曲面的第一基本形式

或 d r ru d u rv d v ，
若以s表示曲面上曲线的弧长，则
2 2 = ( ru d u rv d v ) ds =dr 2 2 2 2 ru d u 2 ru rv d u d v rv d v
２
微分几何 第15讲 4
曲面的第一基本形式
微分几何 第15讲 9
2. 曲面上两方向的夹角
给出曲面上两个方向 ( d ) ( du : dv ) 和 ( ) ( u : v )
把向量 d r ru d u rv d v
与 r ru u rv v
间的夹角称为
方向 ( du : dv ) 与 ( u : v ) 间的夹角. 也称此夹角为两曲 线的夹角.
微分几何 第15讲 10
两方向的夹角公式
dr r 设 d r 与 r 的夹角为 ， cos ， 则 dr r 2 2 2 dr E du 2 F dudv G dv ,
2 2 r E u 2F u v G v
2 2 2 2 2 d s = d r ru d u 2 ru rv d u d v rv d v
2
2 令 E ru ,
F ru rv ,
2 G rv ,
第一基本量 第一基本形式
2 2 2 2 Ⅰ= d r d s E du 2 F dudv G dv .
ru cos ru rv rv
F EG
u-曲 线 ： dv 0， v-曲 线 ： u 0 .
推论3 曲纹坐标网是正交网的充分必要条件是F=0.
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
22
2
du
du dv
dv 2
2. 曲面上两方向的夹角
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
思考： 两曲面间的曲线保长、保角的依据？ 曲面上是否还有与曲面形状无关的几何量？
Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
微分几何 第15讲 11
推论
推论 1 两方向 d r 与 r 垂直的充分必要条件是
E du u F ( du v dv u ) G dv v 0
推论 2 设坐标曲线的切向量 ru 与 rv 的夹角为 则
2
2
微分几何 第15讲 3
§2.2 曲面的第一基本形式
1.曲面的第一基本形式 曲面S:
r r (u , v )
曲面上曲线的弧长
上的曲线(C): r r ( u ( t ), v ( t ))
对于曲线(C)有
du dv r ( t ) ru rv dt dt
第一基本形式
(1 + p ) d x 2 p q d x d y (1 q ) d y .
2 2 2 2
微分几何 第15讲 7
例题1
求平面与圆柱面的第一基本形式.
解 对于平面 ，可令方程:
r x , y , 0
rx {1, 0, 0} , r y {0,1, 0} , 2 2 E rx 1, F rx r y 0, G r y 1,
1 d x d y .
2 2
对于圆柱面 r = a co s u , a sin u , v 2 2 2 ru = - a sin u , a co s u ,0 , rv = 0 ,0,1 2 a d u d v .
x=au , 两者有相同的第一基本形式. y=v
2 2 2 2
sinh udv
2
2
的曲面上，
ds
dv sinh vdv cosh vdv ,
2 2
1 (sin h t ) (co sh t )
在曲线u = v上，由 v1到 v 2 的弧长为

v2 v1
co sh vd v = | sin h v 2 sin h v1 | .
曲面上曲线的弧长由这个二次形式决定.
微分几何 第15讲 5
曲面上曲线的弧长
曲线(C)上两点 A ( t 0 )、 B ( t1 )
s (t )
( t 0 t1 )
之间的弧长：
2 2

t1 t0
r ( t ) d t

t1 t0
ds

t1 t0
Edu 2 Fdudv G dv
2
dr r (r udu r vdv )( u r v ) r u v
= Edu u F ( du v dv u ) Gdv v
cos
E du u F ( du v dv u ) G dv v
（已知u,v直接关系式时使用此式）
s

t1 t0
ds =

t1 t0
ds dt
dt =
t1 t0
E(
du dt
) 2F
2
du dv dt dt
G(
dLeabharlann Baidu dt
) dt
2
（已知曲线的参数方程u=u(t), v=v(t), 时使用此式）
微分几何 第15讲 6
直角方程时曲面的第一基本形式
若曲面方程为 z z ( x , y )，则可化为参数方程
rt { ( t ) cos , ( t ) sin , ( t )} F r rt 0 .
所以坐标网是正交网 . 发散：圆柱面、球面、正螺面的坐标网也正交.
微分几何 第15讲 13
例题4
( P8 1 4 ) 曲面的第一基本形式： d u ( u a ) d v .
2 2
E u 2 F u v G v
2
2
微分几何 第15讲 12
例题3
证明旋转曲面
r { ( t ) cos , ( t ) sin , ( t )}
的坐标网是正交网.
证明
r { - ( t ) sin , ( t ) co s , 0}，
微分几何 第15讲 2
预备知识
光滑曲线
r r ( t ) 由a到t
的弧长公式
s (t )

t a
r ( t ) d t
结论
2 ds = dr
2
微分
ds r ( t ) dt
s (t )

t
ds
a
平方
2 2 2 d s = ( d s ) r ( t ) d t d r
1 a 1 a
2
2
.
微分几何 第15讲 15
作业： P
81
3，5，6
谢
谢！
微分几何 第15讲 16
2 2 2 2
求它上面两条曲线 u v =0 ， u - v =0 的交角.
解
由 u v =0 ， u - v =0 得 du dv， u v .
由
d u (u a ) d v
2 2 2 2
得
2
E 1, F 0, G u a .
2
曲线 u v= 0， u-v= 0 的交点是(0,0),
2
2
2
∵E(0,0) =1，F(0,0) =0， G (0 ,0 ) a .
co s d u u a d v v
2
du a dv
2 2
2
u a v
2 2
2
又 du dv , u v
co s
1 a 1 a
2
2
, arcco s
r { x , y , z ( x , y )},
z rx {1, 0 , } {1, 0, p } , x 2 E rx rx 1 p , F rx
z r y {0,1, } {0,1, q } , y ry p q , G ry ry 1 q 2 ,
§2.2 曲面的第一基本形式
1
主要内容
1. 曲面的第一基本形式
t1 t0
曲面上曲线的弧长
2 2 2 2 Ⅰ=d r d s E du 2 F dudv G dv
s (t )

r ( t ) d t =
t
t0
t1t1
0
EE d u ) 2 F d u d v G d v ) d t ( G( dt dt dt dt
微分几何 第15讲 8
发散： 作变换
例题2
在第一基本形式为Ⅰ= du 2 求方程为u = v的曲线的弧长.
t t t t 解 依题意，得 eds du sinh udv ， e e e sin , co sh t 提示： h t 沿曲线u = v有du=dv, 则 2 2 (sinh t ) 2 cosh t , 2 (cosh t ) 2 sinh t2 2 2
E(0,0) =1，F(0,0) =0， G (0 ,0 ) a .
2
微分几何 第15讲 14
例题4
co s E d u u F ( d u v d v u ) G d v v Edu 2 Fdudv G dv
2 2
E u 2 F u v G v