实验一误差传与算法稳定性

实验一：误差传播与算法稳定性

一：实验内容

考虑一个简单由积分定义的序列： 显然0,1,2,.n I n >=L 当n=1时，1

110

1/x I xe dx e -==⎰

。而对于2n ≥时，利用分步积分

易得：

另一方面，我们有1

1

1

1/(1)n x n n I x e dx x dx n -=

≤=+⎰

⎰。

由以上递推关系，我们可以得到计算序列{}n I 的两种方法。 (Ⅰ) 11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=⋯ (Ⅱ) 0N E =, 11,,1,2,,3,2n

n E E n N N N n

--=

=--L 二：实验要求及实验结果

（1） 分别用算法(Ⅰ)、(Ⅱ)计算，并且在计算机中分别采用5位、6位和7位有效数字，

请判断哪种算法能给出更精确的结果。 实验过程：

ⅰ）编写MA TLAB 程序如下：

a= input ('请输入有效位数a:'); %设定有效数字位数 syms n In

In=vpa((exp(-1)),a) %vpa 设定结果有效数字 for n=2:10; In=vpa((1-n*In),a) %循环计算

End

运行文件，输入有效数字a 分别为5位、6位和7位，得到运算结果如下表格所示：

ⅱ）编写MA TLAB 程序如下： function In=NO1B

b= input ('请输入有效位数b:'); syms n En

En=vpa(0,b) for n=10:-1:2;

En=vpa(((1-En)/n),b) End

由以上两种算法所得到的数据可知，对算法11/I e =，111/,n 1,2,3,..n n I I -=-=⋯从8I 开始，结果变得无规律，各个有效位数计算结果都不一样，这是因为随着计算的n 增大，误差会越来越大。而对0N E =, 11,,1,2,,3,2n

n E E n N N N n

--=

=--L ，5位、6位和7位结果相近，随着有效数字位数的增加，结果越来越精确。

（2） 两种算法的优劣，与你第一感觉是否吻合。请从理论上证明你的实验得出的结果，

解释实验得到的结果，算法(Ⅰ)中的计算误差为1e ，由1I 递推计算N I 的误差为n e ；算法(Ⅱ)中的N I 计算误差为N ε，由N I 向前递推计算n I （n N <）的误差为n ε。如果在上述两算法中都假定后面的计算不再引入其它误差，试给出n e 与1e 的关系和

n ε与N ε的关系。

ⅰ）**

11|||||(1)(1)|n n n n n e I I nI nI --=-=---11(1)!||n n |e |n e -===-L 。

ⅱ）因为*

1111||(1)(1)||N N N N I I N N N

εε-=

---=由此类推，对n

||||(1) (1)

N N n εε=

-+n N 。

（3） 算法(Ⅰ)中的1e 会很小，当n 增大时，n e 的变化趋势如何？算法(Ⅱ)中N ε通常相对

较大，当n 减小时，误差n ε又是如何传播的？也就是说比较一下上述两个算法，当某一步产生误差后，该误差对后面的影响是衰减还是扩张的。

ⅰ）算法(Ⅰ)中，**

11|||||(1)(1)|n n n n n e I I nI nI --=-=---11(1)!||n n |e |n e -===-L 。

当1e 很小时，随着n 的增大，n e 以阶乘为系数迅速增大。所以当某一步产生误差后，该误差最后面的影响是扩张的。 ⅱ）算法(Ⅱ)中1

||||(1) (1)

N N n εε=

-+n N ，虽然开始N ε很大，但是随着n 的增大，

n ε以阶乘为除数迅速减小。所以当某一步产生误差后，该误差最后面的影响是衰减的。

（4） 通过理论分析与计算实验，针对(Ⅰ)和(Ⅱ)的稳定性给出你的结论。

ⅰ）算法(Ⅰ)中，**

11|||||(1)(1)|n n n n n e I I nI nI --=-=---11(1)!||n n |e |n e -===-L 。

当某一步产生误差后，该误差最后面的影响是扩张的，所以该算法是不稳定的。 ⅱ）算法(Ⅱ)中1

||||(1) (1)

N N n εε=

-+n N ，虽当某一步产生误差后，该误差最后面

的影响是衰减的，所以该算法是稳定的。