有效数字及运算法则
有效数字的计算法则
有效数字的计算法则
有效数字是指在最后一个数字后面的数字都是不确定的数字。
有效数字的计算法则是指在进行数学计算时，应当根据有效数字的规则进行计算以保证结果的准确性。
以下是一些有效数字的计算法则： 1. 加减法：在进行加减法运算时，结果的有效数字应当与被加数或被减数中有效数字最少的那个数相同。
2. 乘法：在进行乘法运算时，结果的有效数字应当与被乘数和乘数中有效数字的总和相同。
3. 除法：在进行除法运算时，结果的有效数字应当与被除数中有效数字的总数相同。
4. 幂运算：在进行幂运算时，结果的有效数字应当与底数中有效数字的总数相同。
5. 对数运算：在进行对数运算时，结果的有效数字应当与真数中有效数字的总数相同。
在进行数学计算时，应当注意有效数字的规则，以保证计算结果的准确性。
同时，应当注意四舍五入的规则，以便得到正确的有效数字。
- 1 -。
有效数字
电阻值只记录到“ 10”。
6、若测值恰为整数，必须补零，直补到可
疑位。
6
三.有效数字的运算规则
(1)记录测量数据时,一般只保留一位可疑数字. 如滴定管读数32.47ml.
(2) 在运算中舍去多余数字时采用四舍五入法.等 于5时,如前一位为奇数,则增加1;如前是偶数则 舍去.
(3)加减运算时,计算结果有效数字的末位的位置 应与各项中绝对误差最大的那项相同. 即保留 各小数点后的数字位数应与最小者相同. 13.75 +0.0084 +1.642应为13.75+0.01+1.64
四舍、六入、五凑偶
16
估计值只有一位，所以也叫欠准数位或 可疑数位。
3
有效数字的特点
（1）位数与单位变换或小数点位置无关 。 35.76cm = 0.3576m = （2）00.00的0地35位76km
0.0003576 3.005 3.000 都是四位
（3）特大或特小数用科学计数法
3.576 101
3.576 102
h 6.627 10 34 j s
4
二、有效数字的读取
进行直接测量时，由于仪器多种多样， 正确读取有效数字的方法大致归纳如下：
1、一般读数应读到最小分度以下再估一 位。例如，1/2，1/5，1/4，1/10等。
2、有时读数的估计位，就取在最小分度
位。例如，仪器的最小分度值为0.5，则
21 30 0 333
20 9673
20 967
可见，约简不影响计算结果。在加减法运 算中，各量可约简到其中位数最高者的下一 位，其结果的欠准数位与参与运算各量中位 数最高者对齐。
11
乘、除法
有效数字及运算法则
★移液管:25.00mL(4);
☆ 量筒(量至1mL或0.1mL):26mL(2), 4.0mL(2)
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
b) 数字后的0含义不清楚时，最好用指数形式表 示: 1000 ( 1.0×103，1.00×103 ，1.000 ×103 ) a) 自然数可看成具有无限多位数(如倍数关系、分
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 10.2452 10.2350 10.2450 10.245001
→0.5267
→ 10.25 →10.24 →10.24 →10.25
.
