2018 初三中考数学复习菱形专题练习题含答案

矩形、菱形与正方形(解析版)2018年数学全国中考真题-1

2018年数学全国中考真题矩形、菱形与正方形（试题一）解析版一、选择题1. （2018四川内江，11，3）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC＝62°，则∠DFE的度数为（）A．31° B．28° C．62° D．56°【答案】D【思路分析】因为∠DFE＝∠ADB＋∠EBD，要求∠DFE的值，则需分别求∠ADB、∠EBD，而由矩形对边平行，及轴对称的性质可知∠EBD＝∠CBD＝∠ADB，利用∠ADB与∠BDC互余，即可出∠DFE的度数．【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，∵∠BDC＝62°，∴∠ADB＝90°－62°＝28°，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，根据题意可知∠EBD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠EBD＝28°，∴∠DFE＝∠ADB＋∠EBD＝56°．故选择D．【知识点】矩形性质，等腰三角形性质，平行线性质2.（2018山东滨州，7，3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【解析】等腰梯形是一组对边平行，另一组对边相等的四边形，但等腰梯形不是平行四边形，所以A选项是假命题；对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形，对角线互相垂直但不互相平分的四边形不是菱形，所以B选项是假命题；对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线相等但不互相平分的四边形不是矩形，所以C选项是假命题；只有选项D是真命题．【知识点】平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定、正方形的判定3.（2018浙江衢州，第8题，3分）如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E 处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）第8题图A ．112°B ．110°C ．108°D ．106°【答案】D【解析】本题考查了翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质等知识点. 根据折叠前后角相等可知∠DGH=∠EGH ，∵∠AGE=32°,∴∠EGH=74°，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AGH=∠GHC=∠EGH+∠AGE ， ∴∠GHC=106°，故选：D ．【知识点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质、平行线性质；4. （2018甘肃白银，8，3）如图，点E 是正方形ABCD 的边DC 上一点，把△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置。

2018 初三中考数学复习菱形专题练习题含答案

2018 初三中考数学复习菱形专题练习题1. 如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB，BC的中点.若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是( )A.8B.10C.12D.142. 顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )A.梯形B.矩形C.菱形D.正方形3. 菱形和矩形一定都具有的性质是( )A.对角线相等B.对角线互相平分C.对角线互相垂直D.每条对角线平分一组对角4. 菱形的两条对角线长分别为6 cm,8 cm,则它的面积为( )A.6 cm2B.12 cm2C.24 cm2D.48 cm25. 菱形具有而平行四边形不具有的是( )A.内角和为360°B.对角相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直6. 下列条件中，能判定四边形是菱形的是 ( )A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线相等且互相垂直D.两条对角线互相垂直平分7. 菱形ABCD的周长为16 cm，一个内角是30°，则此菱形的面积是( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．2 cm2 D．8 cm28. 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．49. 已知菱形的周长为4 ，两条对角线的和为6，则菱形的面积为( ) A．2 B． C．3 D．410. 下列命题不正确的是( )A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形11. 如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线12. 如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )A．AB=AC B．AD=BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC13. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，从①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD这六个条件中,选取三个推出四边形ABCD是菱形,如①②⑤ ABCD是菱形.(1)________________ ABCD是菱形；(2)________________ ABCD是菱形．14. 如图，菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=4 cm，则菱形的边长为___________．15. 如图18-23-5，菱形ABCD中，AB＝5 cm，BD＝8 cm，则AC＝________，面积是____________．16. 如图，AC是菱形ABCD的对角线，E,F分别是AB,AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是_____________．17. 已知菱形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别是4 cm,8 cm，则它的周长是___________，面积是 ___________.18. 填空：（1）对角线互相平分的四边形是_____________；（2）对角线互相垂直平分的四边形是_________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线_____________的四边形是菱形．19. 在平行四边形ABCD中，AB=5，AC=6，当BD=___________时，四边形ABCD 是菱形.20. 如图， ABCD，添加一个条件使平行四边形为菱形，则添加的条件可以是____________（只写出符合要求的一个即可）.21. 如图，一段楼梯，每级台阶的高度为 m，宽度为0.4m，则A，B两点间相距多远？22. 如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6，求：（1）∠BAD，∠ABC的度数；（2）边AB及对角线AC的长.参考答案：1---12 CCBCD DDCDD CD 13. (1) ①②⑥(2) ③④⑤14. 4cm15. 6cm 24cm216. 2417. 16cm218. (1) 平行四边形(2) 菱形(3) 矩形(4) 互相垂直19. 820. AC⊥BD21. 解：5m.22. 解：（1）∠BAD=60°，∠ABC=120°；（2）AB=6，AC= .。

