随机信号的特征及其估计

N
ˆ E[ ˆ]) 2 ] 0 2. lim E[(
N
ˆ 是 的一致估计。 则
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2.3均值、方差、自相关函数的估计
2.3.1 均值的估计 定义
1 ˆx m N
x ( n)
n 0 N 1 n 0
N 1
（1）
估计的均值
1 ˆ x ] E[ E[m N 估计的方差
R ( m) R ( m)
16
方法2
N 1 m 1 ˆ ( m) R x(n)x(n m) 2 N n 0 m 0,1, 2 ( N 1)
估计的均值
1 ˆ E[ R2 (m)] N 1 N
N 1 m
N 1 m n 0
E[ x(n)x(n m)]
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2.1.2 平稳随机过程
1 严平稳随机过程
设﹛X(t)，t∈T﹜为随机过程，如果对于任意的τ ∈T，过程X(t+ τ)与X(t)（t∈T）有相同的分布， 即
F(x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
F(x1 , x 2 ,, x n ; t1 , t 2 ,, t n )
Rx (m) R x (m)
*
2）m=0时， Rx (m) 取得最大值，即
Rx (0) Rx (m) Rx (0) 为信号序列的能量，即 E R (0) x
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n
| x ( n) |
20

2
3）
Rx () 0 Rxy () 0
Rxy (m) R (m)
2 ˆ ˆ ˆ var[ ] E[( E[ ]) ]
ˆ] E[ ˆ] bia[
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2.2.3 估计的均方误差(MSE)与一致性 定义
2 ˆ MSE E[( ) ]
均方误差与偏差及方差的关系
2 2 ˆ ˆ ˆ MSE E[( ) ] var( ) bia ( ) 若有 1. lim E[ ˆ]
2 X
4） 自相关函数和自协方差函数
RX (t1 , t 2 ) E[ X (t1 ) X (t 2 )]
CX (t1 , t2 ) E[( X (t1 ) mX (t1 ))( X (t2 ) mX (t2 ))]
5） 互相关函数和互协方差函数
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
则称X(t)为宽平稳或广义平稳随机过程（简称平稳 过程）。 严平稳与宽平稳的关系：严平稳过程的均方值有界， 则此过程为宽平稳的，反之不成立。对于正态过程， 严平稳与宽平稳等价。
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3各态历经性 时间平均-指某一样本函数在不同时刻的平均。即 1 T At [ x(t )] l im x(t )dt T 2T T 1 T At [ x(t ) x(t )] l im x(t ) x(t )dt T T 2T 如果随机过程任一样本函数的时间平均等于过程的集 合平均，则随机过程是各态历经的或各态遍历的。 若有
估计 m ˆ x 是无偏的一致估计。 2.3.2 方差的估计 N 1 1 2 2 定义 ˆ x [ x ( n) m x ] N n 0
**
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估计的均值
N 1 N 1 1 1 2 2 2 2 ˆ E[ x ] E[( x(n) mx ) ] x x N n 0 N n 0 估计的方差 2 2 2 2 2 2 2 ˆ x ] E{[ ˆ x E ( ˆ x )] } E[ ˆx x ] var[
C XY (t1 , t2 ) E[( X (t1 ) mX (t1 ))(Y (t2 ) mY (t2 ))]
若X(t ), Y (t )的RXY (t1 , t2 ) 0，称X(t ), Y (t )为正交过程； 若C XY (t1 , t2 ) 0，称X(t ), Y (t )为互不相关。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) pX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) x1x2 xn
n
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3.随机过程的数字特征 设﹛X(t)，t∈T﹜为实随机过程，其主要
数字特征有
1）均值函数（ 数学期望）

