一维无线深方势阱
2-6 一维无限深方势阱
0 ~ a 上的连续函数，都可以用正弦函数(35)来展开。
从细节上讲， 傅里叶级数是对周期函数进行展开， 所用的三角函数也是定义在无穷区间 上的周期函数。 比如， 已知函数 f x 在 0 ~ a 上的定义， 先将 f x 作奇延拓， 即在 a ~ 0 上，定义 f x f x ，然后将函数以 2a 为周期延拓到整个实轴上。因为是奇函数， 所以傅里叶级数中只出现正弦，基波周期为 2a 。这里我们只关注势阱内部分，将 f x 用 本征函数组(35)展开。当然，也可以对 f x 作偶延拓，再作周期性延拓，这样会得到余弦 级数；或者直接以 a 为周期作周期性延拓，得到标准形式的傅里叶级数，此时基波的周期为
通常把正交性和归一性合并为
ψn x ψm x dx 0
(29)
称本征函数组 ψ n x , n 1, 2, (4) 本征函数组
n
ψn x ψm x dx nm
(30)
是正交归一的。
ψ x , n 1, 2, 是完备的。也就是说，任何在势阱内的连续函数
i
Ent
, x a
(36)
利用欧拉公式，可以将其改写为指数形式
n x, t C1 exp x Ent C2 exp x Ent , x a (37) 2a 2a
1 nπ sin x , ψn x a 2a 0,
势阱宽度仍为 2a ，可以做参数替换 a 为
0 x 2a x 0, x 2a
(33)
a 将势阱宽度变为 a ，此时能级和能量本征函数变 2
一维对称无限深方势阱的波函数表达式
一维对称无限深方势阱的波函数表达式在量子力学中，一维对称无限深方势阱是一种经典的势阱模型，它在研究粒子在受限空间内的运动和能级结构等方面有很好的应用。
对于一维对称无限深方势阱来说，波函数的表达式是非常重要的，它可以帮助我们理解粒子在势阱内的行为以及计算其能级。
1. 势阱模型的基本假设一维对称无限深方势阱模型假设了以下几点：势阱的宽度为a，势阱内部的势能为0，而在势阱外部势能为无穷大，这意味着粒子在势阱内运动自由，在势阱外不能存在。
这是一个理想化的模型，但对于研究粒子在受限空间内的行为却是非常有用的。
2. 薛定谔方程的求解根据薛定谔方程，我们可以求解一维对称无限深方势阱中的波函数。
薛定谔方程的一般形式为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² + V(x)Ψ = EΨ其中，ħ是普朗克常数，m是粒子的质量，V(x)是势能函数，Ψ是波函数，E是能量。
对于无限深方势阱来说，势能函数V(x)在势阱内为0，在势阱外为无穷大，因此薛定谔方程可以简化为：-ħ²/2m * d²Ψ/dx² = EΨ4. 波函数的边界条件在一维对称无限深方势阱中，波函数的边界条件非常明确，因为势能在势阱外为无穷大，粒子无法透过势垒逃逸出去，故波函数在势阱外为0。
而在势阱内部，波函数要满足Ψ(0) = Ψ(a) = 0，这是因为势阱的边界为0。
5. 波函数的表达式根据边界条件，我们可以求解出一维对称无限深方势阱中的波函数表达式。
在势阱内部，波函数的一般形式为：Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)其中，A和B是待定系数，k是波数，根据波函数的边界条件，我们可以求解出波函数的具体形式。
在势阱内部，波函数的波数k为：k = sqrt(2mE) / ħ对于一维对称无限深方势阱，能级是分立的，即E = n²π²ħ² / (2ma²)，其中n为正整数。
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
2.6一维无限深势阱
O
a
x
第二章 波函数和薛定谔方程
2/33
Quantum mechanics
2
§2.6 一维无限深势阱
