Hamilton力学的辛算法
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泛 函
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
5
外微分 ? 辛几何
? 辛几何的基础是外微分形式 。 ? 外微分形式 是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3 、面积 或体积 —平行四边形面积
或平行六面体体积。
? 外微分形式 中有“1-形式”、“ 2-形式”等
? 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即 都是辛（正则）变换。
? 一切解Hamilton方程 “正确”的离散算法都应当是辛变换 的。 （冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系 统辛几何算法” ）
? Lax：“他的声望是国际性的。”
? 丘成桐：“中国…在数学历史上很出名的有三个：一个是
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▌
10
Euclid空间和辛空间的对应关系
Euclid 空间
内积 ?a,b?——长度
单位矩阵 1
? ? 正交 ?a, b ?? aTb ? aT 1b ? 0
正交归一基
? ? 正交矩阵 CT C ? CT 1C ? 1
若Hamilton矩阵的本征值为? ，则 ? ?
也是它的本征值 Hamilton 矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必
辛正交
Hamilton 矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛 正交归一基
11
Hamilton力学的辛结构
T
T
q ? ??q1 q2 ... q f ?? p ? ?? p1 p2 ... p f ??
? 非简并性：若向量a对于W中的任意向量 b均
有 a,b ? 0 ，则 a ? 0
8
辛空间
? 度量：作功、面积（或体积）、流量等
? 辛内积：
2维： a,b ? a1 a2
b1 b2
a、b平行四边形面积
2n维：a ? ?a1 a2 ... a2n ?T
b ? ?b1 b2 ... b2n ?T
?0 单位辛矩阵 ：J 2n ? ???1n
? 辛构造就是非简并的闭 2-形式。
6
Euclid空间
符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。
? 对称性：?a,b?? ?b,a? ? 线性： ?a, kb ?? k ?a,b ? （ k 为任意实数）
?a ? c,b ?? ?a,b ?? ?c,b ?（ c是V中的任意向量） ? 非简并性：?a,a ?? 0 ，当且仅当 a ? 0 时才
内容
? 冯康对世界科学的重大贡献 ? Euclid空间 ? 辛空间 ? Hamilton力学的辛结构 ? 正则变换的辛结构 ? 辛算法应用实例
1
? Schr?dinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基 石。”
? Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。
? 现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程 作正确的数值计算。
对称变换 ?a, A b ?? ?b,A a ?
实对称矩阵的本征值均为实数
实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 一基
辛空间
内积 a, b ——面积
单位辛矩阵 J
辛正交 a,b ? aT Jb ? 0
共轭辛正交归一基
辛正交矩阵 ST JS ? J
Hamilton变换 ?a,H b ?? ?b,H a ?
qi
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陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变
函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”
(1998年3月11 日《中国科学报》)
2
“冯氏大定理”
? 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
? 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
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然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。 7
辛空间（Simplectic Space ）
具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。
? 反对称性：a,b ? ? b,a ? 双线性： a1 ? a2,b ? a1,b ? a2,b
a,b1 ? b2 ? a,b1 ? a,b2
? 1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。 （1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。
直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自 然科学一等奖。 ） 石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
4
数学地位
线 线对多张张 流 性 性偶重量量 形 空 泛空线空分 理 间 函间性间析 论
2
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a
T 2
b
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9
单位辛矩阵 J 2n 的性质
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? J T ? J ?1 ? ? J
? aT Ja ? 0 ? a ? R2n ? 若 A 为对称阵，且 B ? J 2nA ，则 BT J 2n ? J 2nB ? 0
证明：
J
2 2
n
?
? 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
3
冯康（1920－1993）的学术成就
? 1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术 界承认冯康独立发展了有限元方法。
（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾 打算将申请撤回。） 前国际数学会理事长J. –L. Lions教授1981年说：“中国 学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是 最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
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外微分 ? 辛几何
? 辛几何的基础是外微分形式 。 ? 外微分形式 是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3 、面积 或体积 —平行四边形面积
或平行六面体体积。
? 外微分形式 中有“1-形式”、“ 2-形式”等
? 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即 都是辛（正则）变换。
? 一切解Hamilton方程 “正确”的离散算法都应当是辛变换 的。 （冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系 统辛几何算法” ）
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Euclid空间和辛空间的对应关系
Euclid 空间
内积 ?a,b?——长度
单位矩阵 1
? ? 正交 ?a, b ?? aTb ? aT 1b ? 0
正交归一基
? ? 正交矩阵 CT C ? CT 1C ? 1
若Hamilton矩阵的本征值为? ，则 ? ?
也是它的本征值 Hamilton 矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必
辛正交
Hamilton 矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛 正交归一基
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Hamilton力学的辛结构
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? 非简并性：若向量a对于W中的任意向量 b均
有 a,b ? 0 ，则 a ? 0
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辛空间
? 度量：作功、面积（或体积）、流量等
? 辛内积：
2维： a,b ? a1 a2
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2n维：a ? ?a1 a2 ... a2n ?T
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? 辛构造就是非简并的闭 2-形式。
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Euclid空间
符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。
? 对称性：?a,b?? ?b,a? ? 线性： ?a, kb ?? k ?a,b ? （ k 为任意实数）
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内容
? 冯康对世界科学的重大贡献 ? Euclid空间 ? 辛空间 ? Hamilton力学的辛结构 ? 正则变换的辛结构 ? 辛算法应用实例
1
? Schr?dinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基 石。”
? Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。
? 现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程 作正确的数值计算。
对称变换 ?a, A b ?? ?b,A a ?
实对称矩阵的本征值均为实数
实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 一基
辛空间
内积 a, b ——面积
单位辛矩阵 J
辛正交 a,b ? aT Jb ? 0
共轭辛正交归一基
辛正交矩阵 ST JS ? J
Hamilton变换 ?a,H b ?? ?b,H a ?
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函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”
(1998年3月11 日《中国科学报》)
2
“冯氏大定理”
? 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
? 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
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然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。 7
辛空间（Simplectic Space ）
具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。
? 反对称性：a,b ? ? b,a ? 双线性： a1 ? a2,b ? a1,b ? a2,b
a,b1 ? b2 ? a,b1 ? a,b2
? 1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。 （1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。
直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自 然科学一等奖。 ） 石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
4
数学地位
线 线对多张张 流 性 性偶重量量 形 空 泛空线空分 理 间 函间性间析 论
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单位辛矩阵 J 2n 的性质
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证明：
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? 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
3
冯康（1920－1993）的学术成就
? 1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术 界承认冯康独立发展了有限元方法。
（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾 打算将申请撤回。） 前国际数学会理事长J. –L. Lions教授1981年说：“中国 学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是 最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”