1 Rx ( m ) 2



| X (e j ) |2 e jm d
jm R ( m ) e xy
互能量谱
X * (e j )Y (e j )
m
2 确定性功率信号的相关函数
N 1 自相关函数 R (m) lim x(n)x(n m) x N 2 N 1 n N N 1 互相关函数 R (m) lim x ( n ) y ( n m) xy N 2 N 1 n N
1 x ( n )] N n 0
N 1
E[ x(n)] m
x
2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ var( mx ) E[mx ] [ E (mx )] E[mx ] mx
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若x(n),x(m)互不相关，则
1 1 2 2 ˆ x ) ( mx 2 mx ) x var( m N N 结论：当各样值互不相关时，式（1）对均值的
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1. 固定时，是t的确定函数，称为样本函数，对应 于某次试验的结果
2. t 固定时，是一个随机变量 3. 与t都固定时，是一个确定数值，称为状态 4. 与t都发生变化，构成了随机过程（信号）的完 整概念
X (t , ) 的含义
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2
2.随机过程的n维分布函数
* yx
4）互相关函数 Rxy (m) 不是偶函数，即
实信号
Rxy (m) Ryx (m)
Rx (m) x(m) * x(m)
Rxy (m) x(m) * y(m)
5）相关卷积定理 实信号
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6）相关定理
| X ( e j ) | 2
m
jm R ( m ) e x
At [ x(t )] E[ X (t )] mX
则称X(t)为均值各态历经随机过程。
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若
At [ x(t ) x(t )] E[ X (t ) X (t )] RX ( )
则称X(t)为自相关各态历经随机过程。
各态历经和平稳过程的关系
各态历经的随机过程必定是平稳的随机过程，而平稳的随 机过程不一定是各态历经的。对各态历经的随机过程X(t)，其 均值、均方值和方差都为常数，若分别表示为 m , m 2 和 2
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n
x(n)x(n m)
n
n
x ( n ) y ( n m)
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确定性能量信号的相关函数的性质 1）若x(n)为实信号，则 Rx (m) 为实偶函数，则
Rx (m) R x (m) Rx (m) Rx (m)
*
若x(n)为复信号，则 Rx (m) 共轭偶对称，则
x x x
则有
2 2 x mx mx
2
其自相关函数和协方差函数满足
Rx ( ) E[ x(t ) x(t )]
2 Cx ( ) E{[ x(t ) mx ][ x(t ) mx ]} Rx ( ) mx
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2.1.3 正态过程
N 1 m 1 ˆ ( m) R x(n)x(n m) 1 N m n 0 m 0,1,2 ( N 1) 估计的均值
N 1 m 1 ˆ (m)] E[ R E[ x(n)x(n m)] 1 N m n 0
1 N m
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N 1 m n 0
随机过程 X (t )在任意n个时刻 t1 , t 2 ,, t n 的取值 X (t1 ), X (t2 ), , X (tn ) 构成n维随机变量 [ X (t1 ), X (t 2 ),, X (t n )] 。 则定义随机过程 X (t ) 的n维分布函数和n维概率密 度函数为
FX ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
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2.4相关函数和功率谱
2.4.1 相关函数
1 确定性能量信号的相关函数
自相关函数
Rx ( m )
互相关函数 实序列
Rxy (m) Rx ( m )
n
x * (n)x(n m) x * ( n ) y ( n m)

Rxy (m)
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3 平稳随机信号的相关函数
自相关函数
Rx (m) E[ x * (n) x(n m)]
Rxy (m) E[ x * (n) y (n m)]
互相关函数 对于实序列
Rx (m) E[ x(n) x(n m)]
2.随机信号的特征及其估计
2.1 随机过程基础 2.1.1随机过程及其特征描述 1.随机过程
定义1：设随机试验的样本空间 { ，若对于 } 每个元素 ，总有一个确知的时间函数 X (t , ) 与它对应，这样，对于所有的 ，就可以得 到一簇时间t的函数，称它为随机过程。簇中的 每一个函数称为样本函数。 X (t i , ) 定义2：若对于每个特定的时间 ti (i 1,2,) ， X (t i , ) 都是随机变量，则称 X (t , ) 为随机过程， 称为随机过程 X (t ) 在t t i 时刻的状态。
如果随机过程X(t)的任意n维概率分布都是正态分布， 则称它为正态随机过程或高斯随机过程，简称正态过 程或高斯过程。
正态随机过程的性质
1.正态过程是二阶矩过程； 2.正态过程的一阶矩、二阶矩即可确定其有限维分布； 3.正态过程严平稳与宽平稳是一致的。
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2.2估计的质量评价
2.2.1 估计的偏 定义 反映估计的均值与真值的偏离程度 2.2.2 估计的方差 定义
可以证明当N→∞时，估计的方差趋于0。所以式**对
方差的估计是无偏的一致估计
2.3.3 自相关函数的估计 N 1|m| 1 方法1 R ˆ ( m) x(n)x(n | m |) 1 N | m | n 0
m 0,1,2 ( N 1)
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根据实序列自相关函数的偶对称性，上式表示为
对一切有限集﹛ti﹜ ∈T和任意的τ ∈T都成立， 则称X(t)为严平稳过程。
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2 宽平稳随机过程——只考虑一阶矩和二阶距
若随机过程 X(t)满足
E[| X (t ) | ] Βιβλιοθήκη Baidu
2
mX (t ) mX
RX (t , t ) E ( X t , X t ) RX ( )

n 0
m R(m) (1 ) R(m) N
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ˆ (m)和 R (m)的偏差为 R 2 2
ˆ (m)] R(m) E[ R ˆ (m)] bia[ R 2 2 m m R(m) (1 ) R(m) R(m) N N ˆ (m)是 R (m) 的渐近无偏估计 R 结论： 2 2
mX (t ) E[ X (t )] xf ( x; t )dx


2 ）均方函数
mX 2 (t ) E[ X (t )]
2
3） 方差函数
DX (t ) E[( X (t ) mX (t )) 2 ]
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DX (t ) mX 2 (t ) m (t )