物理学教程(第二版)马文蔚等编著第五次课

v v v v M = M1 + M 2 + M3 + L
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 一、力矩 力矩
二 转动定律
Fit = ( ∆mi ) a t
M i = ri Fit = (∆mi )at ri
∴ M i = (∆mi )ri α
2
z
O
v Fit
Q a t = rα
v ri
∆ mi
M = ∑ M i = ∑ ( ∆ mi )ri α = α ∑ ( ∆ mi )ri
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
补充方程 （4） ） a = Rα 联立方程（ ） （ ） 联立方程（1）---（4）求解得 m1 g a= m1 + m2 + M / 2 m1 (m2 + M / 2) g T1 = m1 + m2 + M / 2 m1m2 g T2 = m1 + m2 + M / 2 m1m2 g T1 = T2 = 讨论： 讨论：当 M=0时 时 m1 + m2
J = ∑ ∆mi ri = ∫ r dm
2 2
质量元: 质量元 dm
注意
i
转动惯量的大小取决于刚体的密度、 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何 形状及转轴的位置. 形状及转轴的位置
转动定律 M = Jα
， 讨论 （1）M = 0 ω不变 ）
M （2）α ∝ ） J
dω （3） M = Jα = J ） dt
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
匀质细杆竖直放置， 例3 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其 相接， 下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动 . 由于此 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态， 竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 转 动 .试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度 试计算细杆转动到与竖直线成 θ 和角速度 . 解 细杆受重力和
l
细棒转轴通过 端点与棒垂直
ml J= 12
2
ml2 J= 3
刚体的转动惯量/ §4.刚体的转动惯量 三、典型刚体的转动惯量 刚体的转动惯量
2r
2r
球体转轴沿直径
球壳转轴沿直径
2mr J= 5
2
2mr J= 3
2
刚体的转动惯量/ §4.刚体的转动惯量 三、典型刚体的转动惯量 刚体的转动惯量
例1 如图所示, 有一半径为 R 质量为 ′ 的匀质 如图所示 m 圆盘, 垂直盘面的水平轴转动. 圆盘 可绕通过盘心 O 垂直盘面的水平轴转动 转轴与 圆盘之间的摩擦略去不计. 圆盘上绕有轻而细的绳索, 圆盘之间的摩擦略去不计 圆盘上绕有轻而细的绳索 绳的一端固定在圆盘上, 的物体. 绳的一端固定在圆盘上 另一端系质量为 m 的物体 试 求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度. 求物体下落时的加速度、绳中的张力和圆盘的角加速度
M,R
m
h
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
受力分析: 受力分析 以m为研究对象 为研究对象 mg − T = ma 以M为研究对象 为研究对象 TR = Jα
h = at /2 补充方程： 补充方程： a = Rα
2
M,R
(1)
T
(2)
物体从静止下落时满足
(3)
T
h
mg (4)
三 转动惯量
J = ∑ ∆m r , J = ∫ r dm
2 j j 2 j
物理意义： 物理意义：转动惯性的量度 . 意义
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ 刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体密度有关。 与刚体密度有关 ②.与质量对轴的分布有关。 与质量对轴的分布有关
③.与轴的位置有关。
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安
第二节 力矩 转动定律
一、力矩 力与力臂的乘积。 力与力臂的乘积。
O d
M r
θ
F
P M = dF = r sin θF M = rF sin θ 根据矢量乘积法则： 根据矢量乘积法则： A × B = AB sin θ 用矢量方法表示力矩： 用矢量方法表示力矩： M = r × F 单位：牛顿·米 单位：牛顿 米， N · m 方向： 右旋到F， 方向：从r沿小于π角右旋到 ，大拇指指 沿小于 向。 力矩、 §5.力矩、转动定律 / 一、力矩 力矩
v 铰链对细杆的约束力 F N
作用， 作用，由转动定律得
1 mgl sin θ = Jα 2
