流体力学第三次作业及答案

故涡量为： i j k 涡线方程为：
dx dy dz ，即 x y z
dx dy 1 1 dy dz 1 1
积分得：
x y C1 y z C2
设 x y z 1 平面的单位法线矢量为 n (l , m, n) ， F ( x, y, z) x y z 1 0 ，则：
Cr n
其中 C 为常数，不失一般性可令 C 1 ，则在极坐标系中，速度分布为：
vr 0,
则涡量
v r r n1
v v 1 vr (n 1)r n r n r n (n 2) r r r 显然若要 0 ，须有 n 2 0 ，即 n 2
证：由涡量定义 V x i y j z k
x y z
即：
w v 2 k 2 y y z c 2k 2 ( x 2 y 2 ) u w 2k 2 x z x c 2k 2 ( x 2 y 2 ) v u k k 2k x y
F 1, x
F 1, y
F 1 z
l
F x F F F x y z
2 2 2

1 3 3
同理： m n
1 3 3 n dS (i j k ) (i j k ) 1 3 3 3
5.5 试证明理想正压流体在有势力作用下产生运动时， 如速度场 V 在某一时刻为无旋， 则加 速度场
V 在任何时刻为无旋，并由此直接推出旋涡的不生不灭定理。 t
证：Euler 方程
V 1 (V )V F P t
其中： (V )V (
V2 ) V 2 1
倍。
u y,
v x
试求： （1） 绕半径为 R 的圆周的速度环量 及穿过该圆的涡通量； （2） 绕封闭曲线 abcd（见 附图）一周的速度环量以及穿过该封闭曲线所围面积的涡通量。

题 5.4 图
解：这是一平面流动，涡量为一标量

v u 2 const x y
当流场中一流体小球固定时，它将绕自身的轴线旋转，转速为：
0
1 2
n2 n n2 r 2 2
5.8 在 (1, 0) ， (0,1) ， (1, 0) ， (0, 1) 四点分别置有强度为 的点涡，试求这四个点涡的 运动轨迹。




题 5.8 图 解：由于对称性，只需考虑其中任一点涡的运动即可。今以点涡 A 为例，其诱导速度 由 B ， C ， D 三个点涡引起。
它与坐标系的选择无关。在极坐标系中所给速度分布为：
vr u cos v sin r sin cos r cos sin 0 v u sin v cos r sin 2 r cos 2 r
（1）绕半径为 R 的圆周的速度环量
VBA
2 2 2 2 2 2 2 2
VDA
VCA
因而 A 点的速度的两个分量为：
2 2 4 3 4 2 4
u A 0,
2 2 vA VCA VBA VDA
由于对称性，显然原点即为四个点涡的重心，它是一个不动点，故点涡 A 将绕原点转动， 转速为
5.1 已知一流动的速度场为
u y 2 z,
v z 2 x,
w x 2y
2
试求： （1）涡量场以及涡线方程； （2）在 x y z 1 平面上横截面 dS 0.0001m 的涡管 强度。 解：设涡量的三个分量为 x , y , z ，则
w v 2 1 1 y z u w y 2 1 1 z x v u z 2 1 1 x y x
故涡管强度为：
n dS 0.0001 3 0.000173m2 / s
5.3 试证明由下面速度场
u ky,
v kx,
w c 2k 2 ( x 2 y 2 )
所表示的运动中， 涡量矢量与速度矢量的方向相同， 并求出涡量与速度之间的数量关系 （式 中 k , c 为常数） 。
若考虑涡环将沿 z 轴匀速向下滑动，则 M 点的诱导速度将不断减小。
dw ad sin 4 (a 2 z 2 ) ad a 2 2 2 4 (a z ) a z 2
整个环形涡对 M 点的诱导速度为：
a 2 d 4 (a 2 z 2 )3/ 2
w
dw
2
0
a 2 a 2 d 4 (a 2 z 2 )3/ 2 2(a 2 z 2 )3/ 2
V 。 )t 亦为无旋（因它有势） t 1
对于时刻 t1 之后不久的另一时刻 t 2 ，其速度 V 可展开为：
Vt2 Vt1 (
V 2V (t t )2 )t1 (t2 t1 ) ( 2 )t1 2 1 t t 2
如 t t2 t1 足够小，则可忽略高阶项，即

题 5.9 图 解：取对称轴为 z 轴，方向垂直向上，并取涡环中心为坐标原点，如图：
在圆环涡线上取一微元涡线 ds ，其对 z 轴上 M 点的诱导速度为
dV
其模为： dV
ds dr 4 r 3
ad ad 2 4 r 4 (a 2 z 2 )
dV 在 z 轴的投影为：
r R v rd R 2 d 2 R 2
0 0
2
2
由 Stokes 定理，涡通量为
n d r R 2 R 2

（2）对于封闭曲线 abcd ，因 2 const ，故涡通量
2 R dR d abcd

故在极坐标系中， A 点的运动方程为
vA 3 3 r 4 1 4 3 t 4
rA 1, A
同理：
3 t 4 2 3 rC 1, C t 4 3 3 rD 1, D t 4 2 rB 1, B
5.9 设有一半径为 a ，强度为 的圆环形涡线，试求此圆环在对称轴线上的诱导速度。
如质量力有势，即 F U ，流体正压，即

P ，则 Euler 方程可变形为：
V V2 ( U ) V t 2
假定速度场 V 在某一时刻 t t1 为无旋，则
(
V V2 )t1 ( U ) V t 2
可见在该时刻 (
Vt2 Vt1 (
V )t (t2 t1 ) t 1
因 Vt1 ， (
V )t 皆无旋，故 Vt2 亦无旋，依次类推，可证 Vt3 ， Vt4 ……为无旋。 t 1
5.6 设液体中的每一质点绕一固定轴作匀速圆周运动， 且其角速度与至该轴距离的 n 次幂成 正比，试证明只有当 n 2 时运动才是无旋的。 证：设旋转角速度为 ，则根据题意有

2k c 2k ( x y )
2 2 2
(kyi kxj c 2k 2 ( x 2 y 2 )k ) V
2k Biblioteka Baidu 2k 2 ( x 2 y 2 )
可见，涡量矢量 与速度矢量 V 同向，它们相差 5.4 已知流动的速度分布为
2k c 2k 2 ( x 2 y 2 )