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习含答案与解析

天津市和平区普通中学2018届初三数学中考复习矩形、菱形和正方形专项复习练习1．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC＝23，∠AEO＝120°，则FC的长度为( )A．1 B．2 C. 2 D. 32．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有( )①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3. 关于▱ABCD的叙述，正确的是( )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形 D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形4. 如图，在菱形ABCD中，过点D做DE⊥AB于点E，做DF⊥BC于点F，连结EF.求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)∠BEF＝∠BFE.5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500 m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100 m，求小聪行走的路程．6. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．7. 如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(2)连结AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．8. 如图，在▱ABCD中，BC＝2AB＝4，点E，F分别是BC，AD的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．9. 已知菱形的周长为45，两条对角线的和为6，求菱形的面积．10. 如图，已知E，F，G，H分别为菱形ABCD四边的中点，AB＝6 cm，∠ABC＝60°.(1)试判断四边形EFGH的类型，并证明你的结论；(2)求四边形EFGH的面积．11. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于H ，交CD 于G.(1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF 的值．12. 已知正方形的对角线AC ，BD 相交于点O .(1)如图1，E ，G 分别是OB ，OC 上的点，CE 与DG 的延长线相交于点F .若DF ⊥CE ，求证：OE ＝OG ；(2)如图2，H 是BC 上的点，过点H 作EH ⊥BC ，交线段OB 于点E ，连结DH ，交CE 于点F ，交OC 于点G .若OE ＝OG .①求证：∠ODG ＝∠OCE ； ②当AB ＝1时，求HC 的长．答案与解析： 1. A 2. B【解析】当▱ABCD 的面积最大时，四边形ABCD 为矩形，得出∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AC ＝BD ，根据勾股定理求出AC ＝32＋42＝5，①正确，②正确，④正确；③不正确；故选B. 3. C4. 解：(1) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠C ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠AED ＝∠CFD ＝90°，∴△ADE ≌△CDF(2) ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CB ，∵△ADE ≌△CDF ，∴AE ＝CF ，∴BE ＝BF ，∴∠BEF ＝∠BFE5. 解：小敏走的路程为AB ＋AG ＋GE ＝1500＋(AG ＋GE)＝3100，则AG ＋GE ＝1600 m ，小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(DE ＋EF)．连结CG ，在正方形ABCD 中，∠ADG ＝∠CDG＝45°，AD ＝CD ，在△ADG 和△CDG 中，∵AD ＝CD ，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ，∴△ADG ≌△CDG ，∴AG ＝CG.又∵GE⊥CD，GF⊥BC，∠BCD ＝90°，∴四边形GECF 是矩形，∴CG ＝EF.又∵∠CDG＝45°，∴DE ＝GE ，∴小聪走的路程为BA ＋AD ＋DE ＋EF ＝3000＋(GE ＋AG)＝3000＋1600＝4600 m6. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC，∴∠ABC ＋∠BAD＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC＝90°，∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴四边形OBEC 是平行四边形，则四边形OBEC 是矩形【解析】(1)由四边形ABCD 是菱形，得到一对同旁内角互补，根据已知角之比求出相应度数，进而求出∠DBC 的度数；(2)由四边形ABCD 是菱形，得到对角线互相垂直，即∠BOC ＝90°，利用有一个角为直角的平行四边形是矩形即可得证． 7. 解：(1)∵EF 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠OCE ＝∠BCE，∠OCF ＝∠DCF，∵EF ∥BC ，∴∠OEC ＝∠BCE，∠OFC ＝∠DCF，∴∠OEC ＝∠OCE，∠OFC ＝∠OCF，∴OE ＝OC ，OF ＝OC ，∴OE ＝OF ；∵∠OCE＋∠BCE ＋∠OCF＋∠DCF＝180°，∴∠ECF ＝90°，在Rt △CEF 中，由勾股定理得：EF ＝CE 2＋CF 2＝10，∴OC ＝OE ＝12EF ＝5(2)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：连结AE ，AF ，当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC ＝∠OCE ，∠OFC ＝∠OCF ，证出OE ＝OC ＝OF ，∠ECF ＝90°，由勾股定理求出EF ，即可得出答案；(2)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．8. 解：(1)∵▱ABCD ，∴AB ＝CD ，BC ＝AD ，∠ABC ＝∠CDA.又∵BE＝EC ＝12BC ，AF ＝DF ＝12AD ，∴BE ＝DF.∴△ABE ≌△CDF (2)∵四边形AECF 为菱形，∴AE ＝EC.又∵点E 是边BC 的中点，∴BE ＝EC ，即BE ＝AE.又BC ＝2AB ＝4，∴AB ＝12BC＝BE ，∴AB ＝BE ＝AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高为2×sin60°＝3，∴菱形AECF 的面积为2 39. 解：四边形ABCD 是菱形，AC ＋BD ＝6，∴AB ＝5，AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO＝12BD ，∴AO ＋BO ＝3，∴AO 2＋BO 2＝AB 2，(AO ＋BO)2＝9，即AO 2＋BO 2＝5，AO 2＋2AO·BO＋BO 2＝9，∴2AO ·BO ＝4，∴菱形的面积是12AC·BD＝2AO·BO＝4【解析】根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理转化为两条对角线的关系式求解．10. 解：(1)连结AC ，BD ，相交于点O ，∵E ，F ，G ，H 分别是菱形四边上的中点，∴EH ＝12BD ＝FG ，EH ∥BD ∥FG ，EF ＝12AC ＝HG ，∴四边形EHGF 是平行四边形，∵菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴EF ⊥EH ，∴四边形EFGH 是矩形 (2)∵四边形ABCD是菱形，∠ABC ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∵AC ⊥BD ，∴∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB＝3，∴AC ＝6，在Rt △AOB 中，由勾股定理得OB ＝AB 2－OA 2＝33，∴BD ＝63，∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝33，EF ＝3，∴矩形EFGH 的面积＝EF·FG＝9 3cm 211. 解：(1)∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°，∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE，在△BCG 与△DCE 中，∵∠CBG ＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA)，∴BG ＝DE(2)设CG ＝1，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝1，由(1)可知：△BCG≌△DCE(ASA)，∴CG ＝CE ＝1，∴由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GF GD ，∴GF ＝55，∵AB ∥CG ，∴△ABH ∽△CGH ，∴AB CG ＝BH HG ＝21，∴BH ＝253，GH ＝53，∴HG GF ＝53【解析】(1)由于BF⊥DE，所以∠GFD＝90°，从而可知∠CBG＝∠CDE，根据全等三角形的判定即可证明△BCG≌△DCE，从而可知BG ＝DE ；(2)设CG ＝1，从而知CG ＝CE ＝1，由勾股定理可知：DE ＝BG ＝5，易证△ABH∽△CGH，所以BHHG＝2，从而可求出HG 的长度，进而求出HGGF 的值．12. 解：(1) ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OD ＝OC ，∴∠DOG ＝∠COE＝90°，∴∠OEC ＋∠OCE ＝90°.∵DF ⊥CE ，∴∠OEC ＋∠ODG ＝90°，∴∠ODG ＝∠OCE.∴△ODG ≌△OCE(ASA)，∴OE ＝OG(2)①∵OD ＝OC ，∠DOG ＝∠COE＝90°，又OE ＝OG ，∴DOG ≌COE(SAS)，∴∠ODG ＝∠OCE②设CH ＝x ，∵四边形ABCD 是正方形，AB ＝1，∴BH ＝1－x ，∠DBC ＝∠BDC＝∠ACB ＝45°，∵EH⊥BC，∴∠BEH ＝∠EBH＝45°.∴EH ＝BH ＝1－x.∵∠ODG＝∠OCE，∴∠BDC －∠ODG＝∠ACB－∠OCE.∴∠HDC＝∠ECH.∵EH⊥BC，∴∠EHC ＝∠HCD＝90°.∴△CHE ∽△DCH.∴EH HC ＝HCCD. ∴HC 2＝EH·CD，得x 2＋x －1＝0.解得x 1＝5－12，x 2＝－5－12(舍去)．∴HC＝5－12。

2018-2019年北师大版初三数学上册《菱形》习题巩固含答案解析

菱形【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是( )A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A．30°和150°B．45°和135°C．60°和120°D．80°和100°3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6 cm，8 cm B．3 cm，4 cm C．12 cm，16 cm D．24 cm，32 cm4.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．46. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2 C．3 D．二.填空题7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8.如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．。

【中考数学】2018最新版本中考数学菱形专题练习(历年真题-可打印)

中考菱形专题附参考答案1、（2012•泸州）如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（） A ． 24 B ． 16 C ． 4 D ．22、（2013凉山州）如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=4，则以AC 为边长的正方形ACEF 的周长为（） A ．14 B ．15 C ．16 D ．173、（2013•绵阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC =8cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，且DH 与AC 交于G ，则GH =（）A ．2825cm B ．2120cm C ．2815cmD ．2521cm 4、（2013•内江）已知菱形ABCD 的两条对角线分别为6和8，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点，P 是对角线BD 上一点，则PM+PN 的最小值= ．图5FEBCDA（5题）ABCDEC P HGODCBA 3题图5、（2013• 淄博）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A =60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP （P 为AB 中点）所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ．则∠DEC 的大小为（A ）78°（B ）75°（C ）60°（D ）45°6、（2013•黔西南州）如图5所示，菱形ABCD 的边长为4，且AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，∠B=60°，则菱形的面积为_________。

7、（2013，河北）．如图4，菱形ABCD 中，点M ，N 在AC 上，ME ⊥AD ， NF ⊥AB . 若NF = NM = 2，ME = 3，则AN =8、（2013•安徽）如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是___________．9、（2013•临沂）如图，菱形ABCD 中，AB=4，∠B=60°，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，连接EF ，则△AEF 的面积是．10、（2013•黄冈）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 、BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，求证：∠DHO=∠DCO.第8题图DAB CP MN10题图。

