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初中物理一题多解大全

初中物理一题多解大全1. 题目：一个小球从斜面上滚下来，最后落地的位置是哪里？解法一：根据能量守恒定律根据能量守恒定律，物体在滚动过程中，动能和势能的总和保持不变。

当小球从斜面上滚下来时，它具有一定的势能和动能。

在滚动过程中，势能转化为动能，直到小球落地时，势能完全转化为动能。

因此，小球最后落地的位置与其最初的位置相同。

解法二：根据平抛运动的原理当小球从斜面上滚下来时，它的速度具有水平分量和垂直分量。

根据平抛运动的原理，水平分量的速度保持不变，而垂直分量的速度由于重力的作用而逐渐增大。

因此，小球最后落地的位置会比斜面的水平位置稍远。

解法三：考虑滚动的摩擦力当小球滚动下斜面时，斜面对小球的作用力包括重力和摩擦力。

根据牛顿第二定律，斜面对小球的合力等于小球的质量乘以加速度。

考虑摩擦力的存在，小球的加速度会减小，导致小球滚动的距离减少。

因此，小球最后落地的位置会比没有考虑摩擦力时更靠近斜面的水平位置。

2. 题目：为什么天空是蓝色的？解法一：散射理论天空是蓝色的主要原因是大气中的空气分子对太阳光的散射。

根据散射理论，空气分子的大小和太阳光的波长之间的相互作用会导致不同颜色的光被不同程度地散射。

由于蓝色光的波长较短，所以蓝光在空气分子的散射中受到更强烈的影响，因此我们看到的天空是蓝色的。

解法二：吸收和发射理论大气中的空气分子中的原子和分子能够吸收和发射特定波长的光。

根据吸收和发射理论，蓝光的波长与空气分子的吸收和发射光的特性相匹配，因此蓝光在大气中被吸收和发射的程度更高，使得我们看到的天空呈现蓝色。

解法三：人眼对颜色的感知人眼的视锥细胞对不同波长的光有不同的感知能力。

蓝光的波长与人眼的视锥细胞对光的感知能力相匹配，使得我们看到的天空呈现蓝色。

3. 题目：为什么铁制的物体会生锈？解法一：氧化反应铁与空气中的氧气反应会产生氧化铁，也就是我们常说的铁锈。

这是一种氧化反应，铁的表面与氧气发生化学反应，产生了氧化铁的物质。

2024年考研数学一真题及解析

2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题:1~10小题，每小题5分,共50分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）已知函数cos 0()xtf x edt =⎰,2sin 0()xt g x e dt =⎰,则（）（A ）()f x 是奇函数，()g x 是偶函数（B ）()f x 是偶函数，()g x 是奇函数（C ）()f x 与()g x 均为奇函数（D ）()f x 与()g x 均为周期函数【答案】C ，【解析】由于cos te 是偶函数，所以()f x 是奇函数；又2(sin )cos ()x xg x e'=是偶函数，所以是()g x 奇函数.（2）设(,,),(,,)P P x y z Q Q x y z ==均为连续函数，∑为曲面0,0)Z x y = 的上侧，则Pdydz Qdzdx ∑+=⎰⎰（）（A ）()x yP Q dxdy z z ∑+⎰⎰（B ）()x yP Q dxdy z z ∑-+⎰⎰（C ）()xyP Q dxdy zz∑-⎰⎰（D ）()xyP Q dxdy zz∑--⎰⎰【答案】A ，【解析】由,z x z y z x z y z ∂∂==-=-∂∂，1cos cos dS dxdy dS dxdy γγ=→=cos cos cos cos cos cos Pdydz Qdzdx P dS Q dS Pdxdy Q dxdy αβαβγγ∑∑∑+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(()()z z x yP dxdy Q dxdy P Q dxdy x y z z∑∑∂∂=-+-=+∂∂⎰⎰⎰⎰.（3）设幂级数nn nxa ∑∞=0的和函数为)2ln(x +，则∑∞=02n nna（）（A ）61-（B ）31-（C ）61（D ）31【答案】（A ）【解析】法1，∑∞=--+=++=+=+11)21()1(2ln )211ln(2ln )211(2ln )2ln(n nn n x x x x所以⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，当n n n a n 22221,0⋅-=>，所以61411)21(21)2213112112202-=--=-=⋅-⋅==∑∑∑∑∞=+∞=∞=∞=n n n n n n n n n n na na （，故选(A)；法2：n n n xx x x )2()1(21)21(2121])2[ln(0∑∞=-=+=+='+C n x C n x x n n n n n n +-=++-=+∑∑∞=-+∞=1110)21()1(1)21()1()2ln(，2ln )02ln()0(=+==C S ，⎪⎩⎪⎨⎧>-==-0,21)1(0,2ln 21n n n a n n ，所以)221(112202∑∑∑∞=∞=∞=⋅-==n n n n n n n n na na 61411)21(213112-=--=-=∑∞=+n n （4）设函数()f x 在区间上(1,1)-有定义，且0lim ()0x f x →=，则（）（A ）当0()limx f x m x→=时，(0)f m '=（B ）当(0)f m '=时，0()limx f x m x→=（C ）当0lim ()x f x m →'=时,(0)f m '=（D ）当(0)f m '=时，0lim ()x f x m→'=【答案】B ，【解析】因为(0)f m '=所以()f x 在0x =处连续，从而0lim ()(0)0x f x f →==，所以0()()(0)limlim 0x x f x f x f m x x →→-==-，故选B .（5）在空间直角坐标系O xyz -中,三张平面:(1,2,3)i i i i i a x b y c z d i π++==的位置关系如图所示,记(),,i i i i a b c α=,(),,,i i i i i a b c d β=若112233,r m r n αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则（）（A ）1,2m n ==（B ）2m n ==（C ）2,3m n ==（D ）3m n ==【答案】B ，【解析】由题意知111222333x d x d x d ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多解,故1122333r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由存在两平面的法向量不共线即线性无关,故1232r ααα⎛⎫ ⎪≥ ⎪ ⎪⎝⎭,则1122332r r αβαβαβ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2m n ==,故选B.（6）设向量1231111,,1111ab a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,若123,,ααα线性相关,且其中任意两个向量均线性无关,则（）（A ）1,1a b =≠（B ）1,1a b ==-（C ）2,2a b ≠=（D ）2,2a b =-=【答案】D ，【解析】由于123,,ααα线性相关，故1111011a a a =得1a =或2-，当1a =时，13,αα相关，故2a =-，又由112111111201111aa b b -=-=----得2b =故选D .（7）设A 是秩为2的3阶矩阵，α是满足0A α=的非零向量，若对满足0Tβα=的3维向量β均有A ββ=，则（）（A ）3A 的迹为2（B ）3A 的迹为5（C ）2A 的迹为8（D ）2A 的迹为9【答案】A ，【解析】由0A α=且0α≠，故10λ=，由于A 是秩为2的3阶矩阵，对于0Ax =仅有一个解向量，所以，1λ是一重，0Tβα=可得到所有的β有两个无关的向量构成，A ββ=,故21λ=为两重，故3A 的特征值为0,1,1，故3()2tr A =.（8）设随机变量,X Y 相互独立，且()()~0,2,~2,2X N Y N -，若}{}{2P X Y a P X Y +<>=，则a =（）（A）2-（B）2-+（C）2-（D）2-+【答案】B ，【解析】()2~ 2,10;~ (2,4)X Y N Y X N +---，所以{2}P X Y a +<=Φ={0}P Y X -<=02()2+Φ,022+=,2a =-+（9）设随机变量X 的概率密度为2(1)01()0,x x f x -<<⎧=⎨⎩，其他,在(01)X x x =<<的条件下,随机变量Y 服从区间(,1)x 上的均匀分布,则Cov(,)X Y =（）（A ）136-（B ）172-（C ）172（D ）136【答案】D ，【解析】当01x <<时，|1el 1,(|)1se 0,Y X x y f y x x ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩，则2,1,01(,)0,x y x f x y else <<<<⎧=⎨⎩10,1(,)24yx y EXY xyf x y dxdy d y xydx -∞<<+∞-∞<<+∞===⎰⎰⎰⎰112(1)3EX x x dx =-=⎰，,2(,)3x y EY y f x y dxdy -∞<<+∞-∞<<+∞==⎰⎰所以1(,)36Cov X Y EXY EXEY =-=，故选D （10）设随机变量,X Y 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，令Z X Y =-，则下列随机变量中与Z 同分布的是（）（A ）X Y +（B ）2X Y+（C ）2X （D ）X【答案】（D ）【解析】令{}{}zY X P z Z P z F Y X Z z ≤-=≤=-=)(,则0)(0=<z F z z 时，当当0≥z 时，dxdy e e dxdy y x f z F y x zy x zy x z λλλλ--≤-≤-⎰⎰⎰⎰==),()(zy x zy ye dy e e dy λλλλλ---+∞+-==⎰⎰120所以⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(z ez z F zz λ，显然Y X Z -=与X 同步，故选（D ）二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2022年考研数学一真题解析

