数学分析中的变换法

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拉普拉斯变换和傅里叶变换

拉普拉斯变换和傅里叶变换一、引言在信号处理和数学分析中，拉普拉斯变换和傅里叶变换是两个非常重要的工具。

它们在不同领域中都有广泛的应用，包括电子工程、通信系统、图像处理和控制系统等等。

本文将对这两个变换进行全面、详细、完整且深入的探讨。

二、拉普拉斯变换2.1 定义拉普拉斯变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为复平面上的函数。

给定一个函数f(t)，其拉普拉斯变换记作F(s)，其中s是一个复数。

拉普拉斯变换的定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) f(t) * e^(-st) dt其中，L表示拉普拉斯变换操作符，e是自然对数的底数。

2.2 特点拉普拉斯变换具有以下特点：1.线性性质：L{a f(t) + b g(t)} = a F(s) + b G(s)，其中a和b是常数，f(t)和g(t)是函数。

2.平移性质：L{f(t-a)} = e^(-as) * F(s)，其中a是常数。

3.时移性质：L{f(t)*e^(at)} = F(s-a)，其中a是常数。

4.余弦变换：L{cos(ωt)} = s / (s^2 +ω^2)，其中ω是常数。

2.3 应用拉普拉斯变换在许多领域中有广泛的应用，包括电路和信号处理。

它可以用于求解常微分方程和偏微分方程，以及分析线性时不变系统和信号的稳定性。

三、傅里叶变换3.1 定义傅里叶变换是一种数学变换方法，用于将一个函数转换为频域的函数。

给定一个函数f(t)，其傅里叶变换记作F(ω)，其中ω是一个实数。

傅里叶变换的定义如下：F(ω) = FT{f(t)} = ∫[-∞,+∞) f(t) * e^(-iωt) dt其中，FT表示傅里叶变换操作符，i是虚数单位。

3.2 特点傅里叶变换具有以下特点：1.线性性质：FT{a f(t) + b g(t)} = a F(ω) + b G(ω)，其中a和b是常数，f(t)和g(t)是函数。

2.平移性质：FT{f(t-a)} = e^(-iωa) * F(ω)，其中a是常数。

傅里叶变换及其应用

傅里叶变换及其应用傅里叶变换（Fourier Transform）是一种重要的数学工具和数学分析方法，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、量子力学等领域。

通过将一个函数表示成一组正弦和余弦函数的叠加，傅里叶变换能够将时域中的信号转化为频域中的信号，从而使得复杂的信号处理问题变得更加简单。

本文将介绍傅里叶变换的原理、性质以及其在实际应用中的几个重要方面。

一、傅里叶变换的原理和基本定义傅里叶变换是将一个函数f(x)表示成指数函数的叠加的过程。

设f(x)在时域上是以周期T为基本周期的连续函数，那么其傅里叶变换F(k)在频域上将成为以1/T为基本周期的连续函数。

傅里叶变换的基本定义如下：F(k) = ∫[f(x) * e^(-i2πkx/T)]dx其中，i是虚数单位，k是频率变量。

通过这样的变换，我们可以将时域上的函数转换为频域上的函数，从而可以更加清晰地分析信号的频谱特征。

二、傅里叶变换的性质傅里叶变换具有一些重要的性质，这些性质使得傅里叶变换成为一种强大的工具。

1. 线性性质：傅里叶变换具有线性性质，即若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则对应线性组合的傅里叶变换为aF(k) +bG(k)，其中a和b为常数。

2. 时移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(x - a)的傅里叶变换为e^(-i2πak/T)F(k)，即时域上的平移将对频域上的函数进行相位调制。

3. 频移性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则e^(i2πax/T)f(x)的傅里叶变换为F(k - a)，即频域上的平移将对时域上的函数进行相位调制。

4. 尺度变换性质：若f(x)的傅里叶变换为F(k)，则f(ax)的傅里叶变换为1/|a|F(k/a)，即函数在时域上的尺度变换会对频域上的函数进行缩放。

5. 卷积定理：若f(x)和g(x)的傅里叶变换分别为F(k)和G(k)，则f(x) * g(x)的傅里叶变换为F(k)G(k)，即在频域上的乘积等于时域上的卷积。

