Hamilton力学的辛算法
Hamilton系统辛算法的Nekhoroshev稳定性分析
所决定 的离 散轨 道是 否能够 提供 正确 的定性 行 为 。 笔 者根 据 Ｈ ｍ ｌ ｎ系统 的扰动理 论 ， ａ ｉｏ ｔ 给出 了在
性。
关键词 ：Ｈ ｍｌ ｎ系统 ；辛算法 ；Ｎ ｋ ｏｏｈｖ 定性 ａ ｉｏ ｔ ｅ ｈｒｓｅ 稳
中图分类号 ：Ｏ ４ ２１
文献标识码 ：Ａ
Ｎｅ ｈｏ ｏ ｈｅ ｔ ｂｉｉｙ ｏ ｙ ｐ ｅ ｔｃ Ｍ ｅ ｈ ｄｓｆ ｒ Ｈ ａ ｉ ｏ ｉ ｎ Ｓ ｓｅ ｓ ｋ ｒ ｓ ｖ Ｓ ａ ｌ ｆＳ ｍ ｌｃ ｉ ｔ ｏ ｏ ｍ ｌ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ ｔ ｔ
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第２ ０卷第 ３ 期 ２０ ０ ８年 ６月
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械
工
程
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学
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Ｖ０． ０ Ｎｏ ３ １２ ．
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｒ ｎ ｎ ｅ Ｅｎ ｉ ｅ ｒｎ ｏ ｌｇ ｏ ｒ ａ ｆＯ ｄ ａ ｃ ｇｎ ｅｉ ｇ Ｃ ｌ ｅ ｅ
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Ａｂｓｒ ｃ ：ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ｗｅｓｕ ｙ ｔ ｅ Ｎｅ ｈ ｒ ｓ ｖ ｓａ ｉｉｙｏ ｙ ｌｃｉ ｔ ｄ ｏ ｍｉ ｎ ａ ｙ ｔ ｍ． ｔ ａ ｔ Ｉ ｈ ｓｐ ｐ ｒ， ｔ ｄ ｈ ｋ ｏ ｏ ｈｅ ｔｂ ｌｔ ｆｓ ｍｐ ｅ ｔｃ ｍｅｈｏ ｓｆ ｒＨａ ｈｏ ｉ ｎ ｓ ｓｅ Ｂｙ ｔ ｅ ｔ ｅ ｒ ｆｔ ｅ ｉ ｃｕ ｉ ｎ ｏ ｎ ｌｔｃ ｓ ｍｐｌｃｉ ｐ ｎ Ｈａ ｈ ｎ ａ ｏ ｈ ｈ ｏ ｙ ｏ ｈ ｎ ｌ ｓｏ ｆａ ａ ｙｉ ｙ ｅ ｔｃ ｍａ ｓｉ ｍｉ ｏ ｉ ｎ ｆ ｗｓ， ｂ ａ ｎ ｔ ｅ ｉ ｃｕ ｉｎ ｏ ｌ ｗｅ ｏ ｔ ｉ ｈ ｎ ｌ ｓｏ ｆ ｓ ｍｐ ｅ ｔｃ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ｉ ｍｉ ｎ ａ ｏ ． ｕ ｔ ｒ ｒ ｎｄ ｐ ｏ ｅ ｔ ｋ ｏ ｏ ｈｅ ｈ ｏ ｅ ｆｒｓ ｍｐ ｅ — ｙ ｌ ｃｉ ｌｏ ｉｈ ｎ Ｈａ ｈｏ ｉｎ ｆ ｗｓ Ｆ ｒｈｅ ｍｏ ｅ ａ ｒ ｖ ｈｅ Ｎｅ ｈ ｒ ｓ ｖ ｔ ｅ ｒ ｍ ｙ ｌｃ ｌ ｏ ｔｃ ａ ｇ ｒｔ ｍｓ ａ ｐｉ ｄ ｔ ｏ ｖ ｘ Ｈａ ｈｏ ｉｎ ｓ ｓｅ ． ｉ ｌｏ ｉｈ ｐ ｌ ｏ ｃ ｎ ｅ ｍｉ ｎ ａ ｙ ｔ ｍｓ ｅ
Hamilton体系的辛算法
可以看 出 Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｅ内积 （ Ｚ ， 由两部分组成 ， 实部 是 Ｒ
中欧式 内积， 虚部可 以看成是 Ｒ 中两 个 向量 ｘ ＝ （ ｘ ， ｘ ： ， …… Ｘ § ， ∈ ： ， …， 与 ｙ ＝ （ ｙ ， Ｙ ｚ ， …， Ｙ ｎ ， 。 ， ： ， …， 的一 种新 的“ 内积 ” ， 我 们称这种 内积为辛内积｝ ｌ １ ． 定义 １ 设 ｗ 是实数域 Ｒ上的一个 ２ ｎ维相空间， 对 ｗ 中的任意两个 向量 ， Ｂ依一定法则对应着一个实数， 这个数
二
ｍ ｉ ｔ ｅ 内 积（ Ｚ ， Ｗ ） ＝ ∑ｚ ｋ Ｗ — ｋ ＝ ∑（ ｘ ｋ ＋ ｉ （ ｙ 一 ｉ Ｔ １ ｋ ） ： ∑（ Ｘ ｋ ｙ ｋ ＋ ｋ ） 一 ｉ
ｋ＝１ ｋ＝ｌ ｋ＝１
（ ｘ ｒｙ 高ｊ ．
ｋ＝ｌ
动 方 程 写 为 粤 ｍ 一 ： ０ ， 它 被 称 为 经 典 力 学 的 变 分 形 式 ａ ｑ
Ｖ０ １ ． ２ ９Ｎｏ ． ６
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ３
Ｈ ａ ｍ ｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系的辛算法
王颜 超 ， 邓 亚 莉
（ 内蒙古 大学 ， 内蒙古
摘
比Ｎ－
呼和 浩特
０ １ ０ ０ ２ １ ）
要 ：本文介 绍 了辛空间的基本理论， 通过构造辛算法得到 Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ方程 的数值解 ， 并与分 离变量 法得到的解进行 了
关键词 ：Ｈａ ｍｉ ｌ ｔ ｏ ｎ 体 系； 辛算法； 辛空间 中图分类号 ： ０ ２ ４ １ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ ６ ０ Ｘ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６ — ０ ０ ０ ６ — ０ ３
总能量守恒与辛几何算法 3 - 大气科学和地球流体力学数值
0. 4999984729997765
30
7618457506323. 46
175248645. 4323476
0. 4999986031557488
40
7618457506323. 48
175248645. 4323485
