同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章-定积分的应用

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同济第六版高数上册第六章课件

10ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
xdx x l x
3 2
棒对质点的引力的铅直分力为
F y 2 k m a
l 2
dx
y M dF a x
d Fa y
(a x ) l x 2 k m a 2 2 2 a a x
2
0
3 2 2
dF
l 2
2k m l 1 a 4a 2 l 2
解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
y M dF a x
d Fy
[ x , x d x ]对质点的引力大小为 m d x dF k 2 a x2
故铅直分力元素为
l 2
dF
2 d Fy dF cos a m dx dx k 2 2 k m a 2 2 2 a x a x (a x 2 )
dW F ( x )dx
W dW F ( x )dx
a a
1
F(x)
O
b
b
a
x x+dx b

x
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
证明存在唯一一点 (a , b), 使S1 3 S 2
t
18
例64 求由r cos 及r 1 cos 所围图形的公共思考部分的面积 .
19
0
O
xdx x l x
2
利用对称性
故棒对质点的引力大小为 F 2k m l a

同济大学高等数学上册第六章定积分的应用

同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。

本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。

第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。

比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。

定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。

第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。

比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。

通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。

第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。

比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。

通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。

第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。

比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。

通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。

总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。

定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。

高等数学(同济第六版)课件第六章 6.3定积分物理应用

第三节定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场．若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功．解取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向．例6 有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的质点M，计算该棒对质点 M 的引力．

同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数

同济第六版《高等数学》优秀教案WORD版-第07章-空间解析几何与向量代数第七章空间解读几何与向量代数教案目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。

3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。

4、掌握平面方程和直线方程及其求法。

5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。

6、会求点到直线以及点到平面的距离。

7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。

9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

教案重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。

教案难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7. 1 向量及其线性运算一、向量概念向量:在研究力学、物理学以及其他应用科学时,常会遇到这样一类量,它们既有大小,又有方向.例如力、力矩、位移、速度、加速度等,这一类量叫做向量.在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.向量的符号:以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB . 向量可用粗体字母表示,也可用上加箭头书写体字母表示,例如,a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F .自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a 和b 的大小相等,且方向相同,则说向量a 和b 是相等的,记为a =b .相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模.向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB . 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量.零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的.向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a 与b 平行,记作a // b .零向量认为是与任何向量都平行.当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线.类似还有共面的概念.设有k (k ≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k 个终点和公共起点在一个平面上,就称这k 个向量共面.二、向量的线性运算1．向量的加法向量的加法:设有两个向量a 与b ,平移向量使b 的起点与a 的终点重合,此时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和,记作a +b ,即c =a +b . 三角形法则:上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则. 平行四边形法则:当向量a 与b 不平行时,平移向量使a 与b 的起点重合, 以a 、b 为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a +b .向量的加法的运算规律: (1)交换律a +b =b +a ;(2)结合律(a +b )+c =a +(b +c ).由于向量的加法符合交换律与结合律,故n 个向量a 1,a 2,,a n (n ≥3)相加可写成bacABCABCa 1+a 2++a n ,并按向量相加的三角形法则,可得n 个向量相加的法则如下:使前一向量的终点作为次一向量的起点,相继作向量a 1,a 2,,a n ,再以第一向量的起点为起点,最后一向量的终点为终点作一向量,这个向量即为所求的和. 负向量:设a 为一向量,与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量,记为-a . 向量的减法:我们规定两个向量b 与a 的差为b -a =b +(-a ).即把向量-a 加到向量b 上,便得b 与a 的差b -a . 特别地,当b =a 时,有 a -a =a +(-a )=0.显然,任给向量→AB 及点O ,有→→→→→A O OB OB O A AB -=+=,因此,若把向量a 与b 移到同一起点O ,则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量→AB 便是向量b 与a 的差b -a . 三角不等式:由三角形两边之和大于第三边的原理,有|a +b |≤|a |+|b |及|a -b |≤|a |+|b |,其中等号在b 与a 同向或反向时成立. 2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义:向量a 与实数λ的乘积记作λa ,规定λa 是一个向量,它的模|λa |=|λ||a |,它的方向当λ>0时与a 相同,当λ<0时与a 相反.当λ=0时,|λa |=0,即λa 为零向量,这时它的方向可以是任意的. 特别地,当λ=±1时,有1a =a ,(-1)a =-a .运算规律:(1)结合律λ(μa )=μ(λa )=(λμ)a ； (2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ；λ(a +b )=λa +λb .b-a b -abab -a例1.在平行四边形ABCD 中,设?→?AB =a ,?→AD =b .试用a 和b 表示向量?→?MA 、?→?MB 、?→?MC 、?→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点. 解由于平行四边形的对角线互相平分,所以a +b ?→→==AM AC 2,即-(a +b )?→=MA 2, 于是21-=?→MA (a +b ).因为?→→-=MA MC ,所以21=?→MC (a +b ).又因-a +b ?→→==MD BD 2,所以21=?→MD (b -a ).由于?→→?-=MD MB ,所以21=?→MB (a -b ).例1在平行四边形ABCD 中,设→a =AB ,→b =AD .试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD ,其中M 是平行四边形对角线的交点.解由于平行四边形的对角线互相平分,所以→→→MA AM AC 22-===+b a ,于是→)(21b a +-=MA ;→→)(21b a +=-=MA MC . 因为→→MD BD 2==+-b a , 所以→)(21a b -=MD ;→21-=MB 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a . 于是a =|a |e a . 向量的单位化:设a ≠0,则向量||a a 是与a 同方向的单位向量,记为e a .于是a = | a | e a .定理1 设向量a ≠0,那么,向量b 平行于a 的充分必要条件是: 存在唯一的实数λ,使b =λa .证明: 条件的充分性是显然的,下面证明条件的必要性.设b //a .取||a b ||||=λ,当b 与a 同向时λ取正值,当b 与a 反向时λ取负值,即b =λa .这是因为此时b 与λaBCD BCD同向,且|λa |=|λ||a ||b ||a a b ==|||||. 再证明数λ的唯一性.设b =λa ,又设b =μa ,两式相减,便得(λ-μ)a =0,即|λ-μ||a |=0. 因|a |≠0,故|λ-μ|=0,即λ=μ.给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴. 设点O 及单位向量i 确定了数轴Ox ,对于轴上任一点P , 对应一个向量→OP , 由→OP //i , 根据定理1, 必有唯一的实数x , 使→OP =x i (实数x 叫做轴上有向线段→OP 的值), 并知→OP 与实数x 一一对应. 于是点P ?向量→OP = x i ?实数x ,从而轴上的点P 与实数x 有一一对应的关系. 据此, 定义实数x 为轴上点P 的坐标. 由此可知, 轴上点P 的坐标为x 的充分必要条件是→OP = x i .三、空间直角坐标系在空间取定一点O 和三个两两垂直的单位向量i 、j 、k , 就确定了三条都以O 为原点的两两垂直的数轴,依次记为x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),统称为坐标轴.它们构成一个空间直角坐标系,称为Oxyz 坐标系.注: (1)通常三个数轴应具有相同的长度单位;(2)通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅垂线; (3)数轴的的正向通常符合右手规则. 坐标面:在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面,这种平面称为坐标面. x 轴及y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面,另两个坐标面是yOz 面和zOx 面. 卦限:三个坐标面把空间分成八个部分,每一部分叫做卦限,含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限,它位于xOy 面的上方.在xOy 面的上方,按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限.在xOy 面的下方,与第一卦限对应的是第五卦限,按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限.八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示. 向量的坐标分解式:任给向量r ,对应有点M ,使→r =OM .以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体,有→→→→→→→OR OQ OP NM PN OP OM ++=++==r ,设→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =,则→k j i r z y x OM ++==.上式称为向量r 的坐标分解式,x i 、y j 、z k 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量.显然,给定向量r ,就确定了点M 及→i x OP =,→j y OQ =,→k z OR =三个分向量,进而确定了x 、y 、z 三个有序数。

高等数学第六章《定积分的应用》

第六章定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】定积分的元素法如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量；（2）U 对区间[]b a ,具有可加性；（3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积（1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力（1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法（1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解（法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。

同济版高等数学教案定积分

同济版高等数学教案定积分
一、定积分
定积分（Definite Integrals）是在研究一些实际问题时非常有用的技术。

它以一种形式求解不同函数的积分，当我们需要求解其中一个函数的积分，我们可以使用定积分来进行求解。

1、定积分的定义
定积分是指在给定积分范围内，用定积分公式计算函数的积分值。

它是一种特殊的分积分，即：求在其中一范围内函数值的积分。

定积分的表示形式为∫a bf(x)dx，其中f(x)是定积分中的函数，a 是定积分的下限，b是定积分的上限，dx为微元。

2、定积分的应用
定积分在很多实际问题中都有重要的应用，如：求两个函数之间的差值，求函数的积分变化，求曲线的面积，计算不同函数的积分，求曲线在其中一区间上曲线的斜率等。

3、定积分的求解方法
（1）逐步法：将定积分分解为无穷多个小积分，并求出每个小积分的结果，然后把所有小积分的结果相加，即可求出定积分的结果。

（2）积分变换法：利用换元的思想，将定积分转化为更易于计算的积分形式，通过以上两种方法，可以比较方便地求出定积分的结果。

4、梯形积分法
梯形积分法是一种求定积分的简便方法，它是将定积分区间分割为若干个小区间，把每一小区间内的函数值用梯形近似。

06定积分应用(同济教材)39页20180926

2 b Vx 2 y dx 2 0 a 4 2 ab 3
a 2 2

a
0
(a x )dx
2 2
x y 例: 计算由椭圆 2 2 1 围成的图形 a b
2
2
绕 y 轴旋转一周所成的旋转体（称为旋
转椭球体）的体积。
2 a Vy 2 x dy 2 0 b 4 2 a b 3
dV y dx f ( x)dx
2 2
y=f(x)
x dx
a
x
b 2 b 2
b
Vx y dx f ( x)dx
a a
求由曲线 x=(y) ，（假设曲线 (y) 与 y 轴不相交）与直线 y=c，y=d (c<d) 及 y 轴所围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
U dU (x ) 注意：这样表示的前提条件是：否则可能造成失误，这里，称 dU 为量U的元素。
3、对元素关系式 dU f ( x )dx 在 [a,b] 上作定积分，即得所求量 U 的积分表达式 b
U ∫ f ( x ) dx . a
上述这种解决问题的方法称为元素法，也称微元法。
y
y=f(x)
dA
o
a
b a
x x+dx b
x
A f ( x)dx
y
a
x x+dx b
o
y=f(x)
x
dA
A f ( x)dx
a
b
求由曲线 x=(y)， x=(y) ((y)≤(y))及直线 y=c，y=d (c<d) 围成的平面图形的 dA 面积 A。 y

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章函数与极限

第一章函数与极限教学目的：1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4、掌握基本初等函数的性质及其图形。

