高等代数教案第5章线性空间

§5.1 线性空间与子空间
1. 线性空间的定义 定义 5.1 设 P 是一个数域， V 是一个空集合，在集合 V 中定义一种运算叫加法，即对于 V 中的 任意两个元素 α , β ，在 V 中存在唯一的元素 γ 与之对应，称之为 α , β 之和，记作 γ = α + β . 在数 域 P 与集合 V 之间还定义了一种运算，叫数量乘法（简称数乘） ，即对于 P 中的任意一个数 k 和 V 中 在 V 中存在唯一的元素 δ 与之对应， 称之为 k 与 α 的数量乘积， 记作 δ = kα . 如 的任意一个元素 α ， 果上述向量加法与数量乘法满足如下八条运算律： （1） α + β = β + α （加法的交换律） ； （2） α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ （加法的结合律） ； （3）在 V 中存在元素 0，使对于 V 中的任意元素 α ，都有 α + 0 = α （右零元律） ； （4）对于 V 的中的每一个元素 α ，都有 V 的中的元素 β ，使得 α + β = 0 ，称 β 为 α 的负元素 （右负元律） ； （5）1α = α （1 乘向量律） ； （6） k ( lα ) = ( kl ) α （数乘向量的结合律） ；
α1 , α 2 , ⋅⋅⋅,α r 线性表示，即 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r , α r +1 线性无关. 由于 n − ( r + 1) = ( n − r ) + 1 = k + 1 − 1 = k ，
定理 5.3 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V 的子集
V1 + V2 = {α1 + α 2 | α1 ∈V1 , α 2 ∈ V2 }
是 V 的子空间，称之为子空间 V1 , V2 的和.即两个子空间的和仍为子空间. 证 定理 5.4 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，如果 V 的任意一个子空间既包含 V1 ，又包含 V2 ，
∑ α , α ∈ V 的向量作成的子集是 V 的子空间，称之为子空间 V ,V , ⋅⋅⋅,V 的和，
i =1 i i i 1 2 n
n
记作 V1 + V2 + ⋅⋅⋅ + Vn . 设 V 是线性空间， α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ∈ V ，则
L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ) = { x = λ1α1 + λ2α 2 + ⋅⋅⋅ + λmα m λ1 , λ2 ,L , λm ∈ P}
是 V 的子空间， 称之为由向量组 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 生成的子空间. 向量 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 叫做这个子空间的一 组生成元. 容易验证， L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m ) 是 V 中一切包含向量组 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α m 的最小的子空间. 例 5.11～5.12（教材 P166～167） 例 5.13 设在线性空间 P 中， V1 , V2 分别表示 两个齐次方程组 Ax = 0, Bx = 0 的解空间， 其中
3. 子空间的和与交 定理 5.2 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间，则 V1 I V2 也是 V 的子空间.即两子空间的交仍为 子空间. 证 注 设 V1 , V2 是线性空间 V 的两个子空间， 则 V1 U V2 未必是 V 的子空间.即两子空间的并未必是子
空间.一般地， V1 U V2 对向量加法不封闭.
α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n , β 线性相关，从而 β 可由 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 线性表示，因此 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 是 V 的一个基.
定理 5.7（扩基定理） 设 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r 是 n 维线性空间 V 中一组线性无关的向量，那么总可以添 加 n − r 个向量 α r +1 , ⋅⋅⋅, α n ，使得 α1 , ⋅⋅⋅, α r , α r +1 , ⋅⋅⋅, α n 作成 V 的一个基. 证 对 n − r 作数学归纳法. 当 n − r = 0 时，由定理 5.6 知，定理已经成立. 假设 n − r = k 时定理已成立，下面考虑 n − r = k + 1 的情形. 既然 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α r 还不是 V 的一个基，它又线性无关，因此，一定存在向量 α r +1 ∈ V ，不能由
2.线性空间的简单性质 性质 1 零元素是唯一的. 性质 2 负元素是唯一的. 性质 3 0α = 0 ； k 0 = 0 ； ( −1) α = −α . 性质 4 如果 kα = 0 ，那么 k = 0 或者 α = 0
3. 子空间 定义 5.2 设 V 是数域 P 上的线性空间，W 是 V 的一个非空子集， 如果 W 对于 V 的两种运算也构 成数域 P 上的线性空间，则称 W 是 V 的一个线性子空间（或简称子空间）.