0. 4999988702854861
50
7618457506323. 46
9F 9t
=
～
J
δH s δF
.
(16)
～
～
～
～
～
可以证明在逐时线性化情况下算子 J
s
是反对称的
,即有
J
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=
J
T s
= J s ;利用 (16) 式及 J s
L
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～
J=
3
L
1 aco
sθΦco
sθ
9. 9θ
,
(3)
1 9Φ . 1 9Φcosθ . acosθ 9λ acosθ 9θ
0
则 (2) 式可写为
9F 9t
～
+J
F
=
0
.
(4)
可以证明如下结论 :
～
～
算子 J 是局地反对称的 ,即有 (J F , F) = 0 ,从而方程 (3) 满足总能量守恒.
(中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室 ,北京 100029) (2002 年 1 月 8 日收稿 ;2002 年 3 月 22 日收修改稿)
摘 要 以正压大气原始方程为例子 ,以总能量守恒为主线 ,介绍动力保守系统两类重要算法 ———总能量守恒算法和辛几何算法 ,讨论了两者之间的关系 ,并给出具体的算例 ,说明两类算法 的有效性. 关键词 大气海洋方程 ,保守系统 ,总能量守恒 ,Hamilton 系统 ,辛格式 中图分类号 P433
哈密尔顿系统的辛几何算法
哈密尔顿系统的辛几何算法哈密尔顿系统是一类具有特殊的物理意义的动力系统，其在物理学、力学、动力学和计算力学等领域有着广泛应用。
哈密尔顿系统通常具有一组关于位置和动量的相变量，其演化满足哈密尔顿方程。
由于哈密尔顿系统具有良好的保持量和结构稳定性，因此在数值模拟中的算法设计尤其重要。
辛几何算法是一类特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，常常用于哈密尔顿系统的数值积分。
辛几何算法最早由李约瑟于 1988 年提出，其不仅能够在数值计算中保持相变量的守恒，还能够在哈密尔顿系统的长期演化中保持辛结构稳定性。
辛几何算法主要由两个部分组成，即辛映射和辛算子。
辛映射指的是从一个相变量向下一个相变量的映射，它通常满足“保相量”和辛结构不变性的特点。
保相量指的是相变量在变化过程中的守恒，而辛结构不变性则指的是哈密尔顿系统在演化过程中的辛不变性。
而辛算子则是这个辛映射的数值逼近，常常采用辛波发方法、显式和隐式辛算法等方法。
在演化哈密尔顿系统时，辛几何算法通常采用显式辛算法进行数值模拟。
显式辛算法的主要思路是采用辛映射和辛算子的组合，来实现对哈密尔顿系统的数值模拟。
在模拟过程中，辛几何算法需要保证每一步的演化都是辛的，这样系统才能保持哈密尔顿量以及其他相变量不变。
因此，辛几何算法在数值模拟中的应用非常广泛。
然而，辛几何算法的实现却比较困难。
在数值模拟时，辛几何算法需要考虑一系列问题，如相变量的数值守恒、哈密尔顿量的捕获和重构、快速演化、长时间演化、难以计算的高维效应等等。
这些问题都需要采用一些特殊的技巧和策略来解决。
总的来说，辛几何算法是一种特殊的数值演化方法，其以保持哈密尔顿系统相变量守恒和辛结构稳定性为目标，在计算力学、物理学、动力学等领域有着广泛应用。
Hamilton力学的辛算法
(1998年3月11日《中国科学报》)
1
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“冯氏大定理”
• 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
• 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
• 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
2
2
p H q
q
1 2
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Tp
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1 2
p
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Tp
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差分
q
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1
h
pm1 pm
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2
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3 2
qm1 2
Tpm1
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3 2
pm
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1
2
hVq m 1 2
泛 函
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
4
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外微分 辛几何
• 辛几何的基础是外微分形式。 • 外微分形式是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3、面积或体积—平行四边形面积
