曲面的第一基本形式
曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式本章将接触到曲面论的最基本概念．类比于曲线；但内容更加丰富，特别要注意两者的差异．首先要明确曲面的局部表示和相关的基本概念；其次要明确度量几何的基本要素——弧长元素．在学习的过程中，应该注意对概念的深入理解．§1 参数化曲面一．E 3 中参数化曲面的定义r : U →E 3(u , v )→ r (u , v ) = (x (u , v ), y (u , v ), z (u , v )) ．C k 阶参数化曲面，简称参数曲面；参数，或称曲线坐标或曲纹坐标，简称坐标．点． u 坐标曲线，简称u 线； v 坐标曲线，简称 v 线；坐标曲线．坐标曲线网或参数网．自然切向分别表示为∂r ∂u = r u ，∂r ∂v= r v ． 连续曲面，光滑曲面．参数化通常在曲面局部有意义，在整体不一定能做到．以后不声明时在局部总考虑 C 3 类参数曲面，并简称之为曲面．二．正则曲面定义1 奇（异）点；正则点．正则曲面，正则参数． 正则点的几何意义是当参数在该点处作微小变动时动点的轨迹构成二维实体；正则点附近总存在小邻域，使得参数值与其位置向量之间保持一一对应．例5 按定义直接计算可知例1和例2中的参数曲面都是正则的．对于例3中的参数曲面，有r u = (- v sin u , v cos u , 0) ，图3-1r v = (cos u , sin u , 1) ，r u ⨯r v = (v cos u , v sin u , - v ) = v (cos u , sin u , -1) ；r u ⨯r v 当且仅当参数 v = 0 时为零向量，故参数值 (u , 0) 对应于全部非正则点——锥顶．对于例4中的旋转面，当 f (v ) = 0 时，对应点不是正则的．例6 单位圆柱面具有存在奇点的下列参数化：r (t , z ) = (cos t 2 , sin t 2 , z ) ． 一般地，存在奇点的参数曲面在奇点附近的性质需要单独加以讨论，并且往往比较复杂；而对于连续可微参数曲面，正则点附近总存在较小邻域使正则性得到满足．因此将曲面论的局部基本理论建立在正则曲面之上，是具有一般性的．三．正则曲面的切平面和法线已知正则曲面 S : r = r (u , v ) ．考虑过点 r (u 0, v 0) , r (u 0+∆u , v 0) 和 r (u 0,v 0+∆v ) 的平面 ∏ 当 (∆u , ∆v )→(0, 0) 时的极限位置，亦即切平面的位置．正则性保证了平面 ∏ 的极限位置平面 ∏0的法向向量确定为r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) ．曲面上的曲线在该点处的切向量总落在平面 ∏0 上面；任给坐标曲线自然切向量的线性组合，曲面上总存在曲线以之为点 r (u 0, v 0) 处的切向．定义2 切平面；法线，法向；单位法向特指为单位向量(1.2) n (u 0, v 0) = r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0) |r u (u 0, v 0)⨯r v (u 0, v 0)|； 正定向，简称正向；负定向，简称负向．正则曲面是有正定向的曲面．在切点 P : r (u 0, v 0) 处的切平面通常记为 T P ，它按坐标曲线自然切向量的线性组合可以理解为二维向量空间(1.3) T P = {a r u (u 0, v 0) + b r v (u 0, v 0) | (a , b )∈R 2 } ≅ E 2 ，其中的向量称为曲面的切向量，两个切向量 a 和 b 的内积 (a , b ) 规定为 E 3 的诱导内积，即(1.4) (a , b ) = a ∙b , ∀ a , b ∈T P ．图3-5此时，切平面同时具有向量空间结构和度量结构．切平面的基向量组{r u, r v} 通常称为自然基，而标架场{r;r u, r v, n} 通常称为自然标架场．用经典微积分的观点来看，切平面上的微元(1.5)d r(u, v) =r u(u, v)d u+r v(u, v)d v是位置向量增量 [r(u + d u , v + d v) -r(u, v)] 的线性主部，称为切向微元；按(1.3) 式所表示的同构，其按自然基分解的系数(d u, d v) 亦可视为切平面中的微元，其方向由比例d u:d v确定．例8已知半径为a > 0 的圆柱面的经纬参数方程为r(t, z) = (a cos t , a sin t , a z) ．试求其过点 (a, 0, a) 的任意切向以及分别由比例 1:2 和 1:0 确定的切向．例9已知正则曲面由隐式方程F(x, y, z) = 0 确定，其中梯度向量∇F = (F x, F y, F z) ≠0．证明该曲面上点 (x, y, z) 处的法向确定为∇F(x, y, z) ．四．参数变换定义3给定正则曲面S: r= r(u, v) ，若参数变换{u=u(u*, v*)v=v(u*, v*)满足①是连续可微的一一对应；②Jacobi行列式∂(u, v)∂(u*, v*)=∂u∂u*∂v∂u*∂u∂v*∂v∂v*处处非零，u*图3-6则称之为容许参数变换；当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *) > 0 时称之为保向的，当 ∂(u , v ) ∂(u *, v *)< 0 时称之为反向的．注记 容许参数变换只有保向或反向两种．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，有 (1.6) ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ⎝⎛⎭⎫ r ur v， (1.7) r u *⨯r v * = ∂(u , v ) ∂(u *, v *)r u ⨯r v ． 由此可知，在容许参数变换下，正则性和可微性保持不变，切平面不变；单位法向在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号．五．参数曲面的等价类似曲线的论断：① 一个曲面点集实体允许存在多种参数化方式，有参数变换．② 曲面实体的几何属性不依赖于其参数化的方式，也不依赖于空间直角坐标系的选取．③ 两个合同的曲面实体相当于同一曲面实体的不同位置表现形式． ④ 若两张正则曲面之间仅仅相差一个容许的参数变换，则它们表示同一个几何实体，称这两张正则曲面是相同的．相同的正则曲面实际上是指正则曲面的一种等价类，其在同一实点上的切平面、法线等等几何实体分别是重合的．⑤ 定向相同的；定向相反的．⑥ 定向相同的曲面的单位法向以及有向切平面，对于每个对应点都是唯一确定的．⑦ 曲面的整体概念和整体性质是复杂的，将留待于第八章中进行较为深入的讨论．约定：在以后讨论曲面局部性质的各章中，不声明时总考虑正则曲面和容许参数变换，并分别简称为曲面和参数变换．§2 直纹面与可展曲面直纹面可以由一族直线“织成”，即：过曲面上每一点都存在过该点的直线落在该曲面上．一．直纹面及其上的参数变换直纹面的直纹或（直）母线；准线．直纹的位置和直纹上的点的相对位置，给出直纹面 S 的下列自然参数化(2.1) S : r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) ，其中准线为连续可微参数曲线(2.2) C : r * = a (u ) ，过准线上点 a (u ) 处的直纹方向确定为向量l (u ) ，且 l (u ) 连续可微．此时，(2.5) r u ⨯r v = [a '(u ) + v l '(u )]⨯l (u ) = a '(u )⨯l (u ) + v l '(u )⨯l (u ) ．由此可确定正则条件．例1 直纹面可按 (2.1) 式准线与直纹方向的关系归为不同的子类． ① 柱面：各直纹平行．正则性条件即为准线不与直纹相切，单位法向沿着直纹是常向量，切平面沿着直纹重合．② 锥面：各直纹相交于锥顶点．准线可以“收缩”为锥顶．不妨设已经规范为a (u ) ≡ a 0 ，则正则性条件化为(2.7) r u ⨯r v = v l '(u )⨯l (u ) ≠ 0 ．故锥顶是奇点；并且，当直纹单位方向向量在单位球面上为正则曲线时，也只有锥顶是奇点．其切平面沿着直纹也重合．③ 切线面：直母线族是某条准线的切线族，即直母线族有包络线可作为准线．不妨设已经规范为a '(u ) = l (u ) ≠ 0 ，且此时不妨设准线以 u 为弧长参数，则正则性条件化为(2.8) r u ⨯r v = v T '(u )⨯T (u ) ≠ 0 ．图3-7① ② ③图3-8此时的准线称为切线面的脊线，其上点点为奇点．当脊线无逗留点时，切线面上除脊线外的各点都是正则点．其切平面沿着直纹也重合．④ 主法线面：直母线族是某条准线的主法线族．⑤ 从法线面：直母线族是某条准线的从法线族．例2 正螺旋面或正螺面；其准线可取为旋转轴．正螺面相应单位法向垂直于z 轴；旋转轴上各点处的切平面公交于旋转轴．例3 Möbius 带实体无所谓“正”的定向．直纹面按照准线和直母线族的自然参数化，具有明显的几何直观．准线的转换以及直纹方向向量长度的转换，在自然参数化下，就等价于适当的参数变换；这是一种具有几何意义的参数变换．设直纹面 S 的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出．作直母线方向向量的“伸缩”变换和准线变换分别为(2.9) l *(u ) = λ(u ) l (u ) , λ(u ) ≠ 0 ，(2.10) a *(u ) = a (u ) + μ(u ) l (u ) ，其中变换系数函数 λ(u ) 和 μ(u ) 都是连续可微的．令(2.12) {u * = uv * = [v - μ(u ) ] λ(u ) ， 则得到容许参数变换，与原有方程的对应关系为(2.14) r = r (u , v ) = a (u ) + v l (u ) = r *(u *, v *) = a *(u *) + v * l *(u *) ． 由此可以进一步考察准线和直母线是否允许有特殊关系．引理1 已知直纹面的自然参数化由 (2.1)-(2.2) 式给出，则存在新的参数化，使其准线与直母线处处正交，并且直纹方向向量为单位向量．二．