庞加莱

评价
亨利·庞加莱是法国数学家、天体力学家、数学物理学家、科 学哲学家，他的研究涉及数论、代数学、几何学、拓扑学、天体力 学、数学物理、多复变函数论、科学哲学等许多领域。他被公认是 19世纪后四分之一和二十世纪初的领袖数学家，是对于数学和它的 应用具有全面知识的最后一个人。庞加莱在数学方面的杰出工作对 20世纪和当今的数学造成极其深远的影响，他在天体力学方面的研 究是牛顿以来的第二个伟大的里程碑，他对电子理论的研究被公认 为相对论的理论先驱。 阿达马这位曾在函数论、数论、微分方程、泛函分析、微分几 何、集合论、数学基础等领域作出过杰出贡献的法国数学家认为， 庞加莱“整个地改变了数学科学的状况，在一切方向上打开了新的 道路。” 罗素认为，本世纪初法兰西最伟大的人物就是亨利· 庞加莱. 这位“如此美貌，如此年轻”的孩子，竟然是那些洪水般涌来、 预示了柯西的一个后继者的到来的论文作者，这是创办《美国数学 杂志》的英国数学家西尔维斯特于1885年见到庞加莱的心情写照。 庞加莱逝世80年来的历史告诉我们，罗素、西尔维斯特、阿达 马等的论断是多么正确！庞加莱一生发表的科学论文约500篇、科 学著作约30部，几乎涉及到数学的所有领域以及理论物理、天体物 理等的许多重要领域。
生平
童年多病 庞加莱的童年主要接受母亲的教育。他的超常智力使他成 为早熟的儿童，不仅接受知识极为迅速，而且口才也很流利。 但不幸的事发生了：五岁时患了一场白喉病、九个月后喉头 坏了，致使他的思想不能顺利用口头表达出来，并成为一位 体弱多病的人。尽管如此，庞加莱还是乐意玩耍游戏，喜欢 跳舞。 才华初展 庞加莱特别爱好读书，读书的速度快得惊人，而且能对 读过的内容迅速、准确、持久地记住。他甚至能讲出书中某 件事是在第几页第几行中讲述的！庞加莱还对博物学发生过 特殊的兴趣，《大洪水前的地球》一书据说给他留下了终身 不忘的印象。他对自然史的兴趣也很浓，历史、地理的成绩 也很优异。他在儿童时代还显露了文学才华，有的作文被老 师誉为“杰作”。




荣誉 奖项 英国皇家天文学会金质奖章（1990 年） 布鲁斯奖（1911年） 命名 月球上的庞加莱火山口 小行星：2021庞加莱 庞加莱大学





庞加莱还开创了动力系统理论，1895年证明了“庞 加莱回归定理”。庞加莱对数学物理和偏微分方程也有 贡献。他用括去法证明了狄利克雷问题解的存在性。他 还研究拉普拉斯算子的特征值问题，给出了特征值和特 征函数存在性的严格证明。他在积分方程中引进复参数 方法，促进了弗雷德霍姆理论的发展。 庞加莱对现代数学最重要的影响是创立组合拓扑学。 1892年他发表了第一篇论文，1895～1904年，他在六 篇论文中建立了组合拓扑学。他还引进贝蒂数、挠系数 和基本群等重要概念，创造流形的三角剖分、单纯复合 形、重心重分、对偶复合形、复合形的关联系数矩阵等 工具，借助它们推广欧拉多面体定理成为欧拉—庞加莱 公式，并证明流形的同调对偶定理。 庞加莱的思想预示了德· 拉姆定理和霍奇理论。他还 提出庞加莱猜想，在“庞加莱的最后定理”中，他把限 制性三体问题的周期解的存在问题，归结为满足某种条 件的平面连续变换不动点的存在问题。
• 求学生涯 • 庞加莱l862年进入南锡中学读书。对 数学的特殊兴趣大约开始于15岁，并很快 就显露了非凡才能。1870年7月19日爆发 的普法战争使得庞加莱不得不中断学业。 法国战败了，法国的许多城乡被德军洗劫 一空并被德军占领。为了了解时局，他很 快学会了德文。他通过亲眼看到的德军的 暴行，使他成了一个炽热的爱国者。


庞加莱为了研究行星轨道和卫星轨道的 稳定性问题，在1881～1886年发表的四篇 关于微分方程所确定的积分曲线的论文中， 创立了微分方程的定性理论。他研究了微分 方程的解在四种类型的奇点（焦点、鞍点、 结点、中心）附近的性态。他提出根据解对 极限环（他求出的一种特殊的封闭曲线）的 关系，可以判定解的稳定性。 他通过进行大量天体力学研究，引进了 渐进展开的方法，得出严格的天体力学计算 技术。他还完整地提出了不变积分 的概念。 这些都给动力系统的研究带来巨大而无比深 刻的影响。





庞加莱猜想
缘起


如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不 扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一 方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮 胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到 一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大 约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通 性来刻画，他提出三维球面的对应问题。这个问题立即变得无比 困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。 一位数学史家曾经如此形容1854年出生的亨利· 庞加莱： “有些人仿佛生下来就是为了证明天才的存在似的，每次看到亨 利，我就会听见这个恼人的声音在我耳边响起。”庞加莱作为数 学家的伟大，并不完全在于他解决了多少问题，而在于他曾经提 出过许多具有开创意义、奠基性的大问题。庞加莱猜想，就是其 中的一个。 1904年，庞加莱在一篇论文中提出了一个看似很简单的拓 扑学的猜想：在一个三维空间中，假如每一条封闭的曲线都能收 缩到一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。但1905年发 现提法中有错误，并对之进行了修改，被推广为：“任何与n维 球面同伦的n维封闭流形必定同胚于n维球面。”后来，这个猜 想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”。