5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6、掌握极限的性质及四则运算法则。

7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限；5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性；7、区间上连续函数的性质。

教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；5、闭区间上连续函数性质的应用。

§1. 1 映射与函数一、集合1. 集合概念集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示.元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a∈M.集合的表示:列举法: 把集合的全体元素一一列举出来.例如A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x 的全体所组成, 则M可表示为A={a1, a2, ⋅⋅⋅, a n},M={x | x具有性质P }.例如M={(x, y)| x, y为实数, x2+y2=1}.几个数集:N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集.N ={0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}. N +={1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集.Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集.Z ={⋅⋅⋅, -n, ⋅⋅⋅, -2, -1, 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, n, ⋅⋅⋅}.Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集.},|{互质与且q p q Z p qp +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A, 则必有x ∈B, 则称A 是B 的子集, 记为A ⊂B(读作A 包含于B)或B ⊃A .如果集合A 与集合B 互为子集, A ⊂B 且B ⊂A, 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B.若A ⊂B 且A ≠B, 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠⊂B . 例如, N ≠⊂Z ≠⊂Q ≠⊂R .不含任何元素的集合称为空集, 记作∅. 规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ⋃B, 即 A ⋃B ={x|x ∈A 或x ∈B}.设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ⋂B, 即A⋂B={x|x∈A且x∈B}.设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B={x|x∈A且x∉B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C.集合运算的法则:设A、B、C为任意三个集合, 则(1)交换律A⋃B=B⋃A, A⋂B=B⋂A;(2)结合律(A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C), (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C);(3)分配律(A⋃B)⋂C=(A⋂C)⋃(B⋂C), (A⋂B)⋃C=(A⋃C)⋂(B⋃C);(4)对偶律(A⋃B)C=A C⋂B C, (A⋂B)C=A C⋃B C.(A⋃B)C=A C⋂B C的证明:x∈(A⋃B)C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈A C且x∈B C ⇔x∈A C⋂B C, 所以(A⋃B)C=A C⋂B C.直积(笛卡儿乘积):设A、B是任意两个集合, 在集合A中任意取一个元素x, 在集合B中任意取一个元素y, 组成一个有序对(x, y), 把这样的有序对作为新元素, 它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积, 记为A⨯B, 即A⨯B={(x, y)|x∈A且y∈B}.例如, R⨯R={(x, y)| x∈R且y∈R }即为xOy面上全体点的集合, R⨯R常记作R2.3. 区间和邻域有限区间:设a<b, 称数集{x|a<x<b}为开区间, 记为(a, b), 即(a, b)={x|a<x<b}.类似地有[a, b] = {x | a ≤x≤b }称为闭区间,[a, b) = {x | a≤x<b }、(a, b] = {x | a<x≤b }称为半开区间.其中a和b称为区间(a, b)、[a, b]、[a, b)、(a, b]的端点, b-a 称为区间的长度.无限区间:[a, +∞) = {x | a≤x }, (-∞, b] = {x | x < b } , (-∞, +∞)={x | | x | < +∞}.区间在数轴上的表示:邻域: 以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域, 记作U(a).设δ是一正数, 则称开区间(a-δ, a+δ)为点a的δ邻域, 记作U(a, δ), 即U(a, δ)={x | a-δ< x < a+δ}={x | | x-a|<δ}.其中点a称为邻域的中心, δ称为邻域的半径.去心邻域οU(a, δ):οU(a, δ)={x |0<| x-a |<δ}二、映射1. 映射的概念定义设X、Y是两个非空集合, 如果存在一个法则f, 使得对X中每个元素x, 按法则f, 在Y中有唯一确定的元素y与之对应, 则称f为从X到Y的映射, 记作f : X→Y ,其中y称为元素x(在映射f下)的像, 并记作f(x), 即y=f(x),而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f, 即D f=X ;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域, 记为R, 或f(X), 即fR f=f(X)={f(x)|x∈X}.需要注意的问题:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f=X; 集合Y, 即值域的范围: R f ⊂Y; 对应法则f, 使对每个x∈X, 有唯一确定的y=f(x)与之对应.(2)对每个x∈X, 元素x的像y是唯一的; 而对每个y∈R f, 元素y的原像不一定是唯一的; 映射f的值域R f是Y的一个子集, 即R f⊂Y, 不一定R f=Y .例1设f : R→R, 对每个x∈R, f(x)=x2.显然, f是一个映射, f的定义域D f=R, 值域R f={y|y ≥0}, 它是R 的一个真子集. 对于R f 中的元素y, 除y =0外, 它的原像不是唯一的. 如y =4的原像就有x =2和x =-2两个.例2设X ={(x, y)|x 2+y 2=1}, Y ={(x, 0)||x|≤1}, f : X →Y, 对每个(x, y)∈X, 有唯一确定的(x, 0)∈Y 与之对应. 显然f 是一个映射, f 的定义域D f =X, 值域R f =Y. 在几何上, 这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x 轴的区间[-1, 1]上.(3) f :]2 ,2[ππ-→[-1, 1], 对每个x ∈]2,2[ππ-, f(x)=sin x . f 是一个映射, 定义域D f =]2,2[ππ-, 值域R f =[-1, 1]. 满射、单射和双射:设f 是从集合X 到集合Y 的映射, 若R f =Y, 即Y 中任一元素y 都是X 中某元素的像, 则称f 为X 到Y 上的映射或满射; 若对X 中任意两个不同元素x 1≠x 2, 它们的像f(x 1)≠f(x 2), 则称f 为X 到Y 的单射; 若映射f 既是单射, 又是满射, 则称f 为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？2. 逆映射与复合映射设f 是X 到Y 的单射, 则由定义, 对每个y ∈R f , 有唯一的x ∈X, 适合f(x)=y, 于是, 我们可定义一个从R f 到X 的新映射g, 即g : R f →X,对每个y ∈R f , 规定g(y)=x, 这x 满足f(x)=y. 这个映射g 称为f 的逆映射, 记作f -1, 其定义域1-f D =R f , 值域1-f R =X . 按上述定义, 只有单射才存在逆映射. 上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射g : X→Y 1, f : Y 2→Z,其中Y 1⊂Y 2. 则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则, 它将每个x∈X映射成f[g(x)]∈Z . 显然, 这个对应法则确定了一个从X到Z的映射, 这个映射称为映射g和f 构成的复合映射, 记作f o g, 即f o g: X →Z,(f o g)(x)=f[g(x)], x∈X .应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是: g的值域R g必须包含在f的定义域内, R g⊂D f . 否则, 不能构成复合映射. 由此可以知道, 映射g和f的复合是有顺序的, f o g有意义并不表示g o f也有意义. 即使f o g与g o f都有意义, 复映射f o g与g o f也未必相同.例4 设有映射g : R→[-1, 1], 对每个x∈R, g(x)=sin x,映射f : [-1, 1]→[0, 1], 对每个u∈[-1, 1], 2f-u=.1)(u则映射g和f构成复映射f o g: R→[0, 1], 对每个x∈R, 有[()](2x)()sin|(sin|cos1)-f==ο.g==xxffxxg三、函数1. 函数概念定义设数集D⊂R, 则称映射f : D →R为定义在D上的函数, 通常简记为y=f(x), x∈D,其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作D f, 即D f=D.应注意的问题:记号f和f(x)的含义是有区别的, 前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则, 而后者表示与自变量x对应的函数值. 但为了叙述方便, 习惯上常用记号“f(x), x∈D”或“y=f(x), x∈D”来表示定义在D上的函数, 这时应理解为由它所确定的函数f .函数符号: 函数y=f(x)中表示对应关系的记号f也可改用其它字母, 例如“F”, “ϕ”等. 此时函数就记作y=ϕ (x), y=F(x).函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域D f及对应法则f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定: 一种是对有实际背景的函数, 根据实际背景中变量的实际意义确定.求定义域举例:求函数412y的定义域.=x--x要使函数有意义, 必须x≠0, 且x2 -4≥0.解不等式得| x |≥2.所以函数的定义域为D={x | | x |≥2}, 或D=(-∞, 2]⋃[2,+∞]).单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个x ∈D, 对应的函数值y 总是唯一的, 这样定义的函数称为单值函数. 如果给定一个对应法则, 按这个法则, 对每个x ∈D, 总有确定的y 值与之对应, 但这个y 不总是唯一的, 我们称这种法则确定了一个多值函数. 例如, 设变量x 和y 之间的对应法则由方程x 2+y 2=r 2 给出. 显然, 对每个x ∈[-r, r]，由方程x 2+y 2=r 2,可确定出对应的y 值, 当x =r 或x =-r 时, 对应y =0一个值; 当x 取(-r, r)内任一个值时, 对应的y 有两个值. 所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数, 往往只要附加一些条件, 就可以将它化为单值函数, 这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支. 例如, 在由方程x 2+y 2=r 2给出的对应法则中, 附加“y ≥0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≥0”作为对应法则, 就可得到一个单值分支221)(x r x y y -==; 附加“y ≤0”的条件, 即以“x 2+y 2=r 2且y ≤0”作为对应法则, 就可得到另一个单值分支222)(x r x y y --==.表示函数的主要方法有三种: 表格法、图形法、解析法(公式法), 这在中学里大家已经熟悉. 其中, 用图形法表示函数是基于函数图形的概念, 即坐标平面上的点集{P(x, y)|y =f(x), x ∈D}称为函数y =f(x), x ∈D 的图形. 图中的R f 表示函数y =f(x)的值域.函数的例子:例. 函数⎩⎨⎧<-≥==0 0||x x x x x y .称为绝对值函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =[0, +∞).例. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y .称为符号函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f ={-1, 0, 1}.例设x 为任上实数. 不超过x 的最大整数称为x 的整数部分, 记作[ x ]. 函数y = [ x ]称为取整函数. 其定义域为D =(-∞, +∞), 值域为R f =Z . 0]75[=, 1]2[=, [π]=3, [-1]=-1, [-3. 5]=-4.分段函数:在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例。

经济数学(第六版)第6章定积分

和式的极限.在很多实际问题中,都会出现类似的解决问题的思想
方法和步骤.由此我们给出下面的定义.
➢ 定义6-1 设函数f(x)在区间[a,b]上有定义,用点
a=x0<x1<x2<…<xn=b将区间[a,b]任意分成n个小区间[xi-
1,xi](i=1,2,…,n),其长度为Δxi=xi-xi-1,在每个小区间[xi-1,xi]上
【例6-21】计算由曲线y=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形的面积.
➢ 解: • 由曲线y=-x2+4x-3与x轴所围成的平面图形如图6-5所示,求出
曲线与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0). • 所求面积为:
6.6.1 平面图形面积的计算
2)两条曲线所围成的平面图形的面积
➢ 若平面图形是由两条连续曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)≥g(x))以及直线 x=a,x=b所围成(如图6-9所示),则其面积的计算公式为:
➢ 性质4 当被积函数f(x)为1时,则定积分的值等于积分区间的长度,即:
➢ 性质5 如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x),则:
➢ 性质6 如果函数f(x)在[a,b]上的最大值与最小值分别为M和m, 则:
➢ 性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则在 [a,b]上至少存在一点ξ,使得:
➢ 即所求平面图形面积可看做由曲线y=f(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积与由曲线y=g(x),直线x=a,x=b以及x轴所围成的曲边梯形的面积之差.
6.6.1 平面图形面积的计算
【例6-24】计算由曲线y=x2+1,直线y=2x-2,x=-1和x=2所围成的平面图形的面积.