d 2 E 0, (a x a) U 0 , (| x | a) 2 2 dx U ( x) 2 2 d 0, (| x | a) ( E U ) 0, ( x a , x a ) 0 2 dx 2 2 (U 0 E ) 1/ 2 2 E 1/ 2 令： （ 2 ) , [ ] 2
第二章 波函数和薛定谔方程
4/33
Quantum mechanics
§2.6 一维无限深势阱
A sin( x ),(| x | a) 1 x x Be ,( x a), Ce ,( x a) 当x=±a处波函数连续可得: ctg( a ) ,( x a) ctg( a ) ,( x a)
Quantum mechanics
§2.9 例题
例1,设一维无限深方势阱宽度为a,求处于基态的 粒子的动量分布(P39). U(x) 0,(0 x a) 解：U ( x) ,( x 0),( x a)
2 d 2 ( x) E ( x) 0, (0 x a) 2 2 dx ( x) 0, (0 x, x a)
d ctg( x ),(| x | a) dx ,( x a), ,( x a) 0, ctg a , / 2, tg a ,
a A sin a Be ,( x a) A sin x,(| x | a) 0, 0, x a x A sin a Ce ,( x a) Be ,( x a), Ce ,( x a)
【大学物理】§3-2薛定谔方程 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱
对于一维无限深方势阱有
一维势阱和势垒问题
∞
∞
U(x)
U
(
x)
0
(0 x a) ( 0 x, x a)
势阱内U(x) = 0，哈密顿算符为
H
2
2
d2 d x2
定态薛定谔方程为
0
a
令
2E
k
薛定谔方程的解为
d 2
d x2
2E
2
0
(x) Asin(kx )
由此解得最大值得位置为
x (2N 1) a 2n
例如
n 1, N 0
最大值位置
x 1a 2
n 2, N 0,1, 最大值位置 x 1 a , 3 a Nhomakorabea44
n 3, N 0,1, 2, 最大值位置 x 1 a , 3 a , 5 a.
6 66
可见，概率密度最大值的数目和量子数n相等。
10
2m dx2
2. 波函数
(
x)
2 sin( n x), 0 x a
aa
0,
x 0或x a
3. 能量
En
n
2
22
2ma 2
n 1,2,3
4. 概率密度
(x) 2 2 sin 2 ( n π x)
a
a
4
讨论
n (x)
2 sin n x
a a
(0 x a)
1.n=0给出的波函数
1
根据 (0，)可以0确定 = 0或m，m =1,2,3,。于是上式改写为
根据 (a) 0，得
(x) Asin kx
ka = n， n = 1,2,3, ···
量子力学3.2一维方势阱
sin kx(奇宇称态) 或 cos kx (偶宇称态)形式。
1、偶宇称态
2 (x) ~ cos kx
| x | a 2
1(x) A1e x
2 (x) B2 cos kx
3 (x) C2e x
xa 2
a x a
2
2
xa 2
由于这里内外解 (x)和 '(x)在 | x | a 处是连续的，
2a
0
x a x a
n 当 为偶数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有奇宇称。 n 当 为奇数时， n (x) n (x) ，即 n (x) 具有偶宇称。
本征函数具有确定宇称是由势能对原点对称： U (x) U (x) 而导致的。
由定态薛定谔方程求能量本征值和本征函数的步骤：
1 sin n (x a),
a 2a
0
x a x a
En
n222 2(2a ) 2
n222 8a 2
( n 1,2,3,...)
