数学分析中的变换法

∫
变换而得到方程的解 . 1. 6 参数变换法 就是在解题时先引入辅助性的参数 , 将原问题转化为参数的新关系式 , 通过求解新问题 , 然后消去参数而得到原问题的解的一种方法 . 如在定积分或广义积分中 , 适当引入参数 , 然后 应用含参变量积分理论 , 求出积分值 , 最后消去参数 , 得到原积分值 ; 又如求多元函数条件极值 的 lag rang e 乘数法 , 也属参数变换法 ; 再如用不动点原理证明隐函数定理时 , 所采用的也是一
∫
就是将复杂的问题通过构造适当的映射转化为较简单问题的一种方法 . 在极限 、微分、 积 分和级数的计算中 , 映射变换法是最常用的基本方法 . 如极限运算中的变量替换法 , 微分运算 中的换元法 , 三重积分计算中的柱坐标变换与球坐标变换 , 求幂级数和函数的逐项微分法与逐 项积分法 ,在多元函数积分理论中常利用映射变换法 , 将多元函数有关问题转化为单元函数的
α
∑
n= 0 ∞
Cn X =
n
∑ (∑
∞
n= 0 K= 0
ak bn- k ) x
n
n + β = (∑ + x )α an x ) (∑ bn x ) = A ( x ) B( x ) = ( 1 n= 0 n= 0 ∞
又 ( 1 + x)
α + β
=
∑
α + β n
n= 0
×n
再由幂级数展开的唯一性即证 . 1. 5 傅里叶变换法 这种变换法实质上是一个求解问题的积分变换 , 是函数到函数的变换 ,且有逆变换 . G( W ) = F 〔 f ( t )〕=
1999年第 2期 ( 总第 46期 ) 渭南师专学报 (自然 科学版 ) V ol . 14 N o. 2
《数学分析》中的变换法
周焕芹
摘 要 恒等变换法、分割变换法、 映射变换法 、幂级数变换法、 傅里叶变换法、 参数变换 法 、离散 — 连续变换法等是解决数学分析问题的重要方法 , 掌握和熟练运用这些方法对数学分 析教学有重要意义 . 关键词 数学分析 变换 连续 映射 分类号 O171
x x 0
n- 1 ∞
= S( x ) , 取积分算子“ ”作为映射 , 即 : S →
n- 1
∑ nt s ( t ) dt=∫ ∫
0n = 1
dt=
∑
∞
∫
∫ ∫S( t) dt ,于是
0
x
n= 1
n x x = 1- x
1 上式两端对 x 求导 , 得 S( x ) = ,即为所求 . ( 1- x ) 2 1. 4 幂级数变换法 幂级数变换来源于解差分方程 , 而差分方程只不过是微分方程的 “离散化 ”形式 , 其功能
n 是 : 利用给定数列 { an }而构造一个幂级数∑ an x , 然后再利用幂级数的性质及特点反回来研究 n= 0 ∞
数列 { a n }的结构和性质 , 利用幂级数变换方法可以解决许多具有递推关系的结构问题 . α 例 4 令 an = , bn= n
∞
β , cn = n
பைடு நூலகம்
n
∑
β
K= 0
α k
∞
β 有 Cn = n-k
n
n
∑
k= 0
aK bn- K作幂级数变换
∞
{a n }→ A( x ) =
∞
∑
n
n= 0
an x , { bn }→ B( x )=
∞ n
n
∑
n= 0
bn x , { cn }→ C( x ) =
∑
n= 0
cn x
n
有 A( x ) = ( 1 + x ) , B( x ) = ( 1 + x ) . 由幂级数乘法得 C( x ) =
0
∫ ) =∫ J(α
+ ∞
就是用类比、 映射等各种方法 , 实行 “离散化 ”问题与 “连续化” 问题的相互转化 , 从而利用 其中一类问题的求解获得另一类问题解的一种方法 . 如 “连续化 ”问题的定积分与 “离散化” 问 题的有限和 (黎曼和 )有着紧密的联系 . 当积分存在时 , 利用定积分的计算法可求得某些有限和 的极限 ; 广义积分 、含参量积分收敛理论与级数收敛理论中有许多性质和定理都是 “连续化 ”与 “ 离散化” 问题的相互对立 ; 著名的斯托兹定理和洛比塔法则在求离散变量和连续变量的未定 式极限中相互对立 .