数学分析重积分的变量替换仿射变换

数学分析(二): 多元微积分
梅加强副教授南京大学数学系
内容提要:
3.5.1 仿射变换
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式;
3.5.1 仿射变换
内容提要: 线性变换的分解; 伸缩变化下体积的变换公式; 正交变换下体积的变换公式;
因此下面不妨设 b = 0, 考虑线性变换.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零.
线性变换的分解
如果 det M = 0, 则 ϕ(Rn) 包含于某个超平面中, 而超平面是 Rn 中的零测集, 特别地, 容易看出这时 ϕ(A) 可求体积且体积为零. 于是我们进一步假设 det M = 0. 根据线性代数中矩阵的极分解, 我们知道存在正定对称矩阵 P 以及正交矩阵 O, 使得 M = PO.
Bi ⊂ A, ν(Bi ) > ν(A) − ε; Bj ⊃ A, ν(Bj ) < ν(A) + ε,
i
i
j
j
其中 {Bi } 的内部互不相交.
证明要点: 先看 {Bi } 的存在性, 此时可设 ν(A) > 0.
覆盖引理之二
(覆盖引理之二)
设 A 为 Rn 中可求体积的有界集合, 则任给 ε > 0, 存在有限个 n 维球体 {Bi } 与 {Bj }, 使得
这称为伸缩变换.
伸缩变换
设 {λi } 为一组正实数, 考虑线性变换 ϕ : Rn → Rn, ϕ(x1, x2, · · · , xn) = (λ1x1, λ2x2, · · · , λnxn),

函数的对称与平移变换

函数的对称与平移变换在数学中，函数的对称和平移变换是一种常见的数学概念。

通过对函数进行对称和平移操作，我们可以改变其形状、位置和性质，从而更好地理解和分析函数的特点。

本文将介绍函数的对称和平移变换的基本概念、性质及其在数学中的应用。

一、对称变换对称变换是指将函数绕某个轴线进行镜像翻转，使得函数在轴线两侧呈现完全对称的形状。

常见的对称轴包括x轴、y轴和原点。

1. 沿x轴对称：当函数关于x轴对称时，称之为沿x轴对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(x, -y)也在曲线上。

沿x轴对称的函数形状上下对称。

2. 沿y轴对称：当函数关于y轴对称时，称之为沿y轴对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, y)也在曲线上。

沿y轴对称的函数形状左右对称。

3. 原点对称：当函数关于原点对称时，称之为原点对称函数。

这意味着当函数中的任意一点(x, y)在曲线上时，点(-x, -y)也在曲线上。

原点对称的函数形状在四个象限上对称。

对称变换不仅能够反映函数的对称性，还能够帮助我们简化函数的分析。

通过观察函数的对称轴和对称点，我们可以得到关于函数的重要信息，如函数的奇偶性、极值点和图像的对称性。

二、平移变换平移变换是指将函数沿着坐标轴的方向上平移一定的距离，从而改变函数的位置和形状。

平移变换可以是水平方向的平移（横向平移）或垂直方向的平移（纵向平移）。

1. 横向平移：当我们将函数沿着x轴的方向上移动a个单位，函数的数学表达式变为f(x-a)。

这个平移过程会改变函数图像在水平方向上的位置。

如果a为正数，函数图像会向右移动；如果a为负数，函数图像会向左移动。

2. 纵向平移：当我们将函数沿着y轴的方向上移动b个单位，函数的数学表达式变为f(x)+b。

这个平移过程会改变函数图像在垂直方向上的位置。

如果b为正数，函数图像会向上移动；如果b为负数，函数图像会向下移动。

平移变换不改变函数的形状，只是改变了函数图像在平面坐标系上的位置。

《数学分析(3)》知识点整理

《数学分析(3)》知识点整理
一、积分变换、微分变换
1.重积分变换：
（1）重积分的定义：定义函数F(x)的重积分为
恒定a的重积分，即，
若F(x)是以a为界的累积函数，则称为
（2）重积分的性质：
a)重积分的计算公式为：
b)重积分的分部积分：
c)重积分的这个积分变换所得无穷积分计算公式：
2.连续函数的微分变换：
（1）微分变换：定义函数f（x）在区间（a，b）上的微分变换为：
（3）微分变换的计算公式：
二、定积分应用
1.定积分的定义：在实数域上定义的函数的定积分的定义如下：
若f(x)在闭区间[a,b]上可导，则F(x)定义在[a,b]上的定积分为：
（i）原函数关于x的定积分的计算公式：
3.定积分的特殊情况：
（1）定积分可以用来求一般函数在区间极限：
（3）定积分可用向量场的方向在偶分野上的积分：
（4）定积分可用于求解概率分布函数的极限问题：
三、曲线积分
曲线积分是根据几何图形求积分的一种方法。