1 sin n x a 2a
n
(x)
1 cos n x a 2a
0
n 2,4,6 n 1,3,5,
x a x a x a
或表示 为
n(
x
)
1 a
sin n ( x a )
V0→∞时，结果与无限深势阱的偶宇称态能量一致。
2、奇宇称态
2 (x) ~ sin kx
| x | a 2
与上类似，由连续条件可得：
k cot(ka / 2)
cot
与（2）式联立，可确定
参数 和，从而确定能
量本征值。如右图。
2
2
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱的力公式及在费米气体中的应用
一维无限深方势阱是一个理想的物理模型，它可以帮助我们理解量子力学的基本概念。
在这个模型中，粒子被限制在一个无限深的平方势能盒子中运动，它们的能量和波函数是离散的，具有不同的量子态。
对于一维无限深方势阱，我们可以推导出力公式。
根据量子力学的基本原理，粒子在势阱中运动时，受到的力是由势能的梯度决定的。
在一维无限深方势阱中，粒子受到的力是一个恒定的值，它的大小等于势阱两侧之间的势能差。
因此，力公式可以表示为： F = -dE/dx
其中，F是受力大小，E是能量，x是位置。
这个公式告诉我们，粒子受到的力和它的能量密切相关，而且在势阱两侧之间的能量差越大，受到的力就越大。
在费米气体中，一维无限深方势阱的力公式可以应用于描述粒子之间的相互作用。
费米气体是由费米子组成的系统，如电子、质子、中子等。
在这种气体中，费米子具有反对称的波函数，遵循泡利不相容原理，因此它们不能占据同一量子态。
这种排斥力可以通过一维无限深方势阱的力公式来描述，它可以帮助我们理解费米气体的行为和性质。
总之，一维无限深方势阱的力公式可以帮助我们理解量子力学的基本概念，而在费米气体中的应用则可以帮助我们理解费米子之间的相互作用和排斥力。
一维无线深方势阱
En
8 a 2
cos 0 sina 0
II . cos 0 2
由（3）式
则 sin 1
cos a 0
cos(a ) sin 0 ( 3 )
1
a ( n 2 )
( n 1 )
2 a
(n 0,1,2, )
所以
于是波
E
n
2 2
2
2
2
( n 1 ) 2
2 a
( 2n1)2 22 8 a 2
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
1）波函数连续：
I 0,
II
A sin( x ),
III 0.
V(x)
I (a) II (a) Asin(a ) 0,
I
II
III
II (a) III (a)
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
§1 一维无限深势阱
l （一）一维运动 l （二）一维无限深势阱 l （三）宇称 l （四）讨论
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
Hˆ [ 2 2 V ( x, y, z)] ( x, y, z) E ( x, y, z) 2
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin Acos(a )sin
0
0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a ) sin 0 ( 3 )
(2)-(1)
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较
量子力学中一维无限深势阱问题两种解题方法的比较一维无限深势阱是量子力学中一个经典的问题，可以用两种方法进行求解：定态微扰论和定态井底近似。
1. 定态微扰论：定态微扰论是量子力学中解决简单势场问题常用的一种方法。
在无限深势阱问题中，可以将无穷深方势阱视为定态问题的微扰，将该势场加入到系统的哈密顿量中，然后使用微扰论进行求解。
定态微扰论的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱问题的哈密顿量记为H0，并找到H0的本征函数和本征能量。
- 然后，将无穷深势阱视为微扰，将微扰项H'加入到哈密顿量。
- 使用微扰论的公式，展开本征函数和本征能量的泰勒级数，得到微扰的一阶修正项。
- 最后，将微扰项的一阶修正项加到H0的本征能量上，得到精确的能级修正。
2. 定态井底近似：定态井底近似是另一种求解一维无限深势阱问题的常用方法。