可展曲面及其局部形状分类柱面、锥面、切线面的切平面分别沿着直纹重合；而从正螺面的图形观察到，沿着所给定的直纹移动时，切平面将发生扭转．图3-9 图3-11定义1若直纹面的切平面沿着每一条直纹都分别重合，则称该直纹面为可展曲面，或称该直纹面可展．例4柱面、锥面、切线面都可展．单叶双曲面和双曲抛物面都不可展——这从图形上可以观察到；也可以在任何直纹上展开计算，而由定义得到验证．定理1(直纹面可展的解析条件)设直纹面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 正则．S可展的充要条件为a' , l , l'共面，即(2.15) (a' , l , l' ) ≡ 0 ．对指定直纹族的直纹面而言，该解析条件不依赖于准线以及直纹方向向量长度的选取．要考虑可展曲面的其它特征；除了本节将继续讨论的以外，可展曲面的“内在特征”将在后续章节中出现．注记直纹面的直纹族并不一定是唯一的，比如单叶双曲面、双曲抛物面都有两族直纹，而平面的直纹族更加随意指定．以后可以证明，两族坐标曲线都是直线的正则曲面若可展，则只能是平面（或其局部）．在“较好”的准线a(u) 和直纹方向向量l(u) 之下，解析条件可以进一步化简．特别当直纹方向向量规范为单位向量场时，即|l(u)|2≡ 1 时，有l'(u)∙l(u) ≡ 0 ；进而分两种情形：①当l'(u)⨯l(u) =0时，自然总有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔l'(u) =0；②当l'(u)⨯l(u) ≠0时，l'(u) ≠0，便有等价条件(a'(u) , l(u) , l'(u) ) = 0 ⇔∃λ(u), μ(u) 使a'=λl'+μl；从此出发，利用准线变换，对可展曲面的局部形状可构造性地进行分类．参数变换的目标是确定如例1所给出的规范参数方程．在下面定理的证明中，可注意体会几何直观对证法的启发，以及如何明确地加以表述．定理2（可展曲面局部形状分类）可展曲面必是柱面、锥面和切线面之一或由它们沿直母线所适当拼接而成．证明由引理1和定理1，设可展曲面 S: r=r(u, v) =a(u) +v l(u) 满足|l(u)|2≡ 1 ；则由简化的解析条件，可完全分类为以下三种情形：①l'≡0，则l(u) = const. ≠0；此时S为柱面．②l'≠0，∃λ, μ使a'=λl'+μl；此时要证S为锥面或切线面．（注意：锥面存在新准线C*: a*(u) 使a* = const. ，而切线面存在新准线C*:a*(u) 使关于弧长的导数d a*d s C*=l，它们的共同特征是a*'(u)∥l．）作待定的新准线C*: a*(u) =a(u) +b(u) l(u) 使a*'(u)⨯l(u) ≡0，其中待定函数b(u)连续可微，则a*'=a'+b'l+b l'= (λ+b) l'+ (μ+b') l；故取b=-λ即可满足要求．此时，a*'= (μ-λ') l．由此，当a*'≡0即λ'≡μ时，a* = const. ，则S为锥面；当a*'≠0即λ'≠μ时，l=a*'μ-λ'=d a*d s C*，则S为切线面．③其他；由以上两种情形的讨论过程可知，l'以及 (μ-λ') 的例外零点对应于曲面上相应的直母线．综合各种情形，得证．三．单参数曲面族的包络观察例5管状面．定义2单参数曲面族Sλ的包络面S*，简称包络．例6可展曲面是其本身切平面族的包络，切平面族的单参数就取为某条正则准线的参数．在求解包络时的先验假定，反验．定理3给定连续可微单参数λ正则曲面族Sλ: r(u, v; λ) ．如果判别式(2.21) (r u , r v , rλ ) = 0能够决定连续可微的两个函数u(λ, t) 和v(λ, t)，那么，该曲面族的包络若存在则只能确定为判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ)；而若判别式无解函数u(λ, t) 和v(λ, t) ，则该单参数曲面族没有包络．注记：①判别式所确定的函数同时明确了对应点的位置．②判别式如果是平凡的，则判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 有可能蜕化为非正则的；此时需要反验是否符合包络条件．③如果判别曲面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) 是正则的，则其为包络面；此时在某些具体条件下，两个函数u(λ, t) 和v(λ, t) 允许存在反函数，此即为包络面上的特殊参数变换．④对包络面r(u(λ, t), v(λ, t); λ) ，当选定参数λ=λ0时，其上曲线r(u(λ0, t), v(λ0, t); λ0) 是与族中曲面S的公切点构成的曲线，称之为包络面λ0的特征线．例7已知具有包络S* 的连续可微单参数λ曲面族Sλ: r(u, v; λ) = (x(u, v; λ),y(u, v;λ) ,z(u, v;λ))是由隐式方程F(x, y,z; λ) =0 给出的，其中梯度向量∇F=(F x ,F y, F z) ≠0．试证S* 的隐式方程为(2.22) {F(x, y, z; λ) = 0 ，Fλ(x, y, z; λ) = 0 ．单参数曲面族由隐式方程给出时，其包络的判别曲面由特征线族方程(2.22) 式给出．有时，隐式方程对于表示曲面整体非常有效，比如球面、双叶双曲面等等；此时，由 (2.22) 式讨论包络是较为方便的．例8求单参数λ球面族x2+y2+ (z-λ)2= 1 的包络．定理4给定连续可微单参数t平面族T t: n(t)∙r-p(t) = 0 ，|n|≡ 1 ，n'(t) ≠0．如果 {T t} 的包络面S存在，则S可展．§3曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，是曲面几何学基本的问题之一．勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定；子体和原有 Euclid 空间的几何属性将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面S的参数方程为r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面S上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u ∙r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u ∙r v , G = G (u , v ) = r v ∙r v = |r v |2 ,则对曲线 C 有d s 2 = d r ∙d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]| u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， d s = | d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2| u =u (t ), v =v (t ) d t ． 可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．图3-13注记： 第一基本形式系数也称为第一基本量．第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．曲面第一基本形式d s 2 = d r ∙d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部．第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变．第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a ∙b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r ∙d r = (a d u + b d v )∙(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ∙r ρ = (a cos θ + b sin θ)∙(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ∙r θ = (a cos θ + b sin θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ∙r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)∙(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w ∙r w = (T + t κ N )∙(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w ∙r t = (T + t κ N )∙ T = 1 ，G (w , t ) = r t ∙r t = T ∙ T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．改写(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r ∙d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v ∙ (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“∙”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G= EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u ∙r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ， 称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为 (3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T = J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r v T J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E *G * - F *2 = ||J || EG - F 2 ． 