2018年中考数学真题分类汇编专题25 矩形菱形与正方形试题含解析

矩形菱形与正方形一.选择题1.（2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3分）如图，正方形ABCD中，AB=6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．1B．1.5C．2D．2.5【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证R△t AFE≌△R t ADE；在直△角ECG中，根据勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：∵AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90°，在△R t ABG和△R t AFG中，∵，∴△R t AFE≌△R t ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，则EC=6﹣x．∵G为BC中点，BC=6，∴CG=3，在△R t ECG中，根据勾股定理，得：（6﹣x）2+9=（x+3）2，解得x=2．则DE=2．故选：C．【点评】本题考查了翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．2.（2018•江苏宿迁•3分）如图，菱形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形△得ABD是等边三角形；在△R t AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得=OD·AC=4，△S ACD根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求△出OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC.BD的交点，∴AC⊥BD，在△R t AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S=OD·AC=×2×4=4，△ACD又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，△∴COE∽△CAD，∴，∴，∴S=S=×4=，△COE △CAD故选A.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形熟练应用相关性质是解题的关键.3.（2018•江苏无锡•3分）如图，已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点，正方形EFGH的顶点G、H都在边AD上，若AB=3，BC=4，则tan∠AFE的值（）A．等于C．等于B．等于D．随点E位置的变化而变化【分析】根据题意推知EF∥AD，由该平行线的性质推知△AEH∽△ACD，结合该相似三角形的对应边成比例和锐角三角函数的定义解答．【解答】解：∵EF∥AD，∴∠AFE=∠FAG，∴△AEH∽△ACD，∴设EH=3x，AH=4x，∴HG=GF=3x，==．∴tan∠AFE=tan∠FAG=故选：A．==．【点评】考查了正方形的性质，矩形的性质以及解直角三角形，此题将求∠AFE 的正切值转化为求∠FAG 的正切值来解答的．4.（2018•江苏淮安•3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC.BD 的长分别为 6 和 8，则这个菱形的周长是（）A ．20B ．24C ．40D ．48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= AC=3，BO= BD=4，且 AO ⊥BO ，则 AB==5，故这个菱形的周长 L=4AB=20．故选：A ．【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般．5.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l 为正比例函数 y=x 的图象，点 A 的坐标为（1，10），过点 A 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 D ，以 A D 为边作正方形 A B C D ；过点 C 作直线 l 的垂线，垂足为111 11 1 1 1 1A ，交 x 轴于点B ，以 A B 为边作正方形 A BCD ；过点 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A ，交直线 l 于点 D ，以 222 22 2 2 2233A D 为边作正方形 ABCD ，…，按此规律操作下所得到的正方形 A B C D 的面积是（）n ﹣1 333 3 3 3n n n n．【分析】根据正比例函数的性质得到∠D OA =45°，分别求出正方形 A B C D 的面积、正方形 A B C D 的面积，111 1 1 12 2 2 2总结规律解答．【解答】解：∵直线l为正比例函数y=x的图象，∴∠D OA=45°，1 1∴D A=OA=1，1 1 1∴正方形A B C D的面积=1=（）1 1 1 11﹣1，由勾股定理得，OD=1，D A=，1 2∴A B=A O=，2 2 2∴正方形A B C D的面积==（）2﹣1，2 2 2 2同理，A D=OA=，3 3 3∴正方形A B C D的面积=3 3 3 3=（）3﹣1，…由规律可知，正方形A B C D的面积=（）n﹣1，n n n n故答案为：（）n﹣1．【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数解析式得到∠D OA=45°，1 1正确找出规律是解题的关键．6.（2018•山东烟台市•3分）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O 折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为（）A．7B．6C．5D．4【分析】连接AC.BD，如图，利用菱形的性质得OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，再利用勾股定理计算出CD=5，接着证明△OBM≌△ODN得到DN=BM，然后根据折叠的性质得BM=B'M=1，从而有DN=1，于是计算CD ﹣DN即可．【解答】解：连接AC.BD，如图，∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD= BD=4，∠COD=90°，=5，在△R t COD中，CD=∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了菱形的性质．7.（2018•山东聊城市•3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3．若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A处，则点C的对应点1C的坐标为（）1A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣，）D．（﹣，）【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出△ONC三边关系，再利用勾股定理得出答案．1【解答】解：过点C作C N⊥x轴于点N，过点A作A M⊥x轴于点M，1 1 1 1由题意可得：∠C NO=∠A MO=90°，1 1∠1=∠2=∠3，则△A△OM∽△O C△N，1 1∵OA=5，OC=3，∴OA=5，A M=3，1 1∴OM=4，∴设NO=3x，则NC=4x，OC=3，1 1则（3x）2+（4x）2=9，解得：x=±（负数舍去），则NO=，NC=，1）．故点C的对应点C的坐标为：（﹣，1故选：A．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出△A△OM∽△O C△N是解题关键．1 18.（2018•上海•4分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解答】解：A.∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B.∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C.AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D.AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．9.（2018•遂宁•4分）下列说法正确的是（）A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形C．矩形的对角线互相垂直平分D．六边形的内角和是540°【分析】直接利用全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理．【解答】解：A.有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等，错误，必须是两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；B.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；C.矩形的对角线相等且互相平分，故此选项错误；D.六边形的内角和是720°，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形、菱形的性质和多边形内角和定理，正确把握相关性质是解题关键．10.（2018•资阳•3分）如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（）A．12厘米B．16厘米C．20厘米D．28厘米【分析】利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形EFGH为矩形，那么由折叠可得HF的长即为边AD的长．【解答】解：∵∠HEM=∠AEH，∠BEF=∠FEM，∴∠HEF=∠HEM+∠FEM=×180°=90°，同理可得：∠EHG=∠HGF=∠EFG=90°，∴四边形EFGH为矩形，AD=AH+HD=HM+MF=HF，HF===20，∴AD=20厘米．故选：C．7【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理等知识，得出四边形 E FGH 为矩形是解题关键．11. （2018•杭州•3 分）如图，已知点 P 矩形 ABCD 内一点（不含边界），设，，，，若，，则（）A..C..BD【答案】A【考点】三角形内角和定理，矩形的性质【解析】【解答】解：∵矩形 ABCD ∴∠PAB+∠PAD=90°即∠PAB=90°-∠PAB ∵∠PAB=80°∴∠PAB+∠PBA=180°-80°=100°∴90°-∠PAB+∠PBA=100°即∠PBA-∠PAB=10°① 同理可得：∠PDC-∠PCB=180°-50°-90°=40°②由②-①得：∠PDC-∠PCB-（∠PBA-∠PAB ）=30° ∴故答案为：A【分析】根据矩形的性质，可得出∠PAB=90°-∠PAB ，再根据三角形内角和定理可得出∠PAB+∠PBA=100°，从而可得出∠PBA-∠PAB=10°①；同理可证得∠PDC-∠PCB=40°②，再将②-①，可得出答案。

2018年中考数学真题分类汇编第一期专题5矩形菱形与正方形试题含解析

矩形菱形与正方形一、选择题1.（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2 （2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．（2018·湖北省宜昌·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4．（2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．5（2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．6（2018·山东威海·3分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．C．D．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．7（2018•湖南省永州市•4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8（2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