2022年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题解析一、选择题：1～10小题,每小题5分,共50分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．（1）已知()f x 满足1()lim1ln x f x x→=，则（）（A ）(1)0f =.（B ）1lim ()0x f x →=.（C ）(1)1f '=.（D ）1lim ()1x f x →'=.【答案】（B ）.【解析】11()lim ()lim ln 0ln x x f x f x x x →→⎡⎤=⋅=⎢⎥⎣⎦，（B ）正确，但()f x 连续性未知，故(1)f 未知，其他三项均错.（2）已知()yz xyf x=，且()f u 可导，2(ln ln )z zxy y y x x y∂∂+=-∂∂，则（）（A ）1(1),(1)02f f '==.（B ）1(1)0,(1)2f f '==.（C ）1(1),(1)12f f '==.（D ）(1)0,(1)1f f '==.【答案】（B ）.【解析】21z z y y y y y xy x yf xyf y xf xyf x y x x x x x x ∂∂⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''+=+-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦212ln ln ()ln ,22y y y yy xyf y f f u u u x x x x x ⎛⎫⎛⎫==⇒=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111(1)0,(1)ln 222u f f u =⎛⎫'∴==+=⎪⎝⎭，选（B ）.（3）设有数列{}n x ，其中n x 满足ππ22n x -，则（）（A ）若lim cos(sin )n n x →∞存在，则lim n n x →∞存在.（B ）若lim sin(cos )n n x →∞存在，则n n x ∞→lim 存在.（C ）若)cos(sin lim n n x ∞→存在，则n n x sin lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.（D ）若)sin(cos lim n n x ∞→存在，则n n x cos lim ∞→存在，但n n x ∞→lim 不一定存在.【答案】（D ）.【解析】取π(1)2nn x =-，则（A ）、（B ）、（C ）均错，且（D ）的“lim n n x →∞不一定存在”是正确的；（D ）的“lim cos n n x →∞存在”的原因：当ππ22n x - 时，0cos 1n x ，而sin x 在[0,1]上单调，故lim cos n n x →∞存在.（4）已知110d 2(1cos )x I x x =+⎰，120ln(1)d 1cos x I x x +=+⎰，1302d 1sin xI x x=+⎰，则（）（A ）321I I I <<.（B ）312I I I <<.（C ）231I I I <<.（D ）123I I I <<.【答案】（A ）.【解析】令()ln(1)2x f x x =-+，111()212(1)x f x x x -'=-=++，当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在[0,1]上单调递减，当01x <<时()(0)0f x f <=，所以ln(1)2x x <+，ln(1)2(1cos )1cos x x x x +<++，12I I <；又01x 时，ln(1)2111cos 1cos 11sin sin 22x x x x xx x xx +<=++++ ，故23I I <，选（A ）.（5）下列4个条件中，3阶矩阵A 可以相似对角化的一个充分但不必要条件为()（A ）A 有3个不相等的特征值.（B ）A 有3个线性无关的特征向量.（C ）A 有3个两两线性无关的特征向量.（D ）A 的属于不同特征值的特征向量相互正交.【答案】（A ）.【解析】选项（A ）：A 有3个互不相同特征值,则A 可对角化,但是A 可相似对角化,A 的特征值可能有重根，正确;选项（B ）：A 有3个线性无关的特征向量是A 可对角化的充要条件;选项（C ）：3个特征向量两两线性无关,不能保证整体线性无关,故不能推出A 可对角化;选项（D ）：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交,可对角化的矩阵不一定是实对称矩阵.(6)设A ,B 均为n 阶矩阵，若方程组=0Ax 与x =0B 同解，则()（A ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A O y E B 只有零解.（B ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0EA y OAB 只有零解.（C ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0A B y O B 与⎛⎫=⎪⎝⎭0BA y OA 同解.（D ）方程组⎛⎫=⎪⎝⎭0ABB y OA 与⎛⎫= ⎪⎝⎭0BA A y O B 同解.【答案】(C).【解析】由,A B 为n 阶实矩阵,0=Ax 与0Bx =同解,则⎛⎫==⎪⎝⎭()()A r A r B r B ,即,A B 行向量组等价.由⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 行行A B A O B A B O O B O B OA O A ,则0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭A O y O B 同解,0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 与0⎛⎫= ⎪⎝⎭B O y O A 同解,令12⎛⎫= ⎪⎝⎭y y y ,12,y y 均为n 维向量,则12000⎧⎛⎫=⇔⎨⎪⎝=⎭⎩=By Ay A O y O B ,12000⎧⎛⎫=⇔⎨ ⎪⎝=⎭⎩=Ay By B O y O A .由1100==,By Ay 同解,2200==,By Ay 通解,故0⎛⎫=⎪⎝⎭A B y O B 与0⎛⎫=⎪⎝⎭BA y O A 同解.故选(C).(7)设向量组123241111111λλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,,,αααα,若向量组123,,ααα与412,,ααα等价,则λ可取()（A ）01{,}.（B ）2λλλ∈≠-R {|,}.（C ）12λλλλ∈≠-≠-{|,,}R .（D ）1λλλ∈≠-{|,}R .【答案】(C).【解析】记123ααα=(,,)A ,142ααα=(,,)B ,由222211λλλ==+--||()(),||()A B ,当21λλ≠-≠±,时,00≠≠,||||B A ,即3==()()r A r B ,则123,,ααα与412,,ααα均为3R 的基,故等价;当1λ=-时,33=<(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当2λ=-时,33<=(),()r A r B ,故123,,ααα与412,,ααα不等价;当1λ=时,1===()()(,)r A r B r A B ,故123ααα,,,124ααα,,等价;故选(C).(8)设随机变量(0,3)X U ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 协方差为1-，则(21)D X Y -+=（）（A ）1.（B ）5.（C ）9.（D ）12.【答案】（C ）.【解析】(21)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-由(0,3)X U ，2(30)3()124D X -==；(2)Y P ，()2D Y =所以(21)4()()4(,)9D X Y D X D Y Cov X Y -+=+-=，选（C ）.（9）设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布,且1X 的4阶矩存在.设1(),1,2,3,4kk E X k μ==,则由切比雪夫不等式,对于任意的0ε>,有2211n i i P X n με=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ()（A ）2422n μμε-.（B2.（C ）2212n μμε-.（D2.【答案】（A ）.【解析】记211n i i X Y n ==∑，显然可得2()E Y μ=；则22211()n i i D Y P X n μεε=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑ ；又22422211142211111()()[()()]()n i i D Y D X D X E X E X n nn n μμ=⎛⎫===-=- ⎪⎝⎭∑所以22422211n i i P X n n μμμεε=⎧⎫--⎨⎬⎩⎭∑ ，选（A ）.(10)设随机变量(0,1)X N ，在X x =条件下随机变量(,1)Y N x ，则X 与Y 的相关系数为（）（A ）14.（B ）12.（C）3.（D）2.【答案】（D ）.【解析】由题意22(),xf x x -=-∞<<+∞且2()2(),,y x Y X f y x y --=-∞<<+∞所以22()21(,)()()e ,,2x y x X Y X f x y f x f y x x y +--==-∞<<+∞π又22()22()(,)d d d d xy x E XY xyf x y x y xx yy---+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰222d 1xxx -+∞-∞==⎰又因为222222()2211()(,)d ed eed 22y x xyyx xy Y f y f x y x x x+---+∞+∞+∞---∞-∞-∞===ππ⎰⎰⎰222()4241eed ,2yy yx x y ----+∞-∞==-∞<<+∞π⎰故(0,2),()2Y N D Y = ；所以2XY ρ--==，选（D ）.二、填空题：11～16小题,每小题5分,共30分．(11)函数22(,)2f x y x y =+在点(0,1)的最大方向导数为_______.【答案】4.【解析】(,)f x y 在某一点处的最大方向导数是其梯度的模，(0,1)(0,1)20f xx∂==∂,(0,1)(0,1)44f yy∂==∂4=.(12)2e 1x =⎰_______.【答案】4.【解析】2e 1x⎰2e1ln 2d t t t t⋅e 14ln d t t =⎰e14(ln )4t t t =-=(13)当0,0x y 时,22e x yx k y ++ 恒成立,则k 的取值范围是_______.【答案】)24e ,-⎡+∞⎣.【解析】原不等式即22()(0,0)e ,,x y k y y x x -++ 令22()(,))(0,0,e ,x y x y f x y y x -+=+ 当0,0x y >>时,直接求驻点,22()22()(2)e 0(2)e 0x y x y x y f x x y f y x y -+-+''=--==--=，,解得1x y ==,且2(1,1)2e f -=.当0x =时,2e (0()),yf y yg y -==,2()2e e 0,0y y g y y y y --'=-==或2,且2(0)0,(2)4e g g -==.当0y =时,同理解得2(0,0)0,(2,0)4e f f -==.