高三第一轮复习指数及指数函数

x>0， (0<a<1)可得该函数的图象为 x<0
D 选项中的图象，故应选 D. (2)函数 y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象是由函数 y＝ax(a>0，a≠1)
的图象进行上、下平移得到的，图象经过第二、三、四象限，即不经过
第一象限，也不过原点，所以 0<a<1，且 a0＋b－1<0，解得 b<0，故选
•3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是( )
2x－1，x≥1， 解析：∵f(x)＝12x－1，x<1，
∴根据分段函数即可画出函数图象． 答案：B
•4．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则
()
•A．a>b>c D．b>c>a
B．a>c>b
C．c>a>b
•解析：由0.2<0.6,0<0.4<1，并结合指数函数 的图象可知0.40.2>0.40.6，即b>c；因为a＝ 20.2>1，b＝0.40.2<1，所以a>b.综上，a>b>c.
指数与指数函数
根式
•1．根式的概念
•2.两个重要公式
n (2)(
a)n＝a
(注意a必须使n a有意义)．
有理数指数幂
•1．幂的有关概念
(3)0的正分数指数幂等于 0, 0的负分数指数幂 无意义 ． 2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ ars (a>0, r，s∈Q)； (3)(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)．
指数函数图象的特点 1.指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数
大小的关系如图所示，则0<c<d<1<a<b. 在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由 大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应 的底数由大变小；即无论在y轴的左侧还 是右侧，底数按逆时针方向变大. 2.指数函数y＝ax与y＝( )x(a>0，且a≠1) 的图象关于y轴对称.
指数函数的性质及应用
【例 3】 (1)(2013 年高考全国新课标卷Ⅱ)若存在正数 x 使 2x(x－
a)<1，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)
D．(－1，＋∞)
(2)设 a＝3525，b＝2535，c＝2525，则 a，b，c 的大小关系是(
)
A．a>c>b C．c>a>b
指数幂的化简与求值的原则 (1)化负指数为正指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数； (4)注意运算的先后顺序.
【注意】 有理数指数幂的运算性质中，其底数都大 于0，否则不能用性质来运算.
化简下列各式(其中各字母均为正数).
解（1）原式 （2）原式
（3）原式
指数函数的图象与性质
A.
•答案：(1)D (2)A
——分类讨论思想在指数函数中的应用
•分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单 调性问题，一般情况下，当指数函数的底数 不明确时，要分a>1或0<a<1两种情况讨 论．
•【典例】 设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－ 1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．
[解析] 令 t＝ax(a>0 且 a≠1)， 则原函数化为 y＝(t＋1)2－2(t>0)． ①当 0<a<1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈a，1a， 此时 f(t)在a，1a上为增函数． 所以 f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14. 所以1a＋12＝16， 所以 a＝－15或 a＝13.
Байду номын сангаас
•答案：A
•反思总结
•1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利 用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到 其图象．
•2．y＝ax，y＝|ax|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关 系：
•y＝ax与y＝|ax|是同一函数的不同表现形式．
•函数y＝a|x|与y＝ax不同，前者是一个偶函数，其 图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同．
B．a>b>c D．b>c>a
[解析] (1)由题意可得，a>x－12x(x>0)． 令 f(x)＝x－12x，则该函数在(0，＋∞)上为增函数， f(x)min>f(0)＝－1，故当 a>－1 时，存在正数 x使原不等式成立．
(2)先比较 b 与 c，构造函数 y＝25x.∵0<25<1， ∴y＝25x 为减函数且53>25.∴b＝2535<2525＝c；再比较 a 与 c.
又因为 a>0，所以 a＝31.
②当 a>1 时，x∈[－1,1]，t＝ax∈1a，a，
此时 f(t)在1a，a上是增函数． 所以 f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，
设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下
列关系式中一定成立的是： ( )
A.3c<3b
B.3c>3b
C.3c＋3a>2
D.3c＋3a<2
【解析】 画出f(x)＝|3x－1|的图象如下图：
数形结合法)作f(x)＝|3x－1|的图象如图所 示，由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a) ＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0， 3c＜1＜3a ， f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1， 又f(c)＞ f(a)， 1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选 D.答案 D
∵ac＝
＝3225>320＝1，∴a>c，
故 a>c>b.
•[答案] (1)D (2)A
•反思总结
•解决与指数函数的性质问题时应注意
•(1)大小比较时，注意构造函数利用单调性 去比较，有时需要借助于中间量如0,1判 断．
•(2)与指数函数单调性有关的综合应用问题， 要注意分类讨论思想及数形结合思想的应 用．
2．(1)函数 y＝x|xa|x(0<a<1)的图象的大致形状是( )
•(2)若函数y＝ax＋b－1(a>0，a≠1)的图象经 过第二、三、四象限，则实数a，b满足
()
•A．0<a<1，b<0
B．0<a<1，b<1
•C．a>1，b<0
D．a>1，b<1
解析：(1)由 y＝x|xa|x＝a－x，ax，
2.若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，
则b的取值范围是
.
解析：分别作出两个函数的图象，通过图象的交 点个数来判断参数的取值范围.
曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的 图象如图所示，由图象可得： 如果|y|＝2x＋1与直线y＝ b没有公共点，则b应满足 的条件是b∈[－1,1].
答案：[－1,1]