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致) 50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1 ±0.1 ±0.01 ±0.001 50.1 1.5 + 0.6 52.2
有效数字及运算法则
有效数字(significant figure)
1定义：是在分析工作中实际测量到的数字, 除最后一位是可疑的外,其余的数字都是确 定的。它一方面反映了数量的大小,同时也 反映了测量的精密程度。
2构成:全部准确数字+最后一位估计的可疑数 字
如滴定管读数23.45mL，23.4是准确的，而 第四位5可能是4也可能是6，虽然是可疑的， 但又是有效的。
,e
数关系)；常数亦可看成具有无限多位数，如
有效数字位数的确定
• • • • 1.0008，43.181 0.1000，10.98% 0.0382，1.98×10- 10 54， 0.0040 5位 4位 3位 2位 1位 位数含糊不确定
• 0.05， 2×10-5 • 3600， 100
有效数字及其运算规则
§2—3有效数字及其运算规则1. 有效数字的一般概念1) 有效数字的概念 实验中测量的结果都是有误差的，那么测量值如何表达才算合理呢？如用最小分度值为1mm 的尺子测得某物体的长度L ＝12.46cm ，可否写成12.460cm 或12.4600cm 呢？回答当然是否定的，因为用该米尺测量时毫米以下的一位数字6已经是估计的（即有误差存在），再往下估读已无实际意义。
在大学物理实验中，12.460和12.4600这两个数值与12.46有着不同的含义，即表示它们的误差是不相同的。
在实验测量和近似计算中得到的数据，其末位是有误差的，我们称这种数为有效数字。
所以，有效数字是由若干位准确数字和一位欠准确数字构成的。
上面的举例L=12.46cm ，就是有四位有效数字。
若我们用最小分度为0.02mm 的游标卡尺去测量该物体，得L ＝12.460cm ；用最小分度为0.0lmm 的螺旋测微器测量该物体，读数为12.4602cm ，则它们分别是五位和六位的有效数字。
由此可见，同一物体，用不同精度的仪器去测量，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效位数越多。
当我们用m 或km 作单位时，物理量L ＝12.46cm 表示为L ＝0.1246m 或L ＝0.0001246km ，它们是几位有效数字呢？因为单位换算并没有改变它原来测量的精度，因此仍是四位有效数字，这里的“0”是确定小数点位置的，不是有效数字，也就是说，在非零数字前的“0”不是有效数字。
当“0”不是确定小数点位置，即在非零数字后面时，与其它的字码是有同等地位的，都是有效数字。
例如，1.005cm ，是四位有效数字；1.00m 是三位有效数字。
这里的“0”就不能随便的增或减。
2) 数值的科学表达方式当一个数值很大，但有效数字又不多的情况下，如何来正确表达呢? 这时可以用尾数乘以10的多少次幂的形式表示，即所谓的科学记数法。
例如某号钢的弹性模量为，它有三位有效数字，显然写成197,000,000,000是不妥当的。
有效数字及运算法则
1.关于“0”的有效问题 关于“ 的有效问题
②.小数点前面的“0”和紧接小 小数点前面的“ 和紧接小 数点后面的“ 不算作有效数 数点后面的“0”不算作有效数 如 、 、 字：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。 均是 位有效数字。 位有效数字
注意：进行单位换算时， 注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。 有效数字的位数不变。
N = 58.3 ± 0.1cm
2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则 ——有效数字的运算法则
1.加减法 1.加减法 运算规则： 运算规则：
加减法运算后的有效数字， 加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 最靠前出现可疑数的那一位。 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例
19.68 - 5.848 = 13.83 – 19.68 – 5.848
–
––20.8655N = AB / C
其中： 其中：
A = 3.21 ± 0.01cm , B = 6.5 ± 0.2cm , C = 21.843 ± 0.004cm
试确定N的有效数字。 试确定 的有效数字。 的有效数字
解：
（1）先计算 ）先计算N
σ A
2
3.21 × 6.5 N= = 0.975cm 21.8
如： 1002=100×102 ×
√ 49 = 7.0 √ 49 = 7
√
100=10.0
2=16 4.0 2=16.0 4.0
正确 错误
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则 ——有效数字的运算法则
