微积分(上)复习资料——公式

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微积分常用公式及运算法则(上册)

0,
π 2
1
lim nn = 1
n→∞
1
lim x x = 1
x→+∞
lim
x→∞
1
+
1 x x
=
e,
lim
x→∞
1
−
1 x x
=
1 , lim (1+
e x→0
1
x)x
=e
等价无穷小：当x → 0时, x ∼ sin x ∼ tan x ∼ arcsin x ∼ arctan x ∼ ln(1+ x) ∼ ex −1; 1− cos x ∼ x2 ;(1+ x)a −1 ∼ ax(a ≠ 0);
2!
n!
sin x = x − 1 x3 + 1 x5 −⋯ 3! 5!
柯西中值定理：若f , g ∈C[a,b],并且f , g ∈ D(a,b),在(a,b)内 g(x) ≠ 0, 那么至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 f (b) − f (a) = f ′(ξ ) g(b) − g(a) g′(ξ )
泰勒中值定理：
如果函数f (x)在含x0的某个开区间(a, b) 内具有(n +1)阶导数，即f ∈ Dn+1(a,b)，
u v
′
=
u′v − uv′ v2
设x = ϕ ( y)，它的反函数是y = f (x)，则有
f
′( x)
=
1 ϕ′( y)
链式求导法则：d y = d y id u dx du dx
对数求导法则：
求幂指函数y = [u(x)]v(x)的导数时，
可先取对数，得 ln y = v(x) ln u(x)，

微积分上册期中公式定理汇总

a，记作 lim
n→∞
xn
或xn→a（n→+∞）
。
2、定义 2：设 a∈ R,∀U（a,ε）,∃N∈ Z+，当 n>N 时，总有xn ∈U（a,ε），则称数列(xn)n∞=1收敛于 a。
3、推论：数列(xn)n∞=1收敛于 a 的充分必要条件是，对 a 的任一ε邻域 U（a，ε），只有有限多项xn不属于 U（a，ε）
（2） lim g(x)= lim h(x)=A，则 lim f(x)存在且等于 A。
x→x0(x→∞）
x→x0(x→∞)
x→x0(x→∞)
2、关于数列的夹逼准则：设数列(xn)n∞=1，(yn)n∞=1，(zn)n∞=1满足：（1） yn ≤ xn ≤ zn（n=1,2,…）；
（2）
lim
n→∞
3、定理 1：（1）有限个无穷小之和是无穷小。（2）有界函数与无穷小之积是无穷小。
4、推论：（1）常数与无穷小之积是无穷小。（2）有限个无穷小之积是无穷小。
5、定义：如果对任意给定的正数 M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数 X），
使得当定义域中的 x 满足不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X）时，对应的函数值 f(x) 满足不等式|f(X)|>M，就称函数 f(X)是当 x→x0（x→∞）时的无穷大，并记为
4、定理 3（收敛函数的有界性）：如果数列(xn)n∞=1收敛，那么数列(xn)n∞=1必定有界。
5、
定理
4（收敛函数的保号性）：如果 lim
n→∞
xn=a，且
a>0（或
a<0），那么存在
正整数 N，当 n>N 时，都有xn>0（或xn<0）。

微分必背48个公式

微分必背48个公式微分是数学中的一个重要概念，也是高等数学中的基础知识之一。

在微分学中，有许多重要的公式需要掌握和灵活运用。

今天我们就来介绍一些微分公式，帮助大家深入理解微分的概念和运算方法。

1. 基本导数公式：(1) `(c)' = 0`，其中c为常数；(2) `(x^n)' = nx^(n-1)`，其中n为实数；(3) `(e^x)' = e^x`，即指数函数的导数是自身；(4) `(a^x)' = a^x ln(a)`，其中a为大于0且不等于1的实数；(5) `(ln(x))' = 1/x`，即自然对数函数的导数是1除以自身。

2. 四则运算法则：(1) `(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)`，即两个函数的和的导数等于它们的导数之和；(2) `(f(x) - g(x))' = f'(x) - g'(x)`，即两个函数的差的导数等于它们的导数之差；(3) `(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)`，即两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数；(4) `(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/(g(x))^2`，即两个函数的商的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数减去第一个函数乘以第二个函数的导数，再除以第二个函数的平方；(5) `(c*f(x))' = c*f'(x)`，即常数与一个函数的乘积的导数等于常数与该函数的导数的乘积。