或平行六面体体积。
• 外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 Hamilton矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛
辛算法研究——精选推荐
辛算法研究冯康教授于1984年提出Hamilton系统的辛几何算法，首次将保持Hamilton 系统几何结构的思想引入数值分析，随后引来了国内外在这方面的极大兴趣。
冯康教授开辟了一个新的研究领域，并在近十年的时间里带领他的研究小组在辛几何算法等保结构算法及其在数值分析中的应用等方面进行了广泛深入的研究，取得了丰硕的成果。
现在人们已越来越意识到保结构算法的重要性，事实上保结构算法已在很多领域包括天体力学，量子化学，非线性波，不可压流体，大气物理和地物勘探数据处理等，找到很好的应用。
另一方面，在这些领域中的应用反过来又必将促进辛几何算法等保结构算法本身的不断完善何不断发展。
大量数值实验结果已证明，较之传统算法，保结构算法对保结构动力系统的计算具有令人信服的优势。
在辛几何算法理论方面，仍有一些悬而未决的难点问题和最新提出的一些重点问题有待解决；另一方面，在辛算法的基础上，现在国际上又兴起了专门解保守型偏微分方程的多辛算法。
孤立子波动方程是广泛应用于物理领域的非常重要的守恒型偏微分方程，对其复杂孤立子波的数值模拟二十多年来一直是国际上一个热门课题，数值结果已经显示辛算法，多辛算法的优势和可行性，但至尽仍然存在许多有待解决的问题。
我们主要研究的是多辛算法，现阶段的研究水平已完全与国际科研水平持平，并保持同步发展。
我们把多辛几何算法应用到孤子方程中去，数值研究表明多辛算法和常微分方程情形一样具有长期跟踪能力, 不会带来人为污染, 能正确反应孤子碰撞问题.我们发表在Phys.A Mathematical gen(2000), 33:18, 3613--3626上的论文给出了一个三层12点格式. 此文发表后不久, 两美国学者Schultz M ,Trimper S 在此刊同卷41期上发表论文:“动力运动产生孤子”, 文中称我们的方法是著名的方法。
李群算法是最近才发展起来的一种很有发展前途的数值算法。
它用来求解齐次流形上的常微分方程，使得所求的数值解仍在同一流形上李群算法是冯康先生辛几何算法的拓扩，把保几何结构的思想推广到一般李群上。
辛算法在电磁计算中的应用
辛算法在电磁计算中的应用摘要近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。
Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。
一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。
辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。
本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。
接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。
最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。
关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程一．引言电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。
计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。
因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。
早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。
简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。
计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。
纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。
以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的方法进行处理，即在几种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。
哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质
哈密尔顿系统有限元的守恒性和辛性质哈密尔顿系统是最重要的动力系统。
冯康院士曾指出，一切真实的无耗散的物理过程都可表示为这样或那样的Hamilton形式，它们都是常微分或偏微分方程组。
Hamilton系统有两个最重要的特性：守恒性和辛结构。
在数值计算中能否保持这些特性具有重要意义。
1983年冯康研究此问题，他惊讶地发现，此前这里竟是一片空白，许多经典的算法都不适应，计算几万步后有时已面目全非。
他1984年首创性提出辛差分算法，并作了深入系统的研究，开辟了一大片研究新领域。
以后国内外许多学者作了多方面推广和广泛应用。
冯康的这项首创工作得到了国际一致公认。
但是任何离散算法，一般不可能同时保辛又保能量（Ge-Masden定理）。
辛差分算法很好地保辛，但只在格式精度意义下保能量。
而许多学者认为，有时保能量更重要。
因此我们转向有限元法，却发现至今有关研究极少。