曲线积分有以下特点：
（1）以曲线形式表示函数：在曲线积分中，用几何图形形式代表函数f (x)，通过分段求面积，求出函数f (x)在原区间内的积分值。

（2）根据曲线形状更改区间：对于复杂曲线，可以将原区间拆分几个较小的区间，在拆分区间上，让函数的形状较为简单，以此求解。

（3）根据不同的函数，使用不同的方法：曲线面积求积法可分为三种：半圆面积求积法、梯形面积求积法和轴对称图形的面积求积法。

数学分析中的变量变换方法

数学分析中的变量变换方法数学是一门独立而自成体系的科学，在现代科学中占有重要地位。

而数学分析则是数学中的一个分支，其核心是研究极限、连续、微积分等概念和方法，为自然科学和工程技术学科提供了重要的理论基础。

在数学分析中，变量变换方法是一种常用而有效的求解技巧。

一、坐标变换在解决函数求导、定积分等问题时，我们常常需要考虑坐标变换。

坐标变换是指由自变量进行一定的代数或几何变换，得到一个新的自变量。

通过对变换前后的函数和区域的关系进行分析和计算，可以得到一些特殊的变量或区域。

常用的坐标变换包括极坐标变换和笛卡尔坐标变换。

极坐标变换：在平面直角坐标系下，设点P的坐标为(x,y)，则点P的极坐标为(r,θ)，其中r为点P到原点O的距离，θ为OP与x轴正半轴的夹角。

通过坐标变换，可以将函数由直角坐标系表示为关于极坐标表示的形式。

例如，对于函数f(x,y)，如果我们把x 和y用极坐标表示为$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta$$然后将f(x,y)用r和θ代替x和y，就得到了一个关于r和θ的函数g(r,θ)。