1.加减法 1.加减法 2.乘除法 2.乘除法 3.乘方与开方 3.乘方与开方 4.函数运算 4.函数运算
有效数字及运算法则
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
（5） 1.00 1.00
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为20000（欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104
又 如 数 据 为 0.0000325m ， 使 用 科 学 记 数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字及运算法则
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。
上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 效 如：12.04cm 、20.50m 2 、1.000A
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500 物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
5.相对误差的表达
E N 100% N
0.05 E1 1.20 100% 4.2%
有效数字与运算法则
• 3600， 100
5位 4位 3位 2位
1位 位数含糊不确定
说明（1）0的不同作用：是有效数字，如1.0008中0；不是有效 数字，如0.0382中0，起定位作用； （2）位数不定的，可科学计数，3600，可写为3.6×103， 3.60×103，3.600×103，有效数字分别为2，3，4位。
如，将下列数字修约成4位有效数字： 0.52666 →0.5. 267
10.2452 → 10.25 10.2350 →10.24 10.2450 →10.24 10.245001 →10.25
有效数字运算规则
加减法: 结果的绝对误差应不小于各项中绝对误差 最大的数。(与末位数最大的数一致)
50.1 1.46 + 0.5812 52.1412 52.1
±0.1 ±0.01 ±0.001
50.1 1.5 + 0.6 52.2
先修约至安全数字，再运算，后修约至应有的有效数。
乘除法: 结果的相对误差应与各因数中相对误差最大的 数相适应 (即与有效数字位数最少的一致)
例1 0.0121 × 25.66 × 1.0578 ＝ 0.328432 (±0.8%) (±0.04%) (±0.01%) (±0.3%)
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注意（1）若数据进行乘除运算时, 第一位数字大于
或等于8, 其有效数字位数可多算一位。如9.46可 看做是四位有效数字。
（2）乘方或开方，结果有效数字位数不变。例如, 6.542=42.8
（3）对数计算：对数尾数的位数应与真数的有效 数字位数相同。
例如：[H ] 6.31011 mol/L
pH 10.20
a) 数字前0不计，数字后计入 : 0.02450
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则1.4.1 有效数字的基本概念任何测量结果都存在不确定度，测量值的位数不能任意的取舍，要由不确定度来决定，即测量值的末位数要与不确定度的末位数对齐。
如体积的测量值3cm 961.5=V ，其不确定度3cm 04.0=V U ，由不确定度的定义及V U 的数值可知，测量值在小数点后的百分位上已经出现误差，因此961.5=V 中的“6”已是有误差的欠准确数，其后面一位“1”已无保留的意义，所以测量结果应写为3cm 04.096.5±=V 。
另外，数据计算都有一定的近似性，计算时既不必超过原有测量准确度而取位过多，也不能降低原测量准确度，即计算的准确性和测量的准确性要相适应。
所以在数据记录、计算以及书写测量结果时，必须按有效数字及其运算法则来处理。
熟练地掌握这些知识，是普通物理实验的基本要求之一，也为将来科学处理数据打下基础。
测量值一般只保留一位欠准确数，其余均为准确数。
所谓有效数字是由所有准确数字和一位欠准确数字构成的，这些数字的总位数称为有效位数。
一个物理量的数值与数学上的数有着不同的含义。
例如，在数学意义上600.460.4=，但在物理测量中(如长度测量)，cm 600.4cm 60.4≠，因为cm 60.4中的前两位“4”和“6”是准确数，最后一位“0”是欠准确数，共有三位有效数字。
而cm 600.4则有四位有效数字。
实际上这两种写法表示了两种不同精度的测量结果，所以在记录实验测量数据时，有效数字的位数不能随意增减。
1.4.2 直接测量的读数原则直接测量读数应反映出有效数字，一般应估读到测量器具最小分度值的10/1。
但由于某些仪表的分度较窄、指针较粗或测量基准较不可靠等，可估读5/1或2/1分度。