该方法的核心思想是将无穷深方势阱问题看作是薛定谔方程在势能井底附近的近似解。
定态井底近似的步骤如下：- 首先，将无限深方势阱的势能井底近似为一个宽度为a的矩阵势阱，且矩阵势阱的势垒高度为无穷大。
- 然后，将定态薛定谔方程在矩阵势阱内求解，得到在该势阱内的本征函数和本征能量。
- 最后，将势能井底趋于无穷深，即将势阱的势垒高度取极限使其趋于无穷大，此时得到的本征函数和本征能量就是无限深方势阱问题的精确解。
比较两种方法：- 定态微扰论适用于一般情况下的微扰问题，可以求得很多物理量的修正。
但是在计算过程中需要进行级数展开，需要考虑到每一阶的修正项，计算较为复杂。
- 定态井底近似是一种近似方法，适用于无穷深方势阱问题的求解。
它将无穷深方势阱问题转化为一个简单的矩阵势阱问题，简化了问题的求解过程。
- 在求解一维无限深势阱问题时，定态井底近似更加简单快速，能够直接得到问题的精确解。
而定态微扰论的应用范围更广，在求解一些复杂问题时更具有优势。
综上所述，定态井底近似适用于一维无限深势阱问题的精确解，而定态微扰论适用于更一般的微扰问题，并具有更广泛的应用范围。
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题
一维无限深方势阱中粒子动量概率分布引出的问题在量子力学中，无限深方势阱问题是一个简化理想化的问题。
无限正方形势阱是有限大小的正方形势阱。
井内电势为0，井外电势无穷大。
在阱中，粒子可以不受任何力地自由移动。
但是阱壁无限高，粒子完全被约束在阱里。
通过 schr\ddot{o}dinger 方程的解答，明确地呈现出某些量子行为，这些量子行为与实验的结果相符合，然而，与经典力学的理论预测有很大的冲突。
特别令人注目的是，这些量子行为是自然地从边界条件产生的，而非人为勉强添加产生的。
这解答干净利落地展示出，任何类似波的物理系统，自然地会产生量子行为；无限深方势阱问题的粒子的量子行为包括：1.能量的量子化:粒子量子态的本征函数，伴随的能量不是任意的，而只是离散能级谱中的一个能级。
2.基态能量:一个粒子允许的最小能级，称为基态能量，不为零。
3.节点:与经典力学相反，薛定谔方程预言了节点的存在。
这意味着在陷阱的某个地方，发现粒子的概率为零。
这个问题再简单，也能因为能完整分析其薛定谔方程，而导致对量子力学更深入的理解。
其实这个问题也很重要。
无限深正方形势阱问题可以用来模拟许多真实的物理系统，例如直的极细纳米线中导电电子的量子行为。
为了简化问题，本文从一维问题出发，讨论了粒子只在一维空间中运动的问题。
一个粒子束缚于一维无限深方势阱内，阱宽为 l 。
势阱内位势为0，势阱外位势为无限大。
粒子只能移动于束缚的方向（ x 方向）。
一维无限深方势阱的本征函数 \psi_{n} 于本征值 e_{n} 分别为\psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})e_{n}=\frac{n^2 h^2}{8ml^2}其中， n 是正值的整数， h 是普朗克常数， m 是粒子质量。
一维不含时薛定谔方程可以表达为-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+v(x)\psi(x)= e\psi(x)其中， \psi(x) 是复值的、不含时的波函数， v(x) 是跟位置有关的位势， e 是正值的能量。
一维无限深势阱
(at x a) (at x a)
Acos ka 0,
B sin
ka
0.
有两种情形的解：
（1） B 0, coska 0, 所以，
(n 1 )
k 2 , a
(n 0,1,2, )
E
2 2 2a 2
n
12
2
,
(
x)
A cos
n
12
x
a
.
(偶宇称)
(2) A 0,sin ka 0 所以，
0
显然E必须>0，所以记
(a x a)
2E
k
那么方程变成： d 2
dx 2
k 2 (x)
0.
它的一般解是：
(x) Acos kx Bsin kx.
(a x a)
这三段的解必须在 x=±a 处衔接起来。在势能有无限
大跳跃的地方，衔接条件只有 本身的连续性。所以
现在
Acos ka Bsin ka 0, Acos ka Bsin ka 0,
n
k , a
(n 1,2,3, )
E
2 2 2a 2
n2,
( x) B sin nx .
a
（奇宇称）
二者合起来可写为：
n
kn 2a ,
(n 1,2,3, )
En
2 2 8a 2
n2,
n n (x) An sin 2a (x a).
