三角形中位线定理

课 题： 三角形中位线定理

教学目标：

1． 理解三角形中位线的概念，掌握它的性质．

2． 能较熟练地应用三角形中位线性质进行有关的证明和计算．

3．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力．

4．能运用综合法证明有关三角形中位线性质的结论．理解在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法．

重点、难点

1．重点：掌握和运用三角形中位线的性质．

2．难点：三角形中位线性质的证明（辅助线的添加方法）．

（1）强调三角形的中位线与中线的区别：

（2）要把三角形中位线性质的特点、条件、结论及作用交代清楚：

学习过程：

一、情景创设

实验：请同学们思考：将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？（答案如图）

图中有几个平行四边形？你是如何判断的？

二、引入新课

1． 三角形中位线： ．

2． 三角形中位线性质

三角形中位线定理： ． 定理符号语言的表达：

如图，在△ABC 中

∵D 、E 是AB 、AC 的中点

∴

应注意的两个问题：①第一个结论是表明中位线与第三边的位置关系，第二个结论是说明中位线与第三边的数量关系，在应用时可根据需要来选用其中的结论（可以单独用其中结论）．②这个定理的证明方法很多，关键在于如何添加辅助线．

三探索活动

已知： 如图，点D 、E 、分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC 且DE=21BC ． 分析：所证明的结论既有平行关系，又有数量关系，联想已学过的知识，可以把要证明的内容转化到一个平行四边形中，利用平行四边形的对边平行且相等的性质来证明结论成立，从而使问题得到解决，这就需要添加适当的辅助线来构造平行四边形．

方法1：如图（1），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF ，（也可以过点C 作CF

A B C D

E

∥AB 交DE 的延长线于F 点，证明方法与上面大体相同）

CD 方法2：如图（2），延长DE 到F ，使EF=DE ，连接CF 、

和AF ，

【思考】：

（1）想一想：①一个三角形的中位线共有几条？②三角形的中位线与中线有什么区别？

（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？

三角形中位线的性质：三角形的中位线平行与第三边，且等于第三边的一半．

〖拓展〗已知：△ABC 的周长为a ，面积为s ，连接各边中点得△A 1B 1C 1，再连接△A 1B 1C 1各边中点得△A 2B 2C 2……，

则（１） 第３次连接所得△A 3B 3C 3的周长＝ ，面积＝

（２）第n 次连接所得△A n B n C n 的周长＝ ，面积＝ 四典型例题

1、 如图，△ABC 中，AD 是BC 的中线，EF 是中位线，

求证：AD 、EF 互相平分。

2、已知，在三角形ABC 中，BD 平分∠ABC ，AD ⊥BD ，F 为AC 的中点，

求证：DE ∥BC ，DF=

21（BC －AB ）

3 求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．

已知：如图所示，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． D E B C A

求证：四边形EFGH 是平行四边形．‘

思 顺次连结矩形菱形正方形各边中点所得的四边形是什么四边形？等腰梯形呢？ （学生边画图边观察，请学生猜想）

2、猜测：当四边形满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形、菱形、正方形？

五、课堂练习

（一）填空

1如图，A 、B 两点被池塘隔开，在AB 外选一点C ，连结AC 和BC ，并分别找

出AC 和BC 的中点M 、N ，如果测得MN=20 m ，那么A 、B 两点的距离是 m ，

理由是 ．

2．△ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、AC 、BC 的中点，

（1）若EF=5cm ，则AB= cm ；若BC=9cm ，则DE= cm ；

（2）中线AF 与DE 中位线有什么特殊的关系？证明你的猜想．

3．一个三角形的周长是135cm ，过三角形各顶点作对边的平行线，则这三条平行线所组成的三角形的周长是 cm ．

(二)解答

1已知：如图点E. F .G . H 分别是线段 AB. BC. C D. AD 的中点

当四边形DBCA 满足什么条件时，四边形EFGH 是菱形？

六小结与作业

D G

E B

F C A

H

评价与反思