《高等代数》教案-5-第 5 章 线性空间
第五章 线性空间
Ⅰ.授课题目 §5.1 线性空间与子空间 §5.2 基与维数 §5.3 坐标 §5.4 集合的映射 §5.5 线性空间的同构 Ⅱ.教学目的与要求 1. 理解线性空间的定义与性质、子空间的判定； 2. 掌握基、维数、坐标等有关概念，掌握坐标变换公式及维数公式； 3. 掌握直和的概念与性质； 4. 理解线性空间的同构的概念及性质. Ⅲ.重点与难点 重点: 子空间、基、坐标、坐标变换公式、维数公式； 难点: 坐标变换公式、维数公式、子空间的直和. Ⅳ.教学内容
例 5.14 设 W , W1 , W2 都是线性空间 V 的子空间，其中 W1 ⊂ W2 ，且
(
)
(
)
(
)
W I W1 = W I W2 ,W + W1 = W + W2 ，
证明 W1 = W2 . 证 任取 α 2 ∈ W2 ，则 α 2 ∈ W + W2 = W + W1 ，因此，存在 α1 ∈ W1 , β ∈ W ，使得 α 2 = α1 + β ， 于是 β = α 2 − α1 ∈ W ，而 W1 ⊂ W2 ，故 α1 ∈ W2 ，则有 β = α 2 − α1 ∈ W2 或 β = α 2 − α1 ∈ W I W2 .
n n
一个基，称之为 R 的标准基. 例 5.17 在线性空间 P [ x ]n 中，1, x, x , ⋅⋅⋅, x
2 n −1
n
项式都可以由它线性表示，因而1, x, x 2 , ⋅⋅⋅, x n −1 就是 P [ x ]n 的一个基. 例 5.18 在 线 性 空 间 P
m× n
是 n 个线性无关的向量，并且 P [ x ]n 中的每一个多
（7） ( k + l ) α = kα + lα （向量对数加法的分配律） ；
（8） k (α + β ) = kα + k β （数对向量加法的分配律） ，
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其中 k , l ∈ P ， α , β , γ ∈ V ，则称 V 是数域 P 上的线性空间或向量空间.线性空间中的向量加法和数 量乘法统称线性运算. 例 5.1 ～例 5.5（见教材 P150～151）
n
As×n , Bt×n ，则 A V1 I V2 = x | x = 0 . B
设 α1 , ⋅⋅⋅, α r1 和 β1 , ⋅⋅⋅, β r2 分别是这两个方程组的基础解系，则
V1 = L α1 , ⋅⋅⋅, α r1 ， V2 = L β1 , ⋅⋅⋅, β r2 ， V1 + V2 = L α1 , ⋅⋅⋅, α r1 , β1 , ⋅⋅⋅, β r2 .
中 ， 设 Eij 表 示 第 ( i, j ) 元 为 1 ， 其 余 元 都 是 0 的 矩 阵 ，
m× n i = 1, 2, ⋅⋅⋅, m; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n ， 容易知道，Eij , i = 1, 2, ⋅⋅⋅, m; j = 1, 2, ⋅⋅⋅, n 是线性空间 P 的一组线性无
定理 5.1 设 W 是 V 的非空子集，如果 W 对于 V 的两种运算封闭，即 （1）对于任意 α ∈ W , β ∈ W ，都有 α + β ∈ W ； （2）对于任意 α ∈ W ， k ∈ P ，都有 kα ∈ W ， 则 W 是 V 的一个子空间. 证
例 5.5 ～5.10（教材 P163）
§5.2 基与维数
1. 基与维数 定义 5.3 设 V 是数域 P 上的线性空间，如果在 V 中存在一组向量 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 满足 （1） α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 线性无关； （2） V 中的每一个向量都可以由它线性表示， 则称 α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n 是线性空间 V 的一个基底或基. 由此可见，基就是线性空间的一组线性无关的生成元， V = L (α1 , α 2 , ⋅⋅⋅, α n ) . 向量组 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 就是它的一组线性无关的生成元， 因而 ε1 , ε 2 , ⋅⋅⋅, ε n 是 R 的 例 5.16 在 R 中，
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则它一定包含 V1 + V2 .在这个意义下， V1 + V2 是 V 的既包含 V1 又包含 V2 的最小子空间. 证 两个子空间的和的概念可以推广到任意有限个子空间的情形. 设 V1 , V2 , ⋅⋅⋅, Vn 是 V 的子空间，可 以证明，一切形如
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若 V1 , V2 互不包含，则存在 α ∈ V1 ，但 α ∉ V2 ，也存在 β ∈ V2 ，但 β ∉ V1 .