【精编】2018年中考数学试题分类汇编：考点(27)菱形及解析

2018中考数学试题分类汇编：考点27 菱形一．选择题（共4小题）1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（）A．四条边都相等B．对角线一定相等C．是轴对称图形D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质即可判断；【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，故选：B．2．（2018•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A． B．2 C．5 D．10【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD==，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，故选：C．3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（）A．20 B．24 C．40 D．48【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，故这个菱形的周长L=4AB=20．故选：A．4．（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（）A．24 B．18 C．12 D．9【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解．【解答】解：∵E是AC中点，∵EF∥BC，交AB于点F，∴EF是△ABC的中位线，∴EF=BC，∴BC=6，∴菱形ABCD的周长是4×6=24．故选：A．二．填空题（共6小题）5．（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC=，则BE的长为3或5 ．【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可．【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=，∵tan∠EAC==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，当点E在对角线交点左侧时，如图2所示：∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6，∴AC⊥BD，BO=，∵tan∠EAC==，解得：OE=1，∴BE=BO﹣OE=4+1=5，故答案为：3或5；6．（2018•湖州）如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 2 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．再解Rt△OAB，根据tan ∠BAC==，求出OB=1，那么BD=2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，∴tan∠BAC==，∴OB=1，∴BD=2．故答案为2．7．（2018•宁波）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为．【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，∴∠ADM=∠H，∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，∴△ADM≌△BHM，∴AD=HB=2，∵EM⊥DH，∴EH=ED，设BE=x，∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），∴cosB==，故答案为．8．（2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（﹣5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，∴AB=5，∴AD=5，∴由勾股定理知：OD===4，∴点C的坐标是：（﹣5，4）．故答案为：（﹣5，4）．9．（2018•随州）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x 轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为（，﹣）．【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，所以△OBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=，然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标．【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图，∵四边形OABC为菱形，∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC，∴∠AOB=30°，∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置，∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2，∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，∴△OBH为等腰直角三角形，∴OH=B′H=OB′=，∴点B′的坐标为（，﹣）．故答案为：（，﹣）．10．（2018•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD 是菱形．【分析】根据菱形的判定方法即可判断．【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形．故答案为AB=BC或AC⊥BD．三．解答题（共10小题）11．（2018•柳州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2．（1）求菱形ABCD的周长；（2）若AC=2，求BD的长．【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长；（2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2∴AC⊥BD，AO=1，∴BO=，∴BD=212．（2018•遂宁）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明；【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵DE=BF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．13．（2018•郴州）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．14．（2018•南京）如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证：（1）∠BOD=∠C；（2）四边形OBCD是菱形．【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可；（2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．【解答】证明：（1）延长OA到E，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO，又∠BOE=∠ABO+∠BAO，∴∠BOE=2∠BAO，同理∠DOE=2∠DAO，∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO）即∠BOD=2∠BAD，又∠C=2∠BAD，∴∠BOD=∠C；（2）连接OC，∵OB=OD，CB=CD，OC=OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO，∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD，又∠BOD=∠BCD，∴∠BOC=∠BCO，∴BO=BC，又OB=OD，BC=CD，∴OB=BC=CD=DO，∴四边形OBCD是菱形．15．（2018•呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．【分析】（1）根据SAS即可证明．（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠A=∠D，∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，∵AB=DE，∴△ABC≌△DEF．（2）如图，连接AB交AD于O．在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，∴DF==5，∵四边形EFBC是菱形，∴BE⊥CF，'∴EO==，∴OF=OC==，∴CF=，∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．16．（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．17．（2018•泰安）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD．（1）求证：△ECG≌△GHD；（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．（3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG ≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．【解答】解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点，FG∥AE，∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，∴GC=GP，而AG=AG，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP，由（1）可得EG=DG，∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD，∴AD=AP+PD=AC+EC；（3）四边形AEGF是菱形，证明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四边形AECF是平行四边形，∴四边形AEGF是菱形．18．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD=90°，∵BE=DF，∴△AEB≌△AFD∴四边形ABCD是平行四边形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC=6，∴AC⊥BD，AO=OC=AC=×6=3，∵AB=5，AO=3，∴BO===4，∴BD=2BO=8，∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．19．（2018•扬州）如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．（1）求证：四边形AEBD是菱形；（2）若DC=，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CE，∴∠DAF=∠EBF，∵∠AFD=∠EFB，AF=FB，∴△AFD≌△BFE，∴AD=EB，∵AD∥EB，∴四边形AEBD是平行四边形，∴四边形AEBD是菱形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=，AB∥CD，∴∠ABE=∠DCB，∴tan∠ABE=tan∠DCB=3，∵四边形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF，∴tan∠ABE==3，∵BF=，∴EF=，∴DE=3，∴S菱形AEBD=•AB•DE=•3=15．20．（2018•乌鲁木齐）如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF ⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC=90°，E是BC的中点，∴AE=CE=BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，∴AC=，∵，∴AH=，∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，∴CD=CE=5，∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，∴EF=AH=．。

2018年中考菱形压轴题(可编辑修改word版)