3. 反函数求导公式：若有函数y = f(x)，且f'(x) ≠ 0，设其反函数为x = g(y)，则有：`(g(y))' = 1/f'(g(y))`，即反函数的导数等于1除以原函数导数在反函数点的取值。

高等数学上册(微积分)必背公式总结

高等数学上册(微积分)必背公式总结以下仅是个人总结仅供参考(不包含微分方程模块)常用三角函数公式积化和差公式\begin{aligned} \sin \alpha \cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta&=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta&=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\end{aligned}和差化积公式\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta}{2} \\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \tan\alpha+\tan\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned}归一化公式\begin{aligned} \label{gyhgs} \sin^2 x+\cos^2x&=1\\\sec^2 x-\tan^2x&=1\\\cosh^2x-\sinh^2x&=1\end{aligned}倍(半)角公式降(升)幂公式\begin{aligned} \sin^2x&=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\\\cos^2x&=\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\ \tan^2x&=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \sinx&=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cosx&=2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\ \tan x&=\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}\end{aligned}万能公式令 u=\tan\dfrac{x}{2} 则\begin{aligned} \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\ \cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}常用的佩亚诺型余项泰勒公式有泰勒公式 \begin{aligned}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]\notag\\f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\small{ (\xi \mbox{在}x_0 \mbox{与}x\mbox{之间})} \notag\end{aligned}\begin{aligned}\mathrm{e}^{x}&=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+ \cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n})\\ \ln(x+1)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n})\end{aligned}令 n=2m 有,\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\ \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m\frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\ \tanx&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \cdots+o(x^{2m-1})\end{aligned} \begin{aligned}\arcsinx&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \end{aligned}常用于近似计算的泰勒公式\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\(1+x)^{\alpha}&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+o(x^n) \\\alpha^x&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n\alpha}{n!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+x\ln\alpha+\frac{\ln^2 \alpha}{2}x^2+\cdots+\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n)\end{aligned}基本求导公式\begin{equation} \left( C\right)'=0 \\\left( x^{\mu}\right)'=\mu x^{\mu-1} \\ \left( \sinx\right)'=\cos x \\ \left( \cos x\right)'=-\sin x \\ \left( \tan x\right)'=\sec^2 x\\ \left( \cotx\right)'=-\csc^2 x \\ \left( \sec x\right)'=\secx\cdot\tan x \\ \left( \csc x\right)'=-\csc x\cdot\cot x \\ \left( a^x\right)'=a^x\ln a\ (a>0,a\neq1)\\\left( \log_{a}x\right)'=\frac{1}{x\cdot\ln a}\(a>0,a\neq1) \\ \left( \arcsinx\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arccosx\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arctanx\right)'=\frac{1}{1+x^2} \\ \left( \mathrm{arccot}\, x\right)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ \end{equation}函数图形描述中涉及到的重要公式常用曲率计算公式曲率的定义式K=\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|由定义式我们可以推得1.直角坐标系中的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|y''\right|}{\left( 1+y^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}2.参数方程表示的曲线 x=\varphi(t),y=\psi(t) 有曲率表达式 K=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[ \varphi^{'2}(t) +\psi^{'2}(t) \right]^{3/2}}\mbox{;}3.极坐标表示的的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|r^2+2r^{'2}-r\cdotr''\right|}{\left(r^2+r^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}曲线在对应点 M(x,y) 的曲率中心 D(\alpha,\beta) 的坐标为\begin{cases} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})}{y^{''2}} \\\beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{cases} 曲线的渐近线1.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b ,则称 y=b 为曲线 f(x) 的水平渐近线;2.若 \lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty ,则称 x=x_0 为曲线 f(x) 的垂直渐近线;3.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0 ,其中 \begin{cases} a=\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases} 则称 y=ax+b 为曲线 f(x) 的斜渐近线.基本积分公式\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \mbox{(其中}k\mbox{为常数)} \\ &\intx^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\(\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\tanx\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ &\int\cotx\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ &\int\cscx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{ 2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ &\int\secx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \secx\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x\cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\inta^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ &\int \sinhx\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ &\int \coshx\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ &\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac {x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{aligned}基本积分方法第一类换元法1.一般地,对于 \sin^{2k+1}x\cos^n x 或 \sin^n x\cos^{2k+1}x (其中 k\in\mathbb{N} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\cos x 或 u=\sin x ,从而求得结果;2.一般地,对于 \sin^{2k}x\cos^{2l}x 或 (其中 k,l\in\mathbb{N} )型函数的积分,总是利用降幂公式\sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x),\cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x) 化成 \cos 2x 的多项式,从而求得结果;3.一般地,对于 \tan^{n}x\sec^{2k} x 或 \tan^{2k-1} x\sec^{n}x (其中 n,k\in\mathbb{N}_{+} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\tan x 或 u=\sec x ,从而求得结果;\begin{aligned} &\int {f( ax + b){\rm{d}}x= }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a\neq 0)} \\ &\int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} +b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ &\int{f\left( \frac{1}{x}\right)\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int{f\left( \frac{1}{x}\right){\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ &\int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\lnx){\rm{d(}}\ln x)} \\ &\int {f({\mathrm{e}^x})}{\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int{f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ &\int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ &\int {f(\sinx)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ &\int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ &\int {f(\tan x){{\sec }^2}}x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ &\int{f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cotx){\rm{d}}\cot x} \\ &\int {f(\arcsinx)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int{f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ &\int {f(\arctanx)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ &\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned}部分分式\begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} =&\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} +\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \notag\\\&\frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} +\frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots +\frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \notag\\\&\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px +q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots +\frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \notag\ \\&\cdots \end{aligned}三角函数的特殊定积分\begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x\notag \I_n&\\&=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\notag\ \\&=\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}}\cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n\mbox{为大于}1\mbox{的正奇数}),I_1=1\\ \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad(n\mbox{为正偶数}),I_0=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\end{aligned}。