通过对g(r,θ)进行求导和积分，就可以得到一些结论。

笛卡尔坐标变换：在平面直角坐标系下，设代数变换为x=f(u,v)，y=g(u,v)，则可以由（u,v）坐标到(x,y)坐标建立映射。

通常情况下，为了利用变换性质，需要选取合适的变换函数f和g。

一般情况下，x和y是变量u和v的函数。

通过坐标变换，我们可以把求解的问题从一个形式复杂而难以处理的区域转化为另一个比较简单的区域，从而更容易定量地求解函数的极限、导数和定积分等。

二、复合函数的变量变换在数学中，复合函数的概念是指由两个或多个函数所组成的函数形式，记作f(g(x))或f(g(x,y))。

变量变换可以帮助我们对复合函数的求导和积分问题进行求解。

常见的变量变换包括正交变换、逆变换和坐标变换等。

正交变换：在向量空间中，一个保持向量的内积不变的线性变换称为正交变换。

变量变换的方法

变量变换的方法在数学和物理学中，变量变换是一种常见的方法，用于将一个问题转化成更容易处理的形式。

通过适当选择变量和进行合适的变换，可以简化问题的求解过程，使得问题的本质更加明确和易于理解。

本文将介绍几种常见的变量变换方法，包括线性变换、对数变换、极坐标变换和函数变换。

一、线性变换线性变换是一种最基本的变量变换方法。

它通过引入新的变量，将原来的问题转化为一个线性关系或者更简单的形式。

例如，在解决一元一次方程组时，可以通过线性变换将方程组转化为更容易求解的形式。

线性变换还常用于线性代数和矩阵计算中，可以将矩阵的表示方式转化为更方便计算的形式。

二、对数变换对数变换是一种常见的非线性变换方法。

它通过取对数将原来的问题转化为一个更容易处理的形式。

例如，在解决指数方程时，可以通过取对数将指数方程转化为对数方程，从而简化求解过程。

对数变换还常用于处理数据，特别是在数据呈指数增长或者呈正态分布时，可以通过取对数将数据转化为线性关系，从而方便分析和建模。

三、极坐标变换极坐标变换是一种常用的二维坐标变换方法。

它通过将直角坐标系转化为极坐标系，将原来的问题转化为更容易处理的形式。

极坐标变换常用于解决与圆或者圆环相关的问题，例如计算圆的面积、计算环形区域的面积等。

通过极坐标变换，可以将原来的复杂的计算问题简化为简单的几何计算，使得问题的求解更加直观和方便。

四、函数变换函数变换是一种常见的数学分析方法。

它通过引入新的函数，将原来的问题转化为一个更容易处理的形式。

函数变换常用于解决微积分中的极限、积分和微分等问题。

例如，在求解复杂函数的极限时，可以通过引入新的函数，将原来的问题转化为一个更简单的极限问题。

函数变换还常用于解决微分方程和偏微分方程等数学物理问题，可以将原来的方程转化为更容易求解的形式。

变量变换是一种常见的数学和物理方法，用于将原来的问题转化为更容易处理的形式。

通过选择合适的变量和进行适当的变换，可以简化问题的求解过程，使得问题的本质更加明确和易于理解。

常见的傅里叶变换对

常见的傅里叶变换对傅里叶变换（Fourier Transform，简称FT）是一种重要的数学分析工具，可以将信号从时域转换到频域，分析信号在频域中的特征。

在实际应用中，我们经常会遇到一些常见的傅里叶变换对，下面就逐一介绍一下这些变换对。

一、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶级数（FS）离散傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种变换方式，它与傅里叶级数有着密切的联系。

傅里叶级数是将周期信号在周期内按照一定的权重展开成一组无穷级数，可以得到信号在频域中的谱线。

当周期趋于无穷大时，傅里叶级数可以转换为傅里叶变换，展示信号在连续的频率域中的谱线。

因此，离散傅里叶变换与傅里叶级数是同一种变换的不同表现形式。

二、快速傅里叶变换（FFT）与离散傅里叶变换（DFT）快速傅里叶变换是将离散的时域信号转换为离散的频域信号的一种高效的计算方法。

它利用了离散傅里叶变换的对称性和周期性，将计算时间复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。

快速傅里叶变换与离散傅里叶变换的关系是，DFT是计算离散信号的频谱的一种方法，而FFT是DFT的一种高效算法。

三、短时傅里叶变换（STFT）与连续傅里叶变换（CFT）短时傅里叶变换是一种将非周期信号的时域信号转换为频域信号的方法。

与传统的傅里叶变换只能计算周期信号不同，短时傅里叶变换可以对非周期信号进行变换。

CFT是一种计算连续信号的傅里叶变换的方法，是对傅里叶变换的推广和扩展。

这两种变换方法都是将信号从时域转换为频域，但CFT适用于连续信号的处理，STFT适用于非周期信号的处理。

四、小波变换（WT）与傅里叶变换（FT）小波变换是一种分析信号在时间域上局部性质的变换方法。

与傅里叶变换只能分析信号在频域上的特征不同，小波变换可以分析信号在时间域上不同尺度的局部信息。

小波变换是一种时频分析方法，可以提供采样与频率同时抽取的加窄带效果，又较傅里叶分析提供更高分辨率。

数学分析(下)21-4二重积分的变量变换

§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。

数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)

第二十一章重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时，区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知，积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。

数学分析中的Fourier级数和Fourier变换的应用

数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是广泛应用于各个领域的重要数学工具。

无论是在工程领域还是物理领域，Fourier级数和Fourier变换都有着广泛的应用。

Fourier级数是指将任意函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。

它可以将一个周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数都有一个特定的振幅和角频率。

使用Fourier级数可以将复杂的周期函数表示为简单的波形，从而方便分析和处理。

Fourier变换则是将一个信号从时域转换到频域的数学操作。

它可以将一个时域上的函数表示为一系列复数的线性组合，其中每个复数对应于一个特定的频率成分。

通过Fourier变换，我们可以获得一个信号在频域上的频谱，从而方便分析信号的频率分布和频域特性。

Fourier级数和Fourier变换在信号处理中有着广泛的应用。

在通信领域中，Fourier变换可以用于信号调制和解调，以及频谱分析和滤波等操作。

通过将信号从时域转换到频域，我们可以更方便地进行信号的处理和分析，从而提高通信系统的性能。

在图像处理领域，Fourier变换也有着重要的应用。

通过将图像进行Fourier变换，我们可以获得图像在频域上的频谱，从而方便进行图像增强、去噪和压缩等操作。

Fourier变换在数字图像处理中是一种常用的技术，它可以帮助我们改善图像的质量和清晰度。

此外，Fourier级数和Fourier变换在物理学中也有着重要的应用。

在量子力学中，Fourier变换被广泛应用于波函数的表示和分析。

通过对波函数进行Fourier变换，我们可以获得粒子在动量空间上的波函数，从而方便进行动量分析和动量算符的计算。

总结起来，数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是一种重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。