波函数的归一化是：
所以，
a | (x) |2dx 1 a
R
B2 A2
(k 2
(k 2 k32 )2 sh 2k3a k32 )2 sh 2k3a 4k 2k32
,
一维无限深势阱的能量
二、理论计算：
在一维无限深方势阱中粒子所处的势场为：
U
0 0<x<d
U=
∞ x≥d
OHale Waihona Puke dx图1在 0<x<d 范围内，粒子的势能为零，在 x≥d 范围内粒子的势能为无穷大。示意
图如图 1 所示。
该势场内的定态薛定谔方程可写为：
（1）
2
2m
d2 dx2
E
2 （2） 2m
d2 dx2
一维无限深方势阱的能量
班级： 姓名： 学号：
一维无限深方势阱的能量
一、 引言：
量子阱（QW）是指由 2 种不同的半导体材料相间排列形成的、具有明显量子限制效应的电
子或空穴的势阱。量 子 阱 的 基 本 特 征 是 ， 由 于 量 子 阱 宽 度 (只 有 当 阱 宽 尺 度 足 够 小 时 才 能 形 成 量 子 阱 )的 限 制 ，导 致 载 流 子 波 函 数 在 一 维 方 向 上 的 局 域 化 ，量 子 阱 中因为有源层的厚度仅在电子平均自由程内，阱壁具有很强的限制作用，使得 载流子只在与阱壁平行的平面内具有二维自由度，在垂直方向，使得导带和价 带分裂成子带。量子阱中的电子态、声子态和其他元激发过程以及它们之间的 相互作用，与三维体状材料中的情况有很大差别。在具有二维自由度的量子阱 中，电子和空穴的态密度与能量的关系为台阶形状。而不是象三维体材料那样 的 抛 物 线 形 状 。 现 在 量子阱器件的应用领域十分广泛，主要有量子阱红外探测器， 基于量子阱材料的激光器，光通讯，量子阱结构 LED 等。
E1[i]=(PI*PI)/(d*d); printf("d=%f\tE[%d]=%f\n",d,i,E1[i]); } }
一维定态问题无限深方势阱
u(x)
2
=
2
sin 2
nπ
a a
0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
概率分布不均匀，存在概率为零的节点。 但：概率分布不随时间变化！
§2.4 一维定态问题–无限深方势阱
结论：
(3) 束缚在势阱中的粒子的能量是量子化的
=E
E=n
π2 2
2ma2
n2 ,
平均值
∫ = E
+∞
ψ
−∞
*
(r
,
t
)
−
2
2m
∇2
+V
(r,t) ψ
(r , t )dτ
总能能算符：
Hˆ
=−
2
∇2
+V
(r,t)
pˆ 2 =
+V (r,t)
2m
2m
称为粒子的哈密顿算符。
§2.5 力学量的平均值、算符表示—平均值
含时薛定谔方程：
i
∂ψ
∂t
=
−
2
2m
∇2
+ V (r,t) ψ
(1) 粒子的位置 r
例如：一维无限深方势阱
粒子的位置是不确定的，取值在[0, a]之间。 但粒子的概率分布是确定的，是
u(x)
2
=
2 sin2 nπ a a 0
x, ,
0≤ x≤a x < 0,or, x > a
n = 1, 2,3,
所以，可以得到粒子位置的平均值 (假设粒子处在基态 n =1 态)：
2
∇2 2m
+ V (r,t)ψ
§251一维无限深方势阱
4
联立（2.5.5）--（2.5.6）式，解出 , 再由（2.5.4）可给出能谱。
，
2.5一维方势阱
二、在 x a / 2 区，取 ( x ) sin kx ，解取有奇宇称 的情况 同样，利用波函数对数微商在x a / 2 连续条 件得：
ctg
2 .5 .7
在x
a/2
区，薛定谔方程是：
k 0
2
d
2
dx k
2
x a/2 2 .5 .2
2mE /
2
2.5一维方势阱
其解为 A sin kx B co s kx
一、在 x a / 2 区，取 ( x ) cos kx ，解取有偶宇称 的情况 利用 x a / 2 处波函数对数微商的连续条件都可得
n (x)
2
2.5一维方势阱
由图可以看出，在不同能级上粒子出现的 概率密度是不同的。在基态，粒子出现的概 率在阱区中部为最大，而越靠近阱壁概率越 小，阱壁上概率为零。在激发态，粒子在阱 内出现的概率是起伏变化的，随着量子数 n 的增大，起伏变化越来频繁。
而在经典物理中，粒子在阱内各处出现的 概率是相等的。 由图可以推断，只有当量子数 n 很大时，粒 子在阱内各处的概率才趋于均匀。
同样，作 （2.5.6）和 3 （2.5.7）式相 应曲线，他们 2 的交点表示波 函数其宇称时 1 相应的能谱。 所得结果见右 图。
mU 0a 2
2 2
ctg
1
/2 2
3
4
由以上图可见，对于奇宇称态，当且仅当 2 2
/4
2
时，即当 U 0 a
高二物理竞赛课件：一维无限深势阱问题
其定态薛定谔方程： 2 d 2 E
2m dx 2
粒子在各处出现的概率密度 Ψ x 2 2 sin 2 nπ x
a
a
一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度
n= 3
ψn
3
2 sin 3 x aa
wn n 2
w3
n=2
2
2 2 sin x
aa
w2
n= 1
1
2 sin x aa
w1
0 aX
粒子在0到a/2区域内出现的概率：
2
2 s
a
in2
x
a
a/22 dx来自2a/ 2 sin2 x dx
1
0
a0
a
2
(3)概率最大的位置应该满足：
d 2 2 sin 2x 0
dx
aa
即当 2x k , k 0,1,2,
a
时，粒子出现的概率最大。因为0<x<a， 故得x=a/2，此处粒子出现的概率最大。
k12
2m( E P 0 2
E)
三个区间的薛定谔方程化为：
d
2 1 ( dx2
x
)
k
21
(
x
)
0,
x0
d
22 ( dx2
x
)
k12
2
(
x)
0,
0 xa
d
2
3 ( dx2
x)
k
23
(
x
)
0,
xa
若考虑粒子是从I区入射，在I区中有入射波 和反射波；粒子从I区经过Ⅱ区穿过势垒到Ⅲ区， 在Ⅲ区只有透射波。粒子在 x=0处的几率要大于 在 x=a处出现的几率。
