高考数学专题复习-三角函数与解三角形

第1讲 三角函数的图象与性质

高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象,涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题,主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等,主要以解答题的形式考查.

真 题 感 悟

1.(全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos 2α＝2

3,则|a －b |＝( ) A.15

B.55

C.25

5

D.1

解析 由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23,所以cos α＝306,sin α＝±6

6,得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2,所以|a －b |＝55. 答案 B

2.(全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π3,则下列结论错误的是( )

A.f (x )的一个周期为－2π

B.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π

3对称 C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π

6 D.f (x )在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

π2，π单调递减

解析 A 项,因为f (x )的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0),所以f (x )的一个周期为－2π,A 项正确.

B 项,因为f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z ),当k ＝3时,直线x ＝8π

3是其对称轴,B 项正确.

C 项,f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3,将x ＝π6代入得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

7π6＝cos 3π2＝0,所以x ＝π6是f (x ＋π)的

一个零点,C 项正确.

D 项,因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ),递增区间为

⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3 (k ∈Z ),所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间,⎣⎢⎡⎭⎪⎫

2π3，π是增区间,D 项错误. 答案 D

3.(全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2,则( ) A.f (x )的最小正周期为π,最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π,最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π,最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π,最大值为4

解析 易知f (x )＝2cos 2

x －sin 2

x ＋2＝3cos 2

x ＋1＝3cos 2x ＋12

＋1＝32cos 2x ＋52,则

f (x )的最小正周期为π,当2x ＝2k π,即x ＝k π(k ∈Z )时,f (x )取得最大值,最大值为4. 答案 B

4.(全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ,a ]是减函数,则a 的最大值是( ) A.π4

B.π2

C.3π4

D.π

解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π4,且函数y ＝cos x 在区间[0,π]上单调递减,

则由0≤x ＋π4≤π,得－π4≤x ≤3π

4.因为f (x )在[－a ,a ]上是减函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π

4，a ≤3π

4，

解得a ≤π4,所以0

4. 答案 A

考 点 整 合

1.常用三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z )

图象

递增 区间 ⎣⎢⎡

⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π,2k π]

⎝ ⎛

⎭

⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡

⎦

⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π,2k π＋π] 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π,0) ⎝ ⎛

⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π

2 x ＝k π 周期性

2π

2π

π

2.三角函数的常用结论

(1)y ＝A sin(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；

当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π

2(k ∈Z )求得.

(2)y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π＋π

2(k ∈Z )时为奇函数；

当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换

热点一 三角函数的定义

【例1】 (1)(北京卷)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α＝1

3,则cos(α－β)＝________.

(2)如图,以Ox 为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P ,已知点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45,则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α

＝________.

解析 (1)法一 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ). ∵sin α＝13,∴sin β＝sin[(2k ＋1)π－α]＝sin α＝1

3(k ∈Z ). 当cos α＝1－sin 2α＝223时,cos β＝－22

3,

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝223×

⎝ ⎛⎭⎪⎫－223＋13×13＝－7

9. 当cos α＝－1－sin 2α＝－223时,cos β＝22

3,

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－7

9.

综上可知,cos(α－β)＝－7

9.

法二 由已知得β＝(2k ＋1)π－α(k ∈Z ),