无论是在通信领域、图像处理领域还是物理学领域，Fourier级数和Fourier变换都能够帮助我们进行信号的处理、图像的分析和波函数的表示。

数学上的复杂变换

数学上的复杂变换数学中的复杂变换通常指的是在解决数学问题时，将原问题通过某种方式转换成更易于处理的形式的一系列方法。

以下是一些常见的数学上的复杂变换：1.傅里叶变换（Fourier Transform）：用于分析周期和非周期现象的数学工具，它将一个函数表示成不同频率的正弦波和余弦波的组合。

2.拉普拉斯变换（Laplace Transform）：适用于工程和物理问题，特别是在控制系统分析和信号处理中，它可以将微分方程转换为代数方程。

3.Z变换（Z-Transform）：主要用于离散时间信号的分析，它是拉普拉斯变换在离散时间域的等效。

4.小波变换（Wavelet Transform）：用于信号处理和图像分析，能够提供时间和频率的局部信息。

5.Hough变换（Hough Transform）：用于图像分析中的直线检测，它可以将笛卡尔坐标系下的点转换到参数空间的直线。

6.Radon变换（Radon Transform）：在图像重建中应用广泛，如计算机断层扫描（CT），它通过积分投影来获取图像的内部结构信息。

7.Darboux变换（Bäcklund）：在研究非线性偏微分方程时使用，可以生成新的解或简化方程形式。

8.自相似变换：在分形几何中使用，描述一个对象与其自身的一部分相似的变换。

9.线性空间中的变换：如正交变换、酉变换（幺正变换）、相似变换等，这些变换在矩阵理论和量子力学中非常重要。

10.几何中的变换：如保角变换、仿射变换、射影变换和拓扑变换，它们在几何学的不同分支中有广泛应用。

这些变换是数学中的重要工具，它们在不同的领域和问题中发挥着关键作用。

通过这些变换，可以将复杂的数学问题转化为更简单的形式，从而更容易找到解决方案。

原函数和导数的laplace变换

原函数和导数的laplace变换是数学分析中的重要概念，它在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。

在本文中，我们将对原函数和导数的laplace变换进行详细的介绍，包括定义、性质以及应用。

一、原函数的laplace变换原函数的laplace变换指的是给定一个函数f(t)，通过积分运算得到一个新的函数F(s)。

具体定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，F(s)为原函数f(t)的laplace变换，s为变换域的变量。

