人教版数学八年级上册平方差公式 课件
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14.2.1 平方差公式 初中数学人教版八年级上册课件
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
√ (1)(2x 3a)(2x 3a) 4x2 9a2
×(2)(2a 3b)(2a 3b) 4a42a29b62ab 6ab 9b2
4a2 12ab 9b2
×(3)(x 2)(x 2) x2 2 (x 2)(x 2) x2 22 x2 4
1002 22 10000 4 9996
4、先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2 ＝5x2－5y2.
当x＝1，y＝2时，
原式＝5×12－5×22＝－15.
今天我们收获了哪些知识？
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到形式相 同的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果。
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
(1)(x 1)(x 1) ___x_2__1__; x2 － 12
(2)(m 2)(m 2) _m_2___4___; m2－22
(3)(2x 1)(2x 1) __4_x_2__1__ . (2x)2 － 12
1.说一说乘法的平方差公式？ 符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
2.应用平方差公式时要注意什么？
紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项 式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的， 可能要经过变形才可以应用.
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( C ) A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；
14.2.1 平方差公式 初中数学人教版八年级上册教学课件(共26张PPT)
(a+b) ( a - b) = a2 - b2 解：（2） (-x+2y)(-x-2y) = ( -x)2 - ( 2y)2 = x2 - 4y2
例题练习
计算： (1) ( y+2)( y-2 ) - ( y-1 )( y+5 )
(2) 102×98
分析：（1）中前半部分符合 平方差公式的条件，可以运 用公式简化运算. 后半部分的 运算仍按乘法法则进行.
探究新知 你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
a a
b
(a-b)
b
(a+b)
(a + b)(a − b) = a2 − b2.
a b
(a+b)
(a-b) b b a
例题练习 运用平方差公式计算： (1) (3x＋2)(3x－2)
(2) (－x＋2y)(－x－2y).
分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，把 2 看成 b， 即 (3x+2)(3x-2)= ( 3x)2 - 22
a和b可以是数 字、单项式或 多项式等
文字说明：两个数的_和__与这两个数的_差__的积，等 于这两个数的_平__方__差_ .
结构特点：左边：a符号相同，b符号相反. 右边：符号相同项 a 的平方减去 符号相反项 b 的平方.
探究新知
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
(a+b)
a b
(a-b) b b a
（4） (a 1)(a 1) a2 1 .
解析：（1） a2 b2 a ba b ∵ a b 2 , a b 3，∴ a2 b2 a ba b 23 6 （2） x2 y2 x y x y
∵ x2 y2 12 ， x y 4 ，∴ x y 3 （3）原式 (1)2 (2a)2 1 4a2 （4） (a 1)(a 1) a2 1
人教版数学八年级上册+因式分解(2)——公式法(平方差公式)课件
－b2＝(a＋b)·(a－b)．
(3)4x2 － 1 ＝ ( 2x )2 － (
(2x＋1)(2x－1)
______________；
3．因式分解与整式乘法的关系：
(4)25 － 4m2 ＝ (
a2－b2
(5＋2m)(5－2m)
_________________.
(a＋b)(a－b)
1
)2 ＝
5 )2 － ( 2m )2 ＝
1
024，y＝
，求(x＋y)2－(x－y)2的值．
2 024
解：(x＋y)2－(x－y)2＝[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝4xy.
当x＝2
1
024，y＝
时，原式＝4×2
2 024
1
024×
＝4.
2 024
因式分解(2)——公式法(平方差公式)
预习导学
1.如果把乘法公式反过来，就可
以把某些多项式因式分解，这种
方法叫公式法.
将下列各式因式分解：
(a＋x)(a－x)
(1)a2－x2＝____________；
(x＋3)(x－3)
(2)x2－9＝x2－( 3 )2＝____________；
2．运用平方差公式因式分解：a2
课堂导学
知识点1
直接运用公式因式分解
【例1】将下列各式因式分解．
(3m＋2n)(3m－2n)
(1)9m2－4n2＝(3m)2－(2n)2＝__________________；
2－62
2
2
(xy)
(xy＋6)(xy－6)
(2)x y －36＝__________＝________________；
14.2.1+平方差公式+课件+2024—2025学年人教版数学八年级上册
五、练习小测
运用平方差公式计算下面各题。
（1） (a+3b)(a-3b) （2） (3+2a)(-3+2a) （3） 51×49 （4） （3X+4)(3X-4)-(2X+3)(3X-2)
六、应用思考
你能根据图中的阴影面积说明平方差公式吗？
a米
b米
a米
b米
相等吗？
(a-b)
七、问题解决
学校设计花园，起初被设计为边长为a米的正方形，后铅球场 地原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米。 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？如果不 相等，相差多少？
（(3x-x＋+22y)(3-xx-－2y2)。) ； 解解：： ＝=(3(-xx))22－-(22y2)2
＝=9xx22－- 44y；2.