微积分复习资料——公式

a
b
6.万能公式
cos
a
cos
b
1 2
cos
a
b
cos
a
b
cos
a
sin
b
1 2
sin
a
b
sin
a
b
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
6、 sin xdx cosx c
7、 cosxdx sin x c
8、
1 cos2
x
dx
sec2
xdx
tan
x
c
9、
1 s in 2
x
dx
csc2
xdx
cot
x
c
10、 sec x tan xdx sec x c
11、 cscx cot xdx cscx c
12、
1 dx arcsin x c 1 x2
第二换元积分法中的三角换元公式
(1) a2 x2 x asin t (2) a2 x2 x a tant (3) x2 a2 x asect
常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
x
2
lim arc tan x
x
2
lim arc cot x 0

微积分公式知识点总结

微积分公式知识点总结1. 导数的基本公式导数是描述函数变化率的概念，它在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。

函数f(x)在点x处的导数可以用极限的概念来表示：f'(x) = lim [f(x + Δx) - f(x)] / Δx , Δx→0其中f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

根据导数的定义，可以得到一些常用函数的导数公式，比如：常数函数的导数：(k)’ = 0幂函数的导数：(x^n)’ = nx^(n-1)指数函数的导数：(e^x)’ = e^x对数函数的导数：(log_a⁡x)’ = 1/(xlna)三角函数的导数：(sinx)’ = cosx，(cosx)’ = -sinx，(tanx)’ = sec^2⁡x这些基本的导数公式在微积分的学习中是非常常见的，学生们需要熟练掌握这些公式，以便在求导的过程中能够更加得心应手。

2. 高阶导数公式对于函数f(x)的导数f'(x)，我们可以再次对f'(x)进行求导，得到f''(x)，称为f(x)的二阶导数。

类似地，我们可以继续求导，得到f'''(x)、f''''(x)等高阶导数。

对于高阶导数，也有一些常用的公式，比如：n次幂函数的n阶导数：(x^n)^(n) = n!指数函数的n阶导数：(e^x)^(n) = e^x三角函数的n阶导数：(sinx)^(n) = sin(x + nπ/2)，(cosx)^(n) = cos(x + nπ/2)对于高阶导数的计算，一般都会用到多次的链式法则、乘积法则和商法则，因此在实际求解中需要特别注意这些规则的应用。

3. 积分的基本公式积分是导数的逆运算，它可以用来求解函数的面积、定积分和不定积分等问题。

对于函数f(x)的积分，我们可以用不定积分符号∫f(x)dx来表示。

下面是一些常用的积分公式：幂函数的积分：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C三角函数的积分：∫sinx dx = -cosx + C，∫cosx dx = sinx + C这些基本的积分公式对于求解积分问题非常有用，学生们需要通过大量的练习来熟练掌握这些公式，以便能够在实际问题中灵活运用。