原函数的laplace变换具有一些重要的性质，包括线性性、时移性、频率平移性等。

通过这些性质，我们可以方便地对各种复杂函数进行laplace变换的运算。

二、导数的laplace变换导数的laplace变换是指对给定函数f(t)的导数进行laplace变换。

具体定义如下：L{f'(t)} = sF(s) - f(0)其中，F(s)为原函数f(t)的laplace变换，f(0)为函数f(t)的初始值。

导数的laplace变换也具有线性性、时移性等性质，通过这些性质我们可以方便地对各种复杂函数的导数进行laplace变换的运算。

三、应用举例原函数和导数的laplace变换在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。

以控制理论为例，我们可以通过laplace变换将微分方程转化为代数方程，从而方便地进行系统的分析和设计。

在信号处理领域，laplace变换可以用于处理各种复杂信号的频域特性，对系统的稳定性和收敛性进行分析。

在实际应用中，我们可以通过laplace变换将各种复杂的微分方程和积分方程转化为代数方程，从而方便地进行系统的分析和设计。

我们也可以通过laplace变换来研究信号的频域特性，对系统的稳定性和收敛性进行分析。

四、总结原函数和导数的laplace变换是数学分析中的重要概念，它在控制理论、信号处理等领域有着广泛的应用。

通过对原函数和导数的laplace变换的详细介绍，我们可以更好地理解其定义、性质以及应用，在实际工程和科学研究中更好地应用这一数学工具。

数学分析三大基本思想之变换

第二换元积分法主要是“一阶微分形式不变性”的体现，目的是简化被积函数的结构，使得容易求解。这两类换元积分法可以推广到一元定积分理论中，这里不细说了，详细内容请参考《数学分析新讲》。重积分中也有换元积分公式，但根据经验，高维积分换元主要是为了将积分域变得简单，一维积分换元主要是为了将被积函数变得简单，这一点区别要注意。
导、积分等光滑运算。其中有一种方法令笔者印象非常深刻，称之为收敛因子
法。下面用例子来说明，考虑广义积分
∫ +∞ sin x dx = ?
0x
我们引入一个收敛因子e−tx ，然后定义一个新的函数
∫ ϕ(t) = e +∞ −tx sin x dx
0
x
数学分析中证明了新函数ϕ(t) 有很好的性质，可以积分号下直接求导，于是
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数学分析三大基本思想之变换
SCIbird
说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。
本章介绍数学分析中的三大基本思想之变换。广义的变换应该作为一种思想来理解，即对某个数学对象进行操作，转化为另一个对象，要求后者相对容易处理。
函数，则存在有理函数h , 使得
∫ f (x )eg(x ) dx = h (x )eg(x ) +C .
这个定理的证明涉及微分代数，有兴趣的读者可自行查阅相关文献。
在积分理论中，有一类非常重要的变换，即含参数变换。
ϕ(t) = ∫ f (x)K (x , t) dx R
这里t 是参变量， K (x , t) 称为核函数。这种方法也是定义非初等函数的一种常
如果 Rn 的子集S 可以表示为有限个两两无公共内点的闭方块的并集，那么我们就说S 是一个简单图形。任何简单图形当然都是闭若尔当可测集。新讲中证明了：为证明重积分变量代换公式，只需要考虑积分区域最简单的情形。即如下结论成立：

恒等变换方法在数学分析中的应用

第２卷第２期１
２１０１年６月
湖南工程学院学报ＪｕｎｌｆＨｕａｎｔｕｅｏｇｎｅｉｇｏｒａｎｎＩｓｉｔｆＥｎｉｅｒｎｏｔ
Ｖｏ１２．．．１Ｎｏ２
Ｊｎ０１ｕｅ２１
恒等变换方法在数学分析中的应用
第２期
张明会等：等变换方法在数学分析中的应用恒
７３
（）［，］有原函数，ｚ在口６上且
－（一（ｃｆ（ｚＧ（．ｇ却）（＋
这里利用恒等变换（）ｘ＝却（）称为凑微法）ｘｄｚ（
∑口。＋∑ （Ａ一ＡｂｂＡ一卜：）
２恒等变换
将复杂的问题通过表达式上的恒等变形，转化为容易解决的若干问题，就是恒等变换的主要特这点．等变换在初等数学中已有广泛的应用，恒因而在
地提高自己解决数学问题的技能和技巧．然用变虽换的方法解决数学问题形式多样、方法灵活，已解但
一
１
ｆ２一
Ａ１６一ｂ）Ａ２６一ｂ） … ＋Ａ＝（１２＋（２３＋ｂ
把被积表达式凑成ｇｇｘ］ｇｘＥ（）ｄ（）的形式，Ｕ一令
Ａｂ＋∑Ａ（斗一６。）
（）１．
在，如何具体地找出来？一般地讲，这既非变换方法本身所能解决，也非全靠逻辑思维所能办到，主要靠高度的想象力和洞察力去进行探索性的发现．