例2 以平面弧长参数曲线为准线作柱面 S ，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u , v ) 下可以表示为 d s 2 = d u 2 + d v 2 ．三．交角与面积元素确定交角和面积等几何量．交角，有向交角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面 S 的第一基本形式以 (3.2) 式确定；设点 (u , v ) 处的两个切向微元在自然基 {r u , r v } 下分别为 d u :d v 和 δu :δv ，确定其间夹角余弦(3.12)式——曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．定理1 对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．定义2 正交参数，正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．例3 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线 C 的微分方程．2．曲面的面积元素和区域面积曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ⨯r v | d u d v= EG - F 2 d u d v ．任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0)可以表示为(3.14) A (U 0) = ⎰⎰ U 0 d σ = ⎰⎰ U 0 |r u ⨯r v | d u d v = ⎰⎰ U 0EG - F 2 d u d v ． 在参数变换下面积元素对应相同，面积也对应相同．v )图3-14定理2正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．§4局部等距对应曲面间的正则对应．“贴广告”的体验：保持弧长以及由弧长所完全确定的几何量都不变．一．局部等距对应定义1局部等距对应；局部等距．等距对应；等距．等距与局部等距的区别．目前通常只考虑曲面间的局部等距对应，并简称为等距对应．定理1（局部等距对应充要条件）两张曲面局部等距的充要条件是按对应关系具有相同的第一基本形式．等距的曲面之间能够作为容许参数变换的对应关系，并不一定具有明显的解析表达式；同时，第一基本形式按对应关系相同，并不意味着它们的参数已经对应相同，即它们的第一基本形式系数并不总是相等，而只是在对应关系下以变换规律 (3.9) 式相联系．一般而言，寻求等距曲面之间的等距对应关系可以归结为求解由 (3.9) 式所给定的偏微分方程组，但其求解过程往往是困难重重和具有技巧的．从定理1看，通过计算第一基本形式即可验证对应关系是否为等距对应．而对于较为直观和简单的等距对应，通过分析几何直观及其所提供的启示，也可以找到相应的对应关系．例1悬链面与正螺面之间的局部等距对应悬链面与正螺面．悬链面去掉一条母线而“剪开”后，与正螺面的“一个螺纹”之间的等距对应．定理2可展曲面总存在与平面的局部等距对应．分析这个定理的结论和证明过程，可见可展曲面局部存在到平面之间的连续变形，使得变形过程中的每一张中间曲面都是可展的，并且在对应关系下直纹总变到直纹，同时每一张也都是互相等距对应的．这就是平整的“纸张”能够“不撕破”“不褶皱”地“贴合”在可展曲面上的原因．这个定理的逆定理也是成立的，其证明在后续两章给出．形象地说，可展曲面名副其实地“可展”成平面．一般而言，讨论曲面在保持等距意义下的连续形变，是较为复杂的．二．曲面的内蕴几何学概念定义2内蕴量，内蕴性质（内在性质）；内蕴几何体．内蕴几何学．内蕴几何学的核心是讨论第一基本形式的不变量以及相关的几何属性．例如，球面与平面之间不存在局部等距对应，从而具有不同的内蕴几何学；而这个事实的证明，将在第五章利用所谓的Gauss绝妙定理给出．从内蕴几何角度来看，可展曲面的代表就是平面；有理由认为它的“内在弯曲”状况是“平坦”的，尽管有许多可展曲面的“外在弯曲”状况是“弯曲”的．而球面既是“外在弯曲”的，也是“内在弯曲”的．内蕴量和内蕴性质，还可以提示和帮助确定等距对应关系．§5局部正交参数网与等温参数适当坐标系的选取是非常重要的．简化计算．另一种作用是，根据场合选取具有特定几何意义的坐标系，有时会成为揭示和解决问题的关键．本节将给出一个基础性结论，它经常用于建立所需要的局部坐标系，包括确定一些具有特定几何意义的参数曲线网的局部存在性．一．一般结论与正交网定理1设二阶连续可微正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D上已给出两个处处线性无关的连续可微切向量场a(u, v) , b(u, v) ，则对任何点 (u0, v0)∈D满足r u*∥a , r v*存在其邻域D0⊂D，使在D0内存在参数变换{u* =u*(u, v)v* =v*(u, v)∥b，即切向量场a(u, v) , b(u, v) 的积分曲线族分别为u*, v* 曲线族．定理2在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近总可取到正交网．证明对曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈D，取a(u, v) =r u(u, v) ,b(u, v) =r v(u, v) -FEr u(u, v) ，则a, b是两个处处线性无关的连续可微切向量场，并且处处正交．由定理1，可分别取切向量场a, b的积分曲线族为局部的两族坐标曲线，则此两族坐标曲线构成正交网．□注记①曲面正交网的存在性是局部性质；至于大范围内是否存在正交网，往往受到曲面整体性质的约束．②曲面上的处处正交的单位切向量场总是存在的；但是，定理并没有保证它们可以成为自然切向量场，而只是保证它们可以处处平行于某个自然切向量场．二．等温参数定义1曲面的等温参数．在等温参数下，内蕴量的计算较为简单．同时，从(3.12) 式可见，曲面上的曲线的交角，总等于其在等温参数区域中的原像（当视为欧氏平面上的曲线时）的交角．曲面与欧氏平面在等温参数下的这种对应关系，是一类共形对应，或称为保角对应或等角对应．例1Mercator地图．等温参数的存在性是较难证明的．定理3在二阶连续可微正则曲面上的任一点邻近，总可取到等温参数网．推论二阶连续可微正则曲面局部共形对应于平面；二阶连续可微正则曲面之间总可局部共形对应．。
微分几何曲面的第一基本形式课件
整合第一基本形式，得到 $ds^2 = (u^2 + v^2)du^2 +
2uvdudv + (u^2 + v^2)dv^2$。
04
结果分析和讨论
01
通过计算结果，可以得出该曲面的第一基本形式，进
一步分析曲面的性质和特点。
02
可以使用该方法计算其他类型的曲面，并比较不同曲
面之间的差异和相似之处。
第一基本形式与度量张量的关系
第一基本形式与度量张量之间有 着紧密的联系，它们共同构成了
曲面的几何结构。
度量张量是曲面上各点处长度、 面积和体积等的度量标准，而第 一基本形式则提供了曲面上各点
处的曲率信息。
通过第一基本形式和度量张量的 结合，我们可以更好地理解和研
究曲面的形状和性质。
2023
PART 04
张量在物理学中的应用 张量在物理学中可以用来描述物体的运动状态和 相互作用，如力学、电磁学、相对论等领域。
2023
PART 03
第一基本形式的定义和性 质
REPORTING
第一基本形式的定 义
第一基本形式是曲面上的测地 曲率的一种表达形式，它与曲 面的第一基本张量有着密切的
关系。
在曲面上的任意一点，第一 基本形式可以定义为曲面的 第一基本张量与该点处切线
空间同胚的空间。
第一基本形式是微分几何中用于 描述曲面上的点与点之间的距离、
方向和曲率的一种方式。
研究目的和意 义
理解第一基本形式可以帮助我 们更好地理解曲面的几何性质 和特征。
通过研究第一基本形式，我们 可以研究曲面的形状、大小和 曲率等重要指标。
第一基本形式在微分几何中具 有重要的理论和应用价值。
微分几何2.2曲面的第一基本形式
THANKS
感谢观看
VS
球面的曲率等于其第一基本形式中 $dr^2$、$r^2dtheta^2$和 $r^2sin^2theta dphi^2$的系数之 比，即$frac{d^2r}{dr^2} = frac{1}{dr^2} + frac{1}{r^2sin^2theta}$。
其他曲面的第一基本形式
对于其他曲面，如椭球面、双曲面等，其第一基本形式可以根据其定义和性质进 行推导。
定义曲面的参数
首先，选择适当的参数来描述曲 面上的点。常用的参数有u、v等 。
整合公式
将E、F和G整合成第一基本形式 的公式。
推导过程中的注意事项
参数选取的合理性
在选择参数时，应确保其能够覆 盖整个曲面，且在参数变化过程 中不会出现自交点。
计算的准确性
在计算过程中，要确保各项计算 的准确性，特别是涉及到微分和 积分的计算。
1 2
航空航天工程
在航空航天工程中，第一基本形式被用来描述飞 行器的运动轨迹和姿态，例如飞机和火箭的发射 和导航。
机械工程
在机械工程中，第一基本形式被用来描述机械的 运动状态和规律，例如机器的运转和振动。
3
土木工程
在土木工程中，第一基本形式被用来描述结构的 形状和稳定性，例如桥梁和建筑的设计和施工。
平面曲线的曲率等于其第一基本形式中$dx^2$和$dy^2$的 系数之比，即$frac{d^2s}{ds^2} = frac{1}{dx^2} + frac{1}{dy^2}$。
微分几何公式
第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。
《微分几何》作业
5. 求曲线 r�(t ) = {at, bt 2 , ct 3 }的曲率和挠率。
6.
求曲线 r�(t)
23 = {a cos t, a sin t, bt}在点
t
= 0 的密切平面方程。
7. 求曲线 C： r =｛ 5 cos t , 8 − sin t , 12 cos t ｝的曲率和挠率.