而我们的研究表明，有限元总是保能量的，对线性系统也是辛的，对非线性系统是高精度保辛的，而且长时间计算稳定且精度高，效果非常好。
这些结论已刻划了有限元的基本特征。
因此有限元法是与辛差分算法完全不同的另一种算法，从另一方面弥补了辛差分算法的不足。
本研究是对辛算法的一次重要推进。
本文主要创新点如下：（1）．首次系统深入研究任意m次有限元解非线性Hamilton系统，证明了在任何节点上能量总是守恒的，因此在相平面上轨道总是稳定的。
并首次提出用超收敛分析方法研究有限元的辛性质；（2）．对线性Hamilton系统的任意m次有限元，得到了一个深刻的高阶超收敛O(h<sup>2m+1</sup>)新估计，首次证明m次有限元的节点值是2m阶对角Páde 逼近，因而是辛格式。
此结果与冯康等研究的辛差分格式结论一致；（3）．对非线性Hamilton系统的任意m次有限元法，构造了新的辅助问题，并得到误差估计和负范数估计，首次证明m次有限元对每一次步进是高精度O(h<sup>2m+1</sup>)意义下近似保辛的。
弹性杆Hamilton方程的四元数表示及其辛算法
＊ 收稿 日期 ：２ １ １０ ０ １１—３
基 金 项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 项 目资 助 ， 号 １０ ２ ２ 编 １ ７ ｌＯ
作 者 简 介 ： 茂 盛 （ ９ ６） 男 ， 东人 ， 士 研 究 生 ， 究 方 向为 微 分 ／ 数 方 程 数值 解 。 姜 １８～， 山 硕 研 代
第２ 卷 第 １ ５ 期
２０１２年 ２月
青 岛 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＱＩ ＮＧＤＡＯ ＵＮＩ ＶＥＲＳ ＴＹ （ ｔｒ ｌＳ ｉｎ ｅＥｄ ｔ ｎ Ｉ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｉｉ ） ｏ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ １ １２ ．
Ｆｅ ． ２ ０ ２ ｂ １
文 章 编 号 ： ０ ６ ０ ７ ２ １ ） １—０ ２ —０ １ ０ 一ｉ ３ （ ０ ２ ０ ０３ ７
ｄ ｉ１． ９９ ｊｉ ｎ １０ ｏ ： ０ ３ ６ ／ ．ｓ ． ０ ６—１ ３ ． Ｏ ２ ０ ． ０ ｓ ０７２１．２０７
弹性杆 Ｈａ ｌ ｎ方程的 四元数表示及其辛算法 ｍｉｏ ｔ
表 面 曲线 可看 作一 条 刚性封 闭 的平 面曲线 点集 ｘ。 沿着 空 间曲线 ｒ ｓ平移 和旋 转得 到 。设 Ｐ ｘ ｚ是 建立 在 （） －ｙ 弹性 杆 刚性 截面 上 的主轴 坐标 系 ， ｄ ｄ ， 和 ｄ 是 其基 向量 。其 中 ｄ 是 ｒ 的单 位 切 向量 ， 。 。 （） 同时 ｄ ， 。 于 ｄ 位
做 了大量 的研 究工 作 。关 于弹性 杆力 学 ， 国内有很 多学 者进 行 了研究 。刘 延柱 在 。 对非线 性力 学做 了很 多
研究 ； 黄健 飞 ， 赵维加 ， 景礼 口 等 研究 了 弹性杆 力学 的对 称 问题 ； 延 柱 ， 纭 用 比拟 的方 法研 究 了弹 傅 “ 刘 薛
微观哈密顿系统的辛算法及其应用_沈阳
p2
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H 2 q
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H 2 q
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H1 p
pn1
.
辛格式（二）
H ( p, q,t) H1( p,t) H2 (q,t) n-stage nth-order explicit symplectic scheme
Multi-symplectic Hamiltonian systems:
Local conservation laws
Mzt Kzx z S (z), where M and K are skew-symmetric matrices. t(U ,V ) x (U ,V ) 0, (Multi-symplecticity) where (U ,V ) U T M TV , (U ,V ) U T K TV , and U (x,t),V (x,t) are solutions of the variational equation Mdzt Kdzx DzzS (z)dz.
已有成果： 变分方法， 具体方程的多辛 结构和Preissman格式，多 辛结构的存在和给出，波方 程的Gauss-legendre 方法。 有限元方法的保结构性质； 波方程Preissman格式的后 误差分析，数值证明。 存在问题： 算法分析(稳定性、收敛性)， 构造，一般方程的显式格式， 广泛的数值例子。
指导思想: 离散方法尽可 能保持原问题的结构
(罗明秋2001)地震波传播的哈密顿表述及辛几何算法
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若给定初始波场 Z (0) ,则任意时刻 t 的波场 Z ( t) 由方程 (7) 可得
Z ( t) = ( tB) Z (0) .
(8)
可以证明单参数变换群 exp ( tB) 是连续的辛变换群.
在相空间表述下 ,该系统的哈密顿量为
H ( Z) = ( Z′A Z) / 2 , A′= A , A = J B = 1 0
连续函数 v 和 u 分别用 m 个离散点表示 ,相点 Z 可以用 2 m 维列矩阵表示
Z = ( v1 , v2 , …, v m , u1 , u2 , …, u m ) ′.