2018 年中考菱形压轴题一．解答题（共19 小题）1.如图，两个全等的△ABC 和△DFE 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换：（1）如图1，△DEF 沿直线CB 向右平移（即点F 在线段CB 上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S 四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG，请你在图3 的位置画出图形，并求出sin∠CGF 的值．2.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC 是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°①求“抛物菱形OABC”的面积．②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O 重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC 交于E、F，△OEF 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF 的面积；若不存在，说明理由．3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A 和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y 轴相交于点C，E 是抛物线上OA 段上一点，过点E作y 轴平行的直线DE 与直线AC 交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E 的坐标；（3）点M 是线段AC 延长线上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F 为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．4.如图，在直角梯形AOCB 中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO 上由A 向点O 运动，点Q 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD⊥OC 交BC于点D，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q 分别以每秒2 个单位和3 个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t 为何值时，PB∥OD？5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点B．动点P 从点D 出发，沿DC 边向点C 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿BA 边向点A 运动，点P、Q 运动的速度均为每秒1 个单位，运动的时间为t 秒．过点P 作PE⊥CD 交BD 于点E，过点E 作EF⊥AD 于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，四边形BDGQ 的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q 运动过程中，在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a 交x 轴于A、B 两点，交y 的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D 为第一象限抛物线上一点，过点D 作DE⊥BC 于点E，设DE=d，点D 的横坐标为t，求d 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 为抛物线的顶点，对称轴交x 轴于点G，连接DF，过D 作DH⊥DF 交FG 于点H，点M 为对称轴左侧抛物线上一点，点N 为平面上一点且tan∠HDN= ，当四边形DHMN 为菱形时，求点N 的坐标．7.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x 轴交于点B、C（点B、C 均在y 轴右侧）且BC=2，直线BD 交y 轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN 与△BCD 相似？若存在，求出点A、N 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在直线BD 上是否存在一点P 和平面内一点Q，使以Q、P、B、C 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的边BC 在x 轴上，顶点A 在y 轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．（1）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）设点G 是对称轴上一点，求当△GAB 周长最小时，点G 的坐标；（3）若抛物线对称轴交x 轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA 为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M 是x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．9.如图，抛物线y= x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；（3）平行于x 轴的直线交抛物线于M、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ，当点P 在x 轴上，且PQ=MN 时，求菱形对角线MN 的长．10.如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A，B，C 三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP 沿直线EP 折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标；（3）如图2，设BC 交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点B，F，M，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．11.如图，▱ABCD 的两个顶点B，D 都在抛物线y= x2+bx+c 上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB= ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点P 从点A 出发向点D 运动，同时动点Q 从点C 出发向点A 运动，运动速度都是每秒1 个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t 为何值时，△APQ 是直角三角形？12.如图，Rt△ABO 的两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B 点，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，若M 点是CD 所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N，设点M 的横坐标为t，MN 的长度为L，求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标；（3）△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD 是菱形时，连接BD，点P 在抛物线上，若△PBD 是以BD 为直角边的直角三角形，请求出此时P 点的坐标．13.如图，直线y=x+1 与y 轴交于A 点，过点A 的抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线交于另一点B，过点B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（3，0）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P作PN⊥x 轴，交直线AB 于点M，交抛物线于点N，设点P 移动的时间为t 秒，M N的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O，点C 重合的情况），连接CM，BN，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？对于所求的t 值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+（其中a、b 为常数，a≠0）经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且与y 轴交于点C，点D 为对称轴与直线BC的交点．（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点P，使得△DPB∽△ACB，求点P 的坐标；（3）若点Q 为点O 关于直线BC 的对称点，点M 为直线BC 上一点，点N 为坐标平面内一点，是否存在这样的点M 和点N，使得以Q、B、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图，对称轴为直线x=的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）①当四边形OEAF 的面积为24 时，请判断OEAF 是否为菱形？②是否存在点E，使四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）在（3）①的条件下，当四边形OEAF 为菱形时，设动点P 在直线OE 下方的抛物线上移动，则点P 到直线OE 的最大距离是．16．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0），B（6，0）和C（0，4 ）三个点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点E（m，n）是抛物线上一个动点，且位于第四象限，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形，求四边形OEBF 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（3）当四边形OEBF 的面积为24 时，请判断四边形OEBF 是否为菱形？17.如图，抛物线y=x2+bx+c 与直线l：y=kx+m 交于A（4，2）、B（0，﹣1）两点．（1）求抛物线与直线的解析式；（2）若点D 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点D 作DE∥y 轴交直线l 于点E，求DE 的最大值，并求出此时D 的坐标；（3）在（2）的条件下，DE 取最大值时，点P 在直线AB 上，平面内是否存在点Q，使得以点D、E、P、Q 为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．18.如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1 与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点E 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点E 作EG⊥x 轴，交直线AB 于点F，交抛物线于点G．设点E 移动的时间为t 秒，GF 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点E 与点O、C 重合的情况），连接CF，BG，当t 为何值时，四边形BCFG 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCFG 是否菱形？请说明理由．19．如图，已知抛物线y=ax2+c 过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2 与抛物线交于A、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P 为y 轴上一点，以B、C、F、P 为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m 的值；（4）若k=1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．2018 年04 月19 日191****7496 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共19 小题）1.如图，两个全等的△ABC 和△DFE 重叠在一起，固定△ABC，将△DEF 进行如下变换：（1）如图1，△DEF 沿直线CB 向右平移（即点F 在线段CB 上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S 四边形AFBD的关系；（2）如图2，当点F 平移到线段BC 的中点时，若四边形AFBD 为正方形，那么△ABC 应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将△DEF 沿DF 折叠，点E 落在FA 的延长线上的点G 处，连接CG，请你在图3 的位置画出图形，并求出sin∠CGF 的值．【解答】解：（1）S△ABC =S四边形AFBD，理由：由题意可得：AD∥EC，则S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，则S△ABC=S 四边形AFBD；（2）△ABC 为等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F 为BC 的中点，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四边形AFBD 为平行四边形，∵AB=AC，F 为BC 的中点，∴AF⊥BC，∴平行四边形AFBD 为矩形，∵∠BAC=90°，F 为BC 的中点，∴AF= BC=BF，∴四边形AFBD 为正方形；（3）如图3 所示：由（2）知，△ABC 为等腰直角三角形，AF⊥BC，设CF=k，则GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=k，sin∠CGF= ==．2.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），且这条抛物线的“抛物菱形”是正方形，求这条抛物线的函数解析式；（2）如图，四边形OABC 是抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°①求“抛物菱形OABC”的面积．②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O 重合，两边所在直线与“抛物菱形OABC”的边AB、BC 交于E、F，△OEF 的面积是否存在最小值，若存在，求出此时△OEF 的面积；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x 轴的两个交点为（﹣1，0）、（3，0），四边形OABC 是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），当A（1，2）时，解得：当A（1，﹣2）时解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+ 或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），代入y=﹣x2+bx 得：b=﹣（）2+b ，解得：b=2 ，∴OB=2 ，AC=6，∴“抛物菱形OABC”的面积=OB•AC=6；②存在；当三角板的两边分别垂直与AB 和BC 时三角形OEF 的面积最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB= =30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°∴OB 垂直EF 且平分EF，∴三角形OEF 是等边三角形，∵OB=2 ，∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF 的面积=．3.如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A 和点B（6，0）．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）如果一次函数图象与y 轴相交于点C，E 是抛物线上OA 段上一点，过点E作y 轴平行的直线DE 与直线AC 交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E 的坐标；（3）点M 是线段AC 延长线上的一个动点，过点M 作y 轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F 为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F 的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；设一次函数的解析式为y=kx+b，把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；（2）C 点坐标为（0，6），∵DE∥y 轴，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC•DE，设E 点坐标为（a，a2），则D 点坐标为（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E 是抛物线上OA 段上一点，∴0＜a＜3，∴a=，∴点E 坐标为（，）；（3）以点O、C、M、F 为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：如图，过O 点作OF∥AC 交抛物线于F，过F 点作FM∥y 轴交AC 延长线于M 点，交x 轴于H 点，则四边形OCMF 为平行四边形，∵OC=OB=6，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF 为等腰直角三角形，∴HO=HF，设F 点坐标为（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF= OH=3 ，而OC=6，∴四边形OCMF 不为菱形．4.如图，在直角梯形AOCB 中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O 为原点，OC、OA 所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P 在线段AO 上由A 向点O 运动，点Q 在线段OC 上由C 向点O 运动，QD⊥OC 交BC 于点D，OD 所在直线与抛物线在第一象限交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）点E′是E 关于y 轴的对称点，点Q 运动到何处时，四边形OEAE′是菱形？（3）点P、Q 分别以每秒2 个单位和3 个单位的速度同时出发，运动的时间为t 秒，当t 为何值时，PB∥OD？【解答】解：（1）∵A （0，2）为抛物线的顶点，∴设 y=ax 2+2，∵点 C （3，0），在抛物线上，∴9a +2=0，解得：a=﹣，∴抛物线为；y=﹣x 2+2；（2）如果四边形 OEAE′是菱形，则 AO 与 EE′互相垂直平分，∴EE′经过 AO 的中点，∴点 E 纵坐标为 1，代入抛物线解析式得：1=﹣ x 2+2，解得：x=±，∵点 E 在第一象限，∴点 E 为（，1），设直线 BC 的解析式为 y=kx +b ，把 B （1，2），C （3，0），代入得：，∴BC 的解析式为：y=﹣x +3，将 E 点代入 y=ax ，可得出 EO 的解析式为：y=x ，由，，解得：得：，∴Q 点坐标为：（，0），∴当Q 点坐标为（，0）时，四边形OEAE′是菱形；（3）法一：设t 为m 秒时，PB∥DO，又QD∥y 轴，则有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，则有△APB∽△QDO，∴=，由题意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵点D 在直线y=﹣x+3 上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，经检验：m=是原分式方程的解，∴当t=秒时，PB∥OD．法二：作BH⊥OC 于H，则BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，设t 为m 秒时PB∥OE，则△ABP∽△QOD，∴=，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，∴=，解得m=，经检验m=是方程的解，∴当t 为秒时，PB∥OD．5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D 为顶点的抛物线y=ax2+bx+c 过点B．