13
C． I = E(u, v)du 2 + G(u, v)dv2 。
第3页共5页 在您完成作业过程中，如有疑难，请登录学院网站“辅导答疑”栏目，与老师进行交流讨论！
15. 若曲面 S 在每一点的高斯曲率为 1 ，则它可以与半径为( 4
)的球面贴合
A． 1 ； 2
B. 2 ；
C. 1 。 4
16.如果 ∂G 是曲面上的测地三角形，则 Gauss − Bonnet 公式为：
⎧ t2 t3 ⎫ 11． 求曲线 r = ⎨t, , ⎬ 的曲率和挠率．
⎩ 2 3⎭
{ } 12． 求曲线 C： r = et cos t ,et sin t ,et 在 t = 0 处的切线方程． { } 13． 求曲线 C： r = t, t 2, t 3 上在 t = 0处的密切面方程．
14． 求抛物线 y = x 2 的曲率．
2. 证明
3
3 是可展曲面。
3. 如果曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。 4. 如果曲面上曲线既是测地线又是曲率线，则它是平面线。
5. 设 C 是半径为 R 的球面上半径为 r (0 < r ≤ R )的圆， κ g 是曲线 C 上各点的测地曲率.
证明：
κg2
1 =
r2
−
1 R2
§3 曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C −1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有23图3-13 d r = r u d u + r v d v = r u d u d t t + r v d v d t d t ，d r d t = ⎝⎛⎠⎞r u d u d t+ r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取d s = | d r d t | d t =E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t +G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ，则有s (b ) − s (a ) = ∫b a d s d t d t = ∫b a | d r d t | d t = ∫b a E ⎝⎛⎠⎞ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎠⎞ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎠⎞ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) − r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 Π: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 Π 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 Π 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (− a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(− a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (− a ρsin θ + b ρcos θ)•(− a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 Π 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 Π 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 Π 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎠⎞E F F G ⎝⎛⎠⎞d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v, (3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞r u r vT ⎝⎛⎠⎞d u d v , (3.6) ⎝⎛⎠⎞E F F G = ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞r u r v T = ⎝⎛⎠⎞r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG − F 2 = |r u |2|r v |2 − (r u •r v )2 = |r u ×r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎠⎞E * F *F * G * = ⎝⎛⎠⎞ r u * r v * ⎝⎛⎠⎞ r u * r v *T= J ⎝⎛⎠⎞ r u r v ⎝⎛⎠⎞ r u r vT J T = J ⎝⎛⎠⎞E F F G J T ， (3.10) E *G * − F *2 = |J |2(EG − F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* −F*2=||J||EG−F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l , l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a′(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a′(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a′(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i′(t i0) +r v(u0, v0) v i′(t i0) ．简记a i= u i′(t i0) ,b i= v i′(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1′(t10) +r v(u0, v0) v1′(t10) |r u(u0, v0) u1′(t10) +r v(u0, v0) v1′(t10)|•r u(u0, v0) u2′(t20) +r v(u0, v0) v2′(t20) |r u(u0, v0) u2′(t20) +r v(u0, v0) v2′(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i′(t i0) : v i′(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将 (3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解 (3.12) 式） 在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为 1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ− 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=−2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a 1a 2E 0 + (a 1b 2 + b 1a 2)F 0 + b 1b 2G 0 = a 1a 2E 0 + (a 1 + a 2)F 0 + G 0= γ0 α0 E 0 + −2β0 α0F 0 +G 0 = 1 α0 (γ0E 0 −2β0F 0 + α0G 0) ． 此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面 S 的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域 U 内，任取矩形使其分别以点 (u , v ), (u +d u , v ),(u , v +d v ), (u +d u , v +d v ) 为顶点，则在曲面 S 上对应形成以点 P 1:(u , v ), P 2: (u +d u , v ), P 3: (u , v +d v ),P 4: (u +d u , v +d v ) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形 P 1P 2P 3 面积的二倍，从而就等于由向量 P 1P 2 和 P 1P 3 所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，图3-14P 1P 2×P 1P 3 = [r (u +d u , v ) − r (u , v )]×[r (u , v +d v ) − r (u , v )]≈ [r u (u , v )d u ]×[r v (u , v )d v ] = EG − F 2 d u d v n (u , v ) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13) d σ = |r u ×r v | d u d v = EG − F 2 d u d v ，其中第二个等号是根据 (3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域 r (U 0) 的面积 A (U 0) 可以表示为(3.14) A (U 0) = ∫∫ U 0 d σ = ∫∫ U 0 |r u ×r v | d u d v = ∫∫ U 0EG − F 2 d u d v ． 在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 − 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv −F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u − v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = − v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = − v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。
微分几何 曲面第一基本形式
微分几何曲面第一基本形式
微分几何是研究流形及其上的几何结构的数学学科。
在微分几何中，曲面是最简单的一类流形。
曲面具有平坦的形状，可以用一维曲线组成的二维平面来描述。
曲面的第一基本形式是描述曲面上的内部几何特征的工具。
它是由曲面上的切向量和曲面上的度量张量所确定的。
切向量是与曲面上的点相切的向量，可以用来描述曲面上的切平面的方向。
而度量张量则是用来测量曲面上的长度、角度和曲率等几何量的。
具体来说，设曲面S为一个二维流形，曲面上的点p可以由两个参数u和v来确定，即p = (u, v)。
在这个参数化下，曲面上的切向量可以通过对u和v求偏导数来求得。
切向量的长度可以通过计算内积来得到。
曲面上的度量张量是一个二阶张量，用来描述曲面的内在几何特征。
它可以通过计算切向量之间的内积来得到。
度量张量的坐标表示为：
g = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
其中E、F和G是曲面上的度量系数，分别表示在u和v方向上的度量。
它们可以通过计算曲面上的基向量的内积来得到。
曲面的第一基本形式有许多重要的应用。
例如，它可以用来计算曲面上的曲率，描述曲面上的最短路径以及计算曲面上的面积等。
通过研究曲面的第一基本形式，我们可以深入理解曲面的几何性质，并进一步推导出更多的几何定理和结论。
总之，曲面的第一基本形式是微分几何中描述曲面上的内部几何特征的重要工具。
通过分析曲面的切向量和度量张量，我们可以了解曲面的形状、曲率和其他几何特征。
对于研究曲面的性质和应用具有重要意义。
§22 曲面的第一基本形式
u2 + a2 − 1 . u2 + a2 + 1 70
把曲线 u + v = 0 与 u − v = 0 交点的曲线坐标 u = 0, v = 0 代入上式得二曲线的交角余弦 为 cos θ = u2 + a2 − 1 u2 + a2 + 1 = a2 − 1 . a2 + 1
u=0 v =0
3. 求曲面(域)的面积 现在我们来推导曲面 S : r = r (u, v ), (u, v ) ∈ D(平面区域) 上给定区域 D 的面积. (以下 我们只是给出直观推导, 详细的证明参见 C. Goffman 著《多元微积分》) 完整 ① 用 u -线和 v -线划分曲面域 D 成 曲边四边形. 不完整 完整四边形的面积越接近于平行四边形的面积 ② 划分加细, 不完整四边形面积越来越小, 在D 中所占比重愈小 ③ 任取一个完整的曲边四边形 P P1 P2 P3 (如图), 设四个顶点 P 、P1 、P2 、P3 对应的 径矢分别为 r (u, v ), 由 Taylor 公式, 得 − − → P P1 = r (u + ∆u, v ) − r (u, v ) = [r u (u, v ) + − − → P P2 = r (u, v + ∆v ) − r (u, v ) = [r v (u, v ) + 其中 lim
首先我们得到第一基本形式系数之间的如下关系: ¯ = ru E ¯ · ru ¯ = ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯ · ru ∂u ∂v + rv ∂u ¯ ∂u ¯
=E ¯ = ru F ¯ · rv ¯ =E ¯ = rv G ¯ · rv ¯ =E
曲面第一第二基本形式
曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。
曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。
对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。
这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。
通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。
曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。
它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。
具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。
曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。
它们描述了曲面上的曲率信息。
具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。
通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。
这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。
总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。
通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。
微分几何 §2 曲面的第一基本形式
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
则有 ds2 Edu2 2Fdudv Gdv2.
设曲线（C） 上两点 A(t0 ),B(t1) ，则弧长为
s t1 ds dt t1 E( du )2 2F du dv G( dv )2 dt.
t0 dt
t0Байду номын сангаас
dt
dt dt dt
（*）是关于微分 du,dv 的一个二次形式，称
为曲面 S 的第一基本形式，用 表示：
I Edu2 2Fdudv Gdv2.