Δ
不管采用何种的离散方式 ,算子 V 2 2 总可以用一个 m 阶的方阵 M 表示. 相应地 , 矩阵
B 可以表示成一个 2 m 阶的方阵. 若采用与前面相同的时间离散 ,方程 (8) 化为
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122
地 球 物 理 学 报 44 卷
点的状态可以用下列变换表示
地震波传播过程 ,本质上是能量在地球介质中的传播 ,其能量在传播过程中逐步损耗 直至殆尽的过程. 但是 ,在实际应用中 ,一旦把地震波传播用弹性波动方程或标量波动方 程描述时 ,都采用了无能量损耗的假设. 因此 ,若在哈密顿体系下描述地震波 ,在无能量 损耗的条件下 ,弹性波动方程和标量波动方程描述的地震波传播过程实质上为一个单参 数的辛变换. 因而 ,数值计算时应采用辛算法.
哈密尔顿系统中的电磁理论
20世纪量子力学的创始人之一 Schrodinger曾说“哈密尔顿原理已成为 现代物理的基石 … 如果你要用现代理论 解决任何物理问题，首选得把它表示为哈 密尔顿形式”. 哈密尔顿系统是描述各种守恒的物理和力 学过程的三种基本形式之一. 是一类具有 特殊几何结构的常微分方程或偏微分方程。 系统的几何结构—辛结构—是该系统的数 学基础
其中q是广义坐标，p是广义动量，H是Hamilton函数H(q,p),即Hamilton能量
函数
Hamilton函数 函数 Hamilton函数表示系统的总能量 H＝T＋V 这里T为动能而V为势能 （注意到Lagrange函数为L＝T－V）（见 Jin Au Kong 电磁波理论）
Hamilton 系统的基本特性
(3)反对称 反对称： 反对称
我们称（V，ω）y 为辛空间， ω为辛结构
辛流形(manifold),流形M上的一个非退化的闭微分2－形式ω称为M上 的一个辛结构。则(M, ω)称为辛流形
[流形（Manifold），是局部具有欧氏空间性质的空间。 ] 定义1 一个R2n→R2n中线性变换S称它为辛的，如果它保辛内积满足下式： 定义
(4) (x,y) 表示长度 (ei,ej)=δij
e1=(1,0,…...0) e2=(0,1,0…0) en=(0,0 ..…1)
辛几何的基本概念
辛几何是微分拓扑/几何的一个分枝。它研究的是辛流形（manifold） 辛空间：设V是定义在实域R上的向量空间，在VXV上定义一个双线性ω， 我们称它为辛的，如果满足下列性质： (1)非退化 非退化 x ∈ V . ω ( x, y ) = 0 y ∈ V x=0 (St. 满足) st (2)双线性
T f
= e tf ，i s t h e I n t e g r a l c u r v e J JJ
哈密尔顿偏微分方程的多辛算法
哈密尔顿偏微分方程的多辛算法
本文主要研究了哈密尔顿(Hamilton)偏微分方程的多辛算法。
文中首先介绍了辛算法在求解Hamilton系统中的重要性,随后详细阐叙了Hamilton系统的发展历史和辛算法的发展历史与现状,并简单的介绍了本文所进行的工作。
其次,介绍了Hamilton系统的一些基本概念与保持Hamilton系统辛结构的辛算法即辛Runge-Kutta(RK)方法以及相关的辛方法,并给出了稳定性分析常用到的方法—变量分离法以及一些判断稳定性的常用定理。
而后,在前面介绍的知识基础上对膜自由振动方程应用多辛的Runge-Kutta-Nystr?m(RKN)方法。
首先提出了膜自由振动方程的一个多辛形式,进而构造多辛的RKN格式并证明了该格式满足离散的多辛守恒律;为了便于数值实验随后构造了一个显式辛格式并且给出这个显式格式是稳定的一个充分条件,通过数值实验说明多辛的RKN 方法不仅对解有长时间的模拟而且能够保持一些重要的物理守恒量。
最后,讨论了非线性Boussinesq方程忽略它的非线性部分的多辛RKN方法。
先给出了方程的一个多辛形式,接着构造了多辛的RKN格式与相应的离散多辛守恒律,为了数值模拟给出了一个显式的辛RKN格式进而给出格式为稳定的一个充分条件,最后用数值实验说明了辛算法离散方程的优越性。
mindlin板动力学问题的hamilton体系及其辛解法