动点P 从点D 出发，沿DC边向点C 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿BA 边向点A 运动，点P、Q 运动的速度均为每秒1 个单位，运动的时间为t 秒．过点P 作PE⊥CD 交BD 于点E，过点E 作EF⊥AD 于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）当t 为何值时，四边形BDGQ 的面积最大？最大值为多少？（3）动点P、Q 运动过程中，在矩形ABCD 内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H 为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，顶点 D 点的坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4可求得a=﹣1∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．（2）由题意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC．∴==2，∴PE= DP= t．∴点E 的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．将x=﹣1﹣t 代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．∴点G 的纵坐标为﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．如图1 所示：连接BG．S 四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S 四边形BDGQ=BQ•AF+ EG•（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t．=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．∴当t=2 时，四边形BDGQ 的面积最大，最大值为2．（3）存在．∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC= ，BD=2 ．∴cos∠BDC= ．∵BQ=DP=t，∴DE=t ．如图 2 所示：当 BE 和 BQ 为菱形的邻边时，BE=QB ．∵BE=BD ﹣DE ，∴BQ=BD ﹣DE ，即 t=2t ，解得 t=20﹣8． ∴菱形 BQEH 的周长=80﹣32．如图 3 所示：当 BE 为菱形的对角时，则 BQ=QE ，过点 Q 作 QM ⊥BE ，则 BM=EM ．∵MB=cos ∠QBM•BQ ，∴MB=t ． ∴BE= t ．∵BE +DE=BD ，∴t +t=2 ，解得：t=．∴菱形 BQEH 的周长为．﹣综上所述，菱形BQEH 的周长为或80﹣32 ．6.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a 交x 轴于A、B 两点，交y 的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D 为第一象限抛物线上一点，过点D 作DE⊥BC 于点E，设DE=d，点D 的横坐标为t，求d 与t 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 为抛物线的顶点，对称轴交x 轴于点G，连接DF，过D 作DH⊥DF 交FG 于点H，点M 为对称轴左侧抛物线上一点，点N 为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N 的坐标．【解答】解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1 或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图2 中，作DT⊥AB 于T，交BC 于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER 是等腰直角三角形，∵直线BC 的解析式为y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR•cos45°=﹣t2+t．（3）如图3 中，∵四边形DHMN 是菱形，点H 在对称轴上，∴D、M 关于对称轴对称，点N 在对称轴上，设DM 交FH 于Q，作HK⊥DN 于K．∵tan∠HDK= = ，设HK=12k，DK=5k，则DH= =13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK 中，NH===4 k，∴QN=QH=2 k，= •NH•DQ=•DN•HK，∵S△DNH∴DQ=3 ，∴tan∠QDH= =，∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ= =，∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴=，解得t=，∴D（，），∴DQ= ﹣1= ，∵=，∴QN=1，∴N（1，）．7.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x 轴交于点B、C（点B、C 均在y 轴右侧）且BC=2，直线BD 交y 轴于点A．（1）求抛物线的解析式；（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN 与△BCD 相似？若存在，求出点A、N 的坐标；若不存在，请说明理由．﹣ （3）在直线 BD 上是否存在一点 P 和平面内一点 Q ，使以 Q 、P 、B 、C 四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设 B 点坐标为（x 1，0），C 点坐标为（x 2，0），则 x 1、x 2 是方程 ax 2+bx +8=0 的两根，∴x 1+x 2=﹣ ，x 1x 2=，∵BC=|x 1﹣x 2|=2，∴（x 1﹣x 2）2=4，即（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=4，∴ =4①，把 D 点坐标代入抛物线解析式可得 25a +5b +8=3②，由①②可解得或（舍去），∴抛物线解析式为 y=x 2﹣6x +8；（2）在 y=x 2﹣6x +8 中，令 y=0 可得 x 2﹣6x +8=0，解得 x=2 或 x=4，∴B （2，0），C （4，0），设直线 BD 解析式为 y=kx +s ，把 B 、D 坐标代入可得，解得，∴直线 BD 解析式为 y=x ﹣2，∴A（0，﹣2），①当点N 在x 轴上时，设N（x，0），则点N 应在点 B 左侧，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2 ，BD=3∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA 或△BCD∽△BAN，当△BCD∽△BNA 时，则有=，即=，解得x=，此时N 点坐标为（，0）；当△BCD∽△BAN 时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N 点坐标为（﹣4，0）；②当点N 在y 轴上时，设N（0，y），则点N 应在 A 点上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN 或△BCD∽△ANB，当△BCD∽△ABN 时，则有=，即=，解得y=4，此时N 点坐标为（0，4）；当△BCD∽△ANB 时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N 点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；（3）∵点P 在直线BD 上，∴可设P（t，t﹣2），∴BP= = |t﹣2|，PC= =，∵以Q、P、B、C 四点为顶点的四边形为菱形，∴有BC 为边或BC 为对角线，当BC 为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P 点坐标为（2+，）或（2﹣，）；当BC 为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|= ，解得t=3，此时P 点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．8.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的边BC 在x 轴上，顶点A 在y 轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．（1）求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；（2）设点G 是对称轴上一点，求当△GAB 周长最小时，点G 的坐标；（3）若抛物线对称轴交x 轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA 为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q 的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；（4）设点M 是x 轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由题意可求，A（0，2），B（﹣1，0），点C 的坐标为（4，0）．设过A、B、C 三点的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）（x+1），把点A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣4）（x+1）= ，（2）如图1物线 y= 的对称轴为：x=，由点C 是点B 关于直线：x=的对称点，所以直线 AC 和直线 x=的交点即为△GAB 周长最小时的点 G ，设直线 AC 的解析式为：y=mx +n ，把 A （0，2），点 C （4，0）代入得：．，所以：y=x +2，当 x=时，y=，所以此时点 G （，）；（3）如图 2使△PAQ 是以 PA 为腰的等腰直角三角形的所有符合条件的点 Q 的坐标：Q 1（，），Q 2（，﹣ ），Q 3（2，），Q 4（﹣2，），，解得：证明Q1：过点Q1作Q1M⊥x 轴，垂足为M，由题意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP 和△MPQ1中，，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP= ，∴OM= ，此时点Q 的坐标为：（，）；（4）存在点N 的坐标为：（0，﹣2），（，2），（﹣，2），（，2）．9.如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x 轴于点E，已知OB=OC=6．（1）求抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）连接BD，F 为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB 时，求点F 的坐标；（3）平行于x 轴的直线交抛物线于M、N 两点，以线段MN 为对角线作菱形MPNQ，当点P 在x 轴上，且PQ= MN 时，求菱形对角线MN 的长．【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣6，∵y= x2﹣2x﹣6= （x﹣2）2﹣8，∴点 D 的坐标为（2，﹣8）；（2）如图1，过F 作FG⊥x 轴于点G，设F（x，x2﹣2x﹣6），则FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6 中，令y=0 可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2 或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，则AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，当∠FAB=∠EDB 时，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴= ，即= = ，当点F 在x 轴上方时，则有=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此进F 点坐标为（7，）；当点F 在x 轴下方时，则有=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此进F 点坐标为（5，﹣）；综上可知F 点的坐标为（7，）或（5，﹣）；（3）∵点P 在x 轴上，∴由菱形的对称性可知P（2，0），如图2，当MN 在x 轴上方时，设T 为菱形对角线的交点，∵PQ= MN，∴MT=2PT，设PT=n，则MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M 在抛物线上，∴n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n= 或n=（舍去），∴MN=2MT=4n= +1；当MN 在x 轴下方时，同理可设PT=n，则M（2+2n，﹣n），∴﹣n= （2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=或n=（舍去），∴MN=2MT=4n= ﹣1；综上可知菱形对角线MN 的长为+1 或﹣1．10.如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A，B，C 三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP 沿直线EP 折叠，使点B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P 的坐标；（3）如图2，设BC 交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M 是直线CD 上的动点，点N 是平面内一点，当以点B，F，M，N 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．【解答】解：（1）将点A、点C 的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．（2）将y=0 代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4 或x=﹣2，∴B（4，0）．∵y=（x﹣1）2﹣9，∴抛物线的对称轴为x=1，∴E（1，0）．∵将△EBP 沿直线EP 折叠，使点 B 的对应点B'落在抛物线的对称轴上，∴EP 为∠BEF 的角平分线．∴∠BEP=45°．设直线EP 的解析式为y=﹣x+b，将点 E 的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直线EP 的解析式为y=﹣x+1．将y=﹣x+1 代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．∵点P 在第四象限，∴x= ．∴y= ．∴P（，）．（3）设CD 的解析式为y=kx﹣8，将点D 的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直线CD 的解析式为y=﹣x﹣8．设直线CB 的解析式为y=k2x﹣8，将点B 的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．∴直线BC 的解析式为y=2x﹣8．将x=1 代入直线BC 的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．设点M 的坐标为（a，﹣a﹣8）．当MF=MB 时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．∴点M 的坐标为（﹣，）．当FM=FB 时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．∴点M 的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．综上所述，点M 的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．11.如图，▱ABCD 的两个顶点B，D 都在抛物线y= x2+bx+c 上，且OB=OC，AB=5，tan ∠ACB= ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点P 从点A 出发向点D 运动，同时动点Q 从点C 出发向点A 运动，运动速度都是每秒1 个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t 为何值时，△APQ 是直角三角形？【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5．∴tan∠ACB= =，∴．由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．∴，OB=OC=4，AD=BC=8．∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．∴解之得，∴抛物线的解析式为y= x2+x+5；（2）存在．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC=AB=CD．又∵AD≠CD，∴当以A，C，D，E 为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．由对称性可得，此时点E 的坐标为（4，6）当x=4 时，y= x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y= x2+x+5 上．∴存在点 E 的坐标为（4，6）；（3）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．∴当△APQ 是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．∵，∴．由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．当∠APQ=90°时，，∴，解得．当∠AQP=90°时，，∴，解得．∵，∴或．12.如图，Rt△ABO 的两直角边OA、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过B 点，且顶点在直线x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若△DCE 是由△ABO 沿x 轴向右平移得到的，若M 点是CD 所在指向下方该抛物线上的一个动点，过点M 作MN 平行于y 轴交CD 于点N，设点M 的横坐标为t，MN 的长度为L，求l 与t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点M 的坐标；（3）△ABO 沿x 轴向右平移得到△DCE，当四边形ABCD 是菱形时，连接BD，点P 在抛物线上，若△PBD 是以BD 为直角边的直角三角形，请求出此时P 点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线顶点在直线x=上，∴﹣= ，则解得，﹣解得 b=﹣，∵抛物线 y=x 2+bx +c 经过点 B （0，4），∴c=4，∴抛物线对应的函数关系式为 y=x 2﹣x +4；（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx +b （k ≠0），，所以，直线 AB 的解析式为 y=x +4，当过点 M 平行于 AB 的直线与抛物线只有一个交点时，点 M 到 CD 的距离最大，此时 MN 的值最大，此时，设过点 M 的直线解析式为 y=x +m ，联立，消掉 y 得，x 2﹣x +4= x +m ，整理得，2x 2﹣14x +12﹣3m=0，△=b 2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m ）=0，解得 m=﹣，此时，x=﹣= ，y= × = ，所以，点 M （，）使 MN 的值最大．（3）四边形 ABCD 是菱形时，点 C 、D 在该抛物线上．理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB= =5，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直线BD 的解析式为y=﹣2x+4，①当B 为Rt△PBD 直角顶点时，直线PB 的解析式为y=x+4，由解得或，∴P（，）．②当D 为Rt△PBD 直角顶点时，直线PD 的解析式为y=x﹣1，由解得或，∴P（，），综上所述，满足条件的点P 坐标为（，）或（，）．13.如图，直线y=x+1 与y 轴交于A 点，过点A 的抛物线y=﹣x2+bx+c 与直线交于另一点B，过点B 作BC⊥x 轴，垂足为点C（3，0）．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN⊥x 轴，交直线AB 于点M，交抛物线于点N，设点P 移动的时间为t 秒，M N 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O，点C 重合的情况），连接CM，BN，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？对于所求的t 值，平行四边形BCMN。