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导
一维无限深方势阱中势阱中粒子的能级公式推导一维无限深方势阱是量子力学教学中常见的模型之一。
在这个模型中，粒子被限制在一个长度为L的势阱中运动，势阱的势能在阱内为零，而在阱外则无限大。
研究一维无限深方势阱中粒子的能级公式推导，可以帮助我们更深入地理解量子力学中的基本概念和数学工具。
下面我将按照深度和广度的要求，从简单的物理概念和数学原理开始，逐步推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式，并带有个人的观点和理解。
一、基本概念和数学工具1.1 势阱势阱是一种常见的量子力学模型，它可以用来描述粒子在受限空间中的运动。
在一维无限深方势阱中，势能在阱内为零，而在阱外为无限大，这意味着粒子在阱内具有确定的能量，而在阱外无法存在。
1.2 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子力学中粒子运动的基本方程。
对于一维无限深方势阱而言，薛定谔方程可以简化为一维定态薛定谔方程：\[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]其中，ψ(x)是粒子的波函数，m是粒子的质量，E是粒子的能量，ħ是普朗克常数。
二、能级公式的推导2.1 边界条件在一维无限深方势阱中，粒子受到势阱两侧的限制，因此波函数在势阱边界处为零。
这意味着在x=0和x=L处，波函数满足边界条件：\[ \psi(0) = 0 \]\[ \psi(L) = 0 \]2.2 波函数的解根据边界条件，我们可以求解一维定态薛定谔方程得到波函数的解。
波函数的解具有以下形式：\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin(\frac{n\pi x}{L}) \]其中，n为能级量子数。
2.3 能级公式将波函数的解代入一维定态薛定谔方程中，可以得到粒子的能级公式：\[ E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} \]其中，En为粒子的能量，n为能级量子数。
三、个人观点和理解在推导一维无限深方势阱中粒子的能级公式过程中，我们利用了量子力学基本的数学工具和物理概念，如薛定谔方程、波函数和边界条件。
一维势阱
， n = 1, 2, 3, …
试计算n = 1时，在 x1 = a/4 →x2 = 3a/4 区间找到粒子的 概率．
解：找到粒子的概率为
3a / 4
2 2 x ( x) 1 ( x) d x sin d x a a a/4 a/4
* 1
3a / 4
2 x ) 3 a 1 cos( 1 1 a 4 a dx a 2 π 4
0,
讨论：
2 k 2 22n2 ① 粒子的能量 E n , n 1,2,3, 2 2 2 a
粒子的最低能量状态称为基态，则一维无限深方势 阱的基态能量为：
E1 2 0 2 a
2 2
————零点能
与零点能相对应的，应存在零点运动。这与经典粒 子的运动是相矛盾的。零点能是微观粒子波动性的表 现，因为“静止的波”是没有意义的。
3 n 3
4
n4
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱的粒子位置概率密度分 布 2
1
n 1
0 2
2
x a n2 x a
a x
0 n3 3
2
0 4 0
2
n4
x a
n时
量子经典
|n | 2
n很大
En
0
a
一维无限深势阱
En n
n ( x)
h 2 En ( x ) n 2 8ma
2 n n ( x) sin x a a
2ห้องสมุดไป่ตู้
2 2 n n ( x ) sin ( x ) a a
0
a
x
例1: 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有正交性：
高二物理竞赛课件：一维无限深方势阱
得
Hˆ (x, y, z) i
1
df (t)
=E
(x, y, z)
f (t) dt
i
1 df (t) E, f (t) dt
其解
f
(t)
e
i
Et
Hˆ
2
2 U
另一方程: Hˆ (x, y, z) E (x, y, z) 2m
2 2 (x, y, z) U (x, y, z) E (x, y, z) (17-32)
2m
若势能U不显含时间t ,则
(x, y, z,t) (x, y, z) f (t)
Hˆ (x, y, z,t) i (x, y, z,t)
t
Hˆ (x, y, z) f (t) i (x, y, z) f (t)
t
将上式两端除以 (x, y, z) f (t), 并注意到
Hˆ 2 2 U 2m
2m
上式称为定态薛定谔方程。
波函数：
(
x,
y,
z,
t
)
(
x,
y,
z)e
i
Et
概率密度： (x, y, z,t) 2 (x, y, z) 2
概率密度不随时间而改变,是一种稳定状态,即为 定态。
0 0xa
U(x)
U (x)
x 0, x a
o
ax
图17-3
2 2m
d
2 (x)
dx2
U
(x)
Ψ(r, , ) =R(r)()Φ()
(17-47)
在E<0(束缚态)的情况下求解上述方程，可得如下 结论：
1. 能量量子化 为使波函数满足标准条件，电子(或说是整个原 子)的能量只能是
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势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，
其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx2
I