它的系数
E ru ru , F ru rv ,G rv rv ,
称为曲面 S 的第一类基本量。
对于曲面的特殊参数表示 z z(x, y) ，有
有表达式
cos ru rv E
ru rv
EG
注：曲面的坐标网正交的充要条件是F=0 。
例3 证明旋转面
r {(t) cos,(t)sin, (t)}
的坐标网是正交的。
解：
r t
{（t），cos，（t），sin，（t），}
r {（t）sin，（t）cos，0}
r {x, y, z(x, y)},
则
z
rx {1, 0, p}, p x ,
由（2.19）有
ry
{0,1, q}, q
z . y
E rx rx 1 p2, F rx ry pq,G ry ry 1 q2,
曲面的第一基本形式为
（1+p2）dx2 2 pqdxdy (1 q2 )dy2.
.
Edu2 2Fdudv Gdv2 Eu2 2Fu v G v2
微分几何曲面的第一基本形式概述
du dv r (t ) ru rv 或 dt dt 若 s 表示弧长有 2 2
所以
dr ru du rv dv
4、第一基本形式是正定的。
2 2 2 2 2 2 E r r r 0 , G r 0 , EG F r r ( r r ) 0. 事实上， u u u v u v u v
2 也可从 ds 直接得到。
1、把两个向 量 dr ru du rv dv和 r ruu rvv 间的交角 称为方向（ du : dv ）和（ u : v ）间的角。 2、设两方向的夹角为 ，则
D D D
其中 D 为相对应的 u,v 平面上的区域，
2 2 2 2 (ru rv ) ru rv (ru rv ) EG F 2 0
从前面的讲解中知道弧长、夹角、曲面域的面积都 与第一类基本量有关，都可以用第一类基本向量E、 F、G 来表示，这类量非常重要，要知道曲面的第一 基本形式，可以不管曲面的形状就可以计算
（2）对于坐标曲线的交角，有
dr r ru rv F cos dr r ru rv EG
故坐标曲线正交的充要条件为 F = 0 。
2、3
பைடு நூலகம்
正交曲线簇和正交轨线
设有两曲线 Adu Bdv 0 , C(u, v)u D(u, v)v 0
如果它们正交，则 Eduu F (duv udv) Gdvv 0
2、4
§3 曲面的第一基本形式
第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有d r = r u d u + r v d v = r u d u d t d t + r v d v d td t ， d r d t = ⎝⎛⎭⎫r u d u d t + r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2图3-13= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取 d s = |d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有 s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u •r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T= J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r vT J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* -F*2=||J||EG-F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l, l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a'(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a'(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a'(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点v=v i(t i)P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i'(t i0) +r v(u0, v0) v i'(t i0) ．简记a i= u i'(t i0) ,b i= v i'(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10) |r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10)|•r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20) |r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i'(t i0) : v i'(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将(3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解(3.12) 式）在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ- 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=-2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= a1a2E0+ (a1+ a2)F0+ G0=γ0α0E0+-2β0α0F0+ G0=1α0 (γ0E0-2β0F0+α0G0) ．此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面S的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域U内，任取矩形使其分别以点 (u, v), (u+d u, v),(u, v+d v), (u+d u, v+d v) 为顶点，则在曲面S上对应形成以点P1:(u, v), P2: (u+d u, v), P3: (u, v+d v),P4: (u+d u, v+d v) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形P1P2P3面积的二倍，从而就等于由向量P1P2和P1P3所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，P1P2⨯P1P3= [r(u+d u, v) - r(u, v)]⨯[r(u, v+d v) -r(u, v)]≈ [r u(u, v)d u]⨯[r v(u, v)d v] =EG-F2 d u d v n(u, v) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13)dσ=|r u⨯r v| d u d v=EG-F2 d u d v，其中第二个等号是根据(3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域r(U0) 的面积A(U0) 可以表示为(3.14) A(U0) =⎰⎰U0 dσ=⎰⎰U0|r u⨯r v| d u d v=⎰⎰U0EG-F2 d u d v．v)图3-14在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 - 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv -F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u - v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = - v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = - v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。
3.3 第一基本形式
内容：第一基本形式的概念、切向量的长 度和夹角、曲面曲线的弧长、曲面区域的 面积等 重点：利用第一基本形式计算弧长和面积
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3.3 曲面的第一基本形式-第一基本形式的概念
设有曲面 S: r = r(u,v)，dr = rudu + rvdv 是曲面上的任一切向量，它的长度的平方 记为 I = dr ⋅ dr，则 I = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, 其中 E = ru ⋅ ru，F = ru ⋅ rv，G = rv ⋅ rv． 对正则曲面而言，I 是切平面上的一个正 定的二次型．我们称二次型 I 为曲面的 第一基本形式，称 E、F、G 为曲面的第 一类基本量．
2
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3.3 曲面的第一基本形式-曲面域的面积
如果 是曲面上的一个区域，G 是对应的 (u,v)-平面上的区域，则此曲面区域的面积为
G
EG F dudv.
2
定理：曲面区域的面积与参数的选取无关．
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3.3 曲面的第一基本形式-例子
例3.1 平面r = r(u,v) = (u, v, c)，求第 一基本形式．
I = R2cos2j dq 2 + R2dj 2.
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3.3 曲面的第一基本形式-例子
例. 求旋转面的第一基本形式． 解：旋转面的参数表示为 r = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v)),
直接计算得 E = ru ∙ ru = f2(v), F = ru ∙ rv = 0, G = rv ∙ rv = f'2(v)+ g'2(v),
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作业
P104 1（1）、4、7、8（1）
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式复习课
等距
A(t0 )
u, v ) (C ) r P(
B ( t1 ) ( S ) : r r (u, v )
r [u(t ), v(t )]
s AB
t0 t1
du dv du dv E 2F G dt dt dt dt dt
2.曲面上曲线的弧长
du dv du dv s E 2F G dt t0 dt dt dt dt 3.曲面上两方向的夹角
t1
2
2
cos
Eduu F (duv dvu) Gdvv Edu2 2Fdudv Gdv 2 Eu 2 2Fuv Gv 2
作业
P81：
1, 3, 4, 5, 9, 10
2.6 保角变换
定义 曲面( S )与( S )之间的一个变换， 则称这个变换 如果使曲面上对应曲线 的交角相等， 为保角变换 (或保形变换或共形变换 ). 定理 两个曲面之间的变换是 保角变换 它们第一基本形式成比 例. 2 “ ” 若第一基本形式成比例 ， 证： 则 (u, v ) 0, I I .