2018年中考数学真题分类汇编(第一期)专题25 矩形菱形与正方形试题(含解析)

矩形菱形与正方形一、选择题1.（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2 （2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．（2018·湖北省宜昌·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4．（2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．5（2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．6（2018·山东威海·3分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．C．D．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．7（2018•湖南省永州市•4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8（2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

【中考刷题本】2018年九年级数学中考小题刷题本20--菱形(含答案)

2018年九年级数学中考小题刷题本--菱形一、选择题:1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( )A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC2.平面直角坐标系中,四边形ABCD的顶点坐标分别是A(-3,0),B(0,2),C(3,0),D(0,-2),则四边形ABCD是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形3.菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是( )A．10 B．8 C．6 D．54.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )A．14 B．15 C．16 D．175.如图,将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置,连接AD、BD,则下列结论:①AD=BC;②BD、AC互相平分;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．36.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为( )A．28°B．52°C．62°D．72°7.如图，已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，AD=6cm，则OE 的长为( )A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm8..下列命题中错误的是( )A．平行四边形的对角线互相平分 B.菱形的对角线互相垂直C.同旁内角互补D.矩形的对角线相等9.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=60°，则B点的坐标是( )A．(3，) B．(1，) C．(－1，) D．(－3，)10.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=8，BD=6，过点D作DE⊥AB，垂足为E，则DE的长是( )A．2.4 B．4.8 C．7.2 D．1011.如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E，F同时由A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动(到点B为止)，点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为( )A．1 B．C．D．12.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45°，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD边交于点F，则B′F的长度为( )A．1 B．C．2D．2﹣2二、填空题：13.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则点C的坐标为．14.如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，只要添加条件，就能保证四边形EFGH是菱形．15.如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为_______．16.将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A．点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为．17.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为．18.如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6 cm，则AB=________cm.19.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为________.20.如图,在菱形ABCD中，∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连接DF,则∠CDF的度数= 度．21.如图,在菱形ABCD中,对角线AC=6,BD=8,点E、F分别是边AB、BC的中点,点P在AC上运动，在运动过程中,存在PE+PF的最小值,则这个最小值是．22.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+=0，那么菱形的面积等于．23.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.24..如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=2,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形,则P、D(P、D两点不重合)两点间的最短距离为________.参考答案1.答案为：B；2.答案为：B；3.答案为：D；4.答案为：C；5.答案为：D；6.答案为：C.7.答案为：C.8.答案为：C；9.答案为：D.10.答案为：B.11.答案为：D.12.答案为：C.13.答案为：（4，4）；14.答案为：AC=BD．15.答案为：96．16.答案为：2．17.答案为：24．18.答案为：1219.答案为：24；20.答案为：60．21.答案为：5．22.答案为：223.答案为：菱形，424.答案为：2-2解析：当等腰△PBC以∠PBC为顶角时,点P在以B为圆心,BC为半径的圆弧AC上.连接AC、BD 相交于点O.若使PD最短,则点P在如图所示的位置处.∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠ABO=∠ABC=30°,∴AO=AB=1,∴BO=,∴BD=2BO=2,∵PB=BC=2,∴PD=BD-PB=2-2.当等腰△PBC以∠PCB为顶角时,易知点P与点D重合(不合题意,舍去)或点P与点A重合,则PD=2. 当等腰△PBC以BC为底边时,如图,作BC的垂直平分线交BC于点E,易知该直线过点A,则点P在线段AE上(不含点E).当P与A重合时,PD最短,此时PD=2.∵2-2<2,∴PD的最小值是2-2.。