高等数学第六版(同济版)第六章复习资料

第六章定积分的应用引入：前面学习了定积分的理论，这一章要应用这些理论来分析和解决一些实际问题中出现的量.用定积分计算这些量，必须把它们表示成定积分，先介绍将所求量表示成定积分的方法——元素法.第一节定积分的元素法我们先用定积分的引例——曲边梯形的面积，引出元素以及元素法的概念：一、元素及元素法1.元素：由连续曲线)0)(()(≥=x f x f y 与直线b x a x ==、以及x 轴所围成的曲边梯形的面积为：∑==ni i A A 1∆∑=≈ni i i x f 1)(∆ξ∑==ni i i x d f 1)(ξ⎰=bax d x f )(.(由微分知识得i i x d x =∆)，称x d x f )(为面积元素或面积微元,记为x d x f dA )(=.2.元素法：用元素法将所求量表示成定积分的方法，称为元素法. 由此可知，曲边梯形的面积是将面积微元累加得到的.下面我们通过曲边梯形的面积来总结出实际问题中所求的量能用定积分表示的条件：二、用元素法将所求量能表示成定积分的条件：(设所求量为U ) 1．量U 与变量x 的所在区间],[b a 有关; 2．量U 对于区间],[b a 具有可加性；3．量U 的部分量有近似值，即i i i x f U ∆ξ∆)(≈. 三、用元素法将所求量能表示成定积分的步骤：1．由实际情况选一变量如x 为积分变量，确定该其变化区间],[b a .2．分],[b a 为n 个小区间，取其中一个小区间],[x d x x +，计算其上的部分量U ∆的近似值：x d x f U d )(=，的所求量的一个元素.3．以x d x f U d )(=为被积表达式，在],[b a 上作定积分，即得所求量的定积分表达式：⎰=bax d x f U )(.注：元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等.内容小结：本节介绍了元素法以及用元素法将所求量表示成定积分的方法与步骤.第二节定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形:曲线)0)((≥=x f y 与直线)(b a b x a x <==、及x 轴所围成的曲边梯形面积为x d x f A ba )(⎰=，因为面积元素为x d x f A d )(=.2.参数方程情形：若曲线],[,)0)(()(b a x x f x f y ∈≥=的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，且满足(1). a =)(αϕ, b =)(βϕ;(2). )(t x ϕ=在],[βα或],[αβ上具有连续导数，且)(t y ψ=连续，则由曲线)(x f y =所围成的曲边图形的面积为：x d x f A ba )(⎰=t d t t )(')(ϕψβα⎰=.3.极坐标情形：设曲线的极坐标方程为]),[,0)(()(βαθθϕθϕρ∈≥=，且)(θϕ在],[βα上连续，则由曲线)(θϕρ=与射线αθ=以及βθ=所围成图形的面积为θθϕβαd A ⎰=)(212. 由于当θ在],[βα上变动时，极径)(θϕρ=也随之变动，故不能直接利用扇形面积公式θ221R A =来计算. 推导： ①.取极角θ为积分变量，],[βαθ∈.②.在],[βα上任取一小区间],[θθθd +，其上的曲边扇形面积的近似值：[]θθϕd A d 2)(21=. ③.以[]θθϕd 2)(21为被积表达式，在],[βα上作定积分，得曲边扇形的面积公式： θθϕβαd A ⎰=)(212.例1. 计算两条抛物线22x y x y ==、在第一象限所围所围图形的面积.解：首先确定图形的范围，由⎪⎩⎪⎨⎧==22xy xy 得交点)0,0(、)1,1(，取x 为积分变量，由于面积元素()x d x x A d 2-=，所以所求面积为()⎰-=102x d x x A 103233132⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=x x 31=.注：⎰=10x d x A ⎰-12x d x ()⎰-=102x d x x .例2. 计算抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围图形的面积.解：由⎩⎨⎧-==422x y xy 得交点)2,2(-、)4,8(，若取x 为积分变量，则有⎰⎰--+=8220)]4(2[22x d x x x d x A 822238223421322324⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=x x x x 18=. 若取y 为积分变量，则有18642248232422=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎰-y y y y d y y A . 例3. 求椭圆12222=+by a x 所围图形的面积.解：由于椭圆关于两个坐标轴对称，设椭圆在第一象限所围成的面积为1A ，则所求面积为x d y A A a⎰==0144.设π)20(sin cos ≤≤⎩⎨⎧==t tb y t a x ，当0=x 时，2π=t ，当a x =时，0=t ，且t d t a x d sin -=，于是t d t a t b x d y A a )sin (sin 4402/0-⋅==⎰⎰πt d t ab ⎰=2/02sin 4πt d ts ab ⎰-=2/022cos 14πb a π=. 例4.计算阿基米德螺线)0(>=a a θρ对应θ从0变到π2所围图形面积. 解：由题可知，积分变量],[βαθ∈，于是所求面积为θθπd a A ⎰=202)(211032312θ⋅=a 23π34a =.例5.计算心形线)0()cos 1(>+=a a θρ所围图形的面积.解：心形线所围成的图形关于极轴对称,设极轴上半部分图形的面积为1A ，则心形线所围成的图形面积为12A .取极角θ为积分变量，],[βαθ∈，于是⎰+=πθθ022)cos 1(212d a A ⎰++=πθθθ022)cos 2cos 1(d a ⎰⎪⎭⎫⎝⎛++=πθθθ02cos 22cos 2123d a 2π23a =.二、体积1．旋转体的体积：(1).旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体，该直线称为旋转轴.注：圆柱体、圆台、球体等都是旋转体，它们都可以看做是由连续曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周所围成的立体.(2).旋转体的体积：①．由曲线)(x f y =与直线a x =、b x =以及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba <=⎰π.推导：取x 为积分变量，],[b a x ∈，在],[b a 上任取一小区间],[x x x ∆+，其上的窄曲边梯形绕x 轴旋转而成的薄层的体积近似等于以)(x f 为底面半径、以x d 为高的扁圆柱体的体积，即体积元素为x d x f V d 2)]([π=，以x d x f 2)]([π为被积表达式，在],[b a 上作定积分即得所求旋转体的体积：)()]([2b a x d x f V ba<=⎰π.②．由曲线)(y x ϕ=与直线c y =、d y =以及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积：)()]([2d c y d y V dc <=⎰ϕπ.例6.连接坐标原点O 及点),(r h P 的直线、直线h x = 及x 轴围成一个直角三角形，将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体，求其体积.解：过)0,0(O 及),(r h P 的直线方程为：x hry =. 取x 为积分变量，],0[h x ∈，则所求旋转体的体积为⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡=hx d x h r V 02πh r 231π=.例7.计算由椭圆12222=+by a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.解：该旋转椭球体可看做是由半椭圆与x 轴所围成的绕x 轴旋转而成的立体，半椭圆方程为：22x a ab y -=. 取x 为积分变量，],[a a x -∈，则所求立体体积为⎰--=aa x d x a ab V )(2222π234ab π=.例8.计算由摆线)sin (t t a x -=，)cos 1(t a y -=相应于π20≤≤t 的一拱，直线0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解：记摆线绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为x V ，取x 为积分变量，],[a a x -∈，则⎰=a x x d x y V ππ202)(⎰--=ππ2022)cos 1()cos 1(t d t a t •a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(t d t t t •a⎰-=ππ203)cos 31(t d t •a⎰++ππ203)12(cos 23t d t •a ⎰--ππ2023)(sin )sin 1(t d t •a 325a π=.记摆线绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为y V ，取y 为积分变量，]2,0[a y ∈，则⎰⎰-=aay y d y x y d y x V 20212022)()(ππ⎰⎰---=πππππ022222sin )sin (sin )sin (t d t a t t a t d t a t t a⎰-=0222sin )sin (ππt d t a t t a ⎰-+ππ022sin )sin (t d t a t t a ⎰--ππ022sin )sin (t d t a t t a⎰+--=ππ203223)sin sin 2sin (t d t t t t t a⎰-=ππ2023sin t d t t a ⎰-+ππ203)2cos 1(t d t t a ⎰-+ππ2023)(cos )cos 1(t d t a336a π=.2．平行截面面积为已知的立体的体积：设一非旋转体的立体介于过点a x =、b x =且垂直于x 轴的两个平面之间，该立体过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面面积为)(x A ，则该立体的体积为：⎰=ba dx x A V )(.推导：若)(x A 为连续函数且已知，取x 为积分变量，],[b a x ∈,在],[b a 上任取一小区间],[x d x x +，其上的薄层的体积近似等于底面积为)(x A 、高为x d 的扁圆柱体的体积，即得体积元素：x d x A V d )(=，以x d x A )(为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得所求立体的体积公式：⎰=ba dx x A V )(.例9.一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆的中心，并与底面交成角α，计算着平面截圆柱体所得立体的体积.解：取该平面与圆柱体的底面的交线为x 轴，底面上过圆中心且垂直于x 轴的直线为y 轴，则底面圆方程为：222R y x =+，该立体中过x 轴上的点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形，两直角边分别为y 和αtan y ，即22x R -和22tan x R -α，从而截面面积为αtan )(21)(22x R x A -=，于是所求体积为⎰--=R R x d x R V αtan )(2122⎰-=R x d •x R 022)(tan ααtan 223R =.例4.求以半径为R 的圆为底、以平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解：取底面圆所在的平面为xoy 平面，圆心o 为原点，并使x 轴与正劈锥体的顶平行，底面圆方程为：222R y x =+，过x 轴上的点]),[(b a x x ∈作垂直于x 轴的平面截正劈锥体得等腰三角形，截面面积为22)(x R h y h x A -==，于是，所求正劈锥体的体积为⎰--=RRx d x R h V 22⎰-=R x d x R h 0222⎰=2/022cos 2πθθd h R ⎰+=2/02)2cos 1(πθθd h R 22hR π=.三、平面曲线的弧长引入：我们知道，用刘徽的割圆术可以定义圆的周长，即利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增加时的极限来确定，现在将刘徽的割圆术加以推广，来定义平面曲线的弧长，从而应用定积分来计算平面曲线的弧长. 1.平面曲线弧长的相关概念(1).平面曲线弧长：若在曲线弧B A 上任取分点0M A =， ,,,,,121i i M M M M -，B M M n n =-,1，依次连接相邻分点得到该曲线弧的一内接折线，记|}{|max 11i i ni M M -≤≤=λ，若当分点的数目无限增加且每一个小弧段i i M M1-都缩向一点，即0→λ时，折线的长∑=-n i i i M M 11||的极限存在，则称此极限值为曲线弧B A的弧长，并称该曲线弧是可求长的，记作||lim 10i i M M s -→=λ.(2).光滑曲线：若曲线上每一点处都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称该曲线为光滑曲线.(3).定理：光滑曲线可求长. 2.光滑曲线弧长的计算(1).直角坐标情形：设曲线弧的直角坐标方程为)(x f y =，b x a ≤≤，若)(x f 在],[b a 上具有一阶连续函数，则曲线弧长为x d x f s ba ⎰'+=)(12.推导：取x 为积分变量，曲线)(x f y =上的相应于],[b a 上任意小区间],[x d x x +上的一段弧的长度近似等于曲线在点))(,(x f x 处切线上相应的一段的长度，又切线上相应小段的长度为x d x f y d x d 222))('(1)()(+=+，从而有弧长元素x d x f s d 2))('(1+=，以x d x f 2))('(1+为被积表达式，在],[b a 上作定积分，得弧长公式：x d x f s ba⎰'+=)(12.(2).参数方程情形：设曲线弧的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ，βα≤≤t ，若)(t ϕ及)(t ψ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为t d t t s ⎰'+'=βαψϕ)()(22.推导：取参数t 为积分变量，曲线上相应于],[βα上任意小区间],[t d t t +上的一段弧的长度的近似值即为弧长元素22)()(y d x d s d +=t d t t )(')('22ψϕ+=，以t d t t )(')('22ψϕ+为被积表达式，在],[βα上作定积分，得弧长公式：t d t t s ⎰+=βαψϕ)(')('22.(3).参数方程情形：设曲线弧的极坐标方程为)(θρρ=，],[βαθ∈，若)(θρ在],[βα上具有连续导数，则曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.推导：由直角坐标与极坐标的关系得：⎩⎨⎧==θθρθθρsin )(cos )(y x ，βθα≤≤，即为曲线的以极角θ为参数的参数方程，弧长元素为 θθρθρθθθd d y x s d )(')()]([)]([2222+='+'=，于是曲线弧长为：θθρθρβαd s ⎰+=)(')(22.例11.计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度.解：x d x x d x y s baba⎰⎰+=+=1)('12])1()1[(32)1(322323123a b x +-+=+=.例12.计算摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (θθθa y a x )0(>a 一拱π)20(≤≤θ的弧长.解：由于弧长元素为θθθd y x s d )(')('22+=θθθd a a 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=，于是，所求弧长为a d a s 82sin2π20==⎰θθ.例13.求阿基米德螺线)0(>=a a θρ相应于π20≤≤θ一段的一拱. 解：弧长元素为θθρθρd s d )(')(22+=θθd a a 222+=θθd a 21+=，于是，所求弧长为θθd a s ⎰+=π2021⎥⎦⎤+++⎢⎣⎡+=πθθθθ20221ln 2112a )π41π2ln(2π41π22++++=a a .。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章-重积分