比较可得,(,)f x y 的最大值为2(0,2)(2,0)4e f f -==.于是24e k - .(14)已知级数1!e nnxn n n-=∞∑的收敛域为(),a +∞,则a =_______.【答案】1-.【解析】令e xt -=，11!!e nx nn n n n n n t n n ∞-∞===∑∑,1(1)!11(1)!(1)e1lim lim lim 1n n nn n n nn n n n n n n n +→∞→∞→∞++===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭,于是1!n nnn t n =∞∑的收敛区间为e e t -<<,那么e e e x--<<,解得1x >-,于是1a =-.(15)已知矩阵A 和-E A 可逆,其中E 为单位矩阵,若矩阵B 满足1---=(())E E A B A ,则-=_____B A .【答案】-E .【解析】由1---=(())E E A B A ⇒1----=()()E A E A E B A⇒2-=-AB A A ⇒-=-B E A ⇒-=-B A E .(16)设,,A B C 随机事件，且A 与B 互不相容，A 与C 互不相容，B 与C 相互独立.若1()()()3P A P B P C ===,则()P B C A B C =【答案】58.【解析】因为B 与C 相互独立，有)()()(C P B P BC P ==111339= .又因A 与B 互不相容，A 与C 互不相容,有()()()0P AB P AC P ABC ===.[()()]()(|)()()P B C A B C P B C P B C A B C P A B C P A B C ==()()()()()()()()()()P B P C P BC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC +-=++---+1115339111180003339+-==++---+.三、解答题：17～22小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(本题满分10分)设函数()y x是微分方程2y y '=+的满足()13y =的解，求曲线()y y x =的渐近线.【答案】斜渐近线2y x =.【解析】(e2ed xxy x C -⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰2e x C =+.将()13y =代入可得e C =，即()12e0y x x =+>.由函数解析式可知，曲线没有垂直渐近线；又由于()(12e lim lim x x y x x →+∞→+∞+==+∞，曲线没有水平渐近线；又()1limlim 2e 2x x y x k xx x→+∞→+∞=+==，()()1lim lim 20e 2x x b y x kx x x →+∞→+∞=-==⎡⎤⎣⎦+-，故曲线有斜渐近线2y x =.(18)(本题满分12分)已知平面区域{}(,)22D x y y x y =- ，计算222()d d Dx y I x y x y -=+⎰⎰.【答案】2(π1)-.【解析】将积分区域D 分为两部分12D D D =+，其中：1{(,)2,20,02}D x y y x x y =+- ，222{(,)4,0,0}D x y x y x y =+ ，故1222122222()()d d d d =+D D x y x y I x y x y I I x y x y --=+++⎰⎰⎰⎰记.其中：()()()2ππ22sin cos ππ12222=d cos sin d cos sin d πsin cos I r r θθθθθθθθθθ-⋅-=-⋅=-⎰⎰⎰，()()()πππ22222220=d cos sin d 2cos sin d 21sin 2d π2I r r θθθθθθθθ⋅-=-=-=-⎰⎰⎰⎰---故：()π2π2π1I =-+=-.(19)(本题满分12分)L 是曲面∑：22241x y z ++=，0,0,0x y z 的边界，曲面方向朝上，已知曲线L 的方向和曲面的方向符合右手法则，求()()22cos d 2d 2sin d LI yzz x xz y xyz x z z=-+++⎰ 【答案】0.【解析】由斯托克斯公式可得：()222d d d d d d 2d d d d cos 22sin y zz x x yI xz y z z x yx y z yz zxz xyz x z∑∑∂∂∂==-+∂∂∂-+⎰⎰⎰⎰令1∑：2241,0,0x y x y + ，指向z 轴负向，2∑：2241,0,0x z x z + ，指向y 轴负向，3∑：221,0,0y z y z + ，指向x 轴负向，则()()1231222d d d d 2d d d d I xz y z z x y xz y z z x y ∑+∑+∑+∑∑=-+--+⎰⎰⎰⎰ ()()23222d d d d 2d d d d xz y z z x y xz y z z x y ∑∑--+--+⎰⎰⎰⎰(22)d d d 0000z z x y z Ω=----=⎰⎰⎰.(20)(本题满分12分)设()f x 在()-∞+∞，有二阶连续导数，证明：0()f x '' 的充要条件为对不同实数,a b ()1(d 2b a a b f f x x b a+-⎰ .【证明】()21()()()((22222a b a b a b a b f x f f x f x ξ++++'''=+-+-，ξ介于x 与2a b+之间，()21()d (()(()d 22222bbaa a ba b a b a b f x x f f x f x xξ++++⎡⎤'''=+-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()21()(d 222b a a b a b f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰必要性：若()0f x '' ，则()0f ξ'' ，有()d (()2baf x x a b f b a +-⎰ .充分性：若存在0x 使得0()0f x ''<，因为()f x 有二阶连续导数，故存在0δ>使得()f x ''在[]00,x x δδ-+内恒小于零，记00,a x b x δδ=-=+,此时()21()d ()()()d 222bb aa ab a b f x x f b a f x xξ++⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()2a bf b a +<-，矛盾！故()0f x '' .综上，充分性必要性均得证.(21)(本题满分12分)已知二次型3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑.（1）写出123(,,)f x x x 对应的矩阵；（2）求正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形；（3）求123(,,)0f x x x =的解.【答案】（1）123246369⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）令正交矩阵0⎛⎝Q =，利用正交变换x =Qy ,化为标准形2314f y =；（3）12231605c c --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ，（12,c c 为任意常数）【解析】（1）3312311(,,)iji j f x x x ij x x===⋅∑∑22211213212233132323246369x x x x x x x x x x x x x x x =++++++++222123121323494612x x x x x x x x x =+++++112323123(,,)246369x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）123246369----=------E A λλλλ2(14)0=-=λλ得1230,14===λλλ;1230000000r⎛⎫ ⎪-−−→ ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得12231,001αα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;153********r-⎛⎫ ⎪-−−→- ⎪ ⎪⎝⎭E A ,解得3123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭;将12,αα进行施密特正交化可得211221123(,)11,6(,)505αβββαβββ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;将123(,,)ββα单位化,可得123,,,0γγγ⎛⎛⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令正交矩阵0⎛⎝Q =，利用正交变换x =Qy ,将123(,,)f x x x 化为标准形2314f y =；（3）令21233(,,)140f x x x y ==，则112230y k y k y =⎧⎪=⎨⎪=⎩，12kk⎛⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭⎝x=Qy=1212231605k k c c⎛⎛---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-=+-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（12,c c为任意常数）(22)(本题满分12分)设12,,,nX X X来自均值为θ的指数分布总体的简单随机样本，设12,,,mY Y Y来自均值为2θ的指数分布总体的简单随机样本，且两样本相互独立，其中()0θθ>为未知数，利用样本1212,,,,,,,n mX X X Y Y Y，求θ的最大似然估计量θ∧，并求()Dθ∧.【答案】（1）1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑n mi ji jX YnX mYm n m n；（2）2m nθ+.【解析】（1）由题意知12,,,nX X X的总体X服从1Eθ⎛⎫⎪⎝⎭，12,,,mY Y Y的总体Y服从12θ⎛⎫⎪⎝⎭E，从而X的概率密度为1e,0,()0,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩xXxf x，Y的概率密度为21e,0,()20,其他.θθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩yYyf y构造最大似然函数为()1111211e e(2)θθθθθ==--∑∑=⋅mnjijiyxn mL，()1111ln ln ln(2)2θθθθθ===----∑∑n mi ji jL n x m y()2211d ln 110d 2θθθθθθ===-+-+=∑∑n mi j i j L n m x y 1122ˆ2()2()θ==++==++∑∑nmi ji j X Y nX mYm n m n （2）221ˆ()(2)2()4()nX mY D D D nX mY m n m n θ⎡⎤+==+⎢++⎣⎦；2222222221144()()44()4()n D X m D Y n m m n m n n m m nθθθ⎡⎤⎡⎤=+=⋅+⋅=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦。