mindlin板动力学问题的hamilton体系及其辛解法Mindlin板动力学问题的Hamilton体系及其辛解法一、简介Mindlin板动力学问题是由Richard Mindlin在1943年提出的，它是一个复杂的动力学问题，是一种多物理量耦合的动力学系统，主要涉及到板的弯曲和剪切，以及应力、应变和位移。
Mindlin板动力学问题中，Hamilton体系是一种可以描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它通过求解相关的动力学方程将板的应力，应变和位移联系起来，从而帮助我们更好的理解板的动力学行为。
二、Mindlin板动力学问题的Hamilton体系1、定义 Mindlin板动力学问题的Hamilton体系是一种用于描述Mindlin板动力学问题的数学模型，它由一系列相关的动力学方程组组成。
其中，包括有：板上每一点的位移方程、板上每一点的力对位移的响应方程、板上每一点的应力和应变之间的关系方程以及板上每一点的力和力矩之间的关系方程等。
2、位移方程位移方程是描述板动力学问题的基本方程，它表示板上每一点的位移u，在时间t上的变化状态，即∂u/∂t=v，其中v是板上每一点的速度，由于板的位移受到板的自重和外界力的影响，因此可以得到：∂v/∂t=-g-f (1)其中，g表示板的自重，f表示外界力。
3、力对位移的响应方程力对位移的响应方程描述的是板上每一点的力对位移的反作用，即力f对位移u的响应，从而使位移随时间发生变化。
对于Mindlin板，由于板的弯曲和剪切都会对位移产生影响，因此可以得到：f=Kuu+Kuv (2)其中，Kuu表示板的弯曲，Kuv表示板的剪切，Kuu和Kuv分别是板的弯曲和剪切系数。
4、应力和应变之间的关系方程应力和应变之间的关系方程描述的是板上每一点的应力σ和应变ε之间的关系，即σ=Eε，其中E是板的杨氏模量。
5、力和力矩之间的关系方程力和力矩之间的关系方程描述的是板上每一点的力f和力矩τ之间的关系，即τ=Gf，其中G是板的刚度矩阵。
薄板问题的Hamilton体系和辛几何方法
薄板问题的Hamilton体系和辛几何方法
邹贵平
【期刊名称】《应用基础与工程科学学报》
【年(卷),期】1996(0)4
【摘要】本文通过薄板问题混合能变分原理，选用状态变量及其对偶变量，导出了一般的Ｈａｍｉｌｔｏｎ型广义变分原理和Ｈａｍｉｌｔｏｎ正则方程，这样就突破了欧几里德空间的限制，在Ｈａｍｉｌｔｏｎ力学的数学框架辛几何空间中，对全状态相变量进行分离变量，并采用共轭辛正交归一关系，给出任意支承条件下薄板问题的辛精确解．
【总页数】9页(P335-343)
【关键词】Hamilton体系;辛几何;正则方程;弹性薄板
【作者】邹贵平
【作者单位】同济大学工程力学与技术科学系
【正文语种】中文
【中图分类】O343
【相关文献】
1.复合材料力学的Hamilton体系和辛几何方法(Ⅰ)——一般原理 [J], 钟万勰;欧阳华江
2.复合材料力学的Hamilton体系和辛几何方法(Ⅱ)——平面问题 [J], 钟万勰;欧阳华江
3.反对称铺设层合板动力问题的Hamilton体系及辛几何解法 [J], 邹贵平
4.复合材料力学的Hamilton体系和辛几何方法(Ⅲ)——弯曲问题和板的振动 [J], 欧阳华江;钟万勰
5.考虑剪切效应层合板的Hamilton体系及辛几何方法 [J], 邹贵平
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哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法
哈密尔顿矩阵特征谱问题的辛算法
丁克伟
【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2000(023)003
【摘要】文章基于前人的工作,在哈密尔顿矩阵约化过程中,采用了辛相似变换,使得哈密尔顿矩阵在辛相似变换下仍保持Hamilton结构,这样从根本上确保了特征值的正确性和稳定性,也能保证特征值成对出现且在每个半平面上都只求得n个特征值,不至于出现特征值在小扰动下跨过虚轴的混乱局面.