又 x OP cosv 2 R tanu cosv y OP sinv 2 R tanu sinv
z
u
平面的参数表示为： . P ( x, y, z ) x 2 R tanu cosv y O y 2 R tan u sin v , 易计算出： . P ( x, y,0) v . P ( x , y,0) z0 x 球面的第一基本形式为 ： I ds2 4R2 (du2 sin2 u cos2 udv2 ), 平面的第一基本形式为 ： 2 4R 2 2 2 2 2 I ds ( du sin u cos udv ), 4 cos u 1 的一个保角变换. I I . 球极投影是球面到平面 4 cos u
曲面的第一基本形式在曲面论中的作用
曲面的第一基本形式在曲面论中的作用微分几何学主要是运用数学分析的理论研究空间曲线或曲面在它一点领域的性质，是研究一般的曲线在小范围上的性质的数学分类学科．1827年高斯发表的《关于曲面的一般研究》著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础．高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学．主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等．他的理论奠定了近代形式曲面论的基础． 1 曲面的第一基本形式的定义及计算公式给出曲面S ：),(v u r r =上的曲线（C ）;)(),(t v v t u u ==或)](),([t v t u r = ．对于曲线（C ）有dtdv r dt du r dt dr v u +=,或者dv r du r dr u u +=．若以s 表示曲面上曲线的弧长，则=+==222)(dv r du r dr ds v v 22222dv r dudv r r du r v v u u ++．令v u v v u u r r F r r G r r E ===,,，则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=．这是关于v d u d,的一个二次形式，称为曲面S 的第一基本形式．表示为 222Gdv Fdudv Edu I ++=它的系数v v v u u u r r G r r F r r E ===,, 称为曲面S 的第一基本量[1]（P67-68）．例 求球面}sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r = 的第一基本形式．解 }sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r =． 可得出}0,cos cos ,sin cos {ψθψθψR R r -=}cos ,.sin sin ,cos sin {θψθψθθR R R r --=由此得到曲面的第一基本量为222,0,cos R r r G r r F R r r E ======θθθψψψθ ．因而22222cos θψθd R d R I +=．曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位．而对于曲面的特殊参数表示),,(y x z z =有yz q q r x z p p r y x z y x r y x ∂∂==∂∂===},,1,0{,}.,0,1{)},,(,,{ ． 由定义得221,,1q r r G pq r r F p r r E y y y x x x +====+==．曲面的第一基本形式为 2222)1(2)1(dy q pqdxdy dx p I ++++=．由上式知0,022>=>=v u r G r E ，又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式0)()(22222>⨯=-=-v u v u u r r r r r r F EG v ．因此第一基本量G F E ,,满足不等式0,0,02>->>F EG G E ．这表明第一基本形式是正定的，这个结论也可由2ds I =直接得出． 2 第一基本形式在求曲线弧长的作用由曲面的第一基本形式的定义知以s 表示曲面上曲线的弧长,则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线（C ）上两点)(),(00t B t A ．则弧长为 S=⎰⎰++=101022)(2)(t t t t dt dtdv G dt dv dt du F dt du E dt dt ds 从而对曲线弧长的求法提供了一种更简洁的解法．3 利用第一基本形式求曲面上两方向的夹角前面已经提到过曲面),(v u r =上一点(00,v u )的切方向称曲面上的方向，它只能表示为dv v u r du v u r dr v u ),(),(0000 +=．其中),(00v u r u 和),(00v u r v 是过),(00v u 点的坐标曲线的切向量．给定了曲面的参数表示式后u r 和v r 是已知的，因此给出了一方向dr 就等于给出一对值,,dv du 不过方向和dr 的长度无关，所以给出dv du :就能确定曲面的一方向．我们以后经常用（d ）dr ,或dv du :表示曲面上的一方向[1]（P80-82）．给出曲面上两方向（dv du :）和(v u δδ:),我们把向量dv r du r dr v u +=和v r u r r v u δδδ+=间的夹角称为方向（dv du :）和（v u δδ:)间的角． 即222222)(cos v G v u F u E Gdv Fdudv Edu vGdu u dv v du F u Edu δδδδδδδδθ+++++++=．由这个公式可以推出曲面上两个方向（dv du :）和(v u δδ:)垂直的条件是：v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++)(0=．例 在曲面上一点，含dv du ,的二次方程：0222=++Rdv Qdudv Pdu 确定两个切方向（dv du :）和（v u δδ:）．证明这两个方向互相垂直的充要条件是02=+-GP FQ ER ．证明 因为dv du ,不能同时为0．不妨假设0≠dv ．让0222=++Rdv Qdudv Pdu 两端同除以2dv 可以化为 02)(2=++R dvdu Q dv du P 又因为方程有两个切方向（d ）和(δ)， 所以v u dv du P Q v u dv du δδδδ⋅⋅-=+2PR =． 但是两方向（d ）和（δ）垂直， 则有0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ．即 0)(=+++⋅G vu dv du F v u dv du Eδδδδ． 从而得 02=+-+⋅G P Q F P R E ． 所以 02=+-GP FQ ER ．此外我们还可以求出坐标曲线u -曲线（v =常数）和v -曲线（u =常数）的夹角ω的表达式，因为u r 和v r 是坐标曲线的切向量，所以v u r r,间的夹角ω为: EG F r r r r v v u u =⋅= ωcos ．由此推出曲面的坐标网是正交的必要条件是0=F ．4 正交曲线族和正交轨线给出两族曲线00=+=+v D u C Bdv Adu δδ， 如果它们正交，由0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ可以得出0)(=⋅+++uv du dv G u v du dv F E δδδδ （１） 即 0)(=⋅++-DC B A GD C B A FE 或 0)(=++-GAC BC ADF EBD ．如果给出一族曲线0=+Bdv Adu则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线．从(1)中可以看出正交轨线的微分方程是0)()(=-++-+uv B A u v B A F E δδδδ 即 AGBF AF BE u v ---=δδ 5 利用第一基本形式可求曲面域的面积设曲面S ：),(v u r = 给出曲面S 上一个区域D ，我们将推导其面积的计算公式．首先把曲面域用坐标曲线u=常数与v=常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形． u-曲线和v-曲线越密，那些完整的曲边四边形就越接近平行四边形，而那些不完整的曲边四边形的面积子整个曲面域面积里所占的比重就越小，以至于可以略去．取以点),(),,(),,(dv v u dv v du u v u +++为顶点的曲边四边形，可以近似地把它换成切平面上的平行四边形．这个平行四边形一以切于坐标曲线的向量du r u 与dv r v 为边．我们把所取的曲边四边形的面积可以认为近似地等于du r u ,dv r v 为边的平行四边形的面积．由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以他们夹角的正弦． 于是上述的平行四边形 的面积dudv r r dv r du r d v u v u ⨯=⨯=σ．因此曲面域D 的面积σ可由二重积分来表示：σ的面积=dudv r r d Dv u ⎰⎰⎰⎰⨯= σ 这里的区域D 是曲面域D 相应的),(v u 平面上的区域．由于 0)()(22222>-=-=⨯F EG r r r r r r v u v u v u所以σ 的面积=dudv F EG D⎰⎰-2．由此我们看到的曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的夹角以及曲面域的面积都可以用第一基本形式G F E ,,来表示．仅由第一基本形式出发所建立的集合性质称为曲面的内在性质（或内蕴性），以上这些性质都是曲面的内蕴性质．6 等距变换和保角变换上的作用定义1[1]（P75-78） 曲面之间的一个变换．如果它保持曲面上任意趋向的长度不变，则这个变化称为等距变换（保长变换）．定义2[1]（P78-81） 曲面之间的一个变换．如果使曲面上对应曲线的夹角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）．显然每一个等距变换都是保角变换，但保角变换一般不是等距变换．而我们在上面所述的曲面的弧长，夹角．，曲面与的面积等都是等距不变量（保长不变量）．今后我们把曲面上这种仅仅由G F E ,,表示出来的几何量称曲面的内蕴量．利用等距变换的概念，我们可以把曲面进行一种分类：使等距等价的曲面属于同一类，不等距等价的曲面属于不同类，根据这种分类，则每一个可展曲面和平面是同类的．我们说根据等距等价的曲面有相同的内在性质，因为这样的性质不因曲面的弯曲而改变．当曲面受到弯曲时，曲面的外表（曲面与其所在的外界空间的关系）改变了，但内在性质没有变．例如我们可以把一张弯曲成各式各样的可展曲面，从外表看，他们很不相像，但它们却有完全相同的内在性质．必须指出的是，无论谈等距变换、弯曲、贴合或内在性质，一般总是限于有关曲面的一定范围以内．例如在悬链面和正螺面的等距对应中，悬链面上每一个圆仅仅对应于一条圆柱螺线的一段；圆是闭曲线而圆柱螺线则不是，这两个曲面不但“局部”的内在性质是相同的，而且相关大面积的内在性质也是相同的，但我们不说，它们有相同的“整体（如果不是指相对的整体而是指绝对的整体）的内在性质．”7 曲面的高斯曲率的应用在曲面论的许多问题中，运用的较多的是高斯曲率．设21,k k 为曲面上的一点的主曲率，则它们的乘积21k k 称为曲面在这一点的高斯曲率． 通常以K 表示，即,2221FEG M LN k k K --== 其中vu v u vv uv uu v u u r r r r n n r M n r N n r L r G r r F r E ⨯⨯=⋅=⋅=⋅=>==>=,,,,0,,022．那么如何运用高斯曲率确定曲面的第一基本形式需要进一步的验证．假设曲面S 的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系),(v u ,因而它的第一基本形式为22),(dv v u G du I +=且),(v u G ．满足条件：0),0(,1).0(==v G v G u ．根据高斯曲率的内蕴表达式， 有uu u u v vG G E G G E EG K )(1}])([])({[1-=+-= 所以G 作为u的函数，满足二阶常数齐次方程0)(=+G K G uu ． 初始条件是0),0()(,1),0(==v G v G u ，根据K 的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是（1）0>K );cos(u K G =(2)0=K 1=G ；（3）0<K ).(u K ch G -=则常曲率曲面的第一基本形式分别为）：[2]（P62-78）若S 有正常数高斯曲率K , ;)(cos 222dv u K du I += 若S 的高斯曲率为零， 22dv du I +=，若S 有负常数高斯曲率K ，222)(dv u K ch du I -+=．由上面的结论可推出：由相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应． 由此不难看出，高斯曲率是曲面的内蕴量． 在曲面论的研究中发挥了重要作用．对上面的课题的研究只是曲面的第一基本形式的重要推广，而更为重要的是引用曲面的第一基本形式为以后讨论曲面弯曲性质的第二基本形式共同构成了曲面论的基本定律．故对于后面的曲线网及各种曲率都离不开第一基本形式的作用，这里着重讨论了高斯曲率，因为所研究的曲面都是和这个曲率相关的，以及后面的测地线曲率都是和Causs 曲率相关的．而Causs 又有第一基本形式的参数决定，所以第一基本形式是很重要的．8 第一基本形式在实践中的应用在生活实践中，很多方面都涉及到微分几何知识．如何灵活而有效的利用曲面的微分几何知识，显得至关重要．在外形设计上，把它作为曲面造型的辅助工具，是一项富有实用价值的研究课题．近年来这方面的研究也较为活泼，已有相当多的文献给出参数曲面，网络曲面，点云曲面上的测地线的计算方法，以及在蓬帆制造[3]（P137－139）、切割或油漆路径设计、光路径设计[4](1467-1475)、流程模拟活动轮廓、机器人行走路径规划等工业领域的应用．还在工程技术的应用、复杂曲面的外板的展开，这种技术在飞机机身、汽车外壳、轮船船体、涡轮叶片、薄壳屋顶等外形设计中有着实际的应用，这一切的一切都与曲面的第一基本形式是不可分割的．。
微分几何第二章曲面论第二节曲面的第一基本形式
2.4 曲面域的面积
D
v v ) P3 (u u, v v ) ru u
P1 (u u, v ) P ( u, v ) PP 1 r ( u u, v ) r ( u, v ) ( ru 1 )u ru u. ( u 0时) PP2 r (u, v v ) r (u, v ) (rv 2 )v rv v. (v 0时) PP 1 PP 2 d ru u rv v ru rv dudv
曲纹坐标方程有关，不 需要知道曲线的形状 .
