2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)期末数学试卷(理科)

2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合2{|230}A x x x =--<，{|20}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(1,2)- B ．(2,3)C ．(3,1)--D ．(,2)-∞2．（5分）复数31iz i-=+的模||(z = ) A ．1B ．2C ．2D ．53．（5分）某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是( )A ．P 产品的销售额极差较大B ．P 产品销售额的中位数较大C ．Q 产品的销售额平均值较大D ．Q 产品的销售额波动较小4．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．245．（5分）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<6．（5分）若sin 2cos αα=，则2cos sin 2(αα+= )A ．125B ．95C ．1D ．457．（5分）已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角为( ) A ．6π B ．3π C ．23πD ．56π8．（5分）设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列命题错误．．的是( ) A ．如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥ B ．如果//αβ，m α⊂，那么//m β C ．如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥ D ．如果α内有两条相交直线与β平行，那么//αβ9．（5分）甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为( ) A ．316B ．14 C ．38D ．1210．（5分）下列函数中，其图象与函数y lgx =的图象关于点(1,0)对称的是( ) A ．(1)y lg x =- B ．(2)y lg x =-C ．0.1log (1)y x =-D ．0.1log (2)y x =-11．（5分）关于函数()|sin |sin ||f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间(2π-，0)单调递减③()f x 在[π-，]π有4个零点④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①③④D ．①④12．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若||8AB =，则(p = ) A ．12B ．1C ．2D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()f x 在R 单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f x f x ++-<的x 的取值范围为 ．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c --，则A = ．15．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的渐近线方程为 ． 16．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，3AB =，异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为310，则1AA = ，球O 的表面积为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=g ． （1）证明：数列1{}nS 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以x （单位：t ，100150)x 剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100x ∈，110))则取105x =，且105x =的概率等于需求量落入[100，110)的频率，求T 的数学期望．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．20．（12分）已知圆221:270O x y x +--=，动圆2O 过定点(1,0)F -且与圆1O 相切，圆心2O 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设斜率为1的直线l 交C 于M ，N 两点，交y 轴于D 点，y 轴交C 于A ，B 两点，若||||||||DM DN DA DB λ=g g ，求实数λ的值．21．（12分）已知函数1()1xf x lnx x+=+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：在(1,)+∞上存在唯一的0x ，使得曲线y lnx =在0x x =处的切线l 也是曲线x y e =的切线．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=． （1）写出直线l 的参数方程(α为常数）和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与C 交于A 、B 两点，且||||40MA MB =g ，求倾斜角α的值． [选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知0a >，0b >．（1）证明：3322a b a b ab ++…； （2）若2a b +=，求33a b +的最小值．2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合2{|230}A x x x =--<，{|20}B x x =-<，则(A B =I ) A ．