微积分大一上学期知识点

第一章函数，极限与连续第一节函数注：函数是高中的重点知识，以下是高中函数全部重点，篇幅有点长，供查阅。

一、函数的概念与表示1、映射:设A 、B 是两个集合，如果按照某种映射法那么f ，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应〔包括集合A 、B 以及A 到B 的对应法那么f 〕叫做集合A 到集合B 的映射，记作f ：A →B 。

注意点:判断一个对应是映射的方法:可多对一，不可一对多，都有象，象唯一.2、函数:如果A,B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A →B 就叫做A 到B 的函数，记作)(x f y =,其中B y A x ∈∈,.原像的集合A 叫做函数)(x f y =的定义域.由所有象f(x)构成的集合叫做)(x f y =的值域，显然值域是集合B 的子集.构成函数概念的三要素: ①定义域(x 的取值范围)②对应法那么〔f 〕③值域〔y 的取值范围〕两个函数是同一个函数的条件：定义域和对应关系完全一致. 二、函数的定义域、解析式与值域 1、求函数定义域的主要依据：〔1〕整式的定义域是全体实数；〔2〕分式的分母不为零；〔3〕偶次方根的被开方数大于等于零；〔4〕零取零次方没有意义〔零指数幂的底数不为0〕；〔5〕对数函数的真数必须大于零；〔6〕指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；〔7〕假设函数)(x f y =是一个多项式，需要求出各单项式的定义域，然后取各局部结果的交集；〔8〕复合函数的定义域：假设)(x f 的定义域],[b a ，求复合函数))((x g f 的定义域，相当于求使],[)(b a x g ∈时x 的取值范围；假设复合函数))((x g f 的定义域，求)(x f 的定义域，相当于求)(x g 的值域. 2求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数；②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合b ax y ±+= ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y 的取值范围；适合分子或分母为二次且x ∈R 的分式；此种类型不拘泥于判别式法，如ka by +=2的形式可直接用不等式性质；n mx ax bx y ++=2可先化简再用均值不等式；nmx x n x m ax y ++'+'+=22通常用判别式法；nm x n x m x y +'+'+=2 可用判别式法或均值不等式；④别离常数：适合分子分母皆为一次式〔x 有范围限制时要画图〕；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥图象法：1.二次函数必画草图求其值域；在给定区间上求最值有两类：闭区间[]b a ,上的最值；求区间动〔定〕，对称轴定〔动〕的最值问题；注意“两看〞：一看开口，二看对称轴与给定区间的位置关系.)0,0(>>+=b a x b ax y 型函数的图像在单调性中的应用：增区间为],(ab --∞，),[+∞a b ，减区间为)0,[a b -，],0(ab ；⑦利用对号函数：xx y 1+=〔如右图〕；⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域.主要是含绝对值函数三．函数的奇偶性1．定义: 设y=f(x)，x ∈A ，如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=，那么称y=f(x)为偶函数.如果对于任意x ∈A ，都有()()f x f x -=-，那么称y=f(x)为奇函数.2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称;②假设函数f(x)的定义域关于原点对称，那么f(0)=0;③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D 1 ，D 2，D 1∩D 2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称;②看f(x)与f(-x)的关系或观察函数图像的对称关系；4，复合函数的奇偶性：“内偶那么偶，内奇同外〞四、函数的单调性作用：比拟大小，解不等式，求最值.1、函数单调性的定义：如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有()()()2121)()(x f x f x f x f ><，那么就称函数)(x f 在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 叫)(x f y =的单调区间. 图像特点：增函数：从左到右上升〔y 随x 的增大而增大或减小而减小〕；减函数：从左到右下降〔y 随x 的增大而减小或减小而增大〕； 2.判断单调性方法：①定义法[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.②观察法：根据特殊函数图像特点；③掌握规律：对于两个单调函数()f x 和()g x ，假设它们的定义域分别为I 和J ，且I J ⋂≠∅：(i)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时，①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x ，()g x 相同， ②2()()()F x f x g x =⋅、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F xg x g x =≠的增减性不能确定；(ii)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么：①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠为增函数；5()()(()0)()g x F x f x f x =≠为减函数. 3.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