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第09章-重积分第九章重积分教学目的：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。

2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。

3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。

8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。

教学重点：1、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；2、三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。

3、二、三重积分的几何应用及物理应用。

内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室教学难点：1、利用极坐标计算二重积分；2、利用球坐标计算三重积分；3、物理应用中的引力问题。

§9. 1 二重积分的概念与性质一、二重积分的概念1.曲顶柱体的体积设有一立体,它的底是xOy面上的闭区域D,它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,它的顶是曲面z=f(x,y),这里f(x,y)≥0且在D上连续.这种立体叫做曲顶柱体.现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.首先,用一组曲线网把D分成n个小区域∆σ 1,∆σ 2,⋅⋅⋅,∆σn.分别以这些小闭区域的边界曲线为准线内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个∆σ i 中任取一点(ξ i , η i ),以f (ξ i , η i )为高而底为∆σ i 的平顶柱体的体积为f (ξ i , η i ) ∆σi (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅ , n ).这个平顶柱体体积之和i i i ni f V σηξ∆≈=∑),(1. 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即i i i ni f V σηξλ∆==→∑),(lim 10. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.2. 平面薄片的质量.设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续.现在要计算该薄片的质量M .内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室用一组曲线网把D 分成n 个小区域 ∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:ρ(ξ i , η i )∆σ i .各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:i i i n i M σηξρ∆≈=∑),(1.将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量i i i n i M σηξρλ∆==→∑),(lim 10.其中λ是个小区域的直径中的最大值.定义设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域∆σ 1, ∆σ 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆σ n .其中∆σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室面积. 在每个∆σ i 上任取一点(ξ i , ηi ),作和i i i n i f σηξ∆=∑),(1.如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D⎰⎰),(, 即i i i ni Df d y x f σηξσλ∆==→∑⎰⎰),(lim ),(10. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域,积分和.直角坐标系中的面积元素:如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域∆σi 的边长为∆x i 和∆y i , 则∆σi=∆x i∆y i,因此在直角坐标系中,有时也把面积元素dσ记作dxdy,而把二重积分记作⎰⎰),(fxydxdyD其中dxdy叫做直角坐标系中的面积元素.二重积分的存在性:当f(x,y)在闭区域D上连续时,积分和的极限是存在的,也就是说函数f(x,y)在D上的二重积分必定存在.我们总假定函数f(x,y)在闭区域D上连续,所以f(x,y)在D上的二重积分都是存在的.二重积分的几何意义:如果f(x, y)≥0,被积函数f(x,y)可解释为曲顶柱体的在点(x,y)处的竖坐标,所以二重积分的几何意义就是柱体的体积.如果f(x,y)是负的,柱体就在xOy面的下方,二重积分的绝对值仍等于柱体的体积,但二重积分的值是负的.内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室二. 二重积分的性质性质1 设c 1、c 2为常数, 则σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c DD D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+),(),()],(),([2121.性质2如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则σσσd y x f d y x f d y x f D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),(),(),(.性质3 σσσ==⋅⎰⎰⎰⎰DD d d 1(σ为D 的面积).性质4 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ),则有不等式σσd y x g d y x f DD ⎰⎰⎰⎰≤),(),(.特殊地有内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室σσd y x f d y x f DD ⎰⎰⎰⎰≤|),(||),(|.性质5 设M 、m 分别是f (x , y )在闭区域D 上的最大值和最小值, σ为D 的面积, 则有σσσM d y x f m D ≤≤⎰⎰),(.性质6(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得σηξσ),(),(f d y x f D=⎰⎰.§9. 2 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分X --型区域:D : ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b .Y --型区域:内蒙古财经大学统计与数学学院公共数学教研室 D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d .混合型区域:设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }.此时二重积分σd y x f D⎰⎰),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[ϕ1(x 0), ϕ2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为⎰=)()(000201),()(x x dy y x f x A ϕϕ. 根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为⎰=b a dx x A V )(dx dy y x f b a x x ⎰⎰=]),([)()(21ϕϕ. 即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D ⎰⎰⎰⎰=]),([),()()(21ϕϕσ. 可记为⎰⎰⎰⎰=b a x x D dy y x f dx d y x f )()(21),(),(ϕϕσ.类似地, 如果区域D 为Y --型区域:D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d ,则有⎰⎰⎰⎰=d c y y D dx y x f dy d y x f )()(21),(),(ψψσ.例1. 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.解: 画出区域D .方法一. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是⎰⎰⎰⎰=211][x D dx xydy d xy σ⎰⎰-=⋅=2132112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x .注: 积分还可以写成⎰⎰⎰⎰⎰⎰==211211x x D ydyxdx xydy dx d xy σ. 解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是⎰⎰⎰⎰=212][y D dy xydx d xy σ⎰⎰-=⋅=2132122)22(]2[dy y y dy x y y89]8[2142=-=y y .例2. 计算σd y x yD ⎰⎰-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.解画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是⎰⎰⎰⎰-+=-+-122112211x D dyy x y dx d y x y σ⎰⎰----=-+-=1131112322)1|(|31])1[(31dx x dx y x x21)1(32103=--=⎰dx x . 也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1,-1≤x <y . 于是⎰⎰⎰⎰---+=-+111222211y D dx y x ydy d y x yσ.例3 计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域.解积分区域可以表示为D =D 1+D 2, 其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=41210x x x x D xydy dx xydy dx d xy σ. 积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2,y 2≤x ≤y +2. 于是⎰⎰⎰⎰-+=2122y y D xydx dy d xy σ⎰-+=21222]2[dy y x y y ⎰--+=2152])2([21dy y y y 855]62344[21216234=-++=-y y y y .讨论积分次序的选择.例4 求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积.解设这两个圆柱面的方程分别为x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2.利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -,0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是σd x R V D ⎰⎰-=228⎰⎰--=R x R dy x R dx 0022228⎰--=R x Rdx y x R 002222][83022316)(8R dx x R R =-=⎰. 二. 利用极坐标计算二重积分有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便,且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D⎰⎰),(.按二重积分的定义i ni i i D f d y x f σηξσλ∆=∑⎰⎰=→10),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:i i i i i i θρθρρσ∆⋅⋅-∆⋅∆+=∆2221)(21i i i i θρρρ∆⋅∆∆+=)2(21 i i i i i θρρρρ∆⋅∆⋅∆++=2)(i i i θρρ∆∆=, 其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.在∆σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ),则有 i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.于是 ii n i i i i i i i n i i i f f θρρθρθρσηξλλ∆∆=∆∑∑=→=→1010 )sin ,cos (lim ),(lim , 即 θρρθρθρσd d f d y x f DD )sin ,cos (),(⎰⎰⎰⎰=.若积分区域D 可表示为ϕ 1(θ)≤ρ≤ϕ 2(θ), α≤θ≤β,则ρρθρθρθθρρθρθρθϕθϕβαd f d d d f D ⎰⎰⎰⎰=)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (.讨论:如何确定积分限?ρρθρθρθθρρθρθρθϕβαd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(0)sin ,cos ()sin ,cos (.ρρθρθρθθρρθρθρθϕπd f d d d f D⎰⎰⎰⎰=)(020)sin ,cos ()sin ,cos (. 例5. 计算⎰⎰--Dy x dxdy e 22, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.解在极坐标系中, 闭区域D 可表示为0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π .于是 ⎰⎰⎰⎰---=DD y xd de dxdy e θρρρ222θθρρπρπρd e d d e a a 020200]21[ ][22⎰⎰⎰---==)1()1(212220a a e d e ---=-=⎰πθπ. 注: 此处积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22也常写成⎰⎰≤+--22222a y x y x dxdy e .利用)1(222222a a y x y x e d x d y e -≤+---=⎰⎰π计算广义积分dx e x 20 -+∞⎰:设D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0},D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0},S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }.显然D 1⊂S ⊂D 2. 由于022>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122D y x S y x D y x dxdy e dxdy e dxdy e .因为 2000)(22222⎰⎰⎰⎰⎰-----=⋅=R x R y R x S y xdx e dy e dx e dxdy e ,又应用上面已得的结果有)1(42122R D y x e dxdy e ----=⎰⎰π,)1(422222R D y x e dxdy e ----=⎰⎰π,于是上面的不等式可写成)1(4)()1(4222220R R x R e dx e e ----<<-⎰ππ. 令R →+∞, 上式两端趋于同一极限4π, 从而220 π=-∞+⎰dx e x .例6 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.解由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.⎰⎰--=D dxdy y x a V 22244,其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为0≤ρ≤2a cos θ , 20πθ≤≤. 于是 ⎰⎰⎰⎰-=-=20cos 2022224444πθρρρθθρρρa D d a d d d a V)322(332)sin 1(33222032-=-=⎰πθθπa d a .§9.3 三重积分一、三重积分的概念定义设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将Ω任意分成n 个小闭区域∆v 1, ∆v 2, ⋅ ⋅ ⋅ , ∆v n其中∆v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个∆v i 上任取一点(ξi , ηi ,ζi ), 作乘积f (ξ i , η i , ζ i )∆v i (i =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅,n )并作和i i i i ni v f ∆=∑),,(1ζηξ. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分,记作dv z y x f ⎰⎰⎰Ω),,(. 即i i i i ni v f dv z y x f ∆==→Ω∑⎰⎰⎰),,(lim ),,(10ζηξλ. 三重积分中的有关术语: ⎰⎰⎰Ω——积分号, f (x , y , z )——被积函数, f (x ,y , z )dv ——被积表达式, dv 体积元素, x , y , z ——积分变量, Ω——积分区域.在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分Ω, 则∆v i =∆x i∆y i ∆z i , 因此也把体积元素记为dv=dxdydz , 三重积分记作⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(.当函数f (x , y , z )在闭区域Ω上连续时, 极限i i i i ni v f ∆=→∑),,(lim 10ζηξλ是存在的, 因此f (x , y , z )在Ω上的三重积分是存在的, 以后也总假定f (x , y , z )在闭区域Ω上是连续的.三重积分的性质: 与二重积分类似.比如dv z y x g c dv z y x f c dv z y x g c z y x f c ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ±=±),,(),,()],,(),,([2121;dv z y x f dv z y x f dv z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ+Ω+=2121),,(),,(),,(;V dv =⎰⎰⎰Ω, 其中V 为区域Ω的体积.二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域Ω可表为 z 1(x ,y )≤z ≤z 2(x ,y ),y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b , 则 σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=b a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )()(),(),(2121]),,([⎰⎰⎰=b a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx ),(),()()(2121),,(,即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωb a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 提示:设空间闭区域Ω可表为 z 1(x , y )≤z ≤z 2(x ,y ),y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b ,计算⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(.基本思想:对于平面区域D : y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b 内任意一点(x , y ), 将f (x , y , z )只看作z 的函数, 在区间[z 1(x , y ), z 2(x , y )]上对z 积分, 得到一个二元函数F (x , y ), ⎰=),(),(21),,(),(y x z y x z dz z y x f y x F ,然后计算F (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 这就完成了f (x , y , z )在空间闭区域Ω上的三重积分.⎰⎰⎰⎰⎰=Dy x z y x z Dd dz z y x f d y x F σσ]),,([),(),(),(21⎰⎰⎰=bax y x y y x z y x z dydz z y x f dx )()(),(),(2121]),,([,则 σd dz z y x f dv z y x f Dy x z y x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω]),,([),,(),(),(21⎰⎰⎰=b a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )()(),(),(2121]),,([ ⎰⎰⎰=b a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx ),(),()()(2121),,(.