(1,2)-B ．(2,3)C ．(3,1)--D ．(,2)-∞【解答】解：{|13}A x x =-<<Q ，{|2}B x x =<， (1,2)A B ∴=-I ．故选：A ． 2．（5分）复数31iz i-=+的模||(z = ) A ．1B ．2C ．2D ．5【解答】解：31iz i-=+Q ， 3|3|10||||51|1|2i i z i i --∴====++． 故选：D ．3．（5分）某商家统计了去年P ，Q 两种产品的月销售额（单位：万元），绘制了月销售额的雷达图，图中A 点表示P 产品2月份销售额约为20万元，B 点表示Q 产品9月份销售额约为25万元．根据图中信息，下面统计结论错误的是( )A ．P 产品的销售额极差较大B ．P 产品销售额的中位数较大C ．Q 产品的销售额平均值较大D ．Q 产品的销售额波动较小【解答】解：根据图象可以看见P 产品的销售额波动较大，故D 对；P 产品的销售额极差更大，故A 对；Q 产品的销售额基本维持在25万元向上，而P 销售额相对较低且波动大，则Q 销售额平均值更大，故C 对， 故选：B ．4．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．24【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．5．（5分）设0.60.6a =， 1.50.6b =，0.61.5c =，则a ，b ，c 的大小关系( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【解答】解：函数0.6x y =为减函数； 故0.6 1.50.60.6a b =>=，函数0.6y x =在(0,)+∞上为增函数； 故0.60.60.6 1.5a c =<=， 故b a c <<， 故选：C ．6．（5分）若sin 2cos αα=，则2cos sin 2(αα+= ) A ．125 B ．95C ．1D ．45【解答】解：sin 2cos αα=，故tan 2α=，所以22222cos 2sin cos 12tan cos sin 21sin cos 1tan ααααααααα+++===++，故选：C ．7．（5分）已知非零向量a r ，b r 满足||2||a b =r r ，且()a b b -⊥r r r ，则a r与b r 的夹角为( )A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【解答】解：()a b b -⊥rr r Q ， ∴2()a b b a b b -=-r rrrrr gg 2||||cos ,0a b a b b =<>-=u u u r u u r rr r ， ∴2||cos ,||||b a b a b <>=u u r r ru u u r u u r 22||122||b b ==u u r u u r ，Q ,[0,]a b π<>∈rr ，∴,3a b π<>=rr ．故选：B ．8．（5分）设α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，下列命题错误．．的是( ) A ．如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥ B ．如果//αβ，m α⊂，那么//m β C ．如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥ D ．如果α内有两条相交直线与β平行，那么//αβ【解答】解：m α⊥，//n α，那么m n ⊥，满足直线与平面垂直的性质，所以A 正确；//αβ，m α⊂，那么//m β，满足两个平面平行的性质定理，所以B 正确；如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥，α、β也可能相交，也可能平行，所以C 不正确；如果α内有两条相交直线与β平行，那么//αβ，满足两个平面平行的判断定理，所以D 正确． 故选：C ．9．（5分）甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，则最后甲队以3:1获胜的概率为( ) A ．316B ．14 C ．38D ．12【解答】解：甲乙两队进行排球决赛，赛制为5局3胜制，若甲乙两队水平相当，最后甲队以3:1获胜由指前3局比赛中甲两胜一负，第4局比赛甲胜，∴最后甲队以3:1获胜的概率为：2231113()()()22216P C ==．故选：A ．10．（5分）下列函数中，其图象与函数y lgx =的图象关于点(1,0)对称的是( ) A ．(1)y lg x =- B ．(2)y lg x =-C ．0.1log (1)y x =-D ．0.1log (2)y x =-【解答】解：设所求函数图象上任意一点(,)P x y ，则(,)P x y 关于(1,0)对称的点(2,)x y --在y lgx =上，即(2)y lg x -=-，所以0.1(2)log (2)y lg x x =--=- 故选：D ．11．（5分）关于函数()|sin |sin ||f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数②()f x 在区间(2π-，0)单调递减③()f x 在[π-，]π有4个零点④()f x 的最大值为2 其中所有正确结论的编号是( ) A ．①②④B ．②④C ．①③④D ．①④【解答】解：()sin |||sin()|sin |||sin |()f x x x x x f x -=-+-=+=则函数()f x 是偶函数，故①正确， 当(2x π∈-，0)时，sin ||sin x x =-，|sin |sin x x =-，则()sin sin 2sin f x x x x =--=-为减函数，故②正确，当0x π剟时，()sin |||sin |sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=， 由()0f x =得2sin 0x =得0x =或x π=，由()f x 是偶函数，得在[π-，)π上还有一个零点x π=-，即函数()f x 在[π-，]π有3个零点，故③错误，当sin ||1x =，|sin |1x =时，()f x 取得最大值2，故④正确， 故正确是①②④， 故选：A ．12．（5分）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与C 交于A ，B 两点，若||8AB =，则(p = ) A ．12B ．1C ．2D ．4【解答】解：由题可知(2p F ，0)，则该直线AB 的方程为：2p y x =-， 代入22y px =，化简可得22304p x px -+=．设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有123x x p +=． ||8AB =Q ，∴有128x x p ++=，解得2p =，故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()f x 在R 单调递减，且为奇函数，则满足(1)(3)0f x f x ++-<的x 的取值范围为 (1,)+∞ ．【解答】解：()f x 在R 单调递减，且为奇函数，则由(1)(3)0f x f x ++-<可得(1)(3)(3)f x f x f x +<--=-， 则有13x x +>-， 解可得，1x >， 故答案为：(1,)+∞．14．（5分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c --，则A = 34π．【解答】解：ABC ∆Q 的面积为2221sin 42a b c bc A --=，又2222cos a b c bc A =+-，可得2222cos a b c bc A --=-，∴2cos 1sin 42bc A bc A -=，可得cos sin A A -=，即tan 1A =-， (0,)A π∈Q ，34A π∴=． 故答案为：34π． 15．（5分）设F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点，若||||PQ OF =，则C 的渐近线方程为 y x =± ． 【解答】解：如图，以OF 为直径的圆的方程为220x y cx +-=， 又圆O 的方程为222x y a +=，PQ ∴所在直线方程为2a x c=．把2a x c =代入222x y a +=，得2ab PQ c=，再由||||PQ OF =，得2abc c=，即222ab a b =+，a b ∴=，解得双曲线的渐近线方程为：y x =±．故答案为：y x =±．16．（5分）已知正三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的表面上，3AB =，异面直线1AC 与BC 所成角的余弦值为310，则1AA = 4 ，球O 的表面积为 ． 【解答】解：由题意11//BC B C ，所以11AC B ∠为异面直线1AC 与BC 所成角，设1AA b =，在三角形11AC B 中，11AB AC =，取11B C 的中点Q，111111132cos 210B C AC B AC ∠===，所以4b =；外接球的球心为过底面外接圆的圆心做底面的垂线与中截面的交点， 设外接球的半径为R ，底面半径为r ，则222()2bR r =+，因为底面为等边三角形， 所以32sin3r π=，即r =，所以2347R =+=，所以球O 的表面积为4728ππ=g ； 故答案分别为：4，28π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=g ． （1）证明：数列1{}nS 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．【解答】解：（1）因为11n n n a S S ++=-，所以11n n n n S S S S ++-=g ． 两边同除以1n n S S +g 得1111Sn Sn-=-+． 因为11a =-，所以111S =-． 因此数列1{}Sn是首项为1-，公差为1-的等差数列． （2）由（1）得11(1)(1)n n Sn =-+--=-，1n S n=-． 当2n …时，11(1)n n n a S S n n -==-g ．于是1(1)n a n n =-（首项不符合通项），故1(1)1(2)(1)n n a n n n -=⎧⎪=⎨⎪-⎩…．18．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品．以x （单位：t ，100150)x 剟表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T 表示为x 的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若[100x ∈，110))则取105x =，且105x =的概率等于需求量落入[100，110)的频率，求T 的数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当[100x ∈，130)时，500300(130)80039000T x x x =--=-， 当[130x ∈，150)时，50013065000T =⨯=， 80039000,[100,130)65000,[130,150]x x T x -∈⎧∴=⎨∈⎩．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x 剟． 由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7． （Ⅲ）依题意可得T 的分布列如图，T 45000 53000 61000 65000 p0.10.20.30.4所以450000.1530000.2610000.3650000.459400ET =⨯+⨯+⨯+⨯=．19．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30︒，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接BO ， 22AB BC ==Q O 是AC 的中点，BO AC ∴⊥，且2BO =，又4PA PC PB AC ====，PO AC ∴⊥，23PO =则222PB PO BO =+， 则PO OB ⊥， OB AC O =Q I ，PO ∴⊥平面ABC ；（2）建立以O 坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x ，y ，z 轴的空间直角坐标系如图： (0A ，2-，0)，(0P ，0，23)，(0C ，2，0)，(2B ，0，0)，(2BC =-u u u r，2，0)，设(2BM BC λλ==-u u u u r u u u r，2λ，0)，01λ<<则(2AM BM BA λ=-=-u u u u r u u u u r u u u r，2λ，0)(2--，2-，0)(22λ=-，22λ+，0)， 则平面PAC 的法向量为(1m =r，0，0)， 设平面MPA 的法向量为(n x =r，y ，)z ， 则(0PA =u u u r，2-，3)-，则2230n PA y z =--=u u u r r g ，(22)(22)0n AM x y λλ=-++=u u u ur r g令1z =，则3y =-(1)3x λ+，即(1)3(nλ+=r，3-，1)，Q二面角M PA C--为30︒，3cos30|||||m nm n∴︒==r rgr r，即2(1)3311(3)1311λλλλ+-=+++-g g，解得13λ=或3λ=（舍)，则平面MPA的法向量(23n=r，3-，1)，(0PC=u u u r，2，23)-，PC与平面PAM所成角的正弦值sin|cos PCθ=<u u u r，2323433|||1616n-->===rg．20．（12分）已知圆221:270O x y x+--=，动圆2O过定点(1,0)F-且与圆1O相切，圆心2O 的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设斜率为1的直线l交C于M，N两点，交y轴于D点，y轴交C于A，B两点，若||||||||DM DN DA DBλ=g g，求实数λ的值．【解答】解：（1）圆1O的圆心为(1,0)，半径为22F在圆1O内，故圆2O与圆1O相内切．设圆2O的半径为r，则2||O F r=，21||22O O r=，从而212||||22O O O F+=．因为||2FF '=<C 是以点F (1,0)-，(1,0)F '为焦点的椭圆．由a =1c =，得1b =，故C 的方程为2212x y +=．（2）设:l y x t =+，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则(0,)D t ，1|||DM x，2|||DN x ． y x t =+与2212x y +=联立得2234220x tx t ++-=．当△28(3)0t =-…时，即t 212223t x x -=-．所以2124|1|||||2||3t DM DN x x -==g ． 由（1）得(0,1)A -，(0,1)A ，所以2|||||1||1||1|DA DB t t t =+-=-gg ． 等式||||||||DM DN DA DB λ=g g 可化为224|1||1|3t t λ-=-．当t 1t ≠±时，43λ=． 当1t =±时，λ可以取任意实数． 综上，实数λ的值为43． 21．（12分）已知函数1()1xf x lnx x+=+-． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：在(1,)+∞上存在唯一的0x ，使得曲线y lnx =在0x x =处的切线l 也是曲线x y e =的切线．【解答】解：（1）f ()x 定义域为(0，1)(1⋃，)+∞，221()0(1)x f x x x +'=>-．因此f ()x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递增． （2）曲线在y lnx =在0x x =处切线l 的方程为01y x = 01x lnx +-． 设l 与曲线x y e =相切于点1(x ，1)x e ，则消去1x 得00101x lnx x ++=-，即f 0()0x =． 于是当且仅当0x 是f ()x 的零点时，l 是曲线x y e =的切线．因为f （e ）121011e e e+=+=<--，f 2223()01e e e -=>-，f ()x 在(1,)+∞单调递增， 所以f ()x 在(1,)+∞上存在唯一零点．所以在(1,)+∞上存在唯一的0x ，使得曲线y lnx =在0x x =处的切线l 也是曲线x y e =的切线． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=． （1）写出直线l 的参数方程(α为常数）和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与C 交于A 、B 两点，且||||40MA MB =g ，求倾斜角α的值． 【解答】解：（1）Q 倾斜角为α的直线l 过点(2,4)M --，∴直线l 的参数方程是2cos 4sin x t y t αα=-+⎧⎨=-+⎩，(t 是参数），Q 曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，∴曲线C 的直角坐标方程是：22y x =；（2）把直线的参数方程代入22y x =，得22sin (2cos 8sin )200t t ααα-++=，1222cos 8sin sin t t ααα+∴+=，12220sin t t α=， 根据直线参数的几何意义12220||||||40sin MA MB t t α===， 故4πα=或34πα=， 又Q △22(2cos 8sin )80sin 0ααα=+->， 故4πα=．[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知0a >，0b >． （1）证明：3322a b a b ab ++…； （2）若2a b +=，求33a b +的最小值．【解答】解：（1）33222a b a b ab a +--= 2()a b b -+ ()b a -222()()()()a b a b a b a b =--=-+．0a >Q ，0b >，0a b ∴+>，2()0a b -…， 2()()0a b a b ∴-+…． 于是3322a b a b ab ++…．（2）2a b +=Q ，3322()()a b a b a ab b ∴+=+-+2222()2[()3]86a ab b a b ab ab =-+=+-=-．2()12a b ab +=Q „，当且仅当1a b ==等号成立， 862ab ∴-…．故当1a b ==时，33a b +取最小值2．。