((完整版))《导数及其应用》经典题型总结,推荐文档

例 3 已知 f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2. (1)求函数 f(x)的单调区间． (2)若对任意 x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2 恒成立，求实数 a 的取值范围．（利用极值处理恒成立 问题）
1 练习 1 已知 f(x)＝x3－2x2－2x＋5，当 x∈[－1,2]时，f(x)<m 恒成立，求实数 m 的取值范围。
h0
2h
(2)已知 f (x) x(x 1)(x 2)(x 2008) ，求 f (0) .
考点二 导数的几何意义的应用
例 2:
已知抛物线 y=ax2+bx+c 通过点 P(1，1)，且在点 Q(2，-1)处与直线 y=x-3 相切，求实数
a、b、c 的值
例 3：已知曲线 y= 1 x3 4 . (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.
7、求解函数 y f (x) 单调区间的步骤：
（1）确定函数 y f (x) 的定义域； （2）求导数 y' f ' (x) ；
（3）解不等式 f ' (x) 0 ，解集在定义域内的部分为增区间；
（4）解不等式 f ' (x) 0 ，解集在定义域内的部分为减区间．
8、求函数 y f x的极值的方法是：解方程 f x 0 ．当 f x0 0 时： 1如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极大值； 2如果在 x0 附近的左侧 f x 0 ，右侧 f x 0 ，那么 f x0 是极小值．
3. 已知函数 f(x)＝ax3＋3x2-x+1 在 R 上为减函数，求实数 a 的取值范围。
总结：已知函数 y f (x) 在 (a, b) 上的单调性，求参数的取值范围方法：
1、利用集合间的包含关系
2、转化为恒成立问题（即 f / (x) 0或f / (x) 0 ）（分离参数）
3、利用二次方程根的分布（数形结合）
《导数及其应用》经典题型总结
一、知识网络结构
导数的概念
导数的几何意义、物理意义
导数
导数的运算
常见函数的导数 导数的运算法则
函数的单调性
导数的应用
函数的极值
函数的最值
题型一 求函数的导数及导数的几何意义
考点一 导数的概念，物理意义的应用
例 1．(1)设函数 f (x) 在 x 2 处可导，且 f (2) 1，求 lim f (2 h) f (2 h) ；
例 4 求证 sin x x ，（ x ）（证明不等式）
练习：已知 x>1，证明 x>ln(1＋x)．
题型三 函数的极值与最值
考点一 利用导数求函数的极值。 1
lnx＋1
例 1 求下列函数的极值：(1)f(x)＝x＋4x；(2)f(x)＝ x .（不含参函数求极值）
a
例 2 设 a>0，求函数 f(x)＝x2＋x(x>1)的单调区间，并且如果有极值时，求出极值.（含参函数求极 值）
(2)f(x)＝ax3－3x＋1 对于 x∈[－1,1]恒有 f(x)≥0 成立，则 a＝________.
二、知识点
1、函数
f
x从 x1 到 x2 的平均变化率：
f
x2 f x1 .
x2 x1
2、导数定义： f
x
在点 x0 处的导数记作 y
x x0
f
( x0
)
lim
x0
f (x0
x) x
5、导数运算法则：
⑦ (loga
x)'
1 x ln a
；⑧ (ln x)'
1 x
1
f
x g x
f x gx
；
2
f
x g x
f xg x
f
xgx
；
f x
3
g
x
f
x
g
x g x
f x 2
g
x
源自文库
g
x
0
．
6、在某个区间 a,b内，若 f x 0 ，则函数 y f x在这个区间内单调递增；
若 f x 0 ，则函数 y f x在这个区间内单调递减．
9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数 f’(x) （3）求方程 f’(x)=0 的根 （4）用方程 f’(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由 f’(x)在方程 f’(x)=0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况
练习：求函数 f (x) x a 的单调区间。 x
例 3 若函数 f(x)＝x3－ax2＋1 在(0,2)内单调递减，求实数 a 的取值范围．（单调性的逆向应用）
练习 1：已知函数 f (x) 2ax x3, x (0,1], a 0 ，若 f (x) 在 (0,1] 上是增函数，求 a 的取值范围。 2. 设 a>0,函数 f (x) x3 ax 在（1，+∞）上是单调递增函数，求实数 a 的取值范围。
题型四 函数的最值
例1
求函数
f (x)
4x , x 2,2的最大值与最小值。（不含参求最值）
x2 1
例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，试问是否存在实数 a、b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小 值－29，若存在，求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．(最值的逆向应用)
f (x0 ) ．
3、函数 y
f x在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y
f x 在点
x0, f x0
处的切线的斜
率．
4、常见函数的导数公式：
① C ' 0 ；② (x )' x 1 ；
③ (sin x)' cos x ；④ (cos x)' sin x ；
⑤ (a x )' a x ln a ；⑥ (e x )' e x ；
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题型二 函数单调性的应用 考点一 利用导函数的信息判断 f(x)的大致形状 例 1 如果函数 y＝f(x)的图象如图，那么导函数 y＝f(x)的图象可能是( )
考点二 求函数的单调区间及逆向应用
例 1 求函数 y x4 2x2 5 的单调区间.（不含参函数求单调区间）
1 例 2 已知函数 f(x)＝2x2＋alnx(a∈R，a≠0)，求 f(x)的单调区间．（含参函数求单调区间）
a 例 3 设函数 f(x)＝3x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程 f′(x)－9x＝0 的两个根分别为 1,4.若 f(x)在 (－∞，＋∞)内无极值点，求 a 的取值范围．（函数极值的逆向应用）
例 4 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1，a≠0. （利用极值解决方程的根的个数问题） (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x＝－1 处取得极值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范 围．