行列式解法技巧论文完整版

1行列式的基本理论

1.1行列式定义

定义 行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数之和为偶数符号为正，逆序数之和为奇数符号为负。这一定义可以写成

()

()

1212121112121222121

2

1n n

n

n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

,这里

12n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求和.

1.2行列式的性质

1、行列式的行列互换，行列式不变；

nn

n n

n n nn

n n n n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

21222121211121

2222111211=

2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；

nn

n n in

i i kn

k k n

nn

n n kn k k in

i i n

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

21

21211121121

212111211-= 3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；

nn

n n in i i n

nn

n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a

21

21

112112

1

2111211=

4、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；

021

21

21

112112

1

212

111211==nn

n n in

i i in

i i n

nn

n n in

i i in

i i n

a a a a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a a a a

5、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和

时，行列式可拆另两个行列式的和。

nn

n n n

n nn n n n n n

nn

n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a

21

2

1

11211

21

2

1

1122

1

2

21

111211+=+++ 6、把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

7、行列式有两行（列）相同，则行列式为零。

1.3 基本理论

1．⎩⎨⎧=≠=+++j

i j

i D A a A a A a jn in j i j i ,0,2211 其中ij A 为元素ij a 代数余子式。

2．降阶定理B CA D A D

C

B A 1--=

3．

C A C

O B

A

=

4．B A AB =

5．非零矩阵k 左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块行列式与原来相等。 1.4几种特殊行列式的结果

1． 三角行列式

nn nn

n n a a a a a a a a a 221122*********=(上三角行列式)

nn nn

n n a a a a a a a a a

221121222111000=(下三角行列式) 2． 对角行列式

nn nn

a a a a a a

221122110

0000=

3．对称与反对称行列式

nn

n n n n

a a a a a a a a a D

21

2222111211

=

满足)2,1,2,1(n j n i a a ji ij ===，D 称为对

称行列式

00032

1

33231

22321

11312

n n n n n n a a a a a a a a a a a a D =满足)2,1,(n j i a a ji ij =-=，D 称为反

对称行列式。若阶数n 为奇数时，则D=0

4．)(111111131

2

1

12

23

22

2

13

2

1

j n

i j i

n n

n n n n

n

n a a

a a a a a a a a a a a a D -==∏≤≤≤----

2行列式的计算技巧

2.1定义法

例1：计算行列式0

000000

53

52

43423534333231

2524232221

1312a a a a a a a a a a a a a a a a D = 解：由行列式定义知∑-=

n

n n j j nj j j j j j a a a D 1212121)

,,,()1(τ

，

且0151411=a a a ， 所以D 的非零项j ，只能取2或3，同理由0551*******=====a a a a a ，因而54j j 只能取2或3，又因51j j 要求各不相同，故521j j j a a a 项中至少有一个必须取零，所以D=0。

2.2化成三角形行列式法

将行列式化为上三角形行列式计算步骤，如果第一行第一个元素为零，首先将第一行(或第一列)与其它任一行(或列)交换，使第一行第一个元素不为零，然后把第一行分别乘以适当数加到其它各行，使第一列除第一个元素外其余元素全为零，再用同样的方法处理除去第