对于数字式仪表，所显示的数字均为有效数字，无需估读，误差一般出现在最末一位。
例如：用毫米刻度的米尺测量长度，如图1-4-1(a )所示，cm 67.1=L 。
“6.1”是从米尺上读出的“准确”数，“7”是从米尺上估读的“欠准确”数，但是有效的，所以读出的是三位有效数字。
有效数字及其运算规则
有效数字及其运算规则一、测量结果的有效数字1．有效数字的定义及其基本性质测量结果中所有可靠数字加上末位的可疑数字统称为测量结果的有效数字。
有效数字具有以下基本特性：（1）有效数字的位数与仪器精度（最小分度值）有关，也与被测量的大小有关。
对于同一被测量量，如果使用不同精度的仪器进行测量，则测得的有效数字的位数是不）测量某物体的长度读数为同的。
例如用千分尺（最小分度值0.01m m，0.004m m∆=仪4.834m m。
其中前三位数字“483”是最小分度值的整数部分，是可靠数字；末位“4”是在在同一数位上，所以该测量值有最小分度值内估读的数字，为可疑数字；它与千分尺的∆仪四位数字。
如果改用最小分度值（游标精度）为0.02m m的游标卡尺来测量，其读数为4.84m m，测量值就只有三位有效数字。
游标卡尺没有估读数字，其末位数字“4”为可疑数字，它与游标卡尺的0.02m m∆＝也是在同一数位上。
仪（2）有效数字的位数与小数点的位置无关，单位换算时有效数字的位数不应发生改变。
2．有效数字与不确定度的关系在我们规定不确定度的有效数字只取一位时，任何测量结果，其数值的最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。
如3ρ=±，测量值的末位“7”刚好与不g c m(8.9270.005)/确定度0.005的“5”对齐。
由于有效数字的最后一位是不确定度所在位，因此有效数字或有效位数在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。
测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效位数越少，相对不确定度就越大。
3．数值的科学表示法二、有效数字的运算规则1．数值的舍入修约原则测量值的数字的舍入，首先要确定需要保留的有效数字和位数，保留数字的位数确定以后，后面多余的数字就应予以舍入修约，其规则如下：（1）拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。
（2）拟舍弃数字的最左一位数字大于5，或者是5而其后跟有并非0的数字时，则进1，即保留的末位数字加1。
第三节有效数字及其运算规则案例
准确数字
可疑数字 绝对误差 相对误差ห้องสมุดไป่ตู้
0.19% 实际数据范围 51.8 0.1
3. 在0 ～ 9中，只有“ 0 ”既是有效数 字，又是无效数字(双重意义)
例： 0.06050 四位有效数字
定位 有效位数
例：3600
3600 → 3.6×103
有效数字位数不确定
两位
3600 → 3.60×103
说明: 以有效数字位数最少的数为准 把其他数据修约为相同位数
小测
1.一个分析工作者获得3个极接近的平行测 定的结果，问可能得出下面什么结论： （1）偶然误差很低 （2）系统误差很低 （3）所用试剂很纯 （4）平均值是准确的
2.若分析结果的精密度很好，准确度很差， 可能是下面哪几种原因造成的： （1）操作中未发生机械损失（如溶液溅出） （2）使用为校正的砝码 （3）称样量记录有差错 （4）使用试剂不纯
3.某试样经分析测得含锰的质量分数（％） 为：41.24，41.27，41.23，41.23，求分 析结果的平均偏差，标准偏差和变异系 数。
4.下列数据包含几位有效数字，若有效数 字位数大于两位的请修约为两位 （1）0.0251 （2）0.2180 （3）1.8×10-5 （4）pK＝2.55 （5）6910 （6）20.37
51.8
这两个数是一样的吗?
51.80
第三节 有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测量得到的数字 1. 有效数字由其前面的所有准确数字和 最后一位可疑数字构成
例 ： 滴 定 读 数 20.30mL ， 四 位 有 效 数 字 , 其 中 “20.3”是准确数字,最后一位“0”是可疑的,
第二章第二节有效数字及运算法则
前面的“ 只起定位作用 只起定位作用——故无效 “1”前面的“0”只起定位作用 前面的 故无效 0.1080g中，夹在数字中间的“0”和数字后面的 中 夹在数字中间的“ 和数字后面的 “0”，都是有数值意义的 ，都是有数值意义的——故有效 故有效
这样的数字， （2）像3600这样的数字，有效数字位数比较含 ） 这样的数字 应根据实际的有效数字位数，分别写成： 位 糊，应根据实际的有效数字位数，分别写成：2位 有效数字、 位有效数字和 位有效数字分别为： 位有效数字和4位有效数字分别为 有效数字、3位有效数字和 位有效数字分别为：
H + = 6.3 × 10 −12 mol/L
6
注意： 注意： 改变单位， 改变单位，不改变有效数字的位数 如： 24.01mL