即 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωb a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f ),(),()()(2121),,(),,(.其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域.例1 计算三重积分dxdydz x ⎰⎰⎰Ω, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区域.解作图, 区域Ω可表示为: 0≤z ≤1-x -2y , )1(210x y -≤≤, 0≤x ≤1. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω=10210210x y x x d zdy dx dxdydz x⎰⎰---=10210)21(xdy y x xdx ⎰=+-=1032481)2(41dx x x x . 讨论: 其它类型区域呢?有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域Ω={(x , y , z )|(x , y )∈D z , c 1≤ z ≤c 2}, 其中D z 是竖坐标为z 的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面闭区域, 则有 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩzDc c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(21.例2 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2, 其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域.解空间区域Ω可表为:2222221c z b y a x -≤+, -c ≤ z ≤c . 于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰-Ω=c c D zdxdy dz z dxdydz z 22 3222154)1(abc dz z c z ab c cππ=-=⎰-.练习1. 将三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为三次积分, 其中(1)Ω是由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.(2)Ω是双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域. (3)其中Ω是由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域.2. 将三重积分dxdydz z y x f I ⎰⎰⎰Ω=),,(化为先进行二重积分再进行定积分的形式,其中Ω由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.2. 利用柱面坐标计算三重积分设M (x , y , z )为空间内一点, 并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为P (ρ, θ ), 则这样的三个数ρ、θ 、z 就叫做点M 的柱面坐标, 这里规定ρ、θ 、z 的变化范围为: 0≤ρ<+∞, 0≤θ ≤2π , -∞<z <+∞. 坐标面ρ=ρ0, θ =θ 0, z =z 0的意义: 点M 的直角坐标与柱面坐标的关系: x =ρcos θ, y =ρsin θ, z =z .⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos柱面坐标系中的体积元素: dv =ρd ρd θdz . 简单来说,dxdy =ρd ρd θ,dxdydz =dxdy ⋅dz =ρd ρd θ dz . 柱面坐标系中的三重积分:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ),sin ,cos (),,(.例 3 利用柱面坐标计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ,其中Ω是由曲面z =x 2+y 2与平面z =4所围成的闭区域.解闭区域Ω可表示为: ρ2≤z ≤4, 0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π. 于是 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dz d d z zdxdydz θρρ⎰⎰⎰=πρρρθ202042z d z d d ⎰⎰-=πρρρθ20204)16(21d d πρρπ364]618[2212062=-⋅=. 3. 利用球面坐标计算三重积分设M (x , y , z )为空间内一点, 则点M 也可用这样三个有次序的数r 、ϕ、θ 来确定, 其中 r 为原点O 与点M 间的距离, ϕ为→OM 与z 轴正向所夹的角, θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段→OP 的角, 这里P 为点M 在xOy 面上的投影, 这样的三个数r 、ϕ 、θ 叫做点M 的球面坐标, 这里r 、ϕ、θ 的变化范围为 0≤r <+∞, 0≤ϕ<π, 0≤θ ≤2π. 坐标面r =r 0, ϕ=ϕ0, θ=θ0的意义:点M 的直角坐标与球面坐标的关系: x =r sin ϕcos θ, y =r sin ϕsin θ, z =r cos ϕ .⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x球面坐标系中的体积元素: dv =r 2sin ϕdrd ϕd θ .球面坐标系中的三重积分:θϕϕϕθϕθϕd drd r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=.例4 求半径为a 的球面与半顶角α为的内接锥面所围成的立体的体积. 解该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r ≤2a cos ϕ, 0≤ϕ≤α, 0≤θ≤2π. 于是所求立体的体积为⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==θϕϕd drd r dxdydz V sin 2⎰⎰⎰=παϕϕϕθ200cos 202sin a dr r d d⎰⎰=αϕϕϕπ0cos 202sin 2a drr d⎰=αϕϕϕπ033s i n c o s 316d a )c o s 1(3443a a -=π.提示: 球面的方程为x 2+y 2+(z -a )2=a 2, 即x 2+y 2+z 2=2az . 在球面坐标下此球面的方程为r2=2ar cosϕ,即r=2a cosϕ.§9. 4 重积分的应用元素法的推广:有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分的应用中.如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说,当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时,相应的部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式,其中(x,y)在dσ内,则称f(x,y)dσ为所求量U的元素,记为dU,以它为被积表达式,在闭区域D上积分:⎰⎰=Dd y x f U σ),(,这就是所求量的积分表达式. 一、曲面的面积设曲面S 由方程 z =f (x , y )给出, D 为曲面S 在xOy 面上的投影区域, 函数f (x , y )在D 上具有连续偏导数f x (x , y )和f y (x , y ). 现求曲面的面积A . 在区域D 内任取一点P (x , y ), 并在区域D 内取一包含点P (x , y )的小闭区域d σ, 其面积也记为d σ. 在曲面S 上点M (x , y , f (x , y ))处做曲面S 的切平面T , 再做以小区域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则σγσd y x f y x f d dA y x ),(),(1cos 22++==,这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为 σd y x f y x f A y x D),(),(122++=⎰⎰,或d x d yyz x z A D22)()(1∂∂+∂∂+=⎰⎰.设dA 为曲面S 上点M 处的面积元素, dA 在xOy 面上的投影为小闭区域d σ, M 在xOy 面上的投影为点P (x , y ), 因为曲面上点M 处的法向量为n =(-f x , -f y , 1), 所以σσd y x f y x f d dA y x ),(),(1||22++==n .提示: dA 与xOy 面的夹角为(n ,^ k ), dA cos(n ,^ k )=d σ,n ⋅k =|n |cos(n ,^ k )=1, cos(n ,^ k )=|n |-1. 讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？ dydzzx y x A yzD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1,或dzdx xy z y A zxD ⎰⎰∂∂+∂∂+=22)()(1.其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域, D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为R 的球的表面积. 解上半球面方程为222y x R z --=,x 2+y 2≤R 2.因为z 对x 和对y 的偏导数在D : x 2+y 2≤R 2上无界, 所以上半球面面积不能直接求出. 因此先求在区域D 1: x 2+y 2≤a 2 (a <R )上的部分球面面积, 然后取极限. dxdy y x R R a y x 222222--⎰⎰≤+⎰⎰-=πθ20022a r R rdr d R)(222a R R R --=π.于是上半球面面积为2222)(2lim R a R R R R a ππ=--→.整个球面面积为 A =2A 1=4πR 2.提示:222y x R x x z ---=∂∂, 222y x R y y z ---=∂∂,22222)()(1y x R R y z x z --=∂∂+∂∂+.解球面的面积A 为上半球面面积的两倍.上半球面的方程为222y x R z --=, 而222y x R x x z ---=∂∂,222y x R y y z ---=∂∂,所以22)()(12222yz x z A R y x ∂∂+∂∂+=⎰⎰≤+dxdy y x R R R y x 2222222--=⎰⎰≤+⎰⎰-=πρρρθ200222R R d d R2224 4R R R Rπρπ=--=.例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面的高度为h =36000km , 运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km).解取地心为坐标原点, 地心到通讯卫星中心的连线为z 轴, 建立坐标系.通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为222y x R z --=, x 2+y 2≤R 2sin 2α.于是通讯卫星的覆盖面积为⎰⎰⎰⎰--=∂∂+∂∂+=xy xy D D dxdy yx R R dxdy yz x z A 22222)()(1.其中D xy ={(x , y )| x 2+y 2≤R 2sin 2α}是曲面∑在xOy 面上的投影区域. 利用极坐标, 得)cos 1(222sin 022sin 02220απρρρπρρρθααπ-=-=-=⎰⎰⎰R d R R d R R d A R R .由于h R R +=αcos , 代入上式得hR hR h R R R A +=+-=222)1(2ππ.由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%5.4210)4.636(21036)(24662≈⋅+⋅=+=h R h R A π.由以上结果可知, 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积, 故使用三颗相隔π32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 二、质心设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(,⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 yM M x =⋅,xM M y =⋅ .于是⎰⎰⎰⎰==DD y d y x d y x x MM x σμσμ),(),(,⎰⎰⎰⎰==DDxd y x d y x y MM y σμσμ),(),(.在闭区域D 上任取包含点P (x , y )小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩元素分别为dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为⎰⎰=Dx d y x y M σμ),(,⎰⎰=Dy d y x x M σμ),(.设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有yM M x =⋅,xM M y =⋅ .于是⎰⎰⎰⎰==DD y d y x d y x x MM x σμσμ),(),(,⎰⎰⎰⎰==DDxd y x d y x y MM y σμσμ),(),(.提示: 将P (x , y )点处的面积元素d σ看成是包含点P 的直径得小的闭区域. D 上任取一点P (x , y ), 及包含的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？求平面图形的形心公式为⎰⎰⎰⎰=DDd xd x σσ,⎰⎰⎰⎰=DDd yd y σσ.例 3 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心.解因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x .因为 ⎰⎰⎰⎰=DD d d yd θρθρσsin 2πρρθθθθπ7sin sin 4sin 220==⎰⎰d d , πππσ31222=⋅-⋅=⎰⎰d D , 所以3737===⎰⎰⎰⎰ππσσDDd yd y . 所求形心是)37 ,0(C . 类似地, 占有空间闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )(假宽ρ(x , y , z )在Ω上连续)的物体的质心坐标是⎰⎰⎰Ω=dv z y x x Mx ),,(1ρ,⎰⎰⎰Ω=dv z y x y My ),,(1ρ,⎰⎰⎰Ω=dv z y x z Mz ),,(1ρ,其中⎰⎰⎰Ω=dv z y x M ),,(ρ.例4 求均匀半球体的质心.解取半球体的对称轴为z 轴, 原点取在球心上, 又设球半径为a , 则半球体所占空间闭区可表示为Ω={(x , y , z )| x 2+y 2+z 2≤a 2, z ≥0}显然, 质心在z 轴上, 故0==y x .⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ==dv zdvdvdv z z ρρ83a =.故质心为)83 ,0 ,0(a .提示: Ω: 0≤r ≤a ,20πϕ≤≤, 0≤θ≤2π.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ωadr r d d dv 022020sin ϕθϕππ⎰⎰⎰=adr r d d 022020sin ππθϕϕ323aπ=,⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=Ωadr r r d d dv z 022020sin cos ϕϕθϕππ⎰⎰⎰=adr r d d 0320202sin 21ππθϕϕ42214a⋅⋅=π.三、转动惯量设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为μ(x , y ), 假定ρ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量.在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为dI x =y 2μ(x , y )d σ , dI y =x 2μ(x , y )d σ .整片平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量分别为σμd y x y I Dx ),(2⎰⎰=,σμd y x x I Dy ),(2⎰⎰=.例5 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量μ)对于其直径边的转动惯量.解取坐标系如图, 则薄片所占闭区域D 可表示为D ={(x , y )| x 2+y 2≤a 2, y ≥0} 而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量I x ,⎰⎰⎰⎰⋅==DDx d d d y I θρρθρμσμ222sin⎰⎰⎰⋅==ππθθμρρθθμ0240032 s i n 4 s i n d a d d a2441241Ma a =⋅=πμ,其中μπ221a M =为半圆薄片的质量.类似地, 占有空间有界闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )的物体对于x 、y 、z 轴的转动惯量为 ⎰⎰⎰Ω+=dvz y x z y I x ),,()(22ρ, ⎰⎰⎰Ω+=dvz y x x z I y ),,()(22ρ, ⎰⎰⎰Ω+=dvz y x y x I z ),,()(22ρ.例6 求密度为ρ的均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量.解取球心为坐标原点, z 轴与轴l 重合, 又设球的半径为a , 则球体所占空间闭区域 Ω={(x , y , z )| x 2+y 2+z 2≤a 2}.所求转动惯量即球体对于z 轴的转动惯量I z .⎰⎰⎰Ω+=dvy x I z )(22ρθϕϕθϕθϕρd drd r r r sin )sin sin cos sin (2222222+=⎰⎰⎰Ωθϕϕρd drd r 34sin ⎰⎰⎰Ω=dr r d d a⎰⎰⎰=ππϕϕθρ200043 sin ρπ5158a =Ma 252=,其中ρπ334a M =为球体的质量. 提示:x 2+y 2=r 2sin 2ϕcos 2θ+r 2sin 2ϕsin 2θ=r 2sin 2ϕ.四、引力我们讨论空间一物体对于物体外一点P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力问题.设物体占有空间有界闭区域Ω, 它在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z ), 并假定ρ(x , y , z )在Ω上连续.在物体内任取一点(x , y , z )及包含该点的一直径很小的闭区域dv (其体积也记为dv ). 把这一小块物体的质量ρdv 近似地看作集中在点(x , y , z )处.这一小块物体对位于P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力近似地为 ),,(z y x dF dF dF d =F)))(,,(,))(,,(,))(,,((303030dv rz z z y x Gdv ry y z y x Gdv rx x z y x G---=ρρρ,其中dF x 、dF y 、dF z 为引力元素dF 在三个坐标轴上的分量,202020)()()(z z y y x x r -+-+-=, G 为引力常数. 将dF x 、dF y 、dF z 在Ω上分别积分, 即可得F x 、F y 、F z , 从而得F =(F x 、F y 、F z ).例7设半径为R 的匀质球占有空间闭区域Ω={(x , y , z )|x 2+y 2+z 2≤R 2). 求它对于位于点M 0(0, 0, a ) (a >R )处的单位质量的质点的引力. 解设球的密度为ρ0, 由球体的对称性及质量分布的均匀性知F x =F y =0, 所求引力沿z 轴的分量为dv a z y x a z G F z 2/32220])([-++-=⎰⎰⎰Ωρ⎰⎰⎰--≤+-++-=RR zR y x a z y x dxdydza z G 22222/32220])([)(ρ ⎰⎰⎰---+-=2202/322200])([)(z R RRa z d d dz a z G ρρρθρπ⎰-+----=RR dz aaz R z a a z G )211)((2220ρπ ]2)(12[2220⎰-+--+-=RRa az R d a z a R G ρπ)3222(2230aR R R G -+-=πρ2203134a M G a R G -=⋅⋅-=ρπ,其中334ρπR M =为球的质量.上述结果表明: 匀质球对球外一质点的引力如同球的质量集中于球心时两质点间的引力.。