微积分(上)复习资料_公式

1
0
0
-1
不存在
0
0
不存在
(1) (2)
(3)
(B )
定理 2 复合函数极限
设函数
是函数
，
的复合函数。
若
,
在有定义且
，则
因为
，所以定理结论也也可写成
推论 3 若
存在，C 为常数，则
推论 4 若
存在，n 为正整数，则
2.3 常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
sin
a
b
sin
a
b
6.万能公式
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
csc2 x cot2 x 1
8.倒数关系 tan xcot x 1 9.商数关系
cos A 1 cos A
2
2
cot A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
4.和差化积公式
sin a sin b 2sin a b cos a b
2
2
sin a sin b 2cos a b sin a b
2
2
cos a cos b 2cos a b cos a b
⑼ ax ax ln a ⑽ ex ex
⑾

高中数学微积分公式大全

35 7
(2n 1)
（1+x)r =1+rx+ r(r 1) x2+ r(r 1)(r 2) x3+…
2!
3!
-1<x<1
Γ(x) =
t
x-1e—t
dt
=
2
t
2x—1
et2
dt
=
(ln 1) x-1 dt
0
0
0t
β(m, n) =
1
x
m—1(1—x)n—1
dx=2
2 sin 2m-1x cos2n—
sinh—1 （ x )= ln (x+ a2 x2 ） x R a
cosh-1 ( x )=ln (x+ x2 a2 ） x≧1 a
tanh-1 （ x )= 1 ln ( a x ）｜x｜ a 2a a x
〈1
coth-1 ( x ）= 1 ln （ x a ） |x| 〉
a 2a
xa
a
x
1 x2 x2
) |x| >0
duv = udv + vdu duv = uv = udv + vdu
→ udv = uv — vdu
cos2θ-sin2θ=cos2θ
cos2θ+ sin2θ=1
cosh2θ-sinh2θ=1
cosh2θ+sinh2θ=cosh2θ
Dx sinh—1( x )= a
npi
變異數 V(x)
1 （n2+1）
12
1 (b-a）2
12
pq npq
kq p2
npi（1—pi)
動差母函數 m(t)

微积分(上)复习

n
n−1
同步练习P6 同步练习一、13，33，35 ，，二、6，9，16 ，，
11/58
(6)幂指函数求导法幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以为底的复合函数再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存在的点). 在的点). (3) 间断点
①可去间断点(左可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点例如：例如：振荡
同步练习P5 同步练习二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质无穷小与无穷大的概念与性质（1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（微积分（上）

微积分常用公式及运算法则上

微积分常用公式及运算法则上微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济学等领域。

在学习微积分的过程中，掌握常用的公式和运算法则是非常重要的。

下面是微积分中常用的公式和运算法则的详细介绍。

一、常用公式1.导数公式（1）常数的导数：若c为常数，则d/dx(c)=0。

（2）乘方函数的导数：若y=x^n，则dy/dx=nx^(n-1)。

（3）指数函数的导数：若y=e^x，则dy/dx=e^x。

（4）对数函数的导数：若y=ln(x)，则dy/dx=1/x。

（5）三角函数的导数：（a）若y=sin(x)，则dy/dx=cos(x)。

（b）若y=cos(x)，则dy/dx=-sin(x)。

（c）若y=tan(x)，则dy/dx=sec^2(x)。

（d）若y=cot(x)，则dy/dx=-csc^2(x)。

（e）若y=sec(x)，则dy/dx=sec(x)tan(x)。

（f）若y=csc(x)，则dy/dx=-csc(x)cot(x)。

2.积分公式（1）不定积分：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx=F(x)+C，其中C为常数。

（2）定积分：若f(x)在区间[a, b]上可积，则∫[a, b]f(x)dx是f(x)在[a, b]上的定积分。

3.常用等式（1）和差化积：(a+b)(a-b)=a^2-b^2（2）完全平方差：a^2-2ab+b^2=(a-b)^2（3）二次方程的根：若ax^2+bx+c=0(a≠0)有实根，则判别式D=b^2-4ac≥0。

（4）勾股定理：在直角三角形ABC中，设∠C=90°，则a^2+b^2=c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。