3 24.01× 24.01×10－ L
台秤(称至 台秤 称至0.1g):12.8g(3位), 0.5g(1位), 1.0g(2位) 称至 位 位 位 分析天平(称至 分析天平 称至0.1mg):12.8218g(6位), 称至 位 0.5024g(4位), 0.0500g(3位) 位 位 ★滴定管(量至 量至0.01mL):26.32mL(4位), 3.97mL(3位) 滴定管 量至 位 位 量至0.01mL): 25.00mL(4位); ★移液管(量至 移液管 量至 位 吸量管(量至 吸量管 量至0.01mL): 5.00mL（3位） 量至 （ 位 ★容量瓶:100.0mL(4位),250.0mL (4位)，50.00mL（4位） 容量瓶 位 位， （ 位 量筒(量至 量至1mL或0.1mL):26mL(2位), 4.0mL(2位) ☆ 量筒 量至 或 位 位 标准溶液的浓度， 标准溶液的浓度，用4位有效数字表示: 0.1000 mol/L 位有效数字表示:
有效数字及其运算规则
一、有效数字 二、有效数字的修约规则 三、有效数字的运算法则
一、有效数字：实际可以测得的数字
1. 有效数字位数包括所有准确数字和一位欠准数字 例：滴定读数20.30mL，最多可以读准三位 第四位欠准（估计读数）±1% 2. 在0~9中，只有0既是有效数字，又是无效数字 例： 0.06050 四位有效数字 定位 有效位数 例：3600 → 3.6×103 两位 → 3.60×103 三位 3．单位变换不影响有效数字位数 例：10.00[mL]→0.0010H，pM，pK，lgC，lgK等对数值，其有效数字的 位数取决于小数部分（尾数）数字的位数，整数部 分只代表该数的方次 例：pH = 11.20 → [H+]= 6.3×10-12[mol/L] 两位 5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位 例：90.0% ，可示为四位有效数字 例：99.87% →99.9% 进位
二、有效数字的修约规则
1．四舍六入五留双 例：0.37456 ， 0.3745 均修约至三位有效数 字 0.37 0.37 4 5 2．只能对数字进行一次性修约 例：6.549， 2.451 6.5 一次修约至两位有效数字 2.5
3．当对标准偏差修约时，修约后会使标准偏差结果 变差，从而提高可信度
例：s = 0.134 → 修约至0.14，可信度↑
三、有效数字的运算法则
1．加减法：以小数点后位数最少的数为准（即以 绝对误差最大的数为准） 例： 50.1 + 1.45 + 0.5812 =52. ？ 1 δ ±0.1 ±0.01 ±0.0001 保留三位有效数字 2．乘除法：以有效数字位数最少的数为准（即以 相对误差最大的数为准） 0.32 例：0.0121 × 25.64 × 1.05782 = ？ 8 δ ±0.0001 ±0.01 ±0.00001 保留三位有效数字 RE ±0.8% ±0.4% ±0.009%
有效数字及运算法则
找出下列正确的数据记录：
(4)用量程为100 mA，刻有100小格的0.1级表测量 电流，指针指在80小格上；用量程为100V，刻 有50小格的1.0级表测量电压，指针指在40小格 上，数据如下：
— 电流：80mA; 80.0mA; 80.00mA; — 电压：80V; 80.0V; 80.00V
等中的0均有效。
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减 “0”
数学上：2.85 2.850 2.8500
物理上：2.85 2.850 2.8500
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。
有效数字的位数
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA
指针正好在82mA上：读为82.0mA
100 0.1 __0_.1_×__1_02__,
式子的前一项 100 0.1 __1___。
有效数字及其运算法则 - 有效数字及其运算法则
14.7 - 0.3674 - 14.064 =（小数1位）
14.7 0.37 14.06
8
2.乘除法 各测量值相对误差传递 计算结果以有效数字位数最少的为准
若 R=XY R x b
R xb
9
x 0.3210 48.112 (21.25 16.10) 0.28451000 0.3210 48.112 5.15 0.28451000
0.3210 48.11 5.15 (三位） 0.28451000
10
例：6.549， 2.451 一次修约至两位有效数字
6
3、运算过程中可多保留一位 4、修约标准偏差其结果应使准确度降低
S=0.213 两位 S=0.22 表示标准偏差和RSD时，通常取两位有效数字
7
三、运算法则 1、加减法
各测量值绝对误差传递，结果与数据中绝 对误差大的数据相当
0.5362 + 0.001 + 0.25 =（小数点后两位）
5．结果首位为8和9时，有效数字可以多计一位。 例：90.0%,101.4% 均可示为四位有效数字.