【总页数】5页(P336-340)
【作者】丁克伟
【作者单位】大连理工大学,工程力学系,辽宁,大连,116023
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.测试Hamiltonian矩阵结构问题的辛算法 [J], 丁克伟
panion矩阵的伪谱问题 [J], 张敏王正盛徐贵力;
3.Hamiltonian矩阵平方约化求解特征问题的辛算法 [J], 丁克伟
4.哈密尔顿偏微分方程多辛算法 [J], 王雨顺;洪佳林
5.Hamiltonian矩阵特征谱问题的辛算法 [J], 丁克伟
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《2024年辛对称Hamilton算子的可逆性与Fredholm性》范文
《辛对称Hamilton算子的可逆性与Fredholm性》篇一一、引言在数学物理和偏微分方程的研究中，Hamilton算子扮演着重要的角色。
其不仅在经典力学中有着广泛的应用，也在量子力学、光学和电磁学等领域中发挥着关键作用。
辛对称Hamilton算子作为Hamilton算子的一种特殊形式，其可逆性和Fredholm性更是研究的热点。
本文旨在探讨辛对称Hamilton算子的可逆性与Fredholm性，为相关领域的研究提供理论支持。
二、辛对称Hamilton算子的定义与性质辛对称Hamilton算子是一种特殊的偏微分算子，具有辛对称性质。
其定义涉及复数域上的函数空间及相应的偏导数运算。
该算子具有自伴性、正定性等基本性质，这些性质使得辛对称Hamilton算子在物理和工程领域具有广泛的应用。
三、可逆性的研究可逆性是算子理论中的一个基本概念，对于辛对称Hamilton 算子而言，其可逆性与其定义域、值域及算子的其他性质密切相关。
本文将从定义域和值域的角度出发，探讨辛对称Hamilton算子的可逆性条件。
通过严密的数学推导，得出辛对称Hamilton算子可逆的充分必要条件。
四、Fredholm性的研究Fredholm性是算子理论中的另一个重要概念，与算子的谱结构、本征值及本征函数等密切相关。
本文将研究辛对称Hamilton 算子的Fredholm性质，包括其Fredholm指标的计算及性质。
通过分析算子的谱结构，得出辛对称Hamilton算子为Fredholm算子的条件。
五、数值分析与实例验证为了验证理论的正确性，本文将通过数值分析的方法，对辛对称Hamilton算子的可逆性和Fredholm性进行实例验证。
通过对比理论计算结果与实际数值结果，验证了本文所提出理论的正确性和有效性。
六、结论本文通过对辛对称Hamilton算子的可逆性和Fredholm性的研究，得出以下结论：1. 辛对称Hamilton算子的可逆性与其定义域、值域及算子的其他性质密切相关。
《2024年辛对称Hamilton算子的可逆性与Fredholm性》范文
《辛对称Hamilton算子的可逆性与Fredholm性》篇一一、引言在数学物理和偏微分方程的研究中，Hamilton算子扮演着重要的角色。
它以其特殊的对称性质和几何结构在多种物理现象的数学建模中广泛应用。
尤其地，辛对称Hamilton算子由于其独特的可逆性和Fredholm性质，成为了当前研究的热点。
本文旨在深入探讨辛对称Hamilton算子的可逆性和Fredholm性，以期为相关领域的研究提供理论支持。
二、辛对称Hamilton算子的基本概念辛对称Hamilton算子是一类具有辛对称性质的偏微分算子，它在量子力学、光学、电磁学等领域有着广泛的应用。
该算子具有特殊的辛结构，其系数满足一定的对称性条件。
这种对称性使得算子在处理某些问题时具有独特的优势。
三、可逆性的研究可逆性是算子理论中的一个重要概念，它描述了算子在某种意义下的“反演”性质。
对于辛对称Hamilton算子，其可逆性与其系数、域和值域的特定关系密切相关。
本文将通过一系列定理和推导，证明辛对称Hamilton算子的可逆性条件，并探讨其与算子系数、域和值域之间的关系。
四、Fredholm性的研究Fredholm性是描述算子在某种空间上具有有限维核和余核的属性。
对于辛对称Hamilton算子，其Fredholm性质与其辛结构、边界条件和域的紧性密切相关。
本文将详细分析辛对称Hamilton 算子的Fredholm性质，并探讨其在偏微分方程、量子力学等领域的应用。
五、辛对称Hamilton算子的应用辛对称Hamilton算子在数学物理和偏微分方程的研究中有着广泛的应用。
例如，在量子力学中，它被用来描述粒子的运动轨迹；在光学和电磁学中，它被用来描述光波和电磁场的传播。
通过分析辛对称Hamilton算子的可逆性和Fredholm性，我们可以更好地理解这些应用领域的数学模型，并为相关问题的解决提供理论支持。
六、结论本文通过深入分析辛对称Hamilton算子的可逆性和Fredholm 性，探讨了该类算子的性质和特点。
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然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。 7
辛空间（Simplectic Space ）
具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。
? 反对称性：a,b ? ? b,a ? 双线性： a1 ? a2,b ? a1,b ? a2,b
a,b1 ? b2 ? a,b1 ? a,b2
泛 函
现代微分几何 规范场理论 微分拓扑 辛几何
......
5
外微分 ? 辛几何
? 辛几何的基础是外微分形式 。 ? 外微分形式 是如下概念推广到高维的产物：
1、作功—在场中沿某一路径所作的功； 2、流量—单位时间内流体穿过某曲面的量 3 、面积 或体积 —平行四边形面积
或平行六面体体积。
? 外微分形式 中有“1-形式”、“ 2-形式”等
? 非简并性：若向量a对于W中的任意向量 b均
有 a,b ? 0 ，则 a ? 0
8
辛空间
? 度量：作功、面积（或体积）、流量等
? 辛内积：
2维： a,b ? a1 a2
b1 b2
a、b平行四边形面积
2n维：a ? ?a1 a2 ... a2n ?T
b ? ?b1 b2 ... b2n ?T
?0 单位辛矩阵 ：J 2n ? ???1n
1n ?