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用

第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。

教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。

§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。

《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用

2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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二、如何应用定积分解决问题 ?
第一步利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳等
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第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、平面图形的面积
二、平面曲线的弧长三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长

高等数学电子教材第六章定积分及其应用

x
1 0
=
2
4
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
0≤x≤2
|
1
−
x
|=
1 − x , x −1,
0≤ 1<
x≤ x≤
1 2
-
∫2
|
0
1
−
x
|
dx
=
∫1
|
0
1
−
x
|
dx
+
∫2
|
1
1−
x
|
dx
=
∫1
(1
0
−
x)dx
+
∫2 1
(x
−
1)dx
=
(x
−
1 2
x2)
1 0
+
(12
x2
−
x)
2 1
=
1
−
1 2
+
(1
−
12)
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
6-1
xi = xi − xi−1 i = 1 2 … n x
6-2
x = m1≤ia≤xn{∆xi}
x
n
i
Ai i = 1 2 … n
(2 )
[ xi−1 xi] i = 1 2 … n
i
f ( i)
f ( i) xi
( 6 - 2)
Ai f ( i) xi i = 1 2 … n
x −1 x
dx
t2
t +
1
⋅
2tdt
=
t
2t2 2+

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（完整版）同济第六版《高等数学》教案WORD版-第02章导数与微分.docx高等数学教案第二章导数与微分第二章导数与微分教学目的：1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。

2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。

4、会求分段函数的导数。

5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。

教学重点：1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3、基本初等函数的导数公式；4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。