3
6. 记录有效数字时，不可夸大。 例：托盘天平：10.3g × 10.3000g,
量筒：10 mL H2O × 10.00mL. 7.常量分析0.000018 2500L （4位） 86（3位） 99.9%（4位） pH=12.26（2位）
2.5430 （5位） Ka=1.8×10-5（2位） 2.50×10-3（3位） 9 （2位） 100.1%（4位）
5
二、数字修约规则
1、四舍六入五留双
四位：14.2442 24.4863 15.0250 15.0150 15.0251
有效数字及运算规则
有效数字及运算规则一、有效数字为了取得准确的分析结果，不仅要准确测量，而且还要正确记录与计算。
所谓正确记录是指记录数字的位数。
因为数字的位数不仅表示数字的大小，也反映测量的准确程度。
所谓有效数字，就是实际能测得的数字。
有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。
例如在分析天平上称取试样，这不仅表明试样的质量，还表明称量的误差在±以内。
如将其质量记录成，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为，故记录数据的位数不能任意增加或减少。
如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。
因为分析天平只能称准到,即称量瓶的实际重量应为±,无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。
因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。
同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度.二、有效数字中＂0＂的意义＂0＂在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字．例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：物质称量瓶Ｎａ2ＣＯ３H2C2O4·2H2O称量纸质量１０．１４３０２.１０４５有效数字位数６位5位4位3位以上数据中“0”所起的作用是不同的。
在中两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。
在中的“0”也是有效数字，所以它有5位有效数字。
在中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，所以它有4位有效数字。
在中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。
综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。
以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。
例如4500这个数，就不会确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。
有效数字与运算法则
有效数字与运算法则。
在实验工作中，对任一物理量的测定，其准确度都是有限的，我们只能以某一近似值表示之。
因此测量数据的准确度就不能超过测量所允许的范围。
如果任意将近似值保留过多的位数，反而歪曲测量结果的真实性。
实际上有效数字的位数就指明了测量准确的幅度。
现将有关有效数字和运算法则简述如下：(1)记录测量数据时，一般只保留一位可疑数字。
有效数字是指该数字在一个数量中所代表的大小。
例如，一滴定管的读数为32.47，其意义为十位数为3，个位数上为2，十分位上为4，百分位上为7。
从滴定管上的刻度来看，我们都知道要读到千分位是不可能的，因为刻度只刻到十分之一，百分之一已为估计值。
故在末位上，上下可能有正负一个单位出入。
这末一位数可认为不准确的或可疑的，而其前边各数所代表的数值，则均为准确测量的。
通常测量时，一般均可估计到最小刻度的十分位，故在记录一数量时，只应保留一位不准确数字，其余数均为准确数字。
我们称此时所记的数字均为有效数字。
在确定有效数字时，要注意“0”这个符号。
紧接小数点后的0仅用来确定小数点的位置，并不作为有效数字。
例如0.00015g中小数点后三个0都不是有效数字。
而0.150g中的小数点后的0是有效数字，至于350mm中的0就很难说是不是有效数字，最好用指数来表示，以10的方次前面的数字表示。
如写成3.5×102mm，则表示有效数字为两位；写成 3.50×102mm，则有效数字为三位；其余类推。
(2)在运算中舍去多余数字时采用四舍五人法。
凡末位有效数字后面的第一位数大于5，则在其前一位上增加1，小于5则舍去。
等于5时，如前一位为奇数，则增加1；如前一位为偶数则舍去。
例如，对27.0235取四位有效数字时，结果为27.02；取五位有效数字时，结果为27.024。
但将27.015与27.025取为四位有效数字时，则都为27.02。
(3)加减运算时，计算结果有效数字的末位的位置应与各项中绝对误差最大的那项相同。
有效数字及运算法则
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字）
20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
4.不确定度的表达
N N (单位)
σ取一个有效数字， σ决定N的有效位
a 10.0 0.1cm2 b 20.02 0.01cm
100.0035=1.00809611.008
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法 2.乘除法 3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
例 9 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
=
50.00 2.0 100 1.00
=
1.0102 100
= 1.0
10.02 lg100.0 35 27.3211 27.31 = 100 2.0000 35
0.01 = 2104 35 = 2104
试用有效数字计算结果： （1）123.98 - 40.456 + 7.8 = 171.0 （2） lg10.00 = 1.0000 （3）789.30 × 50 ÷ 0.100 = 3.9×103 （4）1.002 = 1.00