研究方向
庞加莱的研究涉及数论、代数学、几何学、拓 扑学等许多领域，最重要的工作是在分析学方面。 他早期的主要工作是创立自守函数理论（1878）。 他引进了富克斯群和克莱因群，构造了更一般的 基本域。他利用后来以他的名字命名的级数构造 了自守函数，并发现这种函数作为代数函数的单 值化函数的效用。 1883年，庞加莱提出了一般的单值化定理 （1907年，他和克贝相互独立地给出完全的证 明）。同年，他进而研究一般解析函数论，研究 了整函数的亏格及其与泰勒展开的系数或函数绝 对值的增长率之间的关系，它同皮卡定理构成后 来的整函数及亚纯函数理论发展的基础。他又是 多复变函数论的先驱者之一。



1872年庞加莱两次荣获法国公立中学生数学 竞赛头等奖，从而使他于1873年被高等工科学校 作第一名录取。据说，在南锡中学读书时，他的 老师就誉称他为“数学巨人”. 1879年8月1日，庞加莱撰写了关于微分方程 方面的博士论文，获得了博士学位。然后到卡昂 大学理学院任讲师，1881年任巴黎大学教授，直 到去世。 1906年，庞加莱当选为巴黎科学院主席； 1908年，他被选为法国科学院院士，这是一位法 国科学家所能达到的最高地位。1908年庞加莱因 前列腺增大而未能前往罗马，虽经意大利外科医 生作了手术，使他能继续如前一样精力充沛地工 作，但好景不长。


著作
庞加莱的《有理数域上的代数几何学》一书开创了丢番 图方程的有理解的研究。他定义了曲线的秩数，成为丢番图 几何的重要研究对象。他在代数学中引进群代数并证明其分 解定理。第一次引进代数中的左理想和右理想的概念。证明 了李代数第三基本定理及坎贝尔—豪斯多夫公式。还引进李 代数的包络代数，并对其基加以描述，证明了庞加莱—伯克 霍夫—维特定理。 庞加莱的哲学著作《科学与假设》、《科学的价值》、 《科学与方法》也有着重大的影响。他是约定主义哲学的代 表人物，认为科学公理是方便的定义或约定，可以在一切可 能的约定中进行选择，但需以实验事实为依据，避开一切矛 盾。 1905年，匈牙利科学院颁发一项奖金为10000金克朗的 鲍尔约奖。这个奖是要奖给在过去25年为数学发展作出过最 大贡献的数学家。由于庞加莱从1879年就开始从事数学研究， 并在数学的几乎整个领域都作出了杰出贡献，因而此项奖又 非他莫属。


个说法太抽象的话，我们不妨做这样一个想象： 我们想象这样一个房子，这个空间是一个球。或者，想象一只巨大的 足球，里面充满了气，我们钻到里面看，这就是一个球形的房子。 我们不妨假设这个球形的房子墙壁是用钢做的，非常结实，没有窗户 没有门，我们现在在这样的球形房子里。拿一个气球来，带到这个球形的 房子里。随便什么气球都可以（其实对这个气球是有要求的）。这个气球 并不是瘪的，而是已经吹成某一个形状，什么形状都可以（对形状也有一 定要求）。但是这个气球，我们还可以继续吹大它，而且假设气球的皮特 别结实，肯定不会被吹破。还要假设，这个气球的皮是无限薄的。 好，现在我们继续吹大这个气球，一直吹。吹到最后会怎么样呢？庞 加莱先生猜想，吹到最后，一定是气球表面和整个球形房子的墙壁表面紧 紧地贴住，中间没有缝隙。 我们还可以换一种方法想想：如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮 带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为 一个点； 另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮 胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。 为什么？因为，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。 看起来这是不是很容易想清楚？但数学可不是“随便想想”就能证明 一个猜想的，这需要严密的数学推理和逻辑推理。一个多世纪以来，无数 的科学家为了证明它，绞尽脑汁甚至倾其一生还是无果而终。
亨利· 庞加莱
．
亨利· 庞加莱
荣评庞研生简 誉价加究平介 莱方 猜向 想
目 录
• • • • • •
简

介
庞加莱的父母亲都出身于法国的显 赫世家，几代人都居住在法国东部 的洛林。庞加莱从小就显出超常的 智力，他智力的重要来源之一是遗 传。庞加莱的父亲是当地一位著名 医生，并任南锡大学医学院教授。。 庞加莱叔叔的两个儿子是法国政界 的著名人物：雷蒙· 庞加莱于1913至 1920年间任法国总统；吕西· 庞加莱 曾任法国民众教育与美术部长，负 责中等教育工作。

七个“千禧难题” 2000年5月24日，美国克莱数学研究所的 科学顾问委员会把庞加莱猜想列为七个“千禧 难题”（又称世界七大数学难题）之一，这七 道问题被研究所认为是“重要的经典问题，经 许多年仍未解决。”克雷数学研究所的董事会 决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年 大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。 另外六个“千年大奖问题”分别是： NP完全 问题， 霍奇猜想（Hodge）， 黎曼假设 （Riemann），杨－米尔斯理论（YangMills），纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes， 简称NS方程），BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。