(x)
2
2
(V
2
E)
I
(x)
0
x a
d2
dx2
II
(x)
2
2
E
II
2 (x)
0
a x a
d2 dx2
III
(x)
2
2
(V
E)
III
(x)
0
xa
§2.7 一维定态问题
l 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理 一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：
l （1）有助于具体理解已学过的基本原理； l （2）有助于进一步阐明其他基本原理；
l（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； l （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
-
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin Acos(a )sin
0
0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a ) sin 0 ( 3)
(2)-(1)
sin(a ) cos 0 (4)
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
-
§1 一维无限深势阱 l （一）一维运动 l （二）一维无限深势阱 l （三）宇称 l （四）讨论
-
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
H ˆ [ 2 2 V (x ,y ,z )] (x ,y ,z ) E(x ,y ,z ) 2
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
-
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
1）波函数连续：
I 0, II A sin( x ), III 0.
V(x)
I ( a )I( Ia ) A s ia n ) 0 ( , I
等式两 （ x ,边 y ,z)除 X (x )Y 以 (y)Z (z)
X 1 2 2 d d 2 2 X x V 1 ( x ) Y 1 2 2 d d 2 2 Y y V 2 ( y ) Z 1 2 2 d d 2 2 Z z V 3 ( z ) E
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
II
III
I( a I ) I( a I )I A si a n ) 0 .(
• 2）波函数导数连续：
-a 0 a
l
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是
因为：
l
若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ)
l
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛
| x|a
I
II
III
-a 0 a
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
ddx22(x)V(x)(x)
E(x)
ddx22(x)22 [V(x)E](x)0
(x,
y,
z)
设 V ( x ,y ,： z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z )
令 ( x ,y ： ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x ,y ,z ) Y 2 2 Z d d 2 2 X x V 1 ( x ) X 2 2 d Z d 2 2 Y y V 2 ( y ) X 2 2 d Y d 2 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
方程可 简化为：
d dx
2 2
I
2
II
2
II
0
d dx
2 2
III
2
III
0
-
V(x)
I
II
-a 0
III a
V(x)
I
II
-a 0
III
a
1。单值，成立； 2。有限：当x
-∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d dx
2 2
I
2
I
0
d dx
2 2
II
2
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z )
-
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。
2
2
2
V
(x,
y,
z)
(x,
y,
z)
E
II
0
d dx
2 2
III
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2ex
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) l i m C1ea 0
所 以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
2 d 2
[
2
dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 d 2
[
2
dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 d 2
[
2
dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
Ez Z (z)
其中
-
EExEyEz
（二）一维无限深势阱
V(x)
0, |x|a
V(x)