一维无线深方势阱

| x|a
I
II
III
-a 0 a
l 求解 S — 方程 分四步： l （1）列出各势域的一维S—方程 l （2）解方程 l （3）使用波函数标准条件定解 l （4）定归一化系数
-
（1）列出各势域的 S — 方程
2
2
ddx22(x)V(x)(x)
E(x)
ddx22(x)22 [V(x)E](x)0
ψ(-a) = ψ(a) = 0。
-
则解为：
I 0, II A sin(x ), III 0.
使用标准条件 3。连续：
1）波函数连续：
I 0, II A sin( x ), III 0.
V(x)
I ( a )I( Ia ) A s ia n ) 0 ( , I
势V(x)分为三个区域， 用 I 、II 和 III 表示，
其上的波函数分别为 ψI(x),ψII(x) 和 ψIII (x)。则方程为：
d2
dx2
I
(x)
2
2
(V
2
E)
I
(x)
0
x a
d2
dx2
II
(x)
2
2
E
II
2 (x)
0
a x a
d2 dx2
III
(x)
2
2
(V
E)
III
(x)
0
xa
II
III
I( a I ) I( a I )I A si a n ) 0 .(
• 2）波函数导数连续：
-a 0 a
lБайду номын сангаас
在边界 x = -a，势有无穷跳跃，波函数微商不连续。这是
因为：
l
若ψI(-a)’ = ψII(-a)’， 则有，0 = A αcos(-αa + δ)
l
与上面波函数连续条件导出的结果 A sin(-αa + δ)= 0 矛
§1 一维无限深势阱 §2 线性谐振子 §3 一维势散射问题
-
§1 一维无限深势阱 l （一）一维运动 l （二）一维无限深势阱 l （三）宇称 l （四）讨论
-
（一） 一维运动
当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其
Schrodinger 方程为：
H ˆ [ 2 2 V (x ,y ,z )] (x ,y ,z ) E(x ,y ,z ) 2
方程可 简化为：
d dx
2 2
I
2
I
0
d dx
2 2
II
2
II
0
d dx
2 2
III
2
III
0
-
V(x)
I
II
-a 0
III a
V(x)
I
II
-a 0
III
a
1。单值，成立； 2。有限：当x
-∞ ， ψ 有限条件要求
C2=0。
d dx
2 2
I
2
I
0
d dx
2 2
II
2
2 d 2
[
2
dx 2
V1 ( x )] X ( x )
Ex X (x)
2 d 2
[
2
dy 2
V2 ( y )]Y ( y )
E yY ( y )
2 d 2
[
2
dz 2
V3 ( z )] Z ( z )
Ez Z (z)
其中
-
EExEyEz
（二）一维无限深势阱
V(x)
0, |x|a
V(x)
§2.7 一维定态问题
l 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理 一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四：
l （1）有助于具体理解已学过的基本原理； l （2）有助于进一步阐明其他基本原理；
l（3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子 体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； l （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。
盾，二者不能同时成立。所以波函数导数在有无穷跳跃处不连续。
-
Asin(a )0 Asin(a )0
Asin(a )cos Asin(a )cos
Acos(a )sin Acos(a )sin
0
0
(1) (2)
(1)+(2)
cos(a ) sin 0 ( 3)
(2)-(1)
sin(a ) cos 0 (4)
等式两 （ x ,边 y ,z)除 X (x )Y 以 (y)Z (z)
X 1 2 2 d d 2 2 X x V 1 ( x ) Y 1 2 2 d d 2 2 Y y V 2 ( y ) Z 1 2 2 d d 2 2 Z z V 3 ( z ) E
2 d 2
[ 2 dz 2 V3 ( z )] Z ( z ) E z Z ( z )
-
令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z)
E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程：
所谓一维运 动就是指在 某一方向上 的运动。
2
2
2
V
(x,
y,
z)
(x,
y,
z)
E
(x,
y,
z)
设 V ( x ,y ,： z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z )
令 ( x ,y ： ,z ) X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
2 2 d d 2 2 d d x 2 2 d d y 2 2 X ( z x ) Y ( y ) Z ( z ) V 1 ( x ) V 2 ( y ) V 3 ( z ) ( x ,y ,z ) E ( x ,y ,z ) Y 2 2 Z d d 2 2 X x V 1 ( x ) X 2 2 d Z d 2 2 Y y V 2 ( y ) X 2 2 d Y d 2 2 Z z V 3 ( z ) E ( x , y , z )
II
0
d dx
2 2
III
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2ex
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) l i m C1ea 0
所 以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )