2001年全国高考理工类数学试题(上海卷)
2001年高考数学试题(全国文)及答案1
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin aS 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+； (B) 31-； (C) 31--； (D) 31+-。
(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4； (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4； (C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4； (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4。
(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π； (B) π33； (C) 6π； (D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是 ( )(A)(210，)； (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，； (C) (21，＋∞)； (D) (0，＋∞)。
2001年全国高考理科数学(江西、山西、天津)卷
2001年全国高考理科数学(江西、山西、天津)卷参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长.棱锥、圆锥的体积公式sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高. 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=x y 的周期、振幅依次是 （ ）（A ）4π、3（B ）4π、－3 （C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是 （ ）（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是 （ ）（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（ ）（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c= （ ）（A ）21-a +23b （B ）21a －23b （C ）23a 21-b （D ）－23a 21+b（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是 （ ）（A ）05=-+y x （B ）012=--y x （C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα （ ）（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab （D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有 （ ）（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（ ）（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。
2001年高考数学试题(全国文)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是 ( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4(B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是 ( ) (A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg是 ( )(A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x(D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x(7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减． 其中，正确的命题是 ( )(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 ． (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA = 4 求四边形ABCD的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；。
【高考数学试题】2001年高考.全国卷.理科数学试题及答案
【高考数学试题】2001年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 60分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin 正棱台、圆台的侧面积公式 ()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限（2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x （C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x （3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 （A ）（0，21） （B ）（0，21] （C ）（21，+∞） （D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ） （B ） （C ） （D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 （A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π（C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π（7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为（A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则 （A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75°（10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题：○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 （A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
2001年上海高考
2001年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）物理卷考生注意：1．答卷前，考生分必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2．本试卷共8页，23题，满分150分．考试时间120分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
3．第19、20、21、22、23题要求写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤。
只写出最后答案，而未写出主要演算过程的，不能得分。
有数字计算的问题，答案中必须明确写出数值和单位。
一．（40分）选择题，本大题共8小题，每小题5分，每小题给出的四个答案中，至少有一个是正确的，把正确答案全选出来，并将正确答案前面的字母填写在题后的方括号内，每小题全选对的得5分；选对但不全，得部分分；有选错或不答的，得0分。
填写在方括号外的字母，不作为选出的答案。
1．跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是（）（A）空气阻力做正功（B）重力势能增加（C）动能增加（D）空气阻力做负功。
2．卢瑟福原子核式结构理论的主要内容有（）（A）原子的中心有个核，叫做原子核（B）原子的正电荷均匀分布在整个原子中（C）原子的全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里（D）带负电的电子在核外绕着核旋转第 1 页共12 页第 2 页 共 12 页3．A 、B 两点各放有电量为＋Q 和＋2Q 的点电荷，A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，且AC ＝CD ＝DB 。
将一正电荷从C 点沿直线移到D 点，则（ ）（A ）电场力一直做正功（B ）电场力先做正功再做负功（C ）电场力一直做负功（D ）电场力先做负功再做正功4．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动。
由此能得到半径为R 、密度为ρ、质量为M 且均匀分布的星球的最小自转周期T 。
下列表达式中正确的是（ ）（A ）T ＝2πR 3GMGM R 3 （B ）T ＝2π3R 3GM GM R 33 （C ）T ＝πG ρ ρπG （D ）T ＝3πG ρ ρπG 35．如图所示，有两根和竖直方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R ，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B 。
2001年高考数学(理科)真题及答案[全国卷I]
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2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是(A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是(A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y (B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π (7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为(A) 43(B) 32 (C) 21 (D) 41(8)若ba =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b (A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为(A)60°(B)90°(C)105°(D)75°(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增;②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增;③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减;其中，正确的命题是(A)①③(B)①④(C)②③(D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则(A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1(C) P3=P2>P1(D) P3=P2=P1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26(B)24(C)20(D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+yx的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。
2001年上海卷(文)
2001年上海数学试卷（文史类）考生注意：1．答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚．2．本试卷共有22道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 一、 填空题（本大题满分48分） 1．设函数x x f 9log )(=，则满足21)(=x f 的x 值为 ． 2．设数列{}n a 的首项71-=a ，且满足12n n a a +=+（n ∈N ），则1217a a a +++= ．3．设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 ．4．设集合{}|2lg lg(815),A x x x x ==-∈R ，|cos 0,2x B x x ⎧⎫=>∈⎨⎬⎩⎭R ，则A B 的元素个数为 个．5．抛物线0342=--y x 的焦点坐标为 ．6．设数列{}n a 是公比0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和．若lim 7n n S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围是 ．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种 种．（结果用数值表示）8．在621⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，常数项为 ．9．设sin x α=，且5,66a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则arccos x 的取值范围是 ． 10．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 ．11．已知两个圆：221x y +=①与()2231x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两圆的0.25方案盈概率1A 利自然状况(万)元1S 2S 3S 0.300.452A 3A 4A 507020-986526528226167810-对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为推广命题的一个特例．推广的命题为 ．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．下面第1个图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在下面第2个图中图示为：二．选择题（本大题满分16分）13．3a =是直线230ax y a ++=和直线()317x a y a +-=-平行且不重合的 ( )（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件14．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点．若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是 ( )（A ）1122a b c -++ （B ）1122a b c ++ （C ）1122a b c -+ （D ）1122a b c --+ 15．已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a α⊥，b β⊥，则下列命题中的假命题是 ( ) （A ）若a b ，则αβ （B ）若αβ⊥，则a b ⊥（C ）若a 、b 相交，则α、β相交 （D ）若α、β相交，则a 、b 相交 16．用计算器验算函数lg xy x=（1x >）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 ( )（A ）lg x y x =在()1,+∞上是单调减函数 （B ）lg xy x =在()1,+∞上有最小值 （C ）lg x y x =在()1,+∞上的值域为lg 30,3⎛⎤⎥⎝⎦（D ）lg lim 0n n n →∞=，（n ∈N *） 2000199019801970196019501014182226年平均土地沙化面积（百平方公里）年份200019901980197019601950250.1253.3257.5260年份土地沙化总面积（万平方公里）ABCD1A 1B 1C 1D M三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．(本题满分12分)已知a 、b 、c 是ABC 中A ∠、B ∠、C ∠的对边，S 是ABC 的面积．若4a =，5b =，S =c 的长度．18．(本题满分12分) 设1F 、2F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点． 已知P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，且12||||PF PF >，求12||||PF PF 的值．、19．(本题满分14分)第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体''''OABC O A B C -中，E 、F 分别是棱AB 、BC 上的动点，且AE BF =．（1）求证：''A F C E ⊥；（2）当三棱锥'B BEF -的体积取得最大值时，求二面角'B EF B --的大小．20．(本题满分14分)第1小题满分4分，第2小题满分10分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}|,nz M z n ωω==∈N ．（1）设z 是方程10x x+=的一个根，试用列举法表示集合z M ．若在z M 中任取两个数，求和为零的概率P ；（2）若集合z M 中只有3个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由．A'B CO 'O 'C 'A BFE21．(本题满分16分)第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分． 用清水洗一堆蔬菜上残留的农药．对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上，设用x 单位量的水清洗一次．．．．后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（1）设规定()0f 的值，并解释其实际意义；（2）试根据假定写出函数()f x 应满足的条件和具有的性质； （3）设()211f x x =+．现有a （0a >）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由．22．(本题满分18分)第1小题满分5分，第2小题满分5分． 第3小题满分8分．对任意函数()f x ，x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出()10x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出()21x f x =，并依此规律继续下去．现定义()421x f x x -=+． （1）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项；（2）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）是否存在0x ，在输入数据0x 时，该数列发生器产生一个各项均为负数的无穷数列？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由．参考答案一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0，） 6.（0，7）7.78.15 9.[0，] 10.(理)（，）11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2①(x－c)2+(y－d)2=r2②（a≠c或b≠d），由①－②，得两圆的对称轴方程.12.二、CADD三、17.或.18.2或.19.（1）利用空间直角坐标系证明；（2）arctan2.20.(理)（1）M a={(1+i)，－(1－i)，－(1+i)，(1－i)}.∴P==.（2）∵ω∈M z，∴存在m∈N，使得ω=z2m－1.于是对任意n∈N，ω2n－1=z(2m－1)(2n－1)，由于(2m－1)(2n－1)是正奇数，ω2n－1∈M z，所以MωM z .(文)(1) M z={i，－1，－i，1}, P==.(2)z=21.（1）f（0）＝1表示没有用水时，蔬菜上的农药量将保持原样；（2）函数f（x）应满足的条件和具有的性质是：f（0）＝1，f（1）＝，在[0，＋∞）上f（x）单调递减，且0＜f（x）≤1；（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=，清洗两次后残留的农药量为：f2==则由f1－f2可得：①当a＞2时，f1＞f2；②当a＝2时，f1＝f2；③当0＜a＜2时，f1＜f2.22.（1）x1=，x2=，x3=－1.（2）当x0=1时，x n=1，当x0=2时，x n=2.（3）(理)x0∈（1，2）,(文)不存在.。
2001年高考.上海卷.理科数学试题及答案
方程为
.
4.设集合 A={x|2lgx=lg(8x—15)，x∈R}B={x|cos ＞0，x∈R}，则 A∩B 的元素个数
为 个.
5.抛物线 x2－4y－3=0 的焦点坐标为
.
6.设数列 是公比 q＞0 的 等比数列，Sn 是它的前 n 项和. Sn＝7，则此数列的 首
项 a1 的取值范围是
.
7.某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种.
x0 的值； （3）若输出 x0 时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数 n 均有
xn＜xn+1，求 x0 的取值范围.
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参考答案 一、1.3 2.153 3.x2－4y2=1 4.1 5.（0， ） 6.（0，7） 7.7
8.15 9.[0， ] 10.（ ， ）
11.设圆方程(x－a)2+(y－b)2=r2 ① 由①－②，得两圆的对称轴方程.
，x∈（1，+∞）的值域为
ห้องสมุดไป่ตู้
0,
lg3 3
C. y= lgx ，x∈（1，+∞）有最小值 x
lin D.
lgn =0 ，n∈N
n n
三、解答题 17.已知 a、b、c 是△ABC 中∠A、∠B、∠C 的对边，S 是△ABC 的 面积，若 a=4，b=5，
S=5 ，求 c 的长度.
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（3）设仅清洗一次，残留的农药量为：f1=
，
清洗两次后残留的农药量为：f2=
=
则由 f1－f2 可得：
①当 a＞2 时，f1＞f2；②当 a＝2 时， f1＝f2；③当 0＜a＜2 时，f1＜f2.
2001年上海高考数学(理科)
2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =． 【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ． 【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数， 则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=． 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的 轨迹方程是 _____ ． 【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素 个数为 _____ 个． 【答案】1【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ． 【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ． 【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现 在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示） 【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x--+的展开式中，常数项为 _____ ． 【答案】15【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π． 【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos212sinϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆 的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠， 则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里）， 平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图． 【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =uuu u r r，111,A D b A A c ==uuuu r r uuu r r ．则下列向量中与1B M uuuu r相等的向量是A ．1122a b c -++r r rB ．1122a b c ++r r rC ．1122a b c -+r r rD ．1122a b c --+r r r【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+uuuu r uuu r uuu r uuu r uu u r111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++uuu r uuuu r r uuuu r uuu u r r r r r r r ．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是A ．若//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交 【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg 3(0,]3 C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值 D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈ 【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x⋅--'==， ∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===，求c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin C =， ......（4分） 于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分） 又2222cos c a b ab C =+- ......（8分）当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c ...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c =． ...... （12分）故c．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题． 18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+， 得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分） 若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(F F ． ......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4)3P ，于是12144,33PFPF ==，故1272PF PF =；...（9分） 若12F PF ∠为直角，则221941x y ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得55x y ==，即(55P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示） 【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--u u u r u u u r．......（4分）∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=u u u r u u u r，∴A F C E ''⊥． ......（6分） （II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=， 三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=， 当且仅当2ax y ==时，等号成立． 因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分） 过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角． 在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高，∴,tan 4B B BD a B DB BD''=∠==故二面角B EF B '--的大小为tan arc ． ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w zn N -==∈|． （Ⅰ）设α是方程1x x+=M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆． 【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1)2i α=+或2(1)2i α=-． ......（2分）当1)2i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,),(1),),)2222i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+---+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)i α=-时，∵22i α=-， ∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),),)M i i i i α⎫⎪=+-+-⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分） （Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质； （Ⅲ）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由． 【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分） （Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==， 在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+， 清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分） 则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当a >12f f >；当a =12f f =；当0a <<12f f <．因此，当a >当a =当0a << ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项； （Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞， ∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分） （Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =． 即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+． 故当01x =时，1n x =； 当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分） （Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<． 要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分） 对于函数426()411x f x x x -==-++， 若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。
(详细解析)2001年上海高考数学(理科)
2001年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知812,(,1]()log ,(1,)x x f x x x -⎧∈-∞=⎨∈+∞⎩，则满足1()4f x =的x 值为 ___ ．【答案】3【解析】1x ≤时，1()24xf x -==，2x =，不合题意，舍去；1x >时，81()log f x x = 14=，14813x ==，综上可得3x =． 【点评】本题考查分段函数求值问题，属基本题．2．设数列{}n a 的通项为27,n a n n N =-∈，则1215a a a ++⋅⋅⋅+= ____ ． 【答案】153【解析】由270n a n =-≥，解得72n ≥，所以数列的前3项为负数， 则1215123(531)(13523)9121532a a a +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅+=+⨯=．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的前n 项和的公式化简求值，是一道基础题．3．设P 为双曲线2214x y -=上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的 轨迹方程是 _____ ． 【答案】2241x y -=【解析】设(,)M x y ，则(2,2)P x y ，代入双曲线方程2214x y -=得2241x y -=，即为所求．【点评】代入法是圆锥曲线问题的常用方法．4．设集合{}2lg lg(815),,cos 0,2x A x x x x R B x x R ⎧⎫==-∈=>∈⎨⎬⎩⎭||，则A B 的元素 个数为 _____ 个． 【答案】1【解析】由2lg lg(815)x x =-，可得28150x x -+=，∴3x =或5x =，检验知符合题意，∴{}3,5A =，3x =时，cos02x >；5x =时，5cos 02<，∴A B 的元素个数为1个，故答案为1．【点评】本题考查集合的化简，考查学生的计算能力，属于基础题．5．抛物线2430x y --=的焦点坐标为 ______ ． 【答案】1(0,)4【解析】由2430x y --=得，234()4x y =+，表示顶点在3(0,)4-，开口向上的抛物线，2p =，∴故焦点坐标是1(0,)4．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，求出抛物线的顶点坐标和p 是解题的关键．6．设数列{}n a 是公比为0q >的等比数列，n S 是它的前n 项和，若lim 7n x S →∞=，则此数列的首项1a 的取值范围为 _____ ． 【答案】(0,7)【解析】若该等比数列是一个递增的等比数列，则n S 不会有极限．因此这是一个无穷递缩等比数列．设公比为q ，则01q <<，01q <<．而等比数列前n 项和1(1)1n n a q S q-=-，因此lim 0nx q →∞=，而根据极限的四项运算法则有，1lim 71n x a S q→∞==-，因此17(1)a q =-，解得1(0,7)a ∈．【点评】本题是中档题，考查等比数列前n 项和的极限问题，注意公比的范围，是解题的关键，考查计算能力．7．某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种．现 在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种 _____ 种．（结果用数值表示） 【答案】7【解析】设素菜n 种，则225200(1)40n C C n n ≥⇒-≥，所以n 的最小值为7．【点评】正确应用乘法计数原理，组合数以及不等式运算，n 为最小正整数．8．在2521(425)(1)x x x--+的展开式中，常数项为 _____ ． 【答案】15【解析】由于25200122455521(425)(1)(425)(x x x x C x C x C x x----+=--⋅+⋅+⋅+ 3648485105555)C x C x C x C x ----⋅+⋅+⋅+⋅，故展开式中，常数项为10554(5)15C C +-=．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．9．设sin x α=，且5[,]66ππα∈-，则cos arc x 的取值范围是 _____ ．【答案】2[0,]3π 【解析】由题意可得112x -≤≤，而cos arc x 表示在区间[0,]π上余弦值等于x 的一个角，∴20cos 3arc x π≤≤，故答案为 2[0,]3π．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，反余弦函数的意义，属于中档题．10．直线122y x =-与曲线sin cos 2x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的交点坐标是 _____ ．【答案】11(,)22【解析】∵2cos 212sin ϕϕ=-，∴曲线方程化为212y x =-，与直线122y x =-联立，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由1sin 1ϕ-≤≤，故3272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩不合题意，舍去，则直线与曲线的交点坐标为11(,)22．【点评】此题考查了参数方程与普通方程的转化，二倍角的余弦函数公式，以及正弦函数的值域．．，熟练掌握二倍角的余弦函数公式是解本题的关键11．已知两个圆：221x y +=①；22(3)1x y +-=②，则由①式减去②式可得上述两个圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 _____ ．【答案】设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠， 则由①—②，得两圆的对称轴方程．【解析】将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广：设圆方程222()()x a y b r -+-=①，222()()x c y d r -+-=②（a c ≠或b d ≠），由①—②，得两圆的对称轴方程．【点评】本题考查的知识点是类比推理．．．．，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．在解决类似题目时，一定要注意观察原题特点，找到其特征，再类比写结论．12．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在20世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为_______ ．【答案】【解析】1950﹣1970：土地沙化面积增加了3.2（万平方公里）， 平均沙化面积为：0.32（万平方千米）16=（百平方公里）1970﹣1990：平均沙化面积为：0.21（万平方千米）21=（百平方公里）； 1990﹣2000：平均沙化面积为：0.25（万平方千米）25=（百平方公里）．如上图． 【点评】本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．3a =是直线230ax y a ++=和直线3(1)7x a y a +-=-平行且不重合的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】C【解析】当3a =时，两直线分别为3290,3240x y x y ++=++=，∴两直线斜率相等，则平行且不重合；若两直线平行且不重合，则23317a aa a=≠---，∴3a =综上所述，3a =是两直线平行且不重合的充要条件．故选C ．【点评】本题以直线为载体，考查四种条件．判定两条直线位置关系的时候，注意到直线一般式系数满足的关系式．14．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =，111,A D b A A c ==．则下列向量中与1B M 相等的向量是 A ．1122a b c -++ B ．1122a b c ++ C ．1122a b c -+ D ．1122a b c --+【答案】A【解析】由题意可得11112B M B B BM A A BD =+=+111111111111()()22222A AB D c A D A B c b a a b c =+=+-=+-=-++．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．15．已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，且,a b αβ⊥⊥，则下列命题中的假命题是A ．若//a b ，则//αβB ．若αβ⊥，则a b ⊥C ．若,a b 相交，则,αβ相交D ．若,αβ相交，则,a b 相交 【答案】D 【解析】略．16．用计算器验算函数lg (1)xy x x=>的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是 A ．lg x y x =在(1,)+∞上是单调减函数 B ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞的值域为lg3(0,]3C ．lg ,(1,)x y x x =∈+∞有最小值D ．lg lim 0,n nn N n→∞=∈【答案】D【解析】∵lg (1)x y x x =>的导数lg (1)x y x x =>，221lg lg lg ln10x xe xx y x x⋅--'==， ∴当(1,)x e ∈时，0y '>；当(,)x e ∈+∞时，0y '<． 可得函数在(1,)e 上为增函数，在(,)e +∞为减函数，最大值lg e y e =，值域为lg (0,]ee，由此可得A 、B 、C 三项都不正确．由极限的运算法则，可得1lg 1ln10lim lim lim 01ln10n n n n n n n →∞→∞→∞===，D 项正确．【点评】本题给出关于函数lg (1)xy x x=>的几个结论，要我们找出其中的正确结论，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的值域求法和极限的运算法则等知识，属于中档题．三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）已知,,a b c 是ABC ∆中,,A B C ∠∠∠的对边，S 是ABC ∆的面积，若4,5,a b S ===，求c 的长度．【解】∵1sin 2S ab C =，∴sin 2C =， ......（4分） 于是60C ∠=︒，或120C ∠=︒， ......（6分） 又2222cos c a b ab C =+- ......（8分） 当60C ∠=︒时，222c a b ab =+-，c =...... （10分）当120C ∠=︒时，222c a b ab =++，c =． ...... （12分）故c．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础试题． 18．（本题满分12分）设12,F F 为椭圆22194x y +=的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知12,,P F F 是一个直角三角形的三个顶点，且12PF PF >，求12PF PF 的值．【解】解法一：由已知得12126,PF PF F F +==......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则2221212PF PF F F =+，即2211(6)20PF PF =-+， 得12144,33PF PF ==，故1272PF PF =； ......（9分） 若12F PF ∠为直角，则2221212F F PF PF =+，即221120(6)PF PF =+-，得124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）解法二：由椭圆的对称性不妨设(,)(0,0)P x y x y >>，则由已知可得12(F F ． ......（4分） 根据直角的不同位置，分两种情况：若21PF F ∠为直角，则4)3P ，于是12144,33PF PF ==，故1272PF PF =；...（9分） 若12F PF ∠为直角，则221941x y ⎧+=⎪⎪⎨=-，解得,55x y ==，即(,55P ，于是124,2PF PF ==，故122PF PF =．. .....（12分）（说明：两种情况，缺少一种扣3分）．【点评】本题考查椭圆的定义和标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，注意考虑2PF x ⊥轴时的情况．19．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．在棱长为a 的正方体OABC O A B C ''''-中，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点，且AE BF =．（Ⅰ）求证：A F C E ''⊥；（Ⅱ）当三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，求二面角B EF B '--的大小．（结果用反三角函数表示） 【解】（I ）证明：如图，以O 为原点建立空间直角坐标系． 设AE BF x ==，则(,0,),(,,0),(0,,)A a a F a x a C a a ''-，(,,0)E a x ．∴(,,),(,,)A F x a a C E a x a a ''=--=--．......（4分） ∵2()0A F C E xa a x a a ''⋅=-+-+=，∴A F C E ''⊥． ......（6分） （II ）记,BF x BE y ==，则x y a +=， 三棱锥B BEF '-的体积2311()66224a x y V xya a +=≤=， 当且仅当2ax y ==时，等号成立． 因此，三棱锥B BEF '-的体积取得最大值时，2aBF BE ==．......（10分） 过B 作BD EF ⊥交EF 于D ，连B D '，可知B D EF '⊥． ∴B DB '∠是二面角B EF B '--的平面角． 在直角三角形BEF 中，直角边2aBE BF ==，BD 是斜边上的高， ∴2,tan 224B B BD a B DB BD''=∠==， 故二面角B EF B '--的大小为tan 22arc ． ......（14分）【点评】本题考查线线垂直，考查面面角，考查向量知识的运用，考查三棱锥的体积，考查基本不等式的运用，属于中档题． 20．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分10分，第2小题满分4分．对任意一个非零复数z ，定义集合{}21,n z M w w z n N -==∈|．（Ⅰ）设α是方程1x x+=M α，若在M α中任取两个数，求其和为零的概率P ；（Ⅱ）设复数z M ω∈，求证：z M M ω⊆．【解】（Ⅰ）∵α是方程210x +=的根，∴1(1)2i α=+或2(1)2i α=-． ......（2分）当1(1)2i α=+时，∵222111111(),n n n i i ααααα-===，∴1111111,,,),),)i i M i i i i ααααα⎫⎧⎫--⎪==+-+-⎨⎬⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭．当2)i α=-时，∵22i α=-， ∴21222211,,,ii M M αααααα⎧⎫--==⎨⎬⎩⎭．因此，不论α取哪一个值，集合M α是不变的，即),(1),),(1)2222M i i i i α⎫⎪=+---+-⎨⎬⎪⎪⎩⎭． ......（8分）于是，24213P C ==． ......（10分） （Ⅱ）证明：∵z M ω∈，∴存在m N ∈，使得2(1)m z ω-=．......（12分）于是对任意2(1)(21)(21),n m n n N z ω---∈=，由于(21)(21)m n --是正奇数，21n z M ω-∈，所以z M M ω⊆．......（14分）【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，等可能事件的概率求法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．21．（本题满分16分）本题有3个小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用水清洗一堆蔬菜上残留的农药，对用一定量的水清洗一次．．．．的效果作如下假定：用1个单位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的12，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上．设用x 单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数()f x ．（Ⅰ）试规定(0)f 的值，并解释其实际意义；（Ⅱ）试根据假定写出函数()f x 应该满足的条件和具有的性质； （Ⅲ）设21()1f x x =+．现有(0)a a >单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较省？说明理由． 【解】（Ⅰ）(0)1f =，表示没有用水洗时，蔬菜上的农药量将保持原样．......（2分） （Ⅱ）函数()f x 应该满足的条件和具有的性质是：1(0)1,(1)2f f ==， 在[0,)+∞上()f x 单调递减，且0()1f x <≤． ......（8分）（Ⅲ）设仅清洗一次，残留在农药量为1211f a =+， 清洗两次后，残留的农药量为22222116[](4)1()2f a a ==++， ......（12分） 则2212222222116(8)1(4)(1)(4)a a f f a a a a --=-=++++．于是，当a >12f f >；当a =12f f =；当0a <<12f f <．因此，当a >当a =当0a << ......（16分）【点评】本小题主要考查函数模型的选择与应用、不等式的解示及比较法比较大小等，属于基础题．考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数的知识解决实际问题的能力．22．（本题满分18分）本题有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．对任意函数(),f x x D ∈，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端，再输出21()x f x =，并依此规律继续下去，现定义42()1x f x x -=+． （Ⅰ）若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ．请写出数列{}n x 的所有项； （Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（Ⅲ）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足；对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的取值范围．【解】（Ⅰ）∵()f x 的定义域(,1)(1,)D =-∞--+∞， ∴数列{}n x 只有三项：123111,,1195x x x ===-． ......（3分） （Ⅱ）∵42()1x f x x x -==+，即2320x x -+=，∴1x =，或2x =． 即当01x =或2时，1421n n n n x x x x +-==+． 故当01x =时，1n x =；当02x =时，2()n x n N =∈． ......（9分）（Ⅲ）解不等式421x x x -<+，得1x <-或12x <<． 要使12x x <，则11x <-或112x <<． ......（12分）对于函数426()411x f x x x -==-++， 若11x <-，则21322()4,()x f x x f x x =>=<． ......（15分）当112x <<时，21()x f x x =>，且212x <<，依此类推，可得数列{}n x 的所有项均满足1()n n x x n N +>∈．综上所述，1(1,2)x ∈．由10()x f x =，得0(1,2)x ∈．. .....（18分）【点评】本题考查数列与函数的综合，考查新定义，考查学生的计算能力，属于中档题．。
2001年高考数学试题(全国文)及答案1
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式()()[]βαβαβ-++=sin sin 21cos sin a ()()[]βαβαβ--+=sin sin 21sin cos a()()[]βαβαβ-++=cos cos 21cos cos a()()[]βαβαβ--+-=cos cos 21sin sin aS 台侧l c c )(21+'=其中c ′、c 分别表示上、下底面周长， l 表示斜高或母线长 台体的体积公式 V 台体h S S S S )(31+'+'=其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+； (B) 31-； (C) 31--； (D) 31+-。
(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4； (B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4； (C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4； (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4。
(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π； (B) π33； (C) 6π； (D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是 ( )(A)(210，)； (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，； (C) (21，＋∞)； (D) (0，＋∞)。
2001年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科
2001年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）化学第I 卷相对原子质量:二、选择题（本题共36分）,每小题3分，只有一个正确选项，答案涂写在答题纸上。
6. 下列物质属于分子晶体的化合物是A .石英B .硫磺C .干冰D .食盐7. 铜片和锌片用导线连接后插入稀硫酸中，锌片是A .阴极B .正极C .阳极D .负极第28届国际地质大会提供的资料显示，海底有大量的天然气水合物，可满足人类 1000年的能源需要。
天然气水合物是一种晶体，晶体中平均每46个水分子构建成8个笼，每个笼可容纳五个CH 4分子或1个游离H 2O 分子。
根据上述信息，完成第 8、9题： &下列关于天然气水合物中两种分子极性的描述正确的是H-l C- 12 N-14 O — 16 Mg — 24 S-32K-39Fe- 56I-127Cl-35.5、选择题（本题共 10分）,每小题2分， 只有一个正确选项，答案涂写在答题纸上。
1. 漂粉精的有效成分是A . Ca (OH ) 2B . Ca (ClO ) 2C . CaCbD . CaCO 32. 美国科学家将两种元素铅和氟的原子核对撞，获得了一种质子数为 元素，该元素原子核内的中子数与核外电子数之差是 118、中子数为175的超重3. A . 57B . 47C . 61D . 293 F 列物质不属于 城市空气质量日报”报道的是 A .二氧化硫B. 氮氧化物C. 二氧化碳D .悬浮颗粒4. F 列分子的电子式书写正确的是A .氨B .四氯化碳 ClC1：C ：C)D .二氧化碳5. F 列科学家中，为我国化学工业作出重大贡献的是A .邓稼先B .李四光C .华罗庚D .侯德榜A .两种都是极性分子B .两种都是非极性分子C. CH4是极性分子，H2O是非极性分子 D . H20是极性分子，CH4是非极性分子9. 若晶体中每8个笼只有6个容纳了CH4分子，另外2个笼被游离H2O分子填充，则天然气水合物的平均组成可表示为A . CH4 •14H2OB . CH4 •8H2O C. CH4 •(23/3)H2O D . CH4 •6H2O10. 标准状况下H2S和O2混合气体100mL，经点燃后反应至完全，所得气体经干燥后，恢复到原来状况时体积为10mL，该10mL气体可能是A . H2S、SO2 B. O2 C. H2S D. SO311 .碱金属与卤素所形成的化合物大都具有的性质是①高沸点②能溶于水②水溶液能导电④低熔点⑤熔融状态不导电A .①②③B .③④⑤C.①④⑤ D .②③⑤12.下列离子在溶液中因发生氧化还原反应而不能大量共存的是A . H3O+> NO3「、FeU Na+B . Ag +> NO3：C「、K+C . K*、Ba2： OH「、SO42一D . Cu"、NH4S Br「、OH一13 .下列反应的离子方程式错误的是A .向碳酸氢钙溶液中加人过量氢氧化钠Ca2+ + 2HCO3「+ 2OH ―CaCO? J + 2出0+ CO32「B. 等体积等物质的量浓度的氢氧化钡溶液与碳酸氢按溶液混合Ba2+ + 2OH「+ NH + + HCO 3^^ BaCO s J+ NH 3 • H2O + H2O+ 2 +C. 氢氧化铝与足量盐酸反应Al (OH ) 3+ 3H T Al + 3H2OD .过量CO2通入氢氧化钠溶液中CO2+ 2OH CO32_+ H2O14 .氯化铁溶液与氢氧化铁胶体具有的共同性质是A. 分散质颗粒直径都在I〜100 nm之间B.能透过半透膜C.加热蒸干、灼烧后都有氧化铁生成D.呈红褐色15 .下列实验中用错试剂的是A. 用稀盐酸清洗做焰色反应的镍铬丝B. 用酒精萃取碘水中的碘C. 用稀硝酸洗去残留在试管壁上的铜D .用碱石灰吸收氨气中的水蒸气16 .设N A为阿佛加德罗常数，下列说法不正确的是A. 标准状况下的22.4L辛烷完全燃烧，生成二氧化碳分子数为8N A22.B. 18g 水中含有的电子数为 10N AC. 46g 二氧化氮和46g 四氧化二氮含有的原子数均为 D .在1L2mol/L 的硝酸镁溶液中含有的硝酸根离子数为A . 2种B . 3种C . 4种D . 5种选择题（本题共20分）,每小题4分，每小题有一个或两个正确选项。
2001年高考全国卷理科数学试题及答案
普通高等学校招生全国统一考试数 学（理工农医类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页。
第II 卷3至9页。
共150分。
考试时间120分钟。
第I 卷（选择题 60分）注意事项：1． 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写 在答题卡上。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式()()[]βαβαβα-++=sin sin 21cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21sin cos()()[]βαβαβα-++=cos cos 21cos cos()()[]βαβαβα--+-=cos cos 21sin sin正棱台、圆台的侧面积公式()l c c S +'=21台侧 其中c '、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长台体的体积公式()h S S S S V +'+'=31台体 其中S '、S 分别表示上、下底面积，h 表示高一、 选择题：本大题共12小题；第每小题5分，共60分。
在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 若0cos sin >θθ，则θ在（A ）第一、二象限 （B ）第一、三象限 （C ）第一、四象限 （D ）第二、四象限 （2）过点()()1,11,1--B A 、且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是 （A ）()()41322=++-y x （B ）()()41322=-++y x（C ）()()41122=-+-y x （D ）()()41122=+++y x（3）设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）6（4）若定义在区间()01，-内的函数()()1log 2+=x x f a 满足0)(>x f ，则a 的取值范围是 （A ）（0，21） （B ）（0，21] （C ）（21，+∞） （D ）（0，+∞） (5)极坐标方程)4sin(2πθρ+=的图形是（A ） （B ） （C ） （D ）（6）函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y （B ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y π （C ）)20)(1arccos(≤≤-=x x y （D ）)20)(1arccos(≤≤-+=x x y π （7）若椭圆经过原点，且焦点为)0,3(),0,1(21F F ，则其离心率为 （A ）43 （B ）32 （C ）21 （D ）41 （8）若40πβα<<<，a =+ααcos sin ，b =+ββcos sin ，则（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab （D ）2>ab（9）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成的角的大小为（A ）60° （B ）90° （C ）105° （D ）75° （10）设)()(x g x f 、都是单调函数，有如下四个命题： ○1若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递增； ○2若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递增； ○3若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)()(x g x f -单调递减； ○4若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)()(x g x f -单调递减； 其中，正确的命题是（A ）○1○3 （B ）○1○4 （C ） ○2○3 （D ）○2○4（11）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：○1单向倾斜；○2双向倾斜；○3四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为321P P P 、、.①② ③若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则（A ）123P P P >>（B ）123P P P =>（C ）123P P P >=（D ）123P P P ==（12）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。
2001年高考数学试题(全国理)及答案
2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)若0cos sin >θθ，则θ在(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4(3)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f (x )= log 2a (x ＋ 1)满足f (x )＞ 0，则 a 的取值范围是 (A)(0，21) (B) (0，21] (C) (21，+∞) (D) (0，+∞)(5)极坐标方程)4sin 2πθρ+=的图形是(6)函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是 (A) )20)(1arccos(≤≤--=x x y(B) )20)(1arccos(≤≤--=x x y π(C) )20)(1arccos(≤≤-=x x y (D) )20)(1arccos(≤≤-+=x x y π(7)若椭圆经过原点，且焦点为F 1(1，0)，F 2(3，0)，则其离心率为 (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8)若b a =+=+<<<ββααπβαcos sin ,cos sin ,40，则(A)a <b(A)a >b(A)ab <1(D)ab >2(9)在正三棱柱ABC －A 1 B 1C 1中，若AB =2BB 1，则AB 与C 1B 所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°(10)设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题：①若f (x )单调速增，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递增; ②若f (x )单调速增，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递增; ③若f (x )单调速减，g (x )单调速增，则f (x )-g (x ))单调递减;④若f (x )单调速减，g (x )单调速减，则f (x )-g (x ))单调递减; 其中，正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P 3>P 2>P 1 (B) P 3>P 2=P 1 (C) P 3=P 2>P 1 (D) P 3=P 2=P 1(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的 路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为(A)26； (B)24； (C)20； (D)19二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．(14)双曲线116922=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF ⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为_________。
2001年高考数学试题及答案(全国文)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．参考公式：三角函数的积化和差公式正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为( )(A) 31+(B) 31-(C) 3-1+1--(D) 3(2) 过点A (1，－1)、B (－1，1)且圆心在直线x＋y－2 = 0上的圆的方程是( )(A) (x－3)2＋(y＋1)2 = 4 (B) (x＋3)2＋(y－1)2 = 4(C) (x－1)2＋(y－1)2 = 4 (D) (x＋1)2＋(y＋1)2 = 4(3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的面积是( )(A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1，0)内的函数f (x) = log2a(x＋1)满足f (x)＞0，则a的取值范围是()(A)(210，)(B) ⎥⎦⎤⎝⎛210，(C) (21，＋∞) (D) (0，＋∞)(5) 已知复数i z 62+=，则z1arg 是 () (A)6π (B)611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是 ()(A)11log 2-=x y ，x ∈(1，2) (B) 11log 2--=x y ，x ∈(1，2) (C) 11log 2-=x y ，(]21，∈x (D) 11log 2--=x y ，(]21，∈x (7) 若椭圆经过原点，且焦点为F 1 (1，0) F 2 (3，0)，则其离心率为 () (A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π，sin α＋cos α = α，sin β＋cos β= b ，则 () (A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若12BB AB =，则AB 1 与C 1B所成的角的大小为()(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x)、g (x)都是单调函数，有如下四个命题：()①若f (x)单调递增，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递增；②若f (x)单调递增，g (x)单调递减，则f (x)－g (x)单调递增；③若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减；④若f (x)单调递减，g (x)单调递增，则f (x)－g (x)单调递减．其中，正确的命题是()(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D)②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则()(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为 ()(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 ．(14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 ．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列，则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2，BC = 6，CD = DA= 4 求四边形ABCD 的面积．(20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2，画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝，画面的上、下各留8cm 空白，左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ (22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1，x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) ·f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫ ⎝⎛21f 及⎪⎭⎫⎝⎛41f ；(Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D（6）A （7）C （8）A （9）B （10）C（11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．16（15）1 （16）（13）15 （14）52n (n－1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算，考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝，则a 1 = a ，a 2 = 4，a 3 = 3a ，S k =2550．由已知有a ＋3a = 2×4，解得首项a 1 = a = 2，公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得()25502212=⋅-+⋅k k k ， 整理得 k 2＋k －2550 = 0， 解得 k = 50，k = －51（舍去）．∴ a = 2，k =50． ——6分（Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1)，∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n ， ——9分∴1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ． ——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M 底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC ，——2分∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯= 41=．——4分（Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ——6分 ∵ AD ∥BC ，BC = 2AD ， ∴ EA = AB = SA ，∴ SE ⊥SB ，∵ SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线，又BC ⊥EB ，∴ BC ⊥面SEB ，故SB 是CS 在面SEB 上的射影，∴ CS ⊥SE ，所以∠BSC是所求二面角的平面角． ——10分∵ 22AB SA SB +=2=，BC =1，BC ⊥SB ， ∴ tg ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ——12分（19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法，考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图，连结BD ，则有四边形ABCD 的面积，C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°，∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理，在△ABD 中，BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cosA ，在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C= 52－48cos C ，——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C∵ cos C = －cos A ， ∴ 64cos A =－32，21cos -=A ，∴ A = 120°， ∴38120sin 16=︒=S ．——12分（20）本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p，0)，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2p my x +=；——4分代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0，若记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是该方程的两个根，所以y 1y 2 = －p 2． ——8分因为BC ∥x 轴，且点c 在准线x = －2p 上，所以点C 的坐标为（－2p，y 2），故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=， 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ． ——12分（21）本小题主要考查建立函数关系式，求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分． 解：设画面高为x cm ，宽为λx cm ，则λ x 2 = 4840． 设纸张面积为S ，有S = (x ＋16) (λ x ＋10) =λx 2＋(16λ＋10)x ＋160，——3分将λ1022=x 代入上式，得)58(10445000λλ++=S ．——6分当λλ58=时，即)185(85<=λ时，S取得最小值． ——8分 此时，高：cm 884840==λx ，宽：cm 558885=⨯=x λ．答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． ——12分（22）本小题主要考查函数的概念、图像，函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)，x 1 x 2∈[0，21]知 =)(x f f (2x) · f (2x)≥0，x ∈[0，1]． ——2分∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2， 2)1(=f ，∴ f(21)212=．——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=， f (21)212=，∴ f(41)412=．——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称， 故 f (x ) = f (1＋1－x )， 即f(x )=f(2－x )，x∈R ． ——11分又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ，x ∈R ，∴f (－x) = f (2－x) ，x∈R，将上式中－x以x代换，得f (x) = f (x＋2)，x∈R．这表明 f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．——14分。
2001年高考数学试题及答案(全国文)
2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至8页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项：1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上．3. 考试结束,监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．(1) tg300°＋ctg405°的值为 ( )(A) 31+(B) 31-(C) 31--(D) 31+-(2) 过点A (1,－1)、B (－1,1)且圆心在直线x ＋y －2 = 0上的圆的方程是 ( )(A) (x －3)2＋(y ＋1)2 = 4(B) (x ＋3)2＋(y －1)2 = 4(C) (x －1)2＋(y －1)2 = 4 (D) (x ＋1)2＋(y ＋1)2 = 4 (3) 若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为3,则这个圆锥的面积是 ( )(A) 3π(B) π33(C) 6π(D) 9π(4) 若定义在区间(－1,0)内的函数f (x ) = log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0,则a 的取值范围是( )(A)(210，) (B) ⎥⎦⎤ ⎝⎛210，(C) (21,＋∞) (D) (0,＋∞)(5) 已知复数i z 62+=,则z 1arg 是( )(A)6π (B) 611π(C)3π (D)35π (6) 函数y = 2－x ＋1(x ＞0)的反函数是( )(A)11log 2-=x y ,x ∈(1,2) (B) 11log 2--=x y ,x ∈(1,2) (C) 11log 2-=x y ,(]21，∈x (D) 11log 2--=x y ,(]21，∈x (7) 若椭圆经过原点,且焦点为F 1 (1,0) F 2 (3,0),则其离心率为 ( )(A)43 (B)32 (C)21 (D)41 (8) 若0＜α＜β＜4π,sin α＋cos α = α,sin β＋cos β= b ,则 ( )(A) a ＜b(B) a ＞b(C) ab ＜1(D) ab ＞2(9) 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,若12BB AB =,则AB 1 与C 1B 所成的角的大小为( )(A) 60°(B) 90°(C) 105°(D) 75°(10) 设f (x )、g (x )都是单调函数,有如下四个命题： ( )① 若f (x )单调递增,g (x )单调递增,则f (x )－g (x )单调递增； ② 若f (x )单调递增,g (x )单调递减,则f (x )－g (x )单调递增； ③ 若f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )－g (x )单调递减；④ 若f (x )单调递减,g (x )单调递增,则f (x )－g (x )单调递减． 其中,正确的命题是 ( )(A) ①③(B) ①④(C) ②③(D) ②④(11) 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则( )(A) P 3＞P 2＞P 1(B) P 3＞P 2 = P 1(C) P 3 = P 2＞P 1(D) P 3 = P 2 = P 1(12) 如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为( )(A) 26(B) 24(C) 20(D) 19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1.第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中．2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．二.填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分．把答案填在题中横线上．(13) (121+x )10的二项展开式中x 3的系数为 ． (14) 双曲线116922=-y x 的两个焦点为F 1、F 2,点P 在双曲线上．若PF 1⊥PF 2,则点P 到x 轴的距离为 ．(15) 设｛a n ｝是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和．若｛S n ｝是等差数列,则q = ．(16) 圆周上有2n 个等分点(n ＞1),以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 __________ ．三.解答题：本大题共6小题,共74分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．(17) (本小题满分12分)已知等差数列前三项为a ,4,3a ,前n 项和为S n ,S k = 2550． (Ⅰ)求a 及k 的值； (Ⅱ)求∞→n lim (++2111S S …nS 1)． (18) (本小题满分12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中,∠ABC = 90°,SA ⊥面ABCD ,SA = AB = BC = 1,21=AD ． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． (19) (本小题满分12分)已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB = 2,BC = 6,CD = DA = 4 求四边形ABCD 的面积． (20) (本小题满分12分)设抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴．证明直线AC 经过原点O ．(21) (本小题满分12分)设计一幅宣传画,要求画面面积为4840cm 2,画面的宽与高的比为λ (λ＜1＝,画面的上、下各留8cm 空白,左、右各留5cm 空白．怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小？(22) (本小题满分14分)设f (x ) 是定义在R 上的偶函数,其图像关于直线x = 1对称．对任意x 1,x 2∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡210，都有f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2)．(Ⅰ)求⎪⎭⎫⎝⎛21f 及⎪⎭⎫ ⎝⎛41f ； (Ⅱ)证明f (x ) 是周期函数；2001年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（文史财经类）参考解答及评分标准说明：一. 本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分．三. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四. 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一.选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分,满分60分．（1）B （2）C （3）A （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A （9）B （10）C （11）D （12）D二.填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分,满分16分． （13）15 （14）516（15）1 （16）2n (n －1)三.解答题：（17）本小题考查数列求和以及极限的基本概念和运算,考查综合分析的能力．满分12分．解：（Ⅰ）设该等差数列为｛a n ｝,则a 1 = a ,a 2 = 4,a 3 = 3a ,S k = 2550．由已知有a ＋3a = 2×4,解得首项a 1 = a = 2,公差d = a 2－a 1= 2． ——2分代入公式()d k k a k S k ⋅-+⋅=211得 ()25502212=⋅-+⋅k k k , 整理得 k 2＋k －2550 = 0, 解得 k = 50,k = －51（舍去）．∴ a = 2,k = 50． ——6分 （Ⅱ）由()d n n a n S n ⋅-+⋅=211得S n = n (n ＋1),∴()1132121111121++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++n n S S S n)111()3121()2111(+-+⋅⋅⋅+-+-=n n111+-=n , ——9分 ∴ 1)111(lim )111(lim 21=+-=+⋅⋅⋅++∞→∞→n S S S n n n ． ——12分（18）本小题考查线面关系和棱锥体积计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分．解：（Ⅰ）直角梯形ABCD 的面积是M底面()43125.0121=⨯+=⋅+=AB AD BC , ——2分 ∴ 四棱锥S —ABCD 的体积是⨯⨯=SA V 31M 底面43131⨯⨯= 41=． ——4分 （Ⅱ）延长BA 、CD 相交于点E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱． ——6分∵ AD ∥BC ,BC = 2AD , ∴ EA = AB = SA ,∴ SE ⊥SB ,∵ SA ⊥面ABCD ,得面SEB ⊥面EBC ,EB 是交线,又BC ⊥EB ,∴ BC ⊥面SEB ,故SB 是CS 在面SEB 上的射影,∴ CS ⊥SE ,所以∠BSC 是所求二面角的平面角． ——10分 ∵ 22AB SA SB +=2=,BC =1,BC ⊥SB ,∴ tg ∠BSC =22=SB BC ． 即所求二面角的正切值为22． ——12分 （19）本小题考查三角函数的基础知识以及运用三角形面积公式及余弦定理解三角形的方法,考查运用知识分析问题、解决问题的能力．满分12分．解：如图,连结BD ,则有四边形ABCD 的面积,C CD BC A AD AB S S S CDB ABD sin 21sin 21⋅+⋅=+=∆∆． ∵ A ＋C = 180°,∴ sin A = sin C ． ∴ ()A CD BC AD AB S sin 21⋅+⋅=()A A sin 16sin 464221=⨯+⨯=． ——6分由余弦定理,在△ABD 中,BD 2 = AB 2＋AD 2－2AB · AD cos A =22+42－2×2×4cos A = 20－16cos A , 在△CDB 中BD 2 = CB 2＋CD 2－2CB · CD cos C = 62＋42－2×6×4cos C = 52－48cos C ,——9分∴ 20－16cos A = 52－48cos C ∵ cos C = －cos A , ∴ 64cos A =－32,21cos -=A ,∴ A = 120°,∴ 38120sin 16=︒=S ． ——12分 （20）本小题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力．满分12分．证明：因为抛物线y 2 =2px (p ＞0)的焦点为F (2p,0),所以经过点F 的直线AB 的方程可设为2pmy x +=； ——4分 代入抛物线方程得y 2 －2pmy －p 2 = 0,若记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1,y 2是该方程的两个根,所以y 1y 2 = －p 2． ——8分 因为BC ∥x 轴,且点c 在准线x = －2p 上,所以点C 的坐标为（－2p,y 2）,故直线CO 的斜率为111222x y y p p y k ==-=, 即k 也是直线OA 的斜率,所以直线AC 经过原点O ． ——12分 （21）本小题主要考查建立函数关系式,求函数最小值的方法和运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λ x 2 = 4840． 设纸张面积为S ,有S = (x ＋16) (λ x ＋10)= λ x 2＋(16λ＋10) x ＋160, ——3分将λ1022=x 代入上式,得)58(10445000λλ++=S ． ——6分当λλ58=时,即)185(85<=λ时,S 取得最小值． ——8分 此时,高：cm 884840==λx ,宽：cm 558885=⨯=x λ． 答：画面高为88cm,宽为55cm 时,能使所用纸张面积最小． ——12分 （22）本小题主要考查函数的概念、图像,函数的奇偶性和周期性等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力．满分14分．(Ⅰ)解：由f (x 1＋x 2) = f (x 1) · f (x 2),x 1 x 2∈[0,21]知=)(x f f (2x ) · f (2x )≥0,x ∈[0,1]． ——2分 ∵ =)1(f f (2121+) = f (21) · f (21) = [f (21)]2,2)1(=f ,∴ f (21)212=． ——5分∵ f (21)2)]41([)41()41()4141(f f f f =⋅=+=,f (21)212=,∴ f (41)412=． ——8分（Ⅱ）证明：依题设y = f (x )关于直线x = 1对称, 故 f (x ) = f (1＋1－x ),即f (x ) = f (2－x ),x ∈R ． ——11分 又由f (x )是偶函数知f (－x ) = f (x ) ,x ∈R , ∴ f (－x ) = f (2－x ) ,x ∈R , 将上式中－x 以x 代换,得f (x ) = f (x ＋2),x ∈R ．这表明f (x )是R 上的周期函数,且2是它的一个周期． ——14分。
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类及答案
2001年高考数学试卷 (江西、山西、天津卷)理科类第Ⅰ卷 (选择题共60分)参考公式： 正棱锥、圆锥的侧面积公式 如果事件A 、B 互斥，那么 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中发生的 概率是P ，那么n 次独立重复试 验中恰好发生k 次的概率 k n k k n n P P C k P --=)1()(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）函数)32sin(3π+=xy 的周期、振幅依次是（A ）4π、3（B ）4π、－3（C ）π、3（D ）π、－3（2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，且,2n S n =则}{n a 是（A ）等比数列，但不是等差数列 （B ）等差数列，但不是等比数列 （C ）等差数列，而且也是等比数列（D ）既非等比数列又非等差数列（3）过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x +y-2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x （B ）4)1()3(22=-++y x （C ）4)1()1(22=-+-y x（D ）4)1()1(22=+++y x（4）若定义在区间（-1，0）内的函数a x f x x f a 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）]21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5）若向量a =（1，1），b =（1，－1），c =（－1，2），则c=（A ）21-a +23b （B ）21a －23b （C ）23a 21-b （D ）－23a 21+b（6）若A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA|=|PB|．若直线PA 的方程为 01=+-y x ，则直线PB 的方程是cl S 21=锥侧其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长. 棱锥、圆锥的体积公式 sh V 31=锥体其中s 表示底面积，h 表示高.（C ）042=--x y （D ）072=-+y x（7）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a <（B ）b a >（C ）1<ab（D ）2>ab（8）函数331x x y -+=有（A ）极小值－1，极大值1 （B ）极小值－2，极大值3 （C ）极小值－2，极大值2（D ）极小值－1，极大值3（9）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分， 一球队打完15场，积33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种（10）设坐标原点为O ，抛物线x y 22=与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅（A ）43 （B ）－43 （C ）3 （D ）－3（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜。
2001年高考试题——数学文(全国卷)及答案
绝密★启用前2001年普通高等学校招生全国统一考试数学(文史财经类)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页。
共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)注意事项:1．答第Ⅰ卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3．考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：三角函数的积化和差公式 正棱台、圆台的侧面积公式一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）tg300°+ctg405°的值为（A ）1+3（B ）1－3（C ）―1―3（D ）－1+3（2）过点A （1，―1）、B （―1，1）且圆心在直线x +y ―2=0上的圆的方程是（A ）4)1()3(22=++-y x（B ）4)1()3(22=-++y x（C ）4)1()1(22=-+-y x （D ）4)1()1(22=+++y x（3） 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是 （A ）3π （B ）33π （C ）6π （D ）9π （4） 若定义在区间（―1，0）内的函数a x f x x f 则满足,0)()1(log )(2>+=的取值范围是（A ）)21,0(（B ）)21,0(（C ）),21(+∞（D ）),0(+∞（5） 已知复数是则zi z 1arg ,62+=6π （B ）611π （C ）3π（D ）35π（6）函数)0(121>+-=-x y 的反函数是)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=⋅ )]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=⋅)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=⋅)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=⋅l c c S )(21+'=台侧 其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜 高或母线长. 台体的体积公式h s s s s V )(31+'+'=台体 其中s ′、s 分别表示上、下底面的面积，h 表示高.（A ）)2,1(,11log 2∈-=x x y（B ）)2,1(,11log 2∈--=x x y（C ）(]2,1,11log 2∈-=x x y（D ）(]2,1,11log 2∈--=x x y（7）若椭圆经过原点，且焦点为F 1（1，0），F 2（3，0），则其离心率为（A ）43（B ）32（C ）21（D ）41（8）若则,cos sin ,cos sin ,40b a =+=+<<<ββααπβα（A ）b a < （B ）b a > （C ）1<ab（D ）2>ab （9）在正三棱柱所成的角的大小为与则若中B C AB BB AB C B A ABC 111111,2,=-（A ）60°（B ）90°（C ）105°（D ）75°（10） 设)(),(x g x f 都是单调函数，有如下四个命题：①若;)()(,)(,)(单调递增则单调递增单调递增x g x f x g x f - ②若;)()(,)(,)(单调递增则单调递减单调递增x g x f x g x f - ③若;)()(,)(,)(单调递减则单调递增单调递增x g x f x g x f - ④若;)()(,)(,)(单调递减则单调递减单调递减x g x f x g x f - 其中,正确的命题是 （A ）①③（B ）①④（C ）②③（D ）②④（11）一间平房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜;②双向倾斜;③四向倾斜三种盖 法屋顶面积分别为P 1、P 2、P 3若屋顶斜面与水平面所成的角都是α,则（A ）P 3＞P 2＞P 1 （B ）P 3＞P 2＝P 1 （C ）P 3＝P 2＞P 1 （D ）P 3＝P 2＝P 1 （12） 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（A ）26（B ） （C ）20（D ）19第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项:1．第Ⅱ卷共6页,用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。