0
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n
? a,b ? ?a, J 2nb ?? ? ? aibn?i ? an?ibi i?1
a,b
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aT J
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2
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a
T 2
? ? ? a
T 1
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? ? ?
?
a
T 1
b
内容
? 冯康对世界科学的重大贡献 ? Euclid空间 ? 辛空间 ? Hamilton力学的辛结构 ? 正则变换的辛结构 ? 辛算法应用实例
1
? Schr?dinger：“Hamilton原理已经成为现代物理学的基 石。”
? Hamilton原理将不同的物理规律纳入了统一的数学形式。
? 现在问题就归结到：怎样才能对Hamilton力学的运动方程 作正确的数值计算。
qi
?
?H ? pi
,
pi
?
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?
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p1
...
p f q1
...
qf
T
??
T
?H ??H ?H ?
?z
? 辛构造就是非简并的闭 2-形式。
6
Euclid空间
符合如下内积定义的线性空间V称为“Euclid空间”。
? 对称性：?a,b?? ?b,a? ? 线性： ?a, kb ?? k ?a,b ? （ k 为任意实数）
?a ? c,b ?? ?a,b ?? ?c,b ?（ c是V中的任意向量） ? 非简并性：?a,a ?? 0 ，当且仅当 a ? 0 时才
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1n ? ? 0
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? 12n
▌
10
Euclid空间和辛空间的对应关系
Euclid 空间
内积 ?a,b?——长度
单位矩阵 1
? ? 正交 ?a, b ?? aTb ? aT 1b ? 0
正交归一基
? ? 正交矩阵 CT C ? CT 1C ? 1
陈省身教授在示性类方面的工作，一个是华罗庚在多复变
函数方面的工作，一个是冯康在有限元计算方面的工作。”
(1998年3月11 日《中国科学报》)
2
“冯氏大定理”
? 同一物理定律的不同的数学表述，尽管在物理上 是等价的；但在计算上是不等价的。
? 冯康：如果在算法中能够保持辛几何的对称性， 将可避免人为耗散性这类算法的缺陷，成为具有 高保真性的算法。
? 1984年以后创建的“哈密尔顿系统的辛几何算法”。 （1991年评为国家自然科学奖二等奖。冯康获悉后撤回申请。
直到1997年底，在冯康去世四年之后，终于授予了国家自 然科学一等奖。 ） 石钟慈：“国际上最早系统地研究并建立辛几何算法的。”
4
数学地位
线 线对多张张 流 性 性偶重量量 形 空 泛空线空分 理 间 函间性间析 论
? 在天体力学的轨道计算，粒子加速器中的轨道计 算和分子动力学计算中得到广泛的应用。
3
冯康（1920－1993）的学术成就
? 1965年发表论文“基于变分原理的差分格式”。国际学术 界承认冯康独立发展了有限元方法。
（仅获1982年国家自然科学二等奖。冯康得悉非常难过，曾 打算将申请撤回。） 前国际数学会理事长J. –L. Lions教授1981年说：“中国 学者在对外隔绝的环境下独立创造了有限元，在世界上是 最早之列。今天这一贡献已为全人类所共享。”
对称变换 ?a, A b ?? ?b,A a ?
实对称矩阵的本征值均为实数
实对称矩阵的不同本征值的本征向量必正交
实对称矩阵的所有本征向量组成一组正交归 一基
辛空间
内积 a, b ——面积
单位辛矩阵 J
辛正交 a,b ? aT Jb ? 0
共轭辛正交归一基
辛正交矩阵 ST JS ? J
Hamilton变换 ?a,H b ?? ?b,H a ?
若Hamilton矩阵的本征值为? ，则 ? ?
也是它的本征值 Hamilton 矩阵的非辛共轭本征值的本征向量必
辛正交
Hamilton 矩阵的所有本征向量组成一组共轭辛 正交归一基
11
Hamilton力学的辛结构
T
T
q ? ??q1 q2 ... q f ?? p ? ?? p1 p2 ... p f ??
2
?
a
T 2
b
1
?
n i?1
aibn? i ? an? ibi
9
单位辛矩阵 J 2n 的性质
? J2 ? ?1
? J T ? J ?1 ? ? J
? aT Ja ? 0 ? a ? R2n ? 若 A 为对称阵，且 B ? J 2nA ，则 BT J 2n ? J 2nB ? 0
证明：
J
2 2
n
?
? 一切Hamilton体系的动力学演化都使辛度量保持不变，即 都是辛（正则）变换。
? 一切解Hamilton方程 “正确”的离散算法都应当是辛变换 的。 （冯康，1997年国家自然科学一等奖“哈密尔顿系 统辛几何算法” ）
? Lax：“他的声望是国际性的。”
? 丘成桐：“中国…在数学历史上很出名的有三个：一个是