1 mgl sin θ = Jα 2 1 2 式中 J = ml 3 3g α = sin θ 得 2l 2l
由角加速度的定义
dω dω dθ dω α= = =ω dt dθ dt dθ
代入初始条件积分 得
3g ω dω = sin θ d θ 2l
3g ω= (1− cosθ ) l
例4：测轮子的转动惯 ： 量用一根轻绳缠绕在半 径为 R、质量为 M 的 、 轮子上若干圈后， 轮子上若干圈后，一端 的物体， 挂一质量为 m 的物体， 从静止下落 h 用了时间 t ,求轮子的转动惯量 。 求轮子的转动惯量J。 求轮子的转动惯量
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
联立方程（ ） （ ）求解得： 联立方程（1）----（4）求解得：
mR ( gt − 2h ) J= 2h
2 2
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
设计制作
干耀国
山东科技大学济南校区
力矩、 §5.力矩、转动定律 力矩
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
全 ？
例1：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量 ： 的质点， 轴转动， 为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求： 质点系的转动惯量J。 质点系的转动惯量 。 解：由转动惯量的定义 2m
o
m
3b
J = ∑ ∆m r
i =1
2 1 1
2
2
2 i i
2 2 2
2
b
= ∆m r + ∆m r
= 11mb
2
= 2mb + m (3b)
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刚体的转动惯量/ §4.刚体的转动惯量 二、转动惯量的计算 刚体的转动惯量
三、典型的几种刚体的转动惯量
r1 r2
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
圆筒转轴沿几何轴
1 J = mr 2 2
1 2 2 J = m(r1 + r2 ) 2
m′
R O
m′
v FT
mg − FT = ma y FT′ R = Jα a y = Rα FT = FT′ 2 J = m' R / 2
先文字计算求解， 文字计算求解， 代入数据求值. 后代入数据求值
O R m
ay = 2mg (2m + m' )
m
FT = m' mg /(2m + m' ) v FT ' P y α = 2mg [(2m + m' ) R]
m2
解：受力分析 以 m1 为研究对象
m1 g − T1 = m1a
T2 M , R T1
（1） ）
T1 m1 m1 g m2 T2 T2
以 m2 为研究对象 T2 = m2 a （2） ） 以 M 为研究对象 ） ( T1 − T 2 ) R = J α （3）
m1
M,R
T1
1 2 J = MR 2
刚体的转动惯量/ §4.刚体的转动惯量 三、典型刚体的转动惯量 刚体的转动惯量
r
l
r l 圆柱体转轴通过 中心与几何轴垂直
圆柱体转轴沿几何轴
1 J = mr 2 2
mr ml J= + 4 12
2
2
刚体的转动惯量/ §4.刚体的转动惯量 三、典型刚体的转动惯量 刚体的转动惯量
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
2
2
转动惯量 转动定律
J =
∑ ∆ m i ri
2
M = Jα
转动定律
M = Jα
J = ∑ ∆ mi ri
2
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正 合外力矩 与刚体的转动惯量 转动惯量成反比 比 ，与刚体的转动惯量成反比 . 转动惯量物理意义：转动惯性的量度 转动惯量物理意义：转动惯性的量度. 意义 质量连续分布刚体的转动惯量
M
M 的方向垂直于 r 与 F 构成的平 面。
讨论 r
θ
F
1) M>0, 沿OZ轴正向 刚体逆时针方向旋转 轴正向,刚体逆时针方向旋转 轴正向 刚体逆时针方向旋转; M<0,沿OZ轴负向 刚体顺时针方向旋转 沿 轴负向 刚体顺时针方向旋转. 轴负向,刚体顺时针方向旋转
2）合力矩等于各分力矩的矢量和: 力矩等于各分力矩的矢量和 矢量和:
例2：质量为 m1和 ： m2两个物体，跨在 两个物体， 定滑轮上 m2 放在光 滑的桌面上， 滑的桌面上，滑轮 半径为 R，质量为 ， M，求：m1 下落的 ， 加速度， 加速度，和绳子的 张力 T1、T2。
m2
T2 M , R T1
m1
力矩、 §5.力矩、转动定律 / 三、解题方法及应用举例 力矩
m′
R O
m′
v FT
v T'
解 (1) 分析受力 ) (2)选取坐标系 )
O R m
m
v P y
注意： 注意：转动和平 动的坐标取向要一致. 动的坐标取向要一致
（3）列方程（用文字式） ）列方程（用文字式） 牛顿第二定律（质点） 牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 转动定律（刚体） 约束条件 转动惯量