初中一年级数学上册解方程专项训练题(925)

初中一年级数学上册解方程专项训练题（925）好的，以下是针对初中一年级数学上册解方程专项训练题的内容：1. 基础训练题- 题目1：解方程 \(x + 3 = 7\)。

- 题目2：解方程 \(2x - 5 = 1\)。

- 题目3：解方程 \(3x = 12\)。

- 题目4：解方程 \(4x + 8 = 20\)。

- 题目5：解方程 \(5x - 10 = 15\)。

2. 进阶训练题- 题目6：解方程 \(x + 2x = 9\)。

- 题目7：解方程 \(3x - 2(2x - 1) = 7\)。

- 题目8：解方程 \(2x + 3 = 5x - 3\)。

- 题目9：解方程 \(\frac{1}{2}x + 4 = 3x - 2\)。

- 题目10：解方程 \(2(x - 3) = 3(x + 1)\)。

3. 应用题- 题目11：小明有10元钱，他买了3支铅笔，每支铅笔的价格是x元，然后他用剩下的钱买了5本练习本，每本练习本的价格是0.5元。

如果小明的钱正好用完，请你求出每支铅笔的价格。

- 题目12：一个长方形的长是宽的两倍，且周长为20米。

设长方形的宽为x米，求出长方形的长和宽各是多少。

- 题目13：一个农场主有100只鸡和鸭，鸡的数量是鸭的三倍。

设鸭的数量为x，求出鸡和鸭各有多少只。

- 题目14：小华和小李一共有50本书，小华的书是小李的两倍。

如果小李有x本书，那么小华和小李各有多少本书？- 题目15：一个工厂生产了x个零件，其中次品率为5%，合格产品的数量是95个。

求出工厂一共生产了多少个零件。

4. 挑战题- 题目16：解方程 \(x^2 - 6x + 9 = 0\)。

- 题目17：解方程 \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)。

- 题目18：解方程 \(x^2 - 4x - 5 = 0\)。

- 题目19：解方程 \(3x^2 - 12x + 12 = 0\)。

- 题目20：解方程 \(x^2 + 2x - 8 = 0\)。

2016考研数一真题解析

⎨ ⎨⎨ ⎨ ⎩ ⎩ 2016 全国研究生入学考试考研数学一解析本试卷满分 150，考试时间 180 分钟一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）若反常积分+∞1 0x a(1+ x )bdx 收敛，则( )( A ) a < 1且b > 1 【答案】： (C )( B ) a > 1且b > 1(C ) a < 1且a + b > 1 (D ) a > 1且a + b > 11【解析】：注意到x a在 x = 0 为瑕积分，在 x =∞ 为无穷限反常积分，1(1+ x )b仅在 x =∞ 为无穷限反常积分，所以a < 1, a + b > 1（2）已知函数 f (x ) =⎧2( x -1), x < 1 ，则 f (x ) 一个原函数是（） ⎨ln x , x ≥ 1⎧ 2( A ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1( B ) F (x )= ⎪(x -1) , x < 1 ⎪⎩x (ln x -1), x ≥ 1⎪ x (ln x +1)-1, x ≥ 1(C ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1(D ) F ( x ) = ⎧⎪( x -1)2 , x < 1⎪⎩x (ln x +1) +1, x ≥ 1【答案】： ( D )⎪⎩x (ln x -1) +1, x ≥ 1【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数 F ( x ) 在 x = 1 连续，而( A ) 、( B ) 、(C ) 中的函数在 x = 1 处均不连续，故选( D ) 。

（3）若 y = (1+ x2 )2-则q ( x) =（） y = (1+ x 2 )2+ y ' + p (x ) y = q (x ) 两个解，( A )3x (1+ x 2 ) (B ) - 3x (1+ x 2 )(C )x1+ x 2(D ) -x 1+ x 2⎰【答案】： ( A ) 【解析】：分别将 y = (1+ x2 )2-，y = (1+ x 2 )2+带入微分方程 y ' + p (x ) y = q (x )，两式做差，可得 p ( x ) =- x . 两式做和，并且将 p ( x ) =- x带入，可得 q (x ) = 3x (1+ x 2 )1+ x 2 ⎧ x , x ≤ 01+ x 2 （4）已知函数 f (x ) = ⎪ 1 1 1 ，n = 1, 2, （） ⎨ ,⎩ n n +1 < x ≤ n(A ) x = 0 是 f ( x ) 第一类间断点(B ) x = 0 是 f ( x ) 第二类间断点(C ) f ( x ) 在 x = 0 处连续但不可导(D ) f ( x ) 在 x = 0 处可导【答案】： ( D ) 【解析】： f '(x ) = limf ( x ) - f (0)= lim x= 1 -x →0-x - 0x →0-xf ' (x ) = limf ( x ) - f (0)= lim f ( x ) 。

2017考研数学一试题及答案解析.doc

2017 考研数学一答案及解析一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

1 cos x（1）若函数f (x) ax , x 0 在 x 0 连续，则（）。

b, x 0A.1 ab2B.1 ab2C. ab0D. ab 2 【答案】 A 【解析】由连续的定义可得limx 0- f (x) limx 0+f (x) f (0) ，而1 cos x 1( x )21 1lim+ f (x) lim+ lim+ 2 ， lim - f ( x) b ，因此可得 b ，故选x 0 x 0ax x 0 ax 2a x 0 2a择 A。

（2）设函数f ( x)可导，且f ( x) f '( x) 0 ，则（）。

A. f (1) f ( 1)B. f (1) f ( 1)C. | f (1) | | f ( 1)D. | f (1) | | f ( 1)【答案】 C【解析】令 F (x) f 2 ( x) ，则有 F '( x) 2 f ( x) f '(x) ，故 F ( x) 单调递增，则 F (1) F( 1)，即 [ f (1)]2 [ f ( 1)]2，即 | f (1)| | f ( 1) ，故选择C。

（3）函数 f (x, y, z) x 2 y z 2 在点 (1,2,0) r处沿向量 n (1,2,0) 的方向导数为（）。

A.12B.6C.4D.2【答案】 D【解析】 gradf{2 xy, x 2 , 2z} ，因此代入 (1,2,0) 可得 gradf |(1,2,0) {4,1,0} ，则有f grad u{4,1,0}{ 1 , 2 , 2} 2 。

u| u | 3 3 3（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 vv 1 (t ) （单位： m/s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20， 3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t 0 （单位： s ），则（）。

搜索入门练习题1素数环题解

搜索⼊门练习题1素数环题解题⽬出处：《信息学奥赛⼀本通》例5.1。

题⽬描述素数环：从 1 到n(2≤n≤20) 这n个数摆成⼀个环，要求相邻的两个数的和是⼀个素数。

输⼊格式输⼊包含⼀个整数n(2≤n≤20) 。

输出格式按字典序从⼩到⼤的顺序输出所有排列⽅案，每个排列⽅案占⼀⾏。

每⾏的n个数之间由⼀个空格分隔。

样例输⼊2样例输出1 22 1问题分析很明显，这是⼀道可以⽤搜索解决的问题，我们可以采⽤“回溯”思想，使⽤深度优先搜索解决这个问题。

我们⽤ans[]数组来存放我们当前遍历到的答案，ans[id]⽤于表⽰当前排列的第 id 个数是什么。

所以我们可以开⼀个函数void f(int id)来表⽰要在第 id 个位置放数，我只需要从 1 到 n 遍历每⼀个数（我这⾥假设是 i），并判断 i 是否能放。

在第 id 个位置能放 i 当且仅当：ans[1] 到ans[id−1] 都不等于i，即i之前没有放过；当id>1 时，满⾜ans[id−1]+ans[id] 是素数；当id=n时，满⾜ans[1]+ans[n] 是素数。

这样，我们递归地调⽤f(id)，当id>n时就是我们递归的边界条件；⼀旦id>n就说明我找到了⼀种⽅案。

实现代码如下：#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int ans[22], n;bool isp(int a) { // 判断a是否是素数if (a < 2) return false;for (int i = 2; i * i <= a; i ++) if (a%i==0) return false;return true;}void output() { // 输出⼀种排列⽅案for (int i = 1; i <= n; i ++)cout << (i>1 ? " " : "") << ans[i];cout << endl;}void f(int id) { // 搜索函数，在第id个位置尝试放上⼀个数if (id > n) { // 边界条件if (isp(ans[1]+ans[n])) output();return;}for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 遍历i = 1 to n ，看看第id个位置能否放ibool flag = true;if (id > 1 && !isp(ans[id-1]+i)) flag = false;if (flag) {for (int j = 1; j < id; j ++)if (ans[j] == i) {flag = false;break;}}if (flag) {ans[id] = i;f(id+1);}}}int main() {cin >> n;f(1);return 0;}Processing math: 100%。

解一元一次方程实际问题专项练习题

解一元一次方程实际问题专项练习题
在解一元一次方程时，我们常常会遇到一些实际问题。

这些问题可以通过建立方程并解方程来求解。

下面是一些解一元一次方程实际问题的专项练题。

1. 题目一
一个长方形的宽度是长度的一半，周长为30米。

求长方形的长度和宽度。

解答
设长方形的长度为x，则宽度为x/2。

根据周长的定义，可以得到方程：
2(x + x/2) = 30
简化该方程可得：
2x + x = 30
合并同类项后得到：
3x = 30
解方程可以得到长方形的长度：
x = 10
将x的值代入宽度的方程，可以得到长方形的宽度：x/2 = 10/2 = 5
因此，该长方形的长度为10米，宽度为5米。