浅析变换分析法的使用

浅析变换分析法的使用变换分析法（TransformationAnalysis）是数学分析和统计学中的一种常用的数据处理方法。

它的主要功能是将一组原始数据进行变换，以及将变换后的数据进行分析，以提取出有用的结论。

变换分析法有广泛的应用，如统计分析、建模、抽样、种群模型研究、统计图表等。

变换分析法可以分为两类，即变量变换和数据变换。

变量变换是指将原始数据的变量（或变量的描述参数）经过变换，使其变成不同的变量或其他参数。

例如，将原始数据的性别变换成性别比例变量，以统计分析不同性别的比例。

而数据变换则是将原始数据经过变换，从而获得特定数据间关系的结果。

例如，将原始数据进行抽样，测试其差异性。

变换分析法强调了在数据变换中数据含义的可解释性，因此它在统计分析中受到了广泛的重视。

变换分析法可以用来提取出变量之间的关系，并且可以有效地响应某些调整，如不同的变量之间的长度变化或变量的组织方式的变化。

它还可以利用特定的变换方法，比如box-cox变换，来解决原始数据的极端值和非正态问题。

另外，变换分析法也可以用来降低数据的复杂度，从而更好地分析数据，并达到最优的结果。

变换分析法有许多应用，如统计分析、建模、抽样、种群模型研究等。

在统计分析中，变换分析法可以更好地处理原始数据，从而提取出有用的结论。

另外，建模也是变换分析法的重要应用之一，它能够更好地描述原始数据的特征，并从中获得有用的信息。

而抽样也是变换分析法的重要部分，它可以用来检测原始数据的差异性，从而进行有效的分析。

种群模型研究也是变换分析法的重要应用之一，它能够有效地计算出种群可能的行为模式，并从中获得有价值的信息。

总之，变换分析法是一种有效的数据处理方法，可以用来更好地分析数据，从而提取出有用的结论。

它的广泛应用可以帮助我们有效地探索数据的特征，更好地使用这些数据，从而挖掘隐藏的结论与见解。

u-t的laplace变换

u-t的laplace变换拉普拉斯变换是数学分析中一种重要的变换方法，常用于求解线性时不变系统的微分方程，也广泛应用于信号和系统、电路理论、控制论等领域。

在本文中，我们将介绍拉普拉斯变换的定义、性质、常见公式和应用。

1. 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换是函数f(t)的一个新函数F(s)。

拉普拉斯变换是通过积分的方式定义的，具体来说，对于定义在[0,∞)上的函数f(t)，它的拉普拉斯变换F(s)定义为：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，f(t)被称为原函数，F(s)被称为拉普拉斯变换。

2. 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换具有一些重要的性质，包括线性性质、平移性质、尺度变换性质、微分性质和积分性质等。

下面是这些性质的具体表达式：- 线性性质：对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L[a*f(t) + b*g(t)] = a * L[f(t)] + b * L[g(t)]- 平移性质：L[e^(∓at)f(t)] = F(s ± a)- 尺度变换性质：L[f(a*t)] = (1/a)F(s/a)- 微分性质：L[f'(t)] = sF(s) - f(0)- 积分性质：L[∫[0,t] f(u) du] = 1/s * F(s)3. 拉普拉斯变换的常见公式拉普拉斯变换有一系列常见的公式，这些公式与原函数f(t)和拉普拉斯变换F(s)之间的关系是预先给出的。

下面是一些常见的公式：- f(t) = L^(-1)[F(s)]：反变换公式，用于将拉普拉斯变换F(s)恢复为原函数f(t)- f(t) = 1：单位阶跃函数的拉普拉斯变换- f(t) = e^(-at)：指数衰减函数的拉普拉斯变换- f(t) = t^n：幂函数的拉普拉斯变换- f(t) = sin(ωt)：正弦函数的拉普拉斯变换- f(t) = cos(ωt)：余弦函数的拉普拉斯变换4. 拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在不同领域有广泛的应用，包括信号和系统、电路理论、控制论等。

傅里叶级数与傅里叶变换

傅里叶级数与傅里叶变换是数学分析中两个重要的概念和理论工具，它们在信号处理、图像处理、物理学等领域有广泛的应用。

傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列谐波的方法，而傅里叶变换是将非周期函数分解成连续谱的方法。

首先，我们来介绍一下傅里叶级数。

傅里叶级数是将一个周期为T的函数f(t)展开为一系列谐波的和的形式，其中每个谐波都有一个特定的频率和振幅。

傅里叶级数的基本公式为：f(t) = a0 + Σ(An cos(nω0t) + Bn sin(nω0t))其中a0表示直流分量，An和Bn分别表示正弦和余弦项的振幅，n为谐波的阶数，ω0为基本频率。

傅里叶级数的系数可以通过求解积分或者利用傅里叶级数的性质进行计算。

傅里叶级数的应用十分广泛。

例如在信号处理中，傅里叶级数可以用来将一个周期信号分解为多个频率成分，从而进行频域分析和滤波等操作。

此外，傅里叶级数也可以用来恢复被损坏的信号，例如在音频和图像压缩中，傅里叶级数可以用来还原被压缩的信号。

接下来，我们来介绍傅里叶变换。

傅里叶变换是将一个非周期函数f(t)分解成连续的频谱。

傅里叶变换的基本公式为：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)] dt其中F(ω)表示函数f(t)在频率ω处的频谱，e^(-jωt)是一个旋转复指数，j为虚数单位。