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习基础达标一、选择题1.(2018江苏淮安)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48,AO=12AC=3,BO=12BD=4,且AO ⊥BO ,则AB=√AA 2+AA 2=5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选A.2.(2017四川广安)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个. A.4 B.3C.2D.13.(2017四川眉山)如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若▱ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD 的周长为( ) A.14 B.13C.12D.104.(2018贵州遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18PM⊥AD于点M,交BC于点N.则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,×2×8=8,∴S△DFP=S△PBE=12∴S阴影=8+8=16,故选C.5.(2017山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=A(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()AA.-12B.-27C.-32D.-366.(2018江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan ∠AFE的值()A.等于37B.等于√33C.等于34D.随点E位置的变化而变化EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,△AEH∽△ACD,∴AAAA =AAAA=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=AA AA =3A3A+4A=37.故选A.二、填空题7.(2018湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为..5四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.8.(2018广东广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.-5,4)菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知:OD=√AA2-AA2=√52-32=4,∴点C的坐标是(-5,4).9.(2018湖北武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.150°1,图1∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.如图2,图2∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠ECD=1(180°-30°)=75°,同理∠BEA=∠ABE=75°,2∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.三、解答题10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.过点C 作BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED 是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则ABCD 的面积是多少?四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD , ∴∠COD=90°. ∵CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED 是矩形.(1)知,平行四边形OCED 是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2, ∴菱形ABCD 的面积为12AC ·BD=12×4×2=4. 能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( )①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1B.2C.3D.4对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选B .2.(2018山东枣庄)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是( )A.√24B.14C.13D.√23四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∵点E 是边BC 的中点, ∴BE=12BC=12AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴AA AA =AA AA =12, ∴EF=12AF , ∴EF=13AE ,∵点E 是边BC 的中点, ∴由矩形的对称性得:AE=DE , ∴EF=13DE ,设EF=x ,则DE=3x , ∴DF=√AA 2-AA 2=2√2x , ∴tan ∠BDE=AAAA =2√2A =√24.故选A.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒√2 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动,将△PQC 沿BC 翻折,点P 的对应点为点P'.设Q 点运动的时间为t s,若四边形QPCP'为菱形,则t 的值为( )A.√2B.2C.2√2D.3PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M.若运动t s时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=√2t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.4.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.√5B.2D.2√5C.52D作DE⊥BC于点E由题图2可知,点F由点A到点D用时为a s,△FBC的面积为a cm2.∴AD=a.DE·AD=a.∴12∴DE=2.当点F从D到B时,用√5s,∴BD=√5.Rt△DBE中,BE=√AA2-AA2=√(√5)2-22=1,∵ABCD是菱形,∴EC=a-1,DC=a.Rt△DEC中,a2=22+(a-1)2,.解得a=52故选C.5.(2017广东)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题6.(2018山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.)-1,√33,连接AM ,∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D', ∴AD=AB'=1,∠BAB'=30°, ∴∠B'AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB'M 中,∵{AA =AA ',AA =AA ,∴Rt △ADM ≌Rt △AB'M (HL), ∴∠DAM=∠B'AM=12∠B'AD=30°, ∴DM=AD tan ∠DAM=1×√33=√33, ∴点M 的坐标为(-1,√33).三、解答题 7.如图所示,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.MN ∥BC ,∴∠OEC=∠BCE.又∠OCE=∠BCE ,∴∠OEC=∠OCE ,∴OE=OC.同理可证OF=OC ,∴OE=OF.O 运动到AC 中点时,四边形AECF 是矩形.证明:∵CE ,CF 分别是∠ACB 的内,外角平分线.∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD )=12×180°=90°,即∠ECF=90°,又∵OE=OF ,∴当O 点运动到AC 中点时,OA=OC ,四边形AECF 是矩形.8.(2018贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON.,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=√22+42=2√5,由(1)知OM=ON,∴MN=√2OM=2√10.。

2018-2019年北师大版初三数学上册《菱形》习题巩固含答案解析

菱形
【巩固练习】
一.选择题
1.下列命题中，正确的是()
A．两邻边相等的四边形是菱形
B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形
D．对角线垂直的四边形是菱形
2.菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）
A．30°和150°B．45°和135°C．60°和120°D．80°和100°
3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）
A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm
4.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB 的度数是（）
A．108°B．72°C．90°D．100°
5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）
A．B．C．5D．4
6.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）
A．B．2C．3D．
二.填空题
7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．。

2018-2019年北师大版初三数学上册《菱形》习题巩固含答案解析

菱形【巩固练习】一.选择题1.下列命题中，正确的是()A．两邻边相等的四边形是菱形B．一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C．对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D．对角线垂直的四边形是菱形2.菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A．30°和150°B．45°和135°C．60°和120°D．80°和100°3.已知菱形的周长为40cm，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6cm，8cm B．3cm，4cm C．12cm，16cm D．24cm，32cm4.如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（）A．108°B．72°C．90°D．100°5.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5D．46.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A．B．2C．3D．二.填空题7.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为．8.如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______cm2.10．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是．11.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．14.如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF＝2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由；(3)设△BEF的面积为S，求S的取值范围．【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为6k，8k.所以有(3k)2+(4k)2=102，∴k=2，所以两条对角线的长为12，16.4.【答案】B；【解析】连接PA∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADP=∠CDP=∠ADC=36°，BD所在直线是菱形的对称轴，∴PA=PC，∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，∴PA=PD，∴PD=PC，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B．5.【答案】A.【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，∵S菱形ABCD =，∴，∴DH=，故选A．6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.二.填空题7.【答案】．；【解析】∵AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴BC=.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】证明：（1）∵△ACF是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．14.【解析】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高可由勾股定理算得为，∴菱形AECF的面积为2．15．【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形(3)∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

精品-2018年中考数学真题分类汇编第一期专题25矩形菱形与正方形试题含解析

矩形菱形与正方形一、选择题1.（2018•四川凉州•3分）如图将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使C落在C′处，BC′交AD于点E，则下到结论不一定成立的是（）A．AD=BC′B．∠EBD=∠EDB C．△ABE∽△CBD D．sin∠ABE=【分析】主要根据折叠前后角和边相等找到相等的边之间的关系，即可选出正确答案．【解答】解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以正确．B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB正确．D、∵sin∠ABE=，∴∠EBD=∠EDB∴BE=DE∴sin∠ABE=．故选：C．【点评】本题主要用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法．2 （2018•山东滨州•3分）下列命题，其中是真命题的为（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、例如等腰梯形，故本选项错误；B、根据菱形的判定，应是对角线互相垂直的平行四边形，故本选项错误；C、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故本选项错误；D、一组邻边相等的矩形是正方形，故本选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查平行四边形的判定与命题的真假区别．正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．3．（2018·湖北省宜昌·3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（）A．1 B．C．D．【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，∴S阴=S正方形ABCD=，故选：B．【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．4．（2018·湖北省孝感·3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=10，BD=24，则菱形ABCD的周长为（）A．52 B．48 C．40 D．20【分析】由勾股定理即可求得AB的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵菱形ABCD中，BD=24，AC=10，∴OB=12，OA=5，在Rt△ABO中，AB==13，∴菱形ABCD的周长=4AB=52，故选：A．【点评】此题考查了菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考常考题型．5（2018·山东临沂·3分）如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形，故④选项正确，故选：A．【点评】本题考查中点四边形、平行四边形、矩形、菱形的判定等知识，解题的关键是记住一般四边形的中点四边形是平行四边形，当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，当对角线AC=BD，且AC⊥BD时，中点四边形是正方形．6（2018·山东威海·3分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH=（）A．1 B．C．D．【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP=GF=1，GH=PH=PG，再利用勾股定理求得PG=，从而得出答案．【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1，∴AD∥GF，∴∠GFH=∠PAH，又∵H是AF的中点，∴AH=FH，在△APH和△FGH中，∵，∴△APH≌△FGH（ASA），∴AP=GF=1，GH=PH=PG，∴PD=AD﹣AP=1，∵CG=2、CD=1，∴DG=1，则GH=PG=×=，故选：C．【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．7（2018•湖南省永州市•4分）下列命题是真命题的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．任意多边形的内角和为360°D．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半【分析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据多边形的内角和对C进行判断；根据三角形中位线性质对D进行判断．【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项为假命题；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项为假命题；C、任意多边形的外角和为360°，所以C选项为假命题；D、三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以D选项为真命题．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8（2018年江苏省宿迁）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,则△OCE的面积是（）。

2018 初三中考数学复习 菱形 专题练习题 含答案

矩形、菱形与正方形(解析版)2018年数学全国中考真题-1