教学难点：1、复合函数的求导法则；2、分段函数的导数；3、反函数的导数4、隐函数和由参数方程确定的导数。

§2. 1导数概念一、引例1．直线运动的速度设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为s s 是 t 的函数s f(t)求动点在时刻 t0的速度考虑比值s s0 f (t) f (t0)t t0t t0这个比值可认为是动点在时间间隔t t0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践中也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 t t0 0 取比值 f (t)f (t0 )的极限如果这个极限存在设为 v 即t t0v lim f (t) f (t0)t t0t t0这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度2．切线问题设有曲线 C 及 C 上的一点 M 在点 M 外另取 C 上一点 N作割线MN 当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置 MT直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线设曲线 C 就是函数 y f(x)的图形现在要确定曲线在点M(x ,y )( y 0f(x )) 处的切线只要000定出切线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N(x, y)于是割线 MN 的斜率为y y0 f ( x) f (x0)tanx0x x0x其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时 x x0如果当x0 时上式的极限存在设为 k即k f (x)f (x0)limx x0x x0存在则此极限 k是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 k tan其中是切线 MT 的倾角于是通过点 M(x0, f(x0))且以 k为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线二、导数的定义1函数在一点处的导数与导函数从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限lim f ( x) f ( x0)x x0x x0令 x x x0则 y f(x0x) f(x0)f( x) f(x0) x x0相当于 x0 于是lim f ( x) f (x0)x x0x x0成为lim y或 lim f (x0x) f (x0)x0x x0x定义设函数y f(x)在点仍在该邻域内)时相应地函数限存在则称函数 y f(x)在点x0的某个邻域内有定义当自变量 x 在 x0处取得增量x(点x0 x y 取得增量 y f( x0x) f(x0)如果 y 与 x 之比当 x0 时的极x0处可导并称这个极限为函数y f(x)在点 x0处的导数记为y |x x0即f ( x ) lim y lim f (x0x) f (x0)x x0xx 0也可记为 y |x x 0dy 或 df (x)x 0dx x x 0dx x函数 f(x)在点 x 处可导有时也说成 f(x) 在点 x具有导数或导数存在导数的定义式也可取不同的形式常见的有f (x 0 ) lim f (x 0 h) f ( x 0 )hh 0f ( x ) lim f (x) f (x 0)x x 0 x x 0在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢” 问题在数学上就是所谓函数的变化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述如果极限 limf (x 0x) f (x 0) 不存在就说函数 y f(x)在点 x 0 处不可导x 0x如果不可导的原因是由于lim f (x 0x) f (x 0)x 0x 也往往说函数 y f(x) 在点 x 0 处的导数为无穷大如果函数 y f(x) 在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 x I都对应着 f( x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 y f(x)的导函数记作 yf ( x)dy 或 df (x)dx dx导函数的定义式y limf ( x x) f ( x)limf ( xh) f ( x)xx h 0hf (x )与 f (x)之间的关系函数 f(x)在点 x 0 处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x x 0 处的函数值即f ( x 0 ) f (x) x x 0导函数 f (x)简称导数而 f(x )是 f(x)在 x 处的导数或导数左右导数所列极限存在则定义f( x)在 x 0 的左导数 f ( x 0 ) f (x 0 h) f ( x 0 )limhh 0f( x)在 x 0 的右导数f (x 0 ) f (x 0 h) f (x 0 )lim hh 0如果极限 limf (x 0 h) f ( x 0) 存在则称此极限值为函数在h0 h如果极限 limf (x 0h) f ( x 0)存在则称此极限值为函数在hh导数与左右导数的关系f (x 0) Af (x 0) f (x 0 ) Af (x)在 x 0 处的值x 0 的左导数x 0 的右导数高等数学教案第二章导数与微分2．求导数举例例 1．求函数 f(x) C （C 为常数）的导数解 f ( x) lim f (xh) f ( x) lim CC 0 h 0h h 0h即 (C ) 0例 2 求 f (x)1x 的导数f (x h) f (x)1 1h 解f ( x) lim lim x h xlim h 0 h h 0hh 0 h(x h) x例 3 求 f (x) x 的导数解f (x)f ( x h) f (x)lim x h xlim hhh 0hlimh11x 2 xh 0h( x hx) h 0 x h例 2．求函数 f(x) x n (n 为正整数 )在 x a 处的导数解 f (a) lim f (x) f (a)lim x na n lim (x n 1ax n 2xax a x axa x a 把以上结果中的 a 换成 x 得 f (x)nx n 1 即 (x n )nx n 1lim11x 2h 0 (x h)xa n 1) na n 1(C) 0 (1 ) 1 ( x) 1(x )x x 22 x 更一般地有 (x )其中为常数例 3．求函数 f(x) sin x 的导数解 f (x)lim f ( x h) f ( x)lim sin( xh 0h h 01 hh lim2 cos(x2) sinhh2x 1h) sin xhlim cos(x h)sin h2 cos xh 02 h2即 (sin x) cos x用类似的方法可求得 (cos x ) sin x例 4．求函数 f(x) a x (a>0 a 1) 的导数解 f (x) limh) f (x) lim a x h a xh 0hh 0ha x lim a h1 令a h 1 t a x lim th 0 htlog a (1 t)a x 1 a x ln alog a e特别地有 (e x ) e x例 5．求函数 f(x) log a x (a>0 a 1) 的导数解 f ( x) limf (x h) f ( x) h 0h lim 1log a (xh ) h 0 hxlim log a ( x h) log a xh 0h1lim x log a (1 h )1lim log a (1 h )h xx hxx h 0x1log a e1x xln a解log a (x h) log a x 1log a (1 h ) f (x) lim hlimxh 0h0 h1lim log a (1 h ) h x 1log a e1x h 0 x xxlna即(log a x)1xln a1 特殊地x(log a x)1(ln x)1xln a x3．单侧导数极限 lim f (x h)f ( x)存在的充分必要条件是h 0hlim f ( x h) f (x)及 lim f (x h) f (x)h 0h h 0h 都存在且相等f( x)在 x 处的左导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f (x)0 h 0 hf( x)在 x 0 处的右导数 f ( x 0 ) lim f (x h) f ( x)h 0h导数与左右导数的关系函数 f(x)在点 x 0 处可导的充分必要条件是左导数左导数f (x 0 ) 和右导数 f (x 0)都存在且相等如果函数 f(x)在开区间 (a, b)内可导且右导数 f (a) 和左导数 f (b)都存在就说 f(x) 有闭区间 [a, b]上可导例 6．求函数 f(x) x|在 x 0 处的导数(0) lim f (0 h)f (0) lim |h|1h 0hh 0 hf (0) lim f (0 h) f (0) lim |h|1h 0 h h 0 h因为 f (0) f (0) 所以函数 f(x) |x|在 x 0 处不可导四、导数的几何意义函数 y f(x)在点 x 0 处的导数 f (x 0)在几何上表示曲线y f(x) 在点 M( x 0, f(x 0 ))处的切线的斜率即f ( x 0) tan其中是切线的倾角如果 y f(x)在点 x 0 处的导数为无穷大这时曲线 y f(x) 的割线以垂直于 x 轴的直线 x x 0为极限位置即曲线 y f( x)在点 M (x 0, f( x 0))处具有垂直于x 轴的切线 x x 0由直线的点斜式方程可知曲线 y f(x)在点 M(x , y )处的切线方程为y y 0 f (x 0)(x x 0)过切点 M(x , y )且与切线垂直的直线叫做曲线y f(x)在点 M 处的法线如果f (x 0) 0法线的斜率为1 从而法线方程为f ( x 0)y y 01( x x 0 )f (x 0 )例 8 求等边双曲线 1 1y x 在点 (2 , 2) 处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程解y1所求切线及法线的斜率分别为x2k 1 ( 1 ) x 14k 21 1x 22k 14所求切线方程为 y 24( x 1 ) 即 4x y 42所求法线方程为 y 21(x 1) 即 2x 8y 15 04 2例 9 求曲线 y x x 的通过点 (0 4)的切线方程解设切点的横坐标为x 0则切线的斜率为31f ( x 0 ) (x 2 )3x 2x 03 x 02 x 2于是所求切线的方程可设为3y x 0 x2x 0(x x 0)根据题目要求点 (0 4)在切线上因此4 x 0 x 03x 0(0 x 0 )2解之得 x 0 4 于是所求切线的方程为3y 4 4 4 (x 4) 即 3x y 4 0四、函数的可导性与连续性的关系设函数 y f(x)在点 x 0 处可导即 limy (x 0 ) 存在则fxxlimy limy x lim y lim x f (x ) 0 0x 0x 0 x x 0 xx 0这就是说函数 y f(x)在点 x 0 处是连续的所以如果函数 y f(x)在点 x 处可导则函数在该点必连续另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导例 7．函数 f (x)3x 在区间 ( , )内连续但在点 x 0 处不可导这是因为函数在点x 0 处导数为无穷大f (0 h) f (0) 3 h 0limhlimhh 0h 0x§2 2 函数的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1 如果函数 u u(x)及 vv( x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外 )都在点 x 具有导数并且[u(x) v(x)] u (x) v (x)[u(x) v(x)] u (x)v(x) u(x)v (x) u(x) u ( x)v( x) u(x)v (x)v(x)v 2 (x)证明 (1) [ u( x) v(x)] lim [ u( xh) v( x h)] [u(x)v( x)]hhlimu(x h) u( x)v( x h) v(x)u (x) v (x)h 0h h法则 (1) 可简单地表示为(u v) u v(2) [ u(x) v( x)] limu( xh)v(x h) u(x)v(x)h 0hlim 1 [u(x h)v(xh) u(x)v( x h)u( x)v(x h) u(x)v(x)]h 0 hlim u(x h) u( x) v( x h) u(x) v( xh) v( x)h 0 h hlimu(xh) u(x) lim v(x h)u(x) limv(xh) v(x)hh h 0hhu (x)v(x) u(x)v ( x)其中 lim v(x h)v(x) 是由于 v (x)存在故 v( x)在点 x 连续h 0法则 (2) 可简单地表示为(uv) u v uvu(x h) u(x)(3) u( x)limv(xh) v(x) lim u(x h)v(x) u( x)v( x h) v(x) hh h 0 v( x h)v( x)hlim [u(x h)u(x)] v(x) u(x)[v(x h) v(x)] h 0v(x h)v(x)hu(x h) u(x) v(x) u( x)v( xh) v( x) lim hv( x h)v(x)hh 0u (x)v(x) u(x)v (x)v 2( x)法则 (3) 可简单地表示为( u) u v uvvv 2(u v) u v(uv) u v uv ( u)u v uvv v 2定理 1 中的法则 (1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形例如设 u u(x)、 v v(x)、ww(x)均可导则有(u v w) uv w(uvw) [( uv)w] (uv) w (uv) w(u v uv )w uvw u vw uv w uvw 即(uvw)u vw uv w uvw(Cu) Cu例 1． y 2x 3 5x 2 3x 7 求 y解 y (2x 3 5x 23x7) (2x 3) 5x 2) 3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x)2 3x 2 5 2x3 6x 2 10x 3例 2 f (x) x 34cos x sin求 f (x)及 f ()22解32f ( x)(x ) (4 cos x) (sin 2)3x4sin xf () 3242 4例 3． y e x (sin x cos x) 求 y解 ye x ) (sin x cos x) e x (sin x cos x)e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x例 4． y tan x 求 y解 y(tan x)( sin x )cos xcos 2 x sin 2 xcos 2x(sin x) cos xsin x(cos x)cos 2 x1sec 2xcos 2x即(tan x) sec 2x例 5． y sec x 求 y 解y (secx) ( 1)(1) cos x 1 (cos x)cos xcos 2 x 即(sec x) sec x tan xsin x sec x tan xcos 2x用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式(cot x) csc 2x(csc x)csc x cot x二、反函数的求导法则定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 I y 内单调、可导且 f (y) 0 那么它的反函数 y f 1( x)在对应区间 I x { x|x f(y) yI y } 内也可导并且[ f 1( x) ] f 1dy1 ( y)或 dxdxdy简要证明由于 x f(y)在 I y 内单调、可导 (从而连续 ) 所以 x f(y)的反函数 y f 1(x)存在且 f 1( x)在 I x 内也单调、连续任取 xI x 给 x 以增量x( x 0 xx I x ) 由 y f 1(x) 的单调性可知11于是y 1x xy因为 y f 1(x)连续故lim y0x 0从而[ f1(x)] lim y lim11x x f(y)x 0y0y上述结论可简单地说成反函数的导数等于直接函数导数的倒数例 6．