练习：第108页的第1题
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x+2)(x-2)=x²-2
(-3a-2)(-3a-2)=(-3a)²-2²=9a²-4
设计修改为：北边往南平移x(x≤a)米，而西边往西平移x米。 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a的圆的面积，正六边形的面积。由此你有什么新的 发现？
四、巩固新知
例2计算: (1)102×98
小 贴
尝试用上平方差公
士 式进行变形计算。
(2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5)
解: =（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4 =9996
初中数学教学课件：14.2.1平方差公式(人教版八年级上)
(1) (x+1)(x－1)；
x2 1
(1)(3) (3－x)(3+x) ；
9 x2
(2) (a+2)(a－2)； = a2－4
(4) (2x+1)(2x－1).
=4 x2－1
观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你 又发现什么规律？ 等号的左边：两个数的和与差的积， 等号的右边：是这两个数的平方差.
（5）100.5×99.5 【解析】原式=(100+0.5)(100-0.5)
=10000-0.25 =9999.75
1．（眉山·中考）下列运算中正确的是（ ）
A．3a2a5a2
B．(2ab)(2ab)4a2b2
C．2a2a32a6
D．(2ab)24a2b2
【解析】选B. 在A中3a＋2a＝5a；C中2 a 2 a 3 2 a 2 3 ； 2 a 5
5.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8）（x16+y16)
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
【解析】图甲的面积=（a+b）(a-b)，图乙的面积=a(ab)+b(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 答案:（a+b）(a-b)=a2-b2 .
4.计算 99×101×10001
【解析】原式=(1001)(100+1)×10001 =(10000-1)(10000+1) =100000000-1 =99999999
人教版八年级数学上册课件：14.3.2因式分解(公式法-平方差公式)
－－因式分解的平方差公式
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
你学了什么方法进行分解因式？
把下列各式因式分解：
(1) ax - ay = a( x – y ) (2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1) (3) 3a(a+b)-5(a+b) =(a+b)(3a - 5) (4) ax2 - a3 =a(x2-a2) =a(x+a)(x-a) (5) 2xy2 - 50x =2x(y2-25) =2x(y+5)(y - 5)
个整体，加括号
熟记公式 a2 b2 (a b)(a b)
把下列式子分解因式
(x p)2 (x q)2
a² - b²= ( a + b)( a - b )
(1)a2－1
=( a )2－( 1 )2
(2)x4y2－4
=( x2y )2－( 2 )2
(3) 9 x2－0.01y2
49
=( 3
=(x+2)(x-2) =(3+y)(3-y)
(3) 1-a2
(4) 4x2-y2
=(1+a)(1-a) =(2x+y)(2x-y)
把下列各式分解因式
（1） 1－25x2
解： 1－25x2
＝12－(5x)2
把两项写成平方的形式，
＝(1+5x)(1-5x) 找出a和b。底数既有数
字还有字母，需要看成一
7
x )2－( 0.1y )2
(4)0.0001－121x2源自=( 0.01 )2－( 11x )2
因式分解：
１、 – a4 + 16 2、 4(a+2)2 - 9(a - 1)2 3、 (x+y+z)2 - (x-y-z)2
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
人教版八年级数学上册14.平方差公式课件
最后结果
(2x+2)(2x-2) 2x 2 (2x)2-22 4x2-4 (m+3n)(3n-m) 3n m (3n)2-m2 9n2-m2 (-a+4b)(-a-4b) -a 4b (-a)2- (4b)2 a2-16b2
2、判断下列各式是否满足平方差公式的 特征. (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(b＋2a)(2a－b)； (3)(－x＋2y)(－x－2y)； (4)(x＋2y)(－x－2y)．
规律:两个数的和与这两个数的差的乘积 等于相同项的平方减去相反项的平方.
观察如果用字母a、b表示等式左边,能否 得出以上规律？
(a+b)(a－b)
(a+b)(a－b) = a2－ ab+ab－ b2 =a2－ b2.
(a+b)(a－b)= a2－ b2.
平方差公式
(a+b)(a－b)= a2－ b2.
= 3x2-5x-10.
（3） 20042 － 2003×2005; 解：原式 = 20042 － (2004－1)(2004+1)
4、下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
5、运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)= 5、 51 × 49 =
（a+b）（a-b）
= 9x2 -4；
a2 -b2
计算时注意：
一定要把要计算的式子 与公式对照，找出哪个 是a ，哪个是b.
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
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面积差变了吗？
a米
a米 5米
人教版八年级数学上册：平方差公式精品课件
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
例3、提高与应用
（1）、4a 1 4a 1 16a2 1
（2）、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
（3）、已知 x²-y²=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
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计算：
1002 992 982 972 ... 42 32 22 12 解：原式= (100 99)(100 99)
若a2 b2 1 , a b 1
4
2
求：a+b的值
先化简，再求值：
xy 2xy 2 2x2 y2 2 xy
其中：x 10, y 1 25
⑴ (2+a)(a-2) ⑶ (-4k+3)(-4k-3) ⑸ (-x-1)(x+1)
⑵ (3a+2b)(3a-2b) ⑷ (1-x)(-x-1) ⑹ (x+3)(x-2)
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例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . (3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
14.2.1 平方差公式
人教版八年级数学上册：平方差公式 精品课 件
(1) (x+1)(x−1)==；xx22−−112 (2) (m+2)(m−2)=；m2−422;
(3) (2x+1)(2x−1)==；4(2xx2 )−2 −1 1; 2 (4) (x+5y)(x−5y)==；xx22−−2(5y2)2;
人教版八年级数学课件-平方差公式
*
探究題：
計算下列多項式的積，你能發現它們運算的各 因式與結果各有什麼規律嗎？
(x 1)(x 1) x2 - x x -1 x2 -1
(m 2)(m 2)＝m2 2m 2m - 4 m2 - 4
(2x 1)(2x 1) 4x2 - 2x 2x -1 4x2 -1
兩個數的和與這兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差。
再舉幾個類似於上述的幾個式子 算一算，是否也有同樣的規律？
*
驗證： 為何具備這些特 (a 點b？)(a b)
中間兩項是同類項，且係數互為相 反數，和為零，所以只剩首尾兩項。
左邊是兩個二項式相乘，並且 右邊是乘式中兩項的平方
這兩個二項式中有一項完全相 差（相同項的平方減去相
同，解另：一(項a互+b為)(相a-反b)數=a；2-ab+a反b-項b的2=平a2方-b）2
(x 2y)(x 2y) x 2 y (x)2 (2y)2 x2 4 y2
(a+2b+2c)(a+2b-c) a+2b c (a+2b)2-(2c)2
=a2+4ab+4b2-4c2 *
例2：計算
10298
99 1 100 1 22
( y 2)(y 2) (2y 1)(2y 1)
(2x 3)(2x 3) (2x 1)(x 1)
(2y) (4) (a 2b 2c)(a 2b - 2c)
(a b)(a b)
a b a2 b2 結果
(3x 2)(3x 2) 3x 2 (3x)2 22 9x2 4
(b 2a)(2a b) 2a b (2a)2 b2 4a2 b2
*
鞏固： P181
*
探究題：
計算下列多項式的積，你能發現它們運算的各 因式與結果各有什麼規律嗎？
(x 1)(x 1) x2 - x x -1 x2 -1
(m 2)(m 2)＝m2 2m 2m - 4 m2 - 4
(2x 1)(2x 1) 4x2 - 2x 2x -1 4x2 -1
兩個數的和與這兩個數的差的積，等於這兩個數的平方差。
再舉幾個類似於上述的幾個式子 算一算，是否也有同樣的規律？
*
驗證： 為何具備這些特 (a 點b？)(a b)
中間兩項是同類項，且係數互為相 反數，和為零，所以只剩首尾兩項。
左邊是兩個二項式相乘，並且 右邊是乘式中兩項的平方
這兩個二項式中有一項完全相 差（相同項的平方減去相
同，解另：一(項a互+b為)(相a-反b)數=a；2-ab+a反b-項b的2=平a2方-b）2
(x 2y)(x 2y) x 2 y (x)2 (2y)2 x2 4 y2
(a+2b+2c)(a+2b-c) a+2b c (a+2b)2-(2c)2
=a2+4ab+4b2-4c2 *
例2：計算
10298
99 1 100 1 22
( y 2)(y 2) (2y 1)(2y 1)
(2x 3)(2x 3) (2x 1)(x 1)
(2y) (4) (a 2b 2c)(a 2b - 2c)
(a b)(a b)
a b a2 b2 結果
(3x 2)(3x 2) 3x 2 (3x)2 22 9x2 4
(b 2a)(2a b) 2a b (2a)2 b2 4a2 b2
*
鞏固： P181
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14.2.1 平方差公式
规律探索：
计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
猜想： (a+b)(a-b) =
(a+b)(a-b) = a2-b2
平方差公式
字母示：(a+b)(a-b)=a2-b2
人教版数学八年级上册平方差公式 课件
小结
人教版数学八年级上册平方差公式 课件
平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
简记： 两项之和×两项之差 =
相同项平方－相反项平方
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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知识延伸
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(6)(
x
y )(
x
y )
43 43
(7)(1 5mn2 )(5mn2 1)
8a2 b5 a2 - b5
注意：
运用公式前，首先要判断两个多项式 能否变形为公式的标准形式。
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原来
5米
a2
a米
现在
(a+5)米
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
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知识应用
例1 1. (3x+2)(3x-2)
2. (-x+2y)(-x-2y)
例2 1. (y+2)(y-2)-(y+5)(y-1)