( 2)分析和研究新问题 P ,求出其数学解 ; * ( 3)将 P 的解通过变换 T的逆变换 T- 1返回到问题 P, 而得到问题 P的解答 .
P ( 问题 ) T(变换 ) * P (问题 * ) * P ( 解答 )
*
P ( 解答 )
T
- 1
(逆变换 )
众所周知 , 数学分析具有高度的抽象性 , 其中相当一部分题目的解法难在变换上 ,也巧在 变换上 , 所以变换法就成为数学分析中比较活跃的一种基本思想方法和解题技巧 . 只有善于总 结 , 并灵活运用一些基本的变换法 ,才能使问题迎刃而解 . 参 考 文 献
2 变换法的基本步骤与逻辑框架图
一个数学问题可视其为一个数学系统或数学结构 , 组成其要素之间的相互依存或相互关 系的形式是可变的 , 但其形变并非唯一 , 可能是多种多样的 , 因而用变换法研究解决数学问题 题时无统一模式可循 , 但在实际应用时 ,可依以下三个基本步骤:
* ( 1)根据原问题的特点 , 施行变换 T 化为新问题 P ;
1999 年第 2期 渭南师专 学报 ( 自然科学版 ) · 55 ·
种参数变换法 . 1- co sx - x e dx x + ∞ 1- co sx - αx , > 0 解 令 e dx α 0 x 1 1 1 利用积分号下微分法可得 J(α )= ln( 1 + 2 ) ,于是 , I= J( 1) = ln2 2 α 2 1. 7 离散— 连续变换法 例 5 求 I=
收稿日期 : 1998— 11 — 30
周焕芹 : 《数学分析 》 中的变换法 第 14 卷 · 54·
相应问题来处理等等 . 例 3 求幂级数 1 + 2x+ 3x + … + nx
∞ 2 n- 1
+ … 的和函数 .
解 设∑ nx n= 1
1 孙本旺 ,汪浩 . 数学分析中的典型例题和解题方法 . 长沙 : 湖南科学技术出版社 , 1985 2 华东师范大学数学系 . 数学分析 . 北京 : 高等教育出版社 , 1996 3 王仲春 ,李元中 . 数学思微与数学方法论 . 北京 : 高等教育出版社 , 1989
(作者单位 : 714000 渭南师专数学系 )
1 变换法
将复杂、 困难或未知的问题通过适当的变换转化为较简单 、容易或已解决的问题的一种数 学方法称为变换法 . 变换法所采用的是一种迂回的手段来达到解决问题的目的 ,其主要特点是 应用范围广 , 灵活性大 . 1. 1 恒等变换法 就是将复杂问题通过恒等变形转化为较易解决的简单问题的一种方法 . 如在极限、 导数、 积分的计算中所使用的各种代数式和三角式的恒等变形法 ; 有理函数积分中的部分分式法 ; 级 数收敛性判别中的阿贝尔变换法以及在展函数为幂级数的间接方法中也常将函数作恒等变形 等等 . li m 2 1 n ln( nsi n n ) n →∞ lim 2 lim 2 1 1 1 1 1 1 1 解 原式 = n ln〔n( 3+ O ( 4 ) )〕= n 〔- 2+ O ( 2 )〕= n →∞ n 6n n n →∞ 6n n 6 1. 2 分割变换法 例 1 求极限 就是把要解决的问题先 “化整为零” ,分而治之 , 然后再“积零为整”的迂回过程 . x- 4 例 2 求 I= · dx x 3+ x2 - 2x x- 4 2 1 1 解 先分解被积函数 , 得 3 = , 于是 x + x 2 - 2x x x- 1 x+ 2 2 x I= 2ln | - Ln | | - ln | | + c= l n + . x| x -1 x+ 2 | ( x+ 1) ( x+ 2)| c 1. 3 映射变换法
∫ f( t) e
-∞
+ ∞
- wt
dt 1 +∞ 〔 2 π -∞
其中 G( W)为 f ( t )的傅里叶变换 , 由傅里叶积分公式 f ( t ) =
∫ ∫ f( t) e
-∞
+ ∞
- wt
dt〕 e dW
wt
易得傅里叶变换的逆变换: - 1 1 +∞ wt f ( t) = F 〔 G( W )〕= G( W) e dW 2 π -∞ 傅里叶变换可将微分方程转化为关于象函数的代数方程 , 通过解代数方程和求傅里叶逆