二、运算法则1.四则运算法则（1）加法法则：(f+g)'=f'+g'。

（2）减法法则：(f-g)'=f'-g'。

（3）乘法法则：(f*g)'=f'*g+f*g'。

微积分公式大全

微积分公式大全1. 极限公式。

$\lim_{x \to a} c = c$。

$\lim_{x \to a} x = a$。

$\lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x)$。

$\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$。

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a}g(x)}$ （其中$\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$）。

2. 导数公式。

$(k)' = 0$。

$(x^n)' = nx^{n-1}$。

$(e^x)' = e^x$。

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$。

$(\sin x)' = \cos x$。

$(\cos x)' = -\sin x$。

$(\tan x)' = \sec^2 x$。

$(\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

$(\arccos x)' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$。

$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$。

3. 微分公式。

$d(c) = 0$。

$d(x^n) = nx^{n-1}dx$。

$d(e^x) = e^xdx$。

$d(\ln x) = \frac{1}{x}dx$。

$d(\sin x) = \cos xdx$。

$d(\cos x) = -\sin xdx$。

$d(\tan x) = \sec^2 xdx$。

4. 积分公式。

$\int kdx = kx + C$。

4.2微积分基本公式

则一定有 G(x) F(x) C.
6
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4.2.3 微积分基本公式
经济应用数学
定理4.3 设函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，F(x)
是 f (x) 在 [a,b] 上的一个原函数，则
b
a f (x)dx F (b) F (a)
此公式称为牛顿—莱布尼玆公式，也称为微积分基本公式．
du 0
dx
2 x sin u 2x sin x
4.
f ( x)
x2 dt u
0
1
t
3
u
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2
u 0
1
dt t
3
·u(
u
x
)
=
1 1 u3 ·2 x
2x = 1 x6
(u x2 )
15
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经济应用数学
5.
dy
dx
=
x3 x2
1 t 2dt = x
d dx
cos x et2 dt ,
1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
lim sin x ecos2 x
x0
2x
1. 2e
17
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经济应用数学
7.
lim
x0
0 sint 2dt
2x
lim
当 x 在a, b上任意变动，则对于每一个 x 值

微积分常用公式及运算法则

微积分常用公式及运算法则1.基本导函数：(1)常数函数导数公式：若f(x)=C，其中C是常数，则f'(x)=0。

(2) 幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n是常数，则f'(x) = nx^(n-1)。

(3) 指数函数导数公式：若f(x) = a^x，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = a^x * ln(a)。

(4) 对数函数导数公式：若f(x) = log_a(x)，其中a是正常数且a≠1，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。

(5)三角函数导数公式：- sin函数导数：(sinx)' = cosx。

- cos函数导数：(cosx)' = -sinx。

- tan函数导数：(tanx)' = sec^2(x)。

- cot函数导数：(cotx)' = -csc^2(x)。

- sec函数导数：(secx)' = secx * tanx。

- csc函数导数：(cscx)' = -cscx * cotx。

(6)反三角函数导数公式：- arcsin函数导数：(arcsinx)' = 1 / sqrt(1 - x^2)。

- arccos函数导数：(arccosx)' = -1 / sqrt(1 - x^2)。

- arctan函数导数：(arctanx)' = 1 / (1 + x^2)。

- arccot函数导数：(arccotx)' = -1 / (1 + x^2)。

- arcsec函数导数：(arcsecx)' = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1- arccsc函数导数：(arccscx)' = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))，其中，x， > 1(1)常数乘法法则：若f(x)=C*g(x)，其中C是常数，则f'(x)=C*g'(x)。