2. 102×98
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x -1) - (x - 1)(x 1) 33
(4) x(x 1) (2 - x)(2 x)
(5) (a 1 b)(a - 1 b) - (3a - 2b)(3a 2b) 22
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(-a+c)(a-c)
2.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( C )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
文字叙述：
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
公式结构特征：
(a+b)(a-b)=a2-b2
1、等号左边是两个 二项式 相乘，且这两 个 二项式 中有一项 完全相同 ，另一 项 符号相反 。
2、等号右边是 相同项的平方减去 相反项的 平方。
选择：
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速算
1. 21 × 19 2. 54 × 46 3. 88 × 92 4. 102× 98
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计算：
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1.（2X － y)(－y － 2X ） 2.（ab－ c)(ab ＋ c ） 3.（－4k＋ mn)(-4k － mn ） 4. 104×96
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
m2-n2 y2-x2
4a2-b2 x4-y4
位置变化 符号变化 系数变化 指数变化
D.(-2b-5)(2b-5)
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口答：
①（x ＋ 4)( x－4） =x2 － 16 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）= 1 －4a2 ③（m＋ 6n)( m－6n）= m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z） = 25y2 － z2
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谢谢
规律探索：
计算： (1) (x+1)(x-1) = x2 - 1 (2) (m+2)(m-2) = m2 - 4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2 - 1
猜想： (a+b)(a-b) =
(a+b)(a-b) = a2-b2
平方差公式
字母示：(a+b)(a-b)=a2-b2
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平方差公式
字母：(a+b)(a-b)=a2-b2
特征： 有两个完全相同的项 和两个符号相反的项
简记： 两项之和×两项之差 =
相同项平方－相反项平方
注意：a、b可以是数，也可以是整式
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(6)(
x
y )(
x
y )
43 43
(7)(1 5mn2 )(5mn2 1)
8a2 b5 a2 - b5
注意：
运用公式前，首先要判断两个多项式 能否变形为公式的标准形式。
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原来
5米
a2
a米
现在
(a+5)米
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
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知识应用
例1 1. (3x+2)(3x-2)
2. (-x+2y)(-x-2y)
例2 1. (y+2)(y-2)-(y+5)(y-1)
2. 102×98
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灵活运用平方差公式计算：
（1）(3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2);
（2）(x+y)(x-y)(x2+y2); (3) x(x -1) - (x - 1)(x 1) 33
(4) x(x 1) (2 - x)(2 x)
(5) (a 1 b)(a - 1 b) - (3a - 2b)(3a 2b) 22
1.下列各式中,能用平方差公式运算的是( A )
A.(-a+b)(-a-b)
B.(a-b)(b-a)
C.(2a-3b)(3a+2b) D.(-a+c)(a-c)
2.下列各式中,不能用平方差公式计算的是( C )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
文字叙述：
两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差。
公式结构特征：
(a+b)(a-b)=a2-b2
1、等号左边是两个 二项式 相乘，且这两 个 二项式 中有一项 完全相同 ，另一 项 符号相反 。
2、等号右边是 相同项的平方减去 相反项的 平方。
选择：
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1. 21 × 19 2. 54 × 46 3. 88 × 92 4. 102× 98
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1.（2X － y)(－y － 2X ） 2.（ab－ c)(ab ＋ c ） 3.（－4k＋ mn)(-4k － mn ） 4. 104×96
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运用平方差公式计算：
1、(m+n)(-n+m) = 2、(-x-y) (x-y) = 3、(2a+b)(2a-b) = 4、(x2+y2)(x2-y2)=
m2-n2 y2-x2
4a2-b2 x4-y4
位置变化 符号变化 系数变化 指数变化
D.(-2b-5)(2b-5)
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口答：
①（x ＋ 4)( x－4） =x2 － 16 ②（1 ＋ 2a)( 1－2a）= 1 －4a2 ③（m＋ 6n)( m－6n）= m2 － 36n2 ④（5y ＋ z)(5y－z） = 25y2 － z2
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