设 x sin y y[2,]为直接函数则 y arcsin x 是它的反函数函数 x sin y 在开2区间 (,)内单调、可导且22(sin y)cos y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x ( 11)内有(arcsin x)1111cos y1sin 2 y 1 x2(sin y)类似地有(arccosx)11x2例 7．设 x tan y y(,) 为直接函数则 y arctan x 是它的反函数函数x tan y 在22区间 (,)内单调、可导且22(tan y) sec2 y0因此由反函数的求导法则在对应区间 I x () 内有(arctan x)1111 (tan y)sec2 y1tan2 y 1 x2类似地有(arccot x)11x2例 8 设 x a y(a 0a1)为直接函数) 内单调、可导且(a y) a y ln a0因此由反函数的求导法则在对应区间(log a x)111(a y) a y ln a xln a则 y log a x 是它的反函数函数x a y在区间I y(I x (0)内有杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、 e x3、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理 3如果 u g( x)在点 x 可导函数 y f(u)在点 u g(x)可导则复合函数y f[g(x)] 在点 x 可导且其导数为dy dy dy dudx f (u) g ( x) 或dx du dx证明当 u g(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f[(x)] 也是常数此时导数为零结论自然成立当 u g(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u 0此时有y f [ g(x x)] f [g (x)] f [ g( x x)] f [ g( x)]g(x x)g(x)x x g (x x)g(x)xf (u u) f (u)g( x x) g( x)u xdy lim y lim f (u u) f (u)lim g (x x)g (x) = f( u) g (x )dx x0x u0u x 0x简要证明dy lim y lim y u lim y lim u f (u)g (x)dx x 0 x x 0 ux u 0 u x 0 x例9 y e x3求dydx解函数 y e x3可看作是由 y e u u x3复合而成的因此dy dy du u3x 22x3dx du dx e3x e例 10y sin2x dy 1 x2求dx解函数y sin2x是由 y sin uu2x复合而成的1x2 1 x2因此dy dydu cosu2(1x2 )(2x)22(1x2)2x2 dx du(12)222 cosdx x(1 x ) 1 x 对复合函数的导数比较熟练后就不必再写出中间变量dy例 11． lnsin x 求dx(ln sin x)1(sin x)1cosx cot x解sin xdx sin x例 12． y31 2x2求 dydxdy 12解[(1 2x 2 )3 ]1(1 2x 2) 3(12x 2)4xdx3 33 (1 2x 2) 2复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形例如设 y f(u)u (v) v (x)则dy dy du dy du dvdx du dx du dv dxdy 例 13． y lncos(e ) 求 dx dy x 1x 解dx [ln cos(e )]cos(e x ) [cos(e )]1xxxxcos(e x ) [ sin(e )] (e ) e tan(e ) sin 1 dy例 14． y e x 求dx1)cos1(1)解dy(ex )e x(sinexsin 1sin 1sin 1dxx x x1 sin 1cos 1e xx 2 x 例 15 设 x 0 证明幂函数的导数公式(x )x1解因为 x(e ln x ) eln x 所以(x ) (e ln x) e ln x( ln x) eln xx 1x1四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数(1)(C) 0 (2)(x )x 1(3)(sin x) cos x (4)(cos x) sin x (5)(tan x) sec 2 x(6)(cot x) csc 2x(7)(sec x) sec x tan x(8)(csc x) csc x cot x (9)(a x ) a x ln a (10)( e x )e x(11) (log a x)1x ln a (12) (ln x)1(13) (arcsin x)1 1 x2(14) (arccos x) 11 x 2(15) (arctan x)1 1 x2(16) (arccot x)11 x 22．函数的和、差、积、商的求导法则设 u u(x) v v(x)都可导则 (1)(u v) u v (2)(C u) C u (3)(u v) u v u v (4) ( u )u vuvvv 23．反函数的求导法则设 x f(y)在区间 I y 内单调、可导且f (y) 0 则它的反函数 y f 1(x)在 I x f(I y )内也可导并且[ f1( x) ]1 或 dy 1f ( y)dxdxdy4．复合函数的求导法则设 y f(x)而 u g(x)且 f(u)及 g(x)都可导则复合函数 y f[g(x)] 的导数为dy dy du或 y (x) f (u) g (x)dxdu dx例 16 求双曲正弦 sh x 的导数 . 解因为sh x1x e x) 所以2 (e(sh x)1(e xe x) 1 (e x e x ) ch x22即 (sh x) ch x类似地有(ch x) sh x例 17 求双曲正切 th x 的导数解因为 th xsh x 所以ch x(th x) ch 2 x sh 2 x1ch 2xch 2x解因为 arsh x ln( x1x2 )所以(arsh x)1(1x)1x11x2x2 1 x2由 arch x ln( x x21) 可得 (arch x)1 x2 1由 arth x 1ln1x可得 (arth x)1 21x 1 x2类似地可得 (arch x)1(arth x)1 x211x2例 19． y sin nx sin n x (n 为常数 )求 y解 y (sin nx)sin n x + sin nx(sin n x)ncos nx sin n x+sin nx n sin n1x (sin x )ncos nx sin n x+n sin n 1x cos x n sin n 1x sin(n+1)x §2. 3高阶导数一般地函数 y f(x)的导数 y f(x) 仍然是 x 的函数我们把 y f (x)的导数叫做函数 y f(x)的二阶导数记作y 、 f (x) 或d 2 y dx2即y (y ) f(x) [f(x)] d 2 y d( dy )dx2dx dx相应地把 y f(x)的导数 f (x)叫做函数 y f(x)的一阶导数类似地二阶导数的导数叫做三阶导数三阶导数的导数叫做四阶导数一般地 (n 1)阶导数的导数叫做n 阶导数分别记作yy (4)nd 3 y d 4 y d n y y ( )或dx 3dx 4dx n函数 f(x)具有 n 阶导数也常说成函数 f(x)为 n 阶可导如果函数 f(x)在点 x 处具有 n 阶导数那么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数二阶及二阶以上的导数统称高阶导数y 称为一阶导数 y y y (4)y (n)都称为高阶导数例 1． y ax b 求 y 解 y a y 0例 2． s sin t 求 s解 scost s 2sin t例 3．证明函数 y2x x 2 满足关系式 y 3y 1 0证明因为 y2 2x 1 x2 2x x22x x 22x x 2(1 x) 2 2 xx2x)22x x 22x (1 11y22 x x 2(2x x 2 ) (2 x x 2)3y 3(2x x 2) 2所以 y 3y1 0例 4．求函数 y e x的 n 阶导数解 y e x y e x y e x y ( 4) e x一般地可得y ( n) e x即(e x )(n) e x例 5．求正弦函数与余弦函数的 n 阶导数解 y sin x y cos x sin( x 2)ycos(x) sin( x2) sin( x 2 )222 ycos(x2 ) sin( x 22) sin(x 3 )22 2y (4) cos(x 3) sin(x 4 )22一般地可得y (n) sin( x n) 即 (sin x)(n) sin(x n)22用类似方法可得 (cos x)(n) cos(x n)例 6．求对函数ln(1 x)的 n阶导数解y ln(1x)y(1x) 1y(1x)2y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x) 4一般地可得(n 1)!y(n)(1)(2)(n1)(1x) n( 1)n 1(1x)n即[ln(1x)] (n)(1) n 1 (n 1)!(1x)n例 6．求幂函数 y x ( 是任意常数 )的 n 阶导数公式解 y x1y(1)x2y(1)(2)x3y ( 4)(1)(2)(3)x4一般地可得y (n)(1)(2)(n1)x n即(x )(n)(1)(2)(n 1)x n当n 时得到n(n)(x )( 1)( 2) 3 2 1 n!而(x n)( n 1) 0如果函数u u(x)及v v(x)都在点x处具有n阶导数那么显然函数u(x) v(x)也在点 x 处具有 n阶导数且(u v) (n) u(n) v(n)(uv)u v uv(uv)u v2u v uv(uv)u v 3u v3u v uv用数学归纳法可以证明n(uv)(n)C n k u(n k)v(k)k0这一公式称为莱布尼茨公式2 2x(20)例 8． y x e求 y解设 u e2 x v x2则(u)(k)2k e2x (k1, 2,, 20)v 2x v 2 (v)(k)0 (k 3, 4,, 20)代入莱布尼茨公式得y (20)(u v)(20)u(20)v C 201u(19) v C 202u(18)v220e2x x2 20 219e2x 2x20 19218e2 x 22!220e2x(x220x95)§2. 4隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率一、隐函数的导数显函数形如 y f(x) 的函数称为显函数例如 y sin x y ln x +e x隐函数由方程 F(x y) 0所确定的函数称为隐函数例如方程 x y3 1 0 确定的隐函数为y y 3 1 x如果在方程F(x y) 0 中当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在那么就说方程F(x y) 0 在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来例 1．求由方程 e y xye 0 所确定的隐函数 y 的导数解把方程两边的每一项对x 求导数得(e y ) (xy) (e) (0) 即 e y y y xy从而yy yx e y(x e0)例 2．求由方程 y 5 2y x 3x 7 0 所确定的隐函数 y f (x)在x 0 处的导数 y |x 0解把方程两边分别对 x 求导数得5y y 2y 1 21x 6 0由此得y1 21x 65 y 42因为当 x 0 时从原方程得 y 0 所以y |x 0 1 21x 6 |x 015y 4 2 2例 3求椭圆 x2y 21 在 (2, 33) 处的切线方程16 9 2 解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得x2y y 08 9从而y9 x16y当 x 2 时y3 3 代入上式得所求切线的斜率2k y |x 234所求的切线方程为y 3 33 ( x 2) 即 3x4 y 8 3 02 4解把椭圆方程的两边分别对 x 求导得 x 2 y y 0 89将 x 2y3 3代入上式得211 y 043于是k y |x3 24所求的切线方程为y333( x 2) 即 3x 4 y 8 3 024例 4．求由方程x y 12sin y 0所确定的隐函数y的二阶导数解方程两边对x 求导得1dy1cos y dy0dx2dx于是dy2dx 2 cos y上式两边再对x 求导得d 2 y 2sin ydy4sin ydxdx2(2cos y)2(2 cos y)3对数求导法这种方法是先在y f(x)的两边取对数然后再求出 y 的导数设 y f(x)两边取对数得ln y ln f(x)两边对 x 求导得1 y[ln f (x)]yy f( x) [ln f(x)]对数求导法适用于求幂指函数 y [u(x)] v(x)的导数及多因子之积和商的导数例5．求 y x sin x (x>0) 的导数解法一两边取对数得ln y sin x ln x上式两边对x 求导得1y cos x ln x sin x1y x于是y y(cos x ln x sin x 1 ) xx sin x(cos x ln x sin x)x解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求。

高数同济61定积分的应用培训课件

素面积
dA 元
（3）求和、取极限
y yf(x)
Aabf(x)dx面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等．
二、小结
元素法的提出、思想、步骤.
（注意微元法的本质）
“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
n
表示为 Ul im 0i1f(i)xi
定积分定义
b a
f
(x)
dx
n
lim
0i1
f
(i)xi
积分的四个步骤如下：
（1）分割在[a, b]上任取一小区间[x , x+dx]
用 A表示任一小区间[x,x x]上的窄曲
边梯形的面积
（2）近似代替
AfxdxdA
第六章
定积分的应用
利用元素法解决: 定积分在几何上的应用定积分在物理上的应用
第一节
定积分的元素法
第六章
一、什么问题可以用定积分解决 ? 二、如何应用定积分解决问题 ?
一、什么问题可以用定积分解决 ?
1) 所求量 U 是与区间[a , b]上的某分布 f (x) 有关的一个整体量 ;
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过