傅里叶变换的结果是一个连续的函数，其中包含了函数f(t)在不同频率上的振幅和相位信息。

傅里叶变换的应用也非常广泛。

在信号处理中，傅里叶变换可以用来将一个时域信号转换成频域信号，在频域进行滤波、增强和分析操作。

在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、边缘检测和压缩等操作。

在物理学中，傅里叶变换可以用来研究波动、振动和量子力学等问题。

傅里叶级数和傅里叶变换是相互联系的。

当一个函数是周期函数时，傅里叶级数可以通过傅里叶变换来计算。

而当一个函数是非周期函数时，傅里叶变换可以通过傅里叶级数来近似计算。

总之，傅里叶级数和傅里叶变换是数学分析的两个重要工具，它们在信号处理、图像处理和物理学等领域具有广泛的应用。

拉普拉斯变换与傅里叶变换

拉普拉斯变换与傅里叶变换在数学分析领域里面，拉普拉斯变换（Laplace Transform）和傅里叶变换（Fourier Transform）都是十分常见的概念。

它们在科学、工程等各个领域中都有着广泛的应用，特别是在信号处理和控制理论中。

虽然两种变换的定义和表达式看起来差别不大，但它们的应用场景却略有不同。

接下来，我们将详细探讨这两种变换。

一、傅里叶变换傅里叶变换可以将一个函数从时域转换为频域。

简单来说，傅里叶变换可以将一个函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦波形。

傅里叶变换可以表示原始函数的频率成分，因此它是处理周期函数的重要工具，被广泛应用于音频、图像及视频处理等领域。

傅里叶变换的基本公式如下：$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j \omega t} \mathrm{d} t$$其中，$f(t)$ 是时域上的函数， $F(\omega)$ 是傅里叶变换后得到的频域上的函数，$\omega$ 是角频率。

在实际的应用中，傅里叶变换可以分为离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）两种。

离散傅里叶变换适用于离散的信号和离散的频率，而快速傅里叶变换则是一种高效计算离散傅里叶变换的算法。

二、拉普拉斯变换拉普拉斯变换可以将一个系统或者信号从时域转化为复域，包括实部和虚部。

虽然从理论上来看，傅里叶变换和拉普拉斯变换都可以将一个函数从时域转换到频域中，但是由于傅里叶变换是基于周期函数的，因此不是所有的函数都适合使用傅里叶变换。

拉普拉斯变换的公式如下：$$F(s)=\int_{0}^{\infty}f(t) e^{-st} \mathrm{d} t$$其中，$f(t)$ 是定义在$0$及多于$0$的函数， $F(s)$是$s$域的变量，$s$是一个复数域。

当$s$对应于滤波器等系统的特征值时，可以用于研究诸如控制系统的动力学行为等问题。

三、拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别从上面的定义和公式可以看到，傅里叶变换和拉普拉斯变换在数学表达方式上有一些差别。

导数中变换法(切线变换、对数均值不等式)

导数中变换法(切线变换、对数均值不等式)1. 引言在微积分中，导数是描述函数斜率和变化率的概念。

变换法是一种常用的技巧，用于简化函数求导的过程，提高求解效率。

本文将介绍导数中的两种常见变换法：切线变换和对数均值不等式。

2. 切线变换切线变换是一种利用切线的性质简化函数求导的方法。

当一个函数在某一点处有切线时，可以利用该切线的性质来求解函数在该点处的导数。

具体步骤如下：1. 找到函数在某一点处的切线方程；2. 利用切线方程求解导数。

切线变换可以简化复杂函数的求导过程，尤其适用于需要反复求导的情况。

3. 对数均值不等式对数均值不等式是数学中的一种重要不等式关系，常用于比较两个数列、函数或者概率分布的大小关系。

其表达式为：$$\ln(\frac{{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}}{n}) \geq \frac{{\ln(x_1) + \ln(x_2) + \ldots + \ln(x_n)}}{n}$$其中，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是正实数。

对数均值不等式在数学和统计学中有广泛的应用，可以推导出其他一些重要的不等式，如算术均值-几何均值不等式、柯西不等式等。

4. 结论导数中的变换法是一种常用且有效的求解函数导数的方法。

切线变换可以简化复杂函数的求导过程，提高求解效率；对数均值不等式可以用于比较数列、函数或者概率分布的大小关系。

合理运用这些变换法，可以更加灵活地处理导数相关的问题。

5. 参考文献- 张晓光, 杨春, 等. 高等数学[M]. 高等教育出版社, 2004. - 朱建民. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2010.。