2.2 曲面上两方向的交角
( S )在点P (u, v )处的两个切方向 定义 已给曲面 称相应的切向量 (d ) du : dv和( ) u : v， dr rudu rv dv和r ruu rvv 之间的夹角 为这两个切方向 (d )和( )之间的夹角 .(0 ) 计算公式 dr r dr r cos , dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) cos 2 dr r ( ru du rv dv) ( ruu rvv ) 2
则ds Edu 2Fdudv Gdv .
2 2 2
称为曲面的第一基本形 式. 记作I .
即
其中
I Edu 2Fdudv Gdv 2 2 E ru , F ru rv , G rv
2
2
称为曲面的第一类基本 量. 对于曲面S : z z( x, y )， 有r { x, y, z( x, y)} ， z z 于是rx {1,0, p}， ry {0,1, q}， 其中p ，q ， x y 2 2 2 2 E rx 1 p , F rx ry pq, G ry 1 q .
4 曲面的第一基本形式
微分几何Differential Geometry 第4 讲曲面第一基本形式3,=(,),,S E r r u v P S ∀∈设是的曲面其参数方程为则span{,}P u v T S r r =,,P u v X T S X r r X λμ∀∈=+的长度平方为.,,2,,22〉〈+〉〈+〉〈=〉〈u u v u u u r r r r r r X X μμλλGF E X X 222,μμλλ++=〉〈,,,,,,u u u v v v E r r F r r G r r =〈〉=〈〉=〈〉如果令()((),()),(,),r t r u t v t t a b =∈曲面曲线的参数方程为d d d ,d d d u v r u v P r r t t t=+曲线在点的切向量为22d d d d d d ,,2,,d d d d d d u u u v v v r r u u v v r r r r r r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫〈〉=〈〉+〈〉⋅+〈〉 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,d |()|d .b b a a s s s r t t Γ'==⎰⎰设表示曲线的弧长则由空间曲线弧长定义()((),( ))S r t r u t v t =定义曲面上曲线的1弧长定义为22d d d d d d ,,2,,d d d d d d u u u v v v r r u u v v r r r r r r t t t t t t ⎛⎫⎛⎫〈〉=〈〉+〈〉⋅+〈〉 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭|()|d b as r t t '=⎰22d d d d 2.d d d d u u v v E F G t t t t ⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a t t v G t v t u F t u E .d d d d d d d 2d d 22222d d d d d d 2d d d d ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛t v G t v t u F t u E t s 所以222d d d 2d d v G v u F u E s ++=可得一个二次微分式22d (d )s s =曲面的第一基本形式.0>系数矩阵.d d )d ,d (⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=u u G F F E v u 22I=d 2d d d S E u F u v E v S 定义2曲面上的二次微分式++为曲第一基面的本形式.d ,d S u v 正则曲面的第一基本形式是的正命题1定二次型.00 ,E G >>由定义可知：证明.2I ds =所以是正定二次型.2|u v g EG F r r =-=⨯|为第一基本形式的系数行列式.,,E F G S 函数称为曲面的第一基本量.正则曲面的第一基本形式与参数选命题2择无关.22)(v u r r F EG G F F E ⨯=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛〉〈=r r d ,d I曲面的第一基本形式正则曲面的第一基本形式与参数选命题2择无关. 证明(,)d ,r u v r 记向量值函数的一阶微分式为d ={d (,),d (,),d (,)}r x u v y u v z u v ={d d ,d d ,d d }u v u v u v x u x v y u y v z u z v +++={,,}d {,,}d u u u v v v x y z u x y z v+d d u v r u r v=+2I d d ,d r r r ==〈〉,d d d 2d 22v G v u F u E ++=由一阶微分形式的可知:曲面的第一基本形式与参数选形式不变性择无关.(),(0),r t t t t t →+∆∆→考虑曲面曲线当时()(),r t r t t →+∆曲线的改变量为d d ()()()d d u u u u r r t t r t r r t t t∆=+∆-≈+∆.ΔΔΔΔ2ΔΔv v G v u F u u E ++u v r u r v =∆+∆()(+)()r t r t t r t ∆-则曲面曲线增量的长度平方约为00I lim(2)u v E u u F u v G v v ∆→∆→=∆∆+∆∆+∆∆则,第一基本形式是曲面曲线增量长度平方的极限形式或者说它是曲面曲线弧长微元的的平方.2d s =.第一基本形式的几何意义例子,1d d d d :==⎩⎨⎧==Γtv t u t v t u 解,sinh ,0,12t G F E ===沿曲线⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ba t t v G t v t u F t u E s .d d d d d d d 2d d 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a t t v t t u d d d sinh d d 222⎰+=b at t d sinh 12⎰=b at t d cosh .sinh sinh a b -=例1.,d sinh d I 222的弧长到从：求曲面曲线为设曲面的第一基本形式b a v u v u u =Γ+=例子例2.)0,,(的第一基本形式求平面y x r = ).0,1,0(),0,0,1(==y x r r 求偏导数可得解,1,0,1===⇒G F E .d d I 22y x +=所以例3.I ))(,sin )(,cos )((的求旋转曲面u g v u f v u f r = 解),,sin ,cos (g v f v f r u '''= ),0,cos ,sin (v f v f r v -= ,0,,,22=〉〈='+'=〉〈=⇒v u u u r r F g f r r E ,,2f r r G v v =〉〈= .d )(d ))()((I 2222v u f u u g u f +'+'=所以特别则曲面为球面当),(,sin ,cos 2R S u R g u R f ==.d cos d I 22222v u R u R +=曲面曲线的夹角.d d d 2d I 22v G v u F u E ++=曲面第一基本形式为))(),(:),(),(:111111t v v t u u t v t u u P S ==Γ=ΓΓΓ的参数方程分别为和点的曲线上两条交与设曲面,δδδd d d 1v r u r r v r u r r v u v u +=+=ΓΓ和的切方向分别为和设|δ||d |δd cos r r r r ⋅⋅=θ.δδδ2δd d d 2d δd )δd δd (δd 2222v G v u F u E v G v u F u E v v G v v u u F u u E +++++++=.11θ夹角点的切方向之间的在和点的夹角是在和P P ΓΓΓΓ定义41ΓΓθ.0δd )δd δd (δd δ,d =+++⇒v v G v v u u F u u E r r 正交的充要条件是曲面上的两个切方向例子例4.:,d )(d I 12222的夹角和：求曲面上的曲线为设曲面的第一基本形式v u v u v a u u =Γ-=Γ++=解,,0,1,,)0,0(21a G F E P P ====ΓΓ点处在点 1:1δ:δ,11d :d 1=-=ΓΓv u v u ：由于的切向为与2222δδδ2δd d d 2d δd )δd δd (δd cos vG v u F u E v G v u F u E vv G v v u u F u u E +++++++=θ2222222δδd d δd δd va u v a u v v a u u +++=,1122a a +-=.11arccos 22aa +-=θ所以注记.,线的切方向即可面的第一基本形式和曲只要知道曲曲面和曲线的形状解这类题目不需要知道曲面域的面积r vO u Dv v Δ+u vuu Δ+),(v u P ),Δ(v u u Q +)Δ,Δ(v v u u R ++)Δ,(v v u M +,0,.u v PQRM ∆∆→由微元法,当时曲线四边形的面积近似等于切平面上一个小平行四边形的面积d ,d .u v r u r v 这个小平行四边形以为边,平行四边形的面积等于边长外积的绝对值即区域的面积微元v u r r v r u r v u v u d d |||d d |d ⨯=⨯=σ,d d 2v u F EG -=2=d d .D EG F u v σ-⎰⎰所以区域的面积为S 把曲面上仅由第一基本量决定的几何性质和几何量称为曲定义5内蕴面的性和内蕴量.例子例5.1,d )(d I 2222积所围的曲边三角形的面和求曲线式为已知曲面的第一基本形=±=++=v av u v a u u 解.10,:≤≤≤≤-v a u a D u v O )1,(a )1,(a -2222d )(d I v a u u ++=222au F EG +=-⎰⎰⎰⎰+=-=D D vu a u v u F EG A d d )(d d 222⎰⎰-+=a a u a u v d d 2210⎰+=au a u 022d 2a a u u a a u u 022222|)]ln(22[2++++=).21ln(222++=a a相关结论).,(I ),(I ),,(),(:,),,(,:11133v u v u v u r v u r S S E v u r r E S =ψ=ψ=则曲面变为它将曲面变换的合同是中的正则曲面是如果即 证明0()T+,(,),T (3),P P P P r u v O ψ=⋅=∈设是合同变换11()T,()T,u u v v r r r r =⋅=⋅则〉〈=u u r r E )(,)(111 ,,,E r r T r T r u u u u =〉〈=〉⋅⋅〈= 1111,,,,E F G S 设是曲面的第一基本量则11=,,F FG G 同理可得:=1.S S 即曲面与曲面的第一基本形式相同命题33.E 正则曲面的第一基本形式在的合同变换下不变小结221.I d 2d d d S E u F u v G v =++曲面的第一基本形式：,,E F G 函数为曲面的第一基本量.)).((由曲面的第一基本量决定的几内蕴量性何量性质质:,,.求曲面曲线的弧长曲面曲线的夹角曲应:面域的面积用I 2.与曲面的参数变换和合同变换无关；,d d S u v 正则曲面的第一基本形式是的正定命题二次型.感谢大家的聆听！。
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F EG
u-曲 线 ： dv 0， v-曲 线 ： u 0 .