2. 题目二
一个有两个水桶，一个大桶和一个小桶。

大桶比小桶多装10
升水。

如果将小桶里的水倒入到大桶里，大桶就比小桶多装2升水。

求大桶和小桶分别能装多少升水。

解答
设小桶能装的水量为x升，则大桶能装的水量为x +10升。

根
据题目要求，可以得到方程：
(x + 2) - x = 10
简化该方程可得：
2 = 10
该方程没有解。

根据题意可知，出现这种情况是不可能的。

因此，该题无解。

以上是解一元一次方程实际问题的专项练题。

通过建立方程并解方程，我们可以求解实际问题中的未知数，解决实际生活中的各种应用问题。

*注意：本文档仅供参考，请勿引用未经证实的内容。

*。

中考数学真题试题含解析1 试题 5

2021年中考数学真题试题一、选择题1. 2的倒数是〔〕A. 2B.C.D. -2【答案】B【解析】【分析】倒数定义：乘积为1的两个数互为倒数，由此即可得出答案.【详解】∵2×=1，∴2的倒数是，应选B .【点睛】此题考察了倒数的定义，熟知乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键.2. 以下运算正确的选项是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法那么逐项进展计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误；B. a2与a1不是同类项，不能合并，故B选项错误；C. ，故C选项正确；D. ，故D选项错误，应选C.【点睛】此题考察了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项等运算，纯熟掌握有关的运算法那么是解题的关键.3. 如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，假设∠A＝35°,∠C＝24°,那么∠D 的度数是〔〕A. 24°B. 59°C. 60°D. 69°【答案】B【解析】【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.【详解】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，应选B.【点睛】此题考察了平行线的性质，三角形外角的性质，纯熟掌握相关的性质是解题的关键.4. 函数中，自变量x的取值范围是〔〕A. x≠0B. x＜1C. x＞1D. x≠1【答案】D【解析】【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，计算即可得出答案.【详解】依题可得：x-1≠0，∴x≠1，应选D.【点睛】此题考察了函数自变量的取值范围，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解此题的关键.5. 假设a＜b，那么以下结论不一定成立的是〔〕A. a-1＜b-1B. 2a＜2bC.D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐项进展判断即可得答案.【详解】A.∵a＜b，∴ a-1＜b-1，正确，故A不符合题意；B.∵a＜b，∴ 2a＜2b，正确，故B不符合题意；C.∵a＜b，∴，正确，故C不符合题意；D.当a＜b＜0时，a2>b2，故D选项错误，符合题意，应选D.【点睛】此题考察了不等式的根本性质，纯熟掌握不等式的性质是解题的关键.不等式性质1：不等式两边同时加上〔或者减去〕同一个数，不等号方向不变；不等式性质2：不等式两边同时乘以〔或者除以〕同一个正数，不等号方向不变；不等式性质3：不等式两边同时乘以〔或者除以〕同一个负数，不等号方向改变.6. 假设实数m、n满足，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，那么△ABC的周长是〔〕A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】B【解析】【分析】根据绝对值和二次根式的非负性得m、n的值，再分情况讨论：①假设腰为2，底为4，由三角形两边之和大于第三边，舍去；②假设腰为4，底为2，再由三角形周长公式计算即可.【详解】由题意得：m-2=0，n-4=0，∴m=2，n=4，又∵m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，①假设腰为2，底为4，此时不能构成三角形，舍去，②假设腰为4，底为2，那么周长为：4+4+2=10，应选B.【点睛】此题考察了非负数的性质以及等腰三角形的性质，根据非负数的性质求出m、n的值是解题的关键.7. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，假设菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°,那么△OCE的面积是〔〕A. B. 2 C. D. 4【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质得菱形边长为4，AC⊥BD，由一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得△ABD是等边三角形；在Rt△AOD中，根据勾股定理得AO=2，AC=2AO=4，根据三角形面积公式得S△ACD=OD·AC=4，根据中位线定理得OE∥AD，根据相似三角形的面积比等于相似比继而可求出△OCE的面积.【详解】∵菱形ABCD的周长为16，∴菱形ABCD的边长为4，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，又∵O是菱形对角线AC、BD的交点，∴AC⊥BD，在Rt△AOD中，∴AO=，∴AC=2AO=4，∴S△ACD=OD·AC= ×2×4=4，又∵O、E分别是中点，∴OE∥AD，∴△COE∽△CAD，∴，∴，∴S△COE=S△CAD=×4=，应选A.【点睛】此题考察了相似三角形的断定与性质，等边三角形的断定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合图形纯熟应用相关性质是解题的关键.8. 在平面直角坐标系中，过点〔1,2〕作直线l，假设直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么满足条件的直线l的条数是〔〕A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】【分析】设直线l解析式为：y=kx+b，由l与x轴交于点A〔-，0〕，与y轴交于点B〔0，b〕，依题可得关于k和b的二元一次方程组，代入消元即可得出k的值，从而得出直线条数.【详解】设直线l解析式为：y=kx+b，那么l与x轴交于点A〔- ，0〕，与y轴交于点B〔0，b〕，∴，∴〔2-k〕2=8|k|，∴k2-12k+4=0或者〔k+2〕2=0，∴k=6±4或者k=-2，∴满足条件的直线有3条，应选C.【点睛】此题考察了一次函数图象与坐标轴交点问题，三角形的面积等，解此题的关键是确定出直线y=kx+b与x轴、y轴的交点坐标.二、填空题9. 一组数据：2,5,3,1,6，那么这组数据的中位数是________.【答案】3【解析】【分析】根据中位数的定义进展求解即可得出答案.【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，处于最中间的数是3，∴中位数为3，故答案为：3.【点睛】此题考察了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或者从大到小排列，处于最中间〔中间两数的平均数〕的数即为这组数据的中位数.10. 地球洋总面积约为360 000 000km2，将360 000 000用科学记数法表示是________.【答案】3.6×108【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点挪动了多少位，n的绝对值与小数点挪动的位数一样．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】360 000 000将小数点向左移8位得到3.6，所以360 000 000用科学记数法表示为：3.6×108，故答案为：3.6×108.【点睛】此题考察科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11. 分解因式：x2y-y=________．【答案】y〔x+1〕〔x-1〕故答案为：y〔x+1〕〔x﹣1〕12. 一个多边形的内角和是其外角和的3倍，那么这个多边形的边数是________.【答案】8【解析】【分析】根据多边形的内角和公式，多边形外角和为360°，根据题意列出方程，解之即可.【详解】设这个多边形边数为n，∴〔n-2〕×180°=360°×3，∴n=8，故答案为：8.【点睛】此题考察了多边形的内角和与外角和，纯熟掌握多边形的内角和公式、外角和为360度是解题的关键.13. 圆锥的底面圆半径为3cm，高为4cm，那么圆锥的侧面积是________cm2.【答案】15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线l=，∴S侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π，故答案为：15π.【点睛】此题考察了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.14. 在平面直角坐标系中，将点〔3,-2〕先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，那么所得的点的坐标是________.【答案】〔5,1〕【解析】【分析】根据点坐标平移特征：左减右加，上加下减，即可得出平移之后的点坐标.【详解】∵点〔3，-2〕先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，∴所得的点的坐标为：〔5，1〕，故答案为：〔5，1〕.【点睛】此题考察了点的平移，熟知点的坐标的平移特征是解题的关键.15. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村方案在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原方案的2倍，结果提早4天完成任务，那么原方案每天种树的棵数是________.【答案】120【解析】【分析】设原方案每天种树x棵，那么实际每天种树2x棵，根据题意列出分式方程，解之即可.【详解】设原方案每天种树x棵，那么实际每天种树2x棵，依题可得：，解得：x=120，经检验x=120是原分式方程的根，故答案为：120.【点睛】此题考察了列分式方程解应用题，弄清题意，找出等量关系是解题的关键.16. 小明和小丽按如下规那么做游戏：桌面上放有7根火柴棒，每次取1根或者2根，最后取完者获胜.假设由小明先取，且小明获胜是必然事件，那么小明第一次应该取走火柴棒的根数是________.【答案】1【解析】【分析】要保证小明获胜是必然事件，那么小明必然要取到第7根火柴，进展倒推，可以发现只要两人所取的根数之和为3就能保证小明获胜.【详解】假如小明第一次取走1根，剩下了6根，后面无论如取，只要保证每轮两人所取的根数之和为3，就能保证小明将取走最后一根火柴，而6是3的倍数，因此小明第一次应该取走1根，故答案为：1.【点睛】此题考察了随机事件，概率的意义，理解题目信息，判断出使两人所取的根数之和是3是解题的关键．17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数〔x＞0〕与正比例函数y=kx、〔k ＞1〕的图象分别交于点A、B，假设∠AOB＝45°，那么△AOB的面积是________.【答案】2【解析】【分析】作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB〔如图〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2， y2〕，根据反比例函数k的几何意义得x1y1=x2y2=2；将反比例函数分别与y=kx，y=联立，解得x1=，x2=，从而得x1x2=2，所以y1=x2， y2=x1，根据SAS得△ACO≌△BDO，由全等三角形性质得AO=BO，∠AOC=∠BOD，由垂直定义和条件得∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，根据AAS 得△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，根据三角形面积公式得S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2.【详解】如图：作BD⊥x轴，AC⊥y轴，OH⊥AB，设A〔x1，y1〕，B〔x2， y2〕，∵A、B在反比例函数上，∴x1y1=x2y2=2，∵，解得：x1=，又∵，解得：x2=，∴x1x2=×=2，∴y1=x2， y2=x1，即OC=OD，AC=BD，∵BD⊥x轴，AC⊥y轴，∴∠ACO=∠BDO=90°，∴△ACO≌△BDO〔SAS〕，∴AO=BO，∠AOC=∠BOD，又∵∠AOB＝45°，OH⊥AB，∴∠AOC=∠BOD=∠AOH=∠BOH=22.5°，∴△ACO≌△BDO≌△AHO≌△BHO，∴S△ABO=S△AHO+S△BHO=S△ACO+S△BDO=x1y1+ x2y2= ×2+ ×2=2，故答案为：2.