯特·奥曼提出的“重复博弈 ”分析，目前成为所 有社会科学的主流分支。托马斯·谢林提出了冲突局势理论，在上世纪 50 年代和 60 年代的冷战时期，该理论极大地影响了美国政府对核威慑的 态度。
策略 i 和 j 之所以被称为最优纯策略，是因为当一方采取上述策略时，若另
一方不采取相应的策略，他的利益就会受损。当对策存在鞍点时，理性的局中人 应采取自己的最优策略，使自己处于有利地位，双方的最优策略互为最优反应策
略，任何一方单独改变策略都不会使自己获益。因此，最优局势（ i , j ）具有
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矩阵对策的基本理论
➢矩阵对策的最优纯策略 ➢ 矩阵对策的混合策略 ➢ 矩阵对策的基本定理
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矩阵对策的最优纯策略
矩阵对策即为二人有限零和对策。 二人：参加对策的局中人有两个，用Ⅰ、Ⅱ分别表示两个局中人。 有限：每个局中人的策略集均为有限集，设局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集分别为
SI 1,2 , ,m SII 1, 2 , , n 。
s 就是一个局势，全体局势的集合 S 可用各局中人策略集的笛卡尔积表示，
即
S S1 S2 Sn
当一个局势 s (s1, s2, sn ) 给定以后，就用一个数来表示局中人的得失（或
输赢），显然，这种“得失”或“输赢”是局势的函数，称为支付函数。通常
用正的数字表示局中人的赢得，负的数字表示局中人的损失。即对任一局势
s S ，局中人 i 得到一个赢得 Hi (s) 。显然 Hi (s) 是局势 s 的函数，称为第 i 个局
中人的赢得函数（支付函数）。
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对策问题举例及对策的分类
【例 12.1】（囚徒困境）
嫌疑犯 A 和 B 因为一桩案件而被捕，两人被关在不同的屋子里接受审讯。警 察告诉他们：如果两人都坦白，各判刑 5 年；如果其中一人坦白，另一人抵赖， 则坦白者立即释放，抵赖者判刑 9 年；如果两人都抵赖，各判刑 1 年（或许因证 据不足）。这两名疑犯该如何选择？
稳定性，有时把这种局势称为均衡局势。 由例 12-5 知，
ai2 a22 a2 j , i 1,2,3,4; j 1,2,3.
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矩阵对策的最优纯策略
定理 12.1 矩阵对策 G S1，S2；A有纯策略解的充分必要条件是：存在某
纯局势（ i , j ），使得对一切 i=1，2，…，m，j=1，2，…，n 都有
这一问题可建立对策模型来分析，A 和 B 为两个局中人，每个局中人都有两个 策略：坦白或抵赖。共有四个局势：{坦白，坦白}，{坦白，抵赖}，{抵赖，坦白}， {抵赖，抵赖}。两个局中人的赢得函数可以用下表所示的一个双变量矩阵来表示， 表中的每一个数字单元格都有两个数字，其中第一个数字是疑犯 A 的赢得，第二 个数字是疑犯 B 的赢得（负数表示局中人在该局势下遭受损失）。
局中人Ⅱ为了使其所失最少只能选择 j ，可见，双方的最优策略互为最 优反应策略。
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矩阵对策的最优纯策略
【例 12.6】某公司采购员在秋季决定冬季取暖用煤的贮量问题，已知在正常的气温条件下要 消耗 150 吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗 100 吨和 200 吨。假定冬季的煤价随天气 的寒冷程度而变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为 100 元，150 元和 200 元，设秋季时煤价为每吨 100 元。在没有关于当年冬季气温的准确气象预报的条件下，秋季 贮存多少吨煤能使单位的支出最小？
1，-1 3，-3 1，-1 1，-1
1，-1 1，-1 3，-3 -1，1
1，-1 1，-1 1，-1 3，-3
-1，1 1，-1 1，-1 1，-1
（下，中，上） 1，-1
1，-1
-1，1
1，-1
1，-1
3，-3
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对策问题举例及对策的分类
对策的分类： 依据对策模型的三要素，通常的分类方式有： ⑴根据局中人的个数，分为二人对策和多人对策； ⑵根据局中人间是否允许合作，分为合作对策和非合作对策； ⑶根据局中人的策略集中的策略个数，分为有限对策和无限对策； ⑷根据各局中人的赢得函数的代数和是否为零，分为零和对策与非零和对策。
零和：在任意局势下，两个局中人的赢得之和总等于零，即双方的赢得互为相反数。
当局中人Ⅰ选定策略 ai 和局中人Ⅱ选定策略 j 后，就形成了一个局势 (ai , j ) .对任一
局势 (ai , j ) ，记局中人Ⅰ的赢得值为 aij （局中人Ⅱ的赢得为 aij ），并称
a11 A aam211
Ⅰ选择 α2，Ⅱ的最好选择就是 β2，反之亦然。局中人Ⅰ是按最小最大原则，局中人Ⅱ是按 最大最小原则选择各自的策略，这对双方来说都是一种最稳妥的行为。因此 α2 和 β2 分别为 局中人Ⅰ、Ⅱ的最优策略。
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矩阵对策的最优纯策略
定义
12.1
设矩阵对策为 G

S1，S
2；A，其中
S 1
, 1
在众多的对策模型中，占有重要地位的是一类非合作对策模型，即所谓的二 人有限零和对策,又称矩阵对策。它是整个对策论的基础，无论是理论研究，还是 实际应用，都不能越过矩阵对策这个“第一道大门”。同时矩阵对策也是到目前为 止在理论研究和求解方法方面都比较完善的一类对策模型，而且这类对策的研究 方法和理论结果又是研究其它类型的对策模型的基础。因此，本章主要介绍矩阵 对策的理论和方法，对其它对策模型只作简要介绍。
,m ，S2
, 1
, n
，
A
aij
。若有
mn
max i
min j
aij

min j
max i
aij
ai j
v
（12-4）
则 v*称为对策 G 的值，策略 i 和 j 分别为局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略，局势
（ i , j ）为对策 G 的鞍点，也称为 G 在纯策略下的解。
假设: 局中人都是理智的,等智力的. ➢ 策略集：
– 策略: 可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动 方案.
– 策略集:局中人所拥有的对付其它局中人的手段、方案 的集合。每局中人，都有自己的策略集，一般每一局 中人的策略集中至少应包括两个策略。