微积分公式大全

微积分公式大全一、基本公式：1.微分基本公式（导数）：（1）常量函数导数：(k)'=0；（2）幂函数导数：(x^n)'=n·x^(n-1)；（3）指数函数导数：(a^x)'= ln(a)·a^x；（4）对数函数导数：(log_a x)'= 1/(x·ln(a))；（5）三角函数导数：(sin x)'=cos x, (cos x)'=-sin x, (tan x)'=sec^2 x；（6）反三角函数导数：(arcsin x)'=1/√(1-x^2), (arccos x)'=-1/√(1-x^2), (arctan x)'=1/(1+x^2)；（7）复合函数导数：f(g(x))'=f'(g(x))·g'(x)；2.积分基本公式：（1）不定积分：∫(k)dx=kx+C, ∫(x^n)dx= (x^(n+1))/(n+1)+C；（2）定积分：∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)，其中 F(x) 是 f(x) 在[a, b] 上的一个原函数；（3）换元积分：∫f(g(x))·g'(x)dx=∫f(u)du, 其中 u = g(x)；（4）分部积分：∫u·dv = u·v - ∫v·du；二、微分学公式：1.高阶导数：如果函数f(x)的n阶导数存在，则记作f^(n)(x)，有以下公式：（1）常函数的n阶导数为0；（2）幂函数的n阶导数为n!(n-1)!·x^(n-m)；（3）指数函数的 n 阶导数为a^x·ln^n(a)；（4）对数函数的n阶导数为(-1)^(n-1)·(n-1)!/x^n；（5）三角函数的n阶导数：sin(x)：n 为奇数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为cos(x+ nπ/2)；cos(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 -cos(x+ nπ/2)；n 为偶数时，n 阶导数为sin(x+ nπ/2)；tan(x)：n 为奇数时，n 阶导数为 (-1)^(n-1)·2^(n-1)·B_n·(2n)!·x^(2n-1)，其中 B_n 为 Bernoulli 数；n为偶数时，n阶导数为0；2.泰勒展开：函数f(x)的泰勒展开式为：f(x)=f(a)+f'(a)·(x-a)+f''(a)·(x-a)^2/2!+......+f^(n)(a)·(x-a)^n/n!+......；当x接近a时，可以使用前n阶导数来估算函数的值；三、积分学公式：1.牛顿-莱布尼茨公式：设函数F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则有∫(a~b)f(x)dx= F(b)- F(a)；2.反常积分：（1）瑕积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域内发散；（2）收敛式积分：∫(1/x)dx 在曲线 y=0, x=0 和 x=1 构成的区域外收敛为 ln，x；（3）点收敛、条件收敛和绝对收敛；3.广义积分：（1）广义积分存在：∫(a~+∞)f(x)d x= A 表示对于任意定义域上的f(x)，在 a 之后的任意区间上都是收敛的；（2）比较判别法：若存在p>0和M>0，使得，f(x)，<=M·g(x)，那么当f(x)的积分是收敛的，那么g(x)的积分也是收敛的；（3）绝对收敛：如果，f(x)，在定义域上是收敛的，那么f(x)的积分是绝对收敛的；（4）积分判别法：如果积分是收敛的，但是f(x)的绝对值不是；或者f(x)的绝对值是收敛的，但是积分是发散的，那么f(x)的积分是条件收敛的；以上仅是微积分常用公式的集合，只能作为参考，实际应用仍需根据具体问题进行判断和运用。

复习1微积分基本公式

复习1：微积分基本公式重点：公式的应用难点：公式的应用一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系设一物体在一直线上运动，在这直线上取定原点，正方向，单位长度，使其成为一数轴，时刻t 时物体所有的位置)(t s ，速度)0)()((≥t v t v 不防设。

物体在时间间隔],[21T T 内经过的路程可以用速度函数)(t v 在],[21T T 上的定积分来表达，即⎰21)(T T dx t v另一方面，这段路程可以通过位置函数)(t s 在区间],[21T T 的增量来表示，即)()(12T S T S -故⎰21)(T T dx t v =)()(12T S T S -注意到)()`(t v t S =，即)(t s 是)(t v 的原函数。

二、积分上限的函数及其导数设)(x f 在],[b a 上连续，并且设x 为],[b a 上任一点，设⎰=Φxa dt t f x )()( 函数)(x Φ具有如下性质：定理1 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则积分上限函数⎰=Φxa dt t f x )()( 在[a,b]上具有导数，并且它的导数是⎰=Φ'x adt t f dx d x )()( =)(x f （b x a ≤≤）证明：（1）),(b a x ∈时，)()()(x x x x Φ-∆+Φ=∆Φ=-⎰+x x a dt t f 4)(⎰x a dt t f )( =x f dt t f x x x ∆=⎰+)()(4ξξ在x x ∆与之间)()(ξf xx =∆∆Φ 0→∆x 时，有=Φ')(x )(x f（2）时考虑或b a x =其单侧导数，可得=Φ')(a )(a f ，=Φ')(b )(b f由定理1可得下面结论定理2 如果函数)(x f 在区间[a,b]上连续，则函数=Φ)(x ⎰xa dt t f )(是)(x f 的一个原函数。