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试确定N的有效数字。
解：
（1）先计算N
2 2 2
3.21 6.5 N 0.975cm 21.8
（2）计算不确定度 N
N
0.01 0.2 0.004 A B C N 3.21 6.5 21.843 A B C
例：用米尺测量物体的长度 一、有效数字的一般概念
L1= 3.4 5 L2= 3.4 6
一、有效数字的一般概念
定义：在测量结果的数字表示 中，由若干位可靠数字加一位 可疑数字，便组成了有效数字。 上述例子中的测量结果均为三 位有效数字
二、有效数字位数的确定
1.关于“0”的有效问题 ①.当“0”在数字中间或末尾时有 2 12 .04 cm 、 20.50m 、1.000 A 效 如： 等中的0均有效。
被测物体
当读数正好为24㎜时读数为24.0㎜
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
（2）用0.1级量程为100mA电流表测电流
对于0.1级表：
指针在82mA与83mA之间：读为82.* mA 指针正好在82mA上：读为82.0mA
△仪= 100mA×0.1% = 0.1mA
1.加减法
运算规则：
加减法运算后的有效数字，取到参与运算各 数中 最靠前出现可疑数的那一位。
例
19.68 - 5.848 = 13.83 – 19.68 – - 5.848
—————– –
–
–
–
13.832
结果为 13.83
–
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
5.自然数与常量
①自然数不是测量值，不存在误差， 故有效数字是无穷位。
如在D=2R中，2不是一位有效数字，而是无穷位
②常数、e等的位数可与参加运算的 量中有效数字位数最少的位数相同 或多取一位。
方数的有效数字位数相同。
2=100102 100 如：
49 = 7.0 49 = 7
100=10.0
4.02=16
2 4.0 =16.0
正确
错误
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方 4.函数运算
(1)对数函数 lgx的尾数与x的位数相同
2 lg100.0 10.0 27.3211 27.31
35
=
100 2.0000 35 0.01
= 2104 35 =
4 210
测量值本身的大小、仪器的准确度
米尺 L=2.52cm （三位有效数字） 20分度游标卡尺 L=2.525cm （四位有效数字）
螺旋测微计 L=2.5153cm （五位有效数字）
三、直接测量有效数字的确定 ——如何读数
读数的一般规则： 读至仪器误差所在的位置
（1）用米尺测长度
当物体长度在24㎜与25㎜之间时， 读数为24.*㎜
————— –– –– 1605– 1926 ————— – –––
3.21 6.5 = 21 – 3.21 – 6.5
–
–
–
20.865
结果为 21
–
例5
N AB / C
其中：
A 3.21 0.01cm , B 6.5 0.2cm , C 21.843 0.004 cm
————— – –
–
–
–
63.734
结果为 63.7
–
例2
2 A 62 . 5 0 . 1 cm N A B C 其中：
B 1.234 0.003cm 2 , C 5.43 0.06cm 2 试确定N的有效数字。 解： （1）求出N的不确定度 N
N
对于1.0级表 △仪=100mA×1.0%=1mA
指针在82mA与84mA之间： 可读为82mA、83mA或84mA
指针正好在82mA上：读为82mA
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
62 . 5 + 1. 234 = 63 . 7 – 62.5 – + 1.234
例 10 L=2R 其中R=2.3510-2m
就应取3.14(或3.142)
即L=23.1422.3510-2=0.148(m)
综合运算举例
50.00 ( 18.30 16.3 ) ( 103 3.0 ) ( 1.00 + 0.001 )
50.00 2.0 = 100 1.00 2 1.010 = 100 = 1.0
2 2 2
2 65
N
2 0.957 0.03cm 65
（3）根据误差（不确定度）决定有效数字，有：
N 0.98 0.03cm
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
运算规则:
乘除运算后结果的有效数字一般以参与运算 各数中有效数字位数最少的为准。
2 A 2 B
2 C
2 A
2 C
( 0.1 ) 2 ( 0.06 ) 2 0.1cm 2
（2） N 62.5 1.234 5.43 58.304( cm 2 ) （3）用误差（估计误差范围的不确定度）决定 结果的有效数字
N 58.3 0.1cm
2
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
注意：进行单位换算时， 有效数字的位数不变。
2.数值的科学记数法
数据过大或过小时，可以 用科学表达式。
某电阻值为 20000 （欧姆），保留三位有 效数字时写成 2.00104 又如数据为 0.0000325m ，使用科学记数 法写成3.2510-5m
3.有效数字与仪器的关系
有效数字的位数
例7
lg 100 = 2.000 lg 1.983 = 0.297322714 0.2973 lg 1983 = 3.29722714 3.2973
(2)指数函数
10 x 或 e x 的位数和 x 小数点后的 位数相同（包括紧接小数点后 面的0）
例8
6.25 10 =1778279.41 6 1.810 0.0035 10 =1.008000 196587 134130 131058 30720
例6
_ _ 2121.843=0.96 _
_
21843 8877
结果为 0.96
_
四、间接测量量有效数字的确定 ——有效数字的运算法则
1.加减法
2.乘除法
3.乘方与开方
结果的有效数字与其底或被开 运算规则：
注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减
“0”
数学上： 2.85 2.850 2.8500
物理上： 2.85 2.850 2.8500
1.关于“0”的有效问题
②.小数点前面的“0”和紧接小 数点后面的“0”不算作有效数 字 如：0.0123dm、0.123cm、0.00123m
均是3位有效数字。