【点睛】此题考察了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的断定与性质等，正确添加辅助线是解题的关键.18. 如图，将含有30°角的直角三角板ABC放入平面直角坐标系，顶点A，B分别落在x、y 轴的正半轴上，∠OAB＝60°，点A的坐标为〔1，0〕，将三角板ABC沿x轴向右作无滑动的滚动〔先绕点A按顺时针方向旋转60°，再绕点C按顺时针方向旋转90°，…〕当点B第一次落在x轴上时，那么点B运动的途径与坐标轴围成的图形面积是________.【答案】+π【解析】【分析】在Rt△AOB中，由A点坐标得OA=1，根据锐角三角形函数可得AB=2，OB=，在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，所以点B运动的途径与坐标轴围成的图形面积：S=，计算即可得出答案.【详解】在Rt△AOB中，∵A〔1，0〕，∴OA=1，又∵∠OAB＝60°，∴cos60°=，∴AB=2，OB=，∵在旋转过程中，三角板的角度和边的长度不变，∴点B运动的途径与坐标轴围成的图形面积：S==π，故答案为：π.【点睛】此题考察了扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，旋转的性质等，根据题意正确画出图形是解题的关键.三、解答题19. 解方程组：【答案】原方程组的解为【解析】【分析】利用代入法进展求解即可得.【详解】，由①得：x=-2y ③将③代入②得：3〔-2y〕+4y=6，解得：y=-3，将y=-3代入③得：x=6，∴原方程组的解为.【点睛】此题考察理解二元一次方程组，纯熟掌握二元一次方程组的解法是解题的关键.20. 计算：【答案】5【详解】原式=4-1+〔2-〕+2×，=4-1+2-+，=5.【点睛】此题考察了实数的混合运算，纯熟掌握实数的混合运算顺序、特殊角的三角函数值是解题的关键.21. 某举行“传承好家风〞征文比赛，每篇参赛征文成绩记m分〔60≤m≤100〕，组委会从1000篇征文中随机抽取了局部参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完好的两幅统计图表.请根据以上信息，解决以下问题：〔1〕征文比赛成绩频数分布表中c的值是________；〔2〕补全征文比赛成绩频数分布直方图；〔3〕假设80分以上〔含80分〕的征文将被评为一等奖，试估计全获得一等奖征文的篇数.【答案】〔1〕0.2；〔2〕补全征文比赛成绩频数分布直方图见解析；〔3〕全获得一等奖征文的篇数为300篇.【解析】【分析】〔1〕由频率之和为1，用1减去其余各组的频率即可求得c的值；〔2〕由频数分布表可知60≤m＜70的频数为：38，频率为：，根据总数=频数÷频率得样本容量，再由频数=总数×频率求出a、b的值，根据a、b的值补全图形即可；〔3〕由频数分布表可知评为一等奖的频率为：，再用总篇数×一等奖的频率=全一等奖征文篇数.【详解】〔1〕c=1-0.38-0.32-0.1=0.2，故答案为：0.2；〔2〕38÷0.38=100，a=100×0.32=32，b=100×0.2=20，补全征文比赛成绩频数分布直方图如下图：〔3〕由频数分布表可知评为一等奖的频率为：0.2+0.1=0.3，∴全获得一等奖征文的篇数为：1000×0.3=300〔篇〕，答：全获得一等奖征文的篇数为300篇.【点睛】此题考察了频数分布表、频数分布直方图，熟知频数、频率、总数之间的关系是解此题的关键.22. 如图，在□ABCD中，点E、F分别在边CB、AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB、CD交于点G、H，求证：AG＝CH.【答案】证明见解析.【解析】【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，根据平行线的性质得∠E=∠F，再结合条件可得AF=CE，根据ASA得△CEH≌△AFG，根据全等三角形对应边相等得证.【详解】∵在四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∠A=∠C，∴∠E=∠F，又∵BE＝DF，∴AD+DF=CB+BE，即AF=CE，在△CEH和△AFG中，，∴△CEH≌△AFG，∴CH=AG.【点睛】此题考察了平行四边形的性质、全等三角形的断定与性质等，纯熟掌握相关知识是解题的关键.23. 有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看.〔1〕求甲选择A部电影的概率；〔2〕求甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率〔请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果〕【答案】〔1〕甲选择A部电影的概率为；〔2〕甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为. 【解析】【分析】〔1〕甲可选择电影A或者B，根据概率公式即可得甲选择A部电影的概率.〔2〕用树状图表示甲、乙、丙3人选择电影的所有情况，由图可知总一共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，根据概率公式即可得出答案.【详解】〔1〕∵甲可选择电影A或者B，∴甲选择A部电影的概率P=，答：甲选择A部电影的概率为；〔2〕甲、乙、丙3人选择电影情况如图：由图可知总一共有8种情况，甲、乙、丙3人选择同一部电影的情况有2种，∴甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率P=，答：甲、乙、丙3人选择同一部电影的概率为.【点睛】此题考察了列表法或者树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24. 某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L.设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x〔km〕，行驶过程中油箱内剩余油量为y〔L〕〔1〕求y与x之间的函数表达式；〔2〕为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的四分之一，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程.【答案】〔1〕y与x之间的函数表达式为：y=40-x〔0≤x≤400〕；〔2〕该辆汽车最多行驶的路程为300.【解析】【分析】〔1〕根据题意可得y与x之间的函数表达式为：y=40-x〔0≤x≤400〕；〔2〕根据题意可得不等式：40-x≥40× ，解之即可得出答案.【详解】〔1〕由题意得：y=40-x，即y=40-x〔0≤x≤400〕，答：y与x之间的函数表达式为：y=40-x〔0≤x≤400〕；〔2〕解：依题可得：40- x≥40×，∴-x≥-30，∴x≤300.答：该辆汽车最多行驶的路程为300km.【点睛】此题考察了一次函数的应用、一元一次不等式的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键.25. 如图，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为450，然后他沿着正对树PQ的方向前进10m到达B点处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是600和300，设PQ垂直于AB，且垂足为C.〔1〕求∠BPQ的度数；〔2〕求树PQ的高度〔结果准确到0.1m，〕【答案】〔1〕∠BPQ=30°；〔2〕树PQ的高度约为15.8m.【解析】【分析】 (1〕根据题意题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=100m，在Rt△PBC中，根据三角形内角和定理即可得∠BPQ度数；〔2〕设CQ=x，在Rt△QBC中，根据30度所对的直角边等于斜边的一半得BQ=2x，由勾股定理得BC=x；根据角的计算得∠PBQ=∠BPQ=30°，由等角对等边得PQ=BQ=2x，用含x的代数式表示PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∠A=45°，得出AC=PC，建立方程解之求出x，再将x值代入PQ代数式求之即可.【详解】〔1〕依题可得：∠A=45°，∠PBC=60°，∠QBC=30°，AB=10m，在Rt△PBC中，∵∠PBC=60°，∠PCB=90°，∴∠BPQ=30°；〔2〕设CQ=x，在Rt△QBC中，∵∠QBC=30°，∠QCB=90°，∴BQ=2x，BC=x，又∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∴∠PBQ=30°，由〔1〕知∠BPQ=30°，∴PQ=BQ=2x，∴PC=PQ+QC=3x，AC=AB+BC=10+x，又∵∠A=45°，∴AC=PC，即3x=10+x，解得：x=，∴PQ=2x=≈15.8〔m〕，答：树PQ的高度约为15.8m.【点睛】此题考察理解直角三角形的应用，涉及到三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等，准确识图是解题的关键.26. 如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F.〔1〕求证：PC是⊙O的切线；〔2〕假设∠ABC=600,AB=10,求线段CF的长.【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕CF=5.【解析】试题分析：〔1〕、连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；〔2〕、根据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．试题解析：〔1〕、连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP〔SSS〕，∴∠OCP=∠OAP∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．〔2〕、∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF==10，∴BF=OF﹣OB=5．考点：〔1〕、切线的断定与性质；〔2〕、解直角三角形27. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=〔x-a〕〔x-3〕〔0<a<3〕的图象与x轴交于点A、B〔点A在点B的左侧〕，与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC.〔1〕求点A、B、D的坐标；〔2〕假设△AOD与△BPC相似，求a的值；〔3〕点D、O、C、B能否在同一个圆上，假设能，求出a的值，假设不能，请说明理由.【答案】〔1〕〔1〕A〔a，0〕，B〔3,0〕，D〔0,3a〕.〔2〕a的值是.〔3〕当a=时，D、O、C、B四点一共圆.【解析】【分析】〔1〕根据二次函数的图象与x轴相交，那么y=0，得出A〔a，0〕，B〔3，0〕，与y轴相交，那么x=0，得出D〔0，3a〕.〔2〕根据〔1〕中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=，AO=a，OD=3a，代入求得顶点C〔，-〕，从而得PB=3- =，PC=；再分情况讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得，解得：a= 3〔舍去〕；②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得，解得：a1=3〔舍〕，a2=；〔3〕能；连接BD，取BD中点M，根据得D、B、O在以BD为直径，M〔，a〕为圆心的圆上，假设点C也在此圆上，那么MC=MB，根据两点间的间隔公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.【详解】〔1〕∵y=〔x-a〕〔x-3〕〔0<a<3〕与x轴交于点A、B〔点A在点B的左侧〕，∴A〔a，0〕，B〔3，0〕，当x=0时，y=3a，∴D〔0，3a〕；〔2〕∵A〔a，0〕，B〔3，0〕，D〔0，3a〕.∴对称轴x=，AO=a，OD=3a，当x= 时，y=- ，∴C〔，-〕，∴PB=3-=，PC=，①当△AOD∽△BPC时，∴，即，解得：a= 3〔舍去〕；②△AOD∽△CPB，∴，即，解得：a1=3〔舍〕，a2= .综上所述：a的值是；〔3〕能；连接BD，取BD中点M，∵D、B、O三点一共圆，且BD为直径，圆心为M〔，a〕，假设点C也在此圆上，∴MC=MB，∴，化简得：a4-14a2+45=0，∴〔a2-5〕〔a2-9〕=0，∴a2=5或者a2=9，∴a1=，a2=-，a3=3〔舍〕，a4=-3〔舍〕，∵0<a<3，∴a=，∴当a=时，D、O、C、B四点一共圆.【点睛】此题考察了二次函数、相似三角形的性质、四点一共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进展分析，纯熟应用相关知识是解题的关键.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