推论3 曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
1 a 1 a
2
2
.
微分几何 第15讲 15
作业： P
81
3，5，6
谢
谢！
微分几何 第15讲 16
2 2 2 2
sinh udv
2
2
的曲面上，
ds
dv sinh vdv cosh vdv ,
2 2
1 (sin h t ) (co sh t )
在曲线u = v上，由 v1到 v 2 的弧长为
v2 v1
co sh vd v = | sin h v 2 sin h v1 | .
2
dr r (r udu r vdv )( u r v ) r u v
= Edu u F ( du v dv u ) Gdv v
cos
E du u F ( du v dv u ) G dv v
§2.2 曲面的第一基本形式
1
主要内容
1. 曲面的第一基本形式
t1 t0
曲面上曲线的弧长
2 2 2 2 Ⅰ=d r d s E du 2 F dudv G dv
s (t )
r ( t ) d t =
t
t0
t1t1
0
EE d u ) 2 F d u d v G d v ) d t ( G( dt dt dt dt
微分几何 第15讲 8
发散： 作变换
例题2
在第一基本形式为Ⅰ= du 2 求方程为u = v的曲线的弧长.
t t t t 解 依题意，得 eds du sinh udv ， e e e sin , co sh t 提示： h t 沿曲线u = v有du=dv, 则 2 2 (sinh t ) 2 cosh t , 2 (cosh t ) 2 sinh t2 2 2
rt { ( t ) cos , ( t ) sin , ( t )} F r rt 0 .
所以坐标网是正交网 . 发散：圆柱面、球面、正螺面的坐标网也正交.
微分几何 第15讲 13
例题4
( P8 1 4 ) 曲面的第一基本形式： d u ( u a ) d v .
E(0,0) =1，F(0,0) =0， G (0 ,0 ) a .
2
微分几何 第15讲 14
例题4
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
1 d x d y .
2 2
对于圆柱面 r = a co s u , a sin u , v 2 2 2 ru = - a sin u , a co s u ,0 , rv = 0 ,0,1 2 a d u d v .
x=au , 两者有相同的第一基本形式. y=v
微分几何 第15讲 10
两方向的夹角公式
dr r 设 d r 与 r 的夹角为 ， cos ， 则 dr r 2 2 2 dr E du 2 F dudv G dv ,
2 2 r E u 2F u v G v
微分几何 第15讲 2
预备知识
光滑曲线
r r ( t ) 由a到t
的弧长公式
s (t )
t a
r ( t ) d t
结论
2 ds = dr
2
微分
ds r ( t ) dt
s (t )
t
ds
a
平方
2 2 2 d s = ( d s ) r ( t ) d t d r
微分几何 第15讲 9
2. 曲面上两方向的夹角
给出曲面上两个方向 ( d ) ( du : dv ) 和 ( ) ( u : v )
把向量 d r ru d u rv d v
与 r ru u rv v
间的夹角称为
方向 ( du : dv ) 与 ( u : v ) 间的夹角. 也称此夹角为两曲 线的夹角.
（已知u,v直接关系式时使用此式）
s
t1 t0
ds =
t1 t0
ds dt
dt =
t1 t0
E(
du dt
) 2F
2
du dv dt dt
G(
dv dt
) dt
2
（已知曲线的参数方程u=u(t), v=v(t), 时使用此式）
微分几何 第15讲 6
直角方程时曲面的第一基本形式
若曲面方程为 z z ( x , y )，则可化为参数方程
第一基本形式
(1 + p ) d x 2 p q d x d y (1 q ) d y .
2 2 2 2
微分几何 第15讲 7
例题1
求平面与圆柱面的第一基本形式.
解 对于平面 ，可令方程:
r x , y , 0
rx {1, 0, 0} , r y {0,1, 0} , 2 2 E rx 1, F rx r y 0, G r y 1,
或 d r ru d u rv d v ，
若以s表示曲面上曲线的弧长，则
2 2 = ( ru d u rv d v ) ds =dr 2 2 2 2 ru d u 2 ru rv d u d v rv d v
２
微分几何 第15讲 4
曲面的第一基本形式
2
2
2
∵E(0,0) =1，F(0,0) =0， G (0 ,0 ) a .
co s d u u a d v v
2
du a dv
2 2
2
u a v
2 2
2
又 du dv , u v
co s
1 a 1 a
2
2
, arcco s
2 2 2 2 2 d s = d r ru d u 2 ru rv d u d v rv d v
2
2 令 E ru ,
F ru rv ,
2 G rv ,
第一基本量 第一基本形式
2 2 2 2 Ⅰ= d r d s E du 2 F dudv G dv .
2 2 2 2
求它上面两条曲线 u v =0 ， u - v =0 的交角.
解
由 u v =0 ， u - v =0 得 du dv， u v .
由
d u (u a ) d v
2 2 2 2
得
2
E 1, F 0, G u a .
2
曲线 u v= 0， u-v= 0 的交点是(0,0),
22
2
du
du dv
dv 2
2. 曲面上两方向的夹角
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
思考： 两曲面间的曲线保长、保角的依据？ 曲面上是否还有与曲面形状无关的几何量？
Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
微分几何 第15讲 11
推论
推论 1 两方向 d r 与 r 垂直的充分必要条件是
E du u F ( du v dv u ) G dv v 0
推论 2 设坐标曲线的切向量 ru 与 rv 的夹角为 则
2
2
微分几何 曲面S:
r r (u , v )
曲面上曲线的弧长
上的曲线(C): r r ( u ( t ), v ( t ))
对于曲线(C)有
du dv r ( t ) ru rv dt dt
曲面上曲线的弧长由这个二次形式决定.
微分几何 第15讲 5
曲面上曲线的弧长
曲线(C)上两点 A ( t 0 )、 B ( t1 )
s (t )
( t 0 t1 )
之间的弧长：
2 2
t1 t0
r ( t ) d t
t1 t0
ds
t1 t0
Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
微分几何 第15讲 12
例题3
证明旋转曲面
r { ( t ) cos , ( t ) sin , ( t )}
的坐标网是正交网.
证明
r { - ( t ) sin , ( t ) co s , 0}，
r { x , y , z ( x , y )},
z rx {1, 0 , } {1, 0, p } , x 2 E rx rx 1 p , F rx
z r y {0,1, } {0,1, q } , y ry p q , G ry ry 1 q 2 ,