小学数学练习题解一元一次方程练习

小学数学练习题解一元一次方程练习小学数学练习题解：一元一次方程练习一元一次方程（简称一次方程）是小学数学中的重要概念，是学习代数的基础。

通过解一次方程，可以帮助学生培养分析问题、解决问题的能力。

接下来，我们将通过一些小学数学的练习题来解析一元一次方程的应用。

题目1：小明在一家商店买了一部手机和一本书，总共花了450元，其中手机的价格是书的2倍，求手机和书各自的价格。

解析：设书的价格为x（单位：元），则手机的价格为2x（单位：元）。

根据题意，手机和书的总价为450元，可以写成方程：2x + x = 450。

将方程简化：3x = 450。

将方程求解：x = 150。

代入原方程，可得手机的价格为2x = 300元，书的价格为x = 150元。

答案：手机的价格为300元，书的价格为150元。

题目2：小华去电影院看电影，电影票的价格为25元。

他带了一些零钱，共有50元，问他带了多少张零钱？解析：设小华带的零钱为x（单位：元），根据题意，电影票的价格为25元，他带的零钱和电影票价格的总和为50元，可以写成方程：25 + x = 50。

将方程简化：x = 50 - 25。

将方程求解：x = 25。

答案：小华带了25元的零钱。

题目3：一张图画的宽度是60厘米，长度是宽度的5倍，求图画的面积。

解析：设图画的宽度为x（单位：厘米），根据题意，图画的长度为5x （单位：厘米）。

图画的面积等于宽度乘以长度，可以写成方程：x * 5x = 60。

将方程简化：5x² = 60。

将方程求解：x² = 60 / 5 = 12。

解方程得：x = √12，化简得：x = 2√3。

答案：图画的面积为x * 5x = 2√3 * 5 * 2√3 = 60平方厘米。

通过以上几个小学数学的练习题，我们可以看到一元一次方程的应用。

通过设定未知数和列方程的方法，我们可以解决各种问题，提高解决实际问题的能力。

在学习一次方程的过程中，我们还需要掌握方程的简化、求解等技巧，这样才能更好地应用到实际生活中。

1987考研真题数一解析

(A)依赖于 s 和 t
(B)依赖于 s ， t ， x
(C)依赖于 t 、 x ，不依赖于 s
(D)依赖于 s ,不依赖于 t
【答案】应选（D）
【解析】
I t
s
tx u
t f tx dx
s f u du ，由此可见， I 的值只与 s 有关，所以选（D）.
0
0
(3)设 lim xa
1 1 lim x2 ，
a t2
a x0 b cos x
则必有 lim b cos x 0 ，否则，上式右端极限是 0，根据洛必达法则，左端极限也应该 x0
是 0，这与左端极限是 1 矛盾，故 b 1 ，进而 1 lim x2 1 lim x2 2 ， a x0 b cos x a x0 1 cos x a
由于 S1 x
1 2
x n1 n1 2

1 2x
，于是 S1 x
x 0
dt 2t

S1
0

ln
2
2
x
.
当 x 0 时， S 0 1 .
2
因此幂级数的和函数为
S(x)

1

x
ln
2 2
x
,
x [2, 2), 且x
设原方程的特解
y

Ax
，代入原方程，得
A

1 9 a2
，
因此，原方程通解为
y

Y

y

C 1
e3x
C2
cos ax
C3 sin ax
x 9 a2

例谈“1”在解高中数学题中的妙用

知识导航“1”是自然数中最基本、最简单的数字，看似不起眼，但在高中数学解题中却有着非常巧妙的用处.在解题中，巧妙利用“1”进行代换，往往能够起到“四两拨千斤”的效果.本文重点探讨了“1”在解答三角函数、函数、不等式问题中的应用，旨在帮助同学们掌握一种解题的技巧.一、“1”在解答三角函数问题中的妙用三角函数问题的命题方式千变万化，在进行三角恒等变换和化简函数式时，经常需要灵活运用不同的公式，而巧妙运用“1”进行代换，能有效地简化运算，提升解题的效率.解答三角函数问题常用到的“1”的代换式有sin2α+cos2α=1、tanπ4=1等.例1.已知α为第三象限角，且tanα=2，求sinα.解：{sinα=2cosα，sin2α+cos2α=1，解得sinα=.又因为α为第三象限角，所以sinα=.题目中给出的已知条件有限，要求得sinα的值，需要进行“1”的代换，运用同角的基本关系sin2α+cos2α=1，建立关于sinα、cosα的方程组，解方程组便可求得sinα的值.例2.求值：1+tan15°1-tan15°.解析：15o不是特殊角，很难求得目标函数式的值，需要借助特殊角45o将其转化，可将“1”替换成tan45°，运用两角和的正切公式tan()α+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ来求值.解：1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°1-tan45°tan15°=tan()45°+15°=tan60°=3.例3.求函数f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x的最大值，并求出此时x的值.解析：这是一道三角函数的最值问题，需首先利用同角的基本关系sin2α+cos2α=1、正弦的二倍角公式以及辅助角公式将其化简，然后运用三角函数的性质求得最值.解：f()x=sin2x+2sin x cos x+3cos2x=sin2x+cos2x+2cos2x+2sin x cos x=sin2x+cos2x+2=2sinæèöø2x+π4+2，当2x+π4=2kπ+π2，即x=kπ+π8()k∈Z时，y max=2+2.在解答三角函数问题时，同学们只要注意联想，将函数式与“1”相关的式子关联起来，合理进行转化、代换，就能快速解题.二、“1”在解答函数问题中的妙用我们知道，log a1=0()a>0,a≠1、a0=1()a>0,a≠1、y=1()x∈R表示的是一条的直线，因此“1”在解答函数问题中扮演着一个非常重要的角色.在解函数题时，我们可以根据“1”的这些性质、特点，来比较函数值的大小、判断函数的增减性等.例4.判断log41.5的正负.解析：判断log41.5的正负，实际上就是比较log41.5和0的大小，由于log a1=0()a>0,a≠1，所以只需要比较log41.5和log41的大小即可.由于对数函数log a x()a>0,a≠1在a>1时是增函数，且1.5>1，所以log41.5>log41,由此可以判断log41.5为正数.例5.设b>a>1，若x1a≥x2b>1，证明：log a x1>log b x2.解析：两个函数式的底数、真数均不相同，直接比较这两个数的大小较为困难，我们需将“1”作为中间值，借助“1”来进行转化、代换，运用指数函数的单调性来判断两数的大小.证明：设x1a=k1，x2b=k2，则k1≥k2>1，由b>a>1可知y=log a x、y=log b x均为增函数，所以log a x1=log a()ak1=1+log a k1≥1+log a k2>1+log b k2，又1+logbk2=log b()bk2=log b x2，所以logax1>log b x2.三、“1”在解答不等式问题中的妙用不等式证明问题是历年来高考数学试题中的重点题目.由于不等式问题中的条件、结论缺乏，指向不明确，常常让同学们一筹莫展.如果根据已知条件，巧妙地利用“1”进行代换，如构造a∙1a=1、ln1=0、ln e=141解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42。

解一元一次方程50道练习题(带答案)

解一元一次方程50道练习题(带答案)解一元一次方程50道练习题(带答案)
1. 问题：解方程2x + 5 = 9
解答：将已知方程写成标准形式，得到2x = 9 - 5 = 4
将方程两边同时除以2，得到x = 2
答案：x = 2
2. 问题：解方程3(x - 4) = 5
解答：将已知方程通过分配律展开，得到3x - 12 = 5
将方程两边同时加上12，得到3x = 17
将方程两边同时除以3，得到x = 17/3
答案：x = 17/3
3. 问题：解方程4 - 2x = 6x - 8
解答：将已知方程进行整理，得到-2x - 6x = -8 - 4
将方程进行合并，得到-8x = -12
将方程两边同时除以-8，注意要将负号带到分子，得到x = -12/-8
答案：x = 3/2
4. 问题：解方程6(x + 3) = 4(x - 2)
解答：将已知方程展开，得到6x + 18 = 4x - 8
将方程两边同时减去4x，得到2x + 18 = -8
将方程两边同时减去18，得到2x = -8 - 18
将方程两边同时除以2，得到x = -26/2
答案：x = -13
5. 问题：解方程2(x + 1) - 3(x - 2) = 4 - 2x
解答：将已知方程进行整理，得到2x + 2 - 3x + 6 = 4 - 2x 将方程两边同时减去2x，得到-2x + 8 = 4 - 2x
将方程两边同时加上2x，得到8 = 4
答案：此方程无解
......依次类推，解答剩下的题目。

2019年考研数学一真题答案解析

2019年考研数学一真题解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2.C.3. D.4.【答案】C【答案解析】根据泰勒公式有331~tan x x x --，故选C.对泰勒不熟悉的同学，本题也可以用洛必达法则. 2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案B 】【答案解析】由于xx x x 0ln lim 0-+→不存在（极限为无穷属于极限不错在），故0=x 是)(x f 的不可导点.且当0)0(0)(,10;0)(,0=<<<<<f x f x x f x 且，由极值定义可知，0=x 是)(x f 的极值点，故选B.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn nu 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.【答案】D 【答案解析】选项A ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛, 故lim nn u u →∞=≠0，也就是n 趋近无穷时，,n u n n 1故根据极限形式的比较审敛发，n n u n ∞=∑1与n n ∞=∑11同敛散，而n n∞=∑11发散，故选项A 发散。

本选项也可举反例=arctan n n u ；选项B ：n u 单调递增有界，知{}n u 收敛.故1lim ，故lim0nn n nu u u →∞→∞=≠≠0，由数列收敛的必要条件可知B 发散。

本选项也可举反例=arctan n n u ；选项C ：该选项最具迷惑性，一般项趋近0，是正项级数，单调减.但这种正项级数是否收敛取决于递减的速度。

2019年数学一真题及答案解析【原版】

2019年数学一真题及答案解析——一、选择题：1～8 小题，每小题4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.（1）当x →0 时，若x −tan x 与x k是同阶无穷小，则k =（A ）1.（B ）2.（C ）3.（D ）4.【答案】C【解析】33311tan (())~,33x x x x x o x x -=-++-故 3.k =（2）设函数||,0,(),0,x x x f x xlnx x ≤⎧=⎨>⎩则0x =是()f x 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.【答案】B【解析】.00()(0)limlim 0,0x x x x f x f x x --→→-==-00()(0)ln lim lim ,0x x f x f x xx x+-→→-==-∞-故()f x 不可导.当0x >时，()0;f x <当0x <时，()0.f x <故()f x 在0x =处取极大值.故选（B ）.（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是A.1mn n un=∑. B.11(1)mnn nu =-∑.C.11(1)mn n n uu =+-∑.D.2211()mn n n uu +=-∑【答案】C【解析】举反例：（A ）1n n u n -=（B ）1n n u n -=（C ）1n u n=-（4）设函数2(,)xQ x y y=.如果对上半平面(0)y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有(,)(,)0CP x y dx Q x y dy +=⎰，那么函数(,)P x y 可取为A.23x y y-.B.231x y y-.C.11x y -. D.1x y-【答案】D 【解析】,Q Px y∂∂=∂∂则21,P y y ∂=∂又上半平面含1,x 有零，故（C ）错，选（D ）.（5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵，若22A A E +=,且||4A =,则二次型T x Ax 的规范形为A.222123y y y ++. B.222123y y y +-.C.222123y y y --. D.222123y y y ---【答案】C【解析】22A A E += ,设A 的特征值为λ22λλ∴+=(2)(1)0λλ+-=21λ∴=-或4A = A ∴的特征值为1232,12,1q p λλλ==-=∴==T X Ax ∴的规范形为222123y y y --（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程i123(i=1,2,3)i i i a x a y a z d +++组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则A ．()2,r()3r A A ==B.()2,r()2r A A ==C.()1,r()2r A A ==D.()1,r()1r A A ==【答案】C【解析】（1）令123,1,2,3i i i i a x a y a z di i π=++==由于123,,πππ无公共交点，则()()r A r A <，故B 、D 排除（2）由（1）分析可知，()2r A ≤，且0A ≠，则1()2r A ≤≤以1π和2π为例，由于11121312122232a x a y a z d a x a y a z d ++=⎧⎨++=⎩的公共解为一条直线则11121321222331a a a r a a a ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦即1112132122232a a a r a a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦因此111213212223313233() 2.()3a a a r A r a a a r A a a a ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎣⎦综上A 正确（7）设,A B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是A.()()()P A B P A P B =+ B.()()()P AB P A P B =C.()()P AB P BA = D.()(P AB P AB =【答案】C【解析】()0A P AB ⇔=选项,故A 排除A B ⇔B选项、独立，故B 排除()()()()P A P AB P B P AB ⇔-=-C选项()()P A P B =而，故C 正确()()1()P AB P A B P A B ⇔==- D选项1()()()P A P B P AB =--+1()()P A P B ⇔=+故D 排除（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ.则{}1P X Y -<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,μσ都有关.D.与2,μσ都无关.【答案】A【解析】,X Y 独立，服从正态分布，则2(,2)z x y N σσ=- (1)(11)(P X Y P Z P -<=-<<=-21=Φ-，故A 正确二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设函数()f u 可导，(sin sin )z f y x xy =-+，则11cos cos z zx x y y∂∂⋅+⋅=∂∂________【答案】cos cos y x x y+【解析】'(sin sin )(cos )zf y x x y x∂=--+∂'(sin sin )cos zf y x y x y∂=-+∂故11'(sin sin )'(sin sin )cos cos cos cos cos cos z z y x f y x f y x x x y y x yy x x y∂∂⋅+⋅=--++-+∂∂=+(10)微分方程22220yy y --=满足条件(0)1y =的特解y =________【答案】y =【解析】22'2y y y+=2212y dy dx y =+⎰⎰故2ln(2)y x C +=+.由(0)1y =得ln 3C =则2ln(2)ln 3y x +=+.故2ln(2)ln 3y x e e ++=即223x y e +=故y =(11)幂级数0(1)(2)!n nn n ∞=-∑在(0,)+∞内的和函数()S x =________【答案】【解析】20(1)(2)!nn n n ∞=-=∑(12)设∑为曲面22244(0)x y z z ++=≥的上侧，则z=________【答案】323【解析】'22204324sin 3DxyD y dxdy ydxdy d r dr πθθ∑=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰（13）设123(,,)A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且3122ααα=-+。

小学五年级下解方程练习题一个x

小学五年级下解方程练习题一个x 解方程是数学中一个重要的概念，在小学五年级下，学生会开始接触到一些简单的解方程练习题。

解方程的过程需要逻辑思维和运算能力，通过练习题可以帮助学生加深对解方程的理解和掌握。

下面是一些小学五年级下的解方程练习题，帮助学生巩固相关知识。

1. 解方程：3x = 9解：首先，我们需要将方程变成等式，通过除以系数3来消去3x 的系数，得到x = 3。

所以方程的解为x = 3。

2. 解方程：4x + 2 = 10解：首先，我们需要将方程变成等式，通过减去常数项2来消去4x 的常数项，得到4x = 8。

然后，通过除以系数4来解出x的值，得到x = 2。

所以方程的解为x = 2。

3. 解方程：2x - 5 = 3x + 1解：首先，我们可以将方程中的x移到一边，得到2x - 3x = 1 + 5。

化简之后，得到-x = 6。

接着，我们可以通过乘以-1来解出x的值，得到x = -6。

所以方程的解为x = -6。

4. 解方程：5(x + 3) = 10解：首先，我们可以通过分配律展开括号，得到5x + 15 = 10。

然后，通过减去常数项15来消去5x的常数项，得到5x = -5。

接着，我们可以通过除以系数5来解出x的值，得到x = -1。

所以方程的解为x= -1。

5. 解方程：2(x - 4) = 3(x + 1)解：首先，我们可以通过分配律展开括号，得到2x - 8 = 3x + 3。

然后，通过减去3x和加上8来消去x的项和常数项，得到-1x = 11。

接着，我们可以通过乘以-1来解出x的值，得到x = -11。

所以方程的解为x = -11。

通过以上几个例子，我们可以看到解方程的步骤是相似的，首先将方程变成等式，然后通过运算将未知数解出，最后得到方程的解。

在解方程的过程中，需要注意运算的准确性和符号的处理。

通过不断地练习解方程题目，可以提高解方程的能力和思维逻辑。

这些解方程练习题对小学五年级下的学生来说是一个很好的训练素材，希望学生可以认真思考和解答，加深对解方程的理解和掌握。

解一元二次方程练习题

解一元二次方程练习题一元二次方程是高中数学中常见的一个重要概念。

解一元二次方程有时对于学生来说可能会有一定的难度。

为了帮助学生更好地理解和应用一元二次方程的解法，下面将给出一些解一元二次方程的练习题，并提供详细的解题步骤。

题目1：解方程x^2 + 3x - 10 = 0。

解法：1. 将方程化为标准形式，即将方程等式的右边移到左边：x^2 + 3x - 10 = 0。

2. 根据一元二次方程的解法，要求出x的值，可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

其中，a、b、c分别是方程ax^2 + bx + c = 0中的系数。

3. 根据这个公式，将给定的方程的系数代入公式中计算：a = 1，b = 3，c = -10。

x = (-3 ± √(3^2 - 4*1*(-10))) / 2*1。

x = (-3 ± √(9 + 40)) / 2。

x = (-3 ± √49) / 2。

x = (-3 ± 7) / 2。

4. 得到两个不同的解：x = (-3 + 7) / 2 = 4 / 2 = 2 和 x = (-3 - 7) / 2 = -10 / 2 = -5。

题目2：解方程x^2 - 5x + 6 = 0。

解法：1. 将方程化为标准形式：x^2 - 5x + 6 = 0。

2. 根据一元二次方程解法公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

3. 将方程的系数代入公式中计算：a = 1，b = -5，c = 6。

x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*1*6)) / 2*1。

x = (5 ± √(25 - 24)) / 2。

x = (5 ± √1) / 2。

x = (5 ± 1) / 2。

4. 得到两个不同的解：x = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3 和 x = (5 - 1) / 2 = 4 / 2 = 2。