根轨迹基本概念

m
sz
j 1 n i 1
m
j
推导的结果
s p
n i 1
1 * K
i
G1 ( s ) H1 ( s ) ( s z j ) ( s pi )
j 1
相角条件：
* 2k 1 , K 0 m n j i 2k , K* 0 j 1 i 1 k 0, 1, 2,
1 G1 ( s ) H1 ( s ) * K
G1 ( s ) H1 ( s ) 2k 1 , G1 ( s ) H1 ( s ) 2k , k 0, 1, 2,
*
基本公式
K 0
*
K 0
进一步设：
G ( s) H ( s) K
(
j 1 n i 1
m
m 1
得闭环系统的 根轨迹方程： 基本公式
1 K G1 ( s ) H1 ( s ) 0
*
1 G1 ( s ) H1 ( s ) * K
由闭环系统的根轨迹方程：
1 K G1 ( s ) H1 ( s ) 0
*
1 G1 ( s ) H1 ( s ) K*
得根轨迹的幅值条件和相角条件：
四、本章学习方法 通过具体习题练习和总结记 忆掌握根轨迹绘制方法，不要死 记硬背各种绘制法则，要多总结 归纳典型极、零点分布对应根轨 迹的大致图形。
切记：没有时域分析法的基础，根 轨迹法只是一个“空中楼阁”。离 开时域分析法来谈根轨迹方法是没 有意义的，所以在学习根轨迹方法 的时候要注意联系时域分析法的知 识和结果。事实上，根轨迹方法只 是时域分析方法的一种辅助图解法。 两者正好相辅相成，并共同创造了 一个完美的组合。
设系统的闭环传递函数为：
G (s) (s) 1 G (s)H(s)
设系统的开环传递函数为：
* m m 1
基本公式
K ( s b1s bm1s bm ) G s H s n n 1 s a1s an 1s an
基本公式
特征方程为：1 因此可得：
4.1 根轨迹法的基本概念
一、根轨迹定义（纯数学定义）：
s n a1s n1 an1s an K * s m b1s m1 bm1s bm 0
a 式中， 1 ,, an1 , an ; b1 ,, bm1 , bm 为实常数，
0.6 0.8
1.0
-1±j0.45 -1±j0.77
-1±j1
20.0 50.0
+∞
-1±j6.24 -1±j9.95
-1±j∞
以Kr=K*为参数的数学曲线可以根据计算的数据表绘出：
j
K* G(s) H( s) s(0.5s 1)
Kr
[s]
Kr K *
P K r 0 1
3.分析方法及思路 1）从数学模型的建立看开环传递函数的特点： 物理元件→典型环节→开环结构→闭环结构→系统数学模型
（1）开环结构中的典型环节直接对应着开环传递函数的零极 点，-------很容易获得；
（2）各个典型环节中的参数可以直接反映系统的物理参数， 这一点对分析系统和改造系统非常有利； （3）可以直接求取稳态误差； (4）同各种传递函数（如闭环传递函数和误差传递函数）有 简单的关系。 2)一个美好的愿望： 开环零极点图+开环增益→闭环零极点全部可能的分布图→ 分析系统的三大类性能。
-2
(K*r ½） K = 1
-1
P K r 0 2
0

Kr
图4-1 例4-1的根轨迹
当系统参数 K *为某一确定的值时，闭环系统特 征方程的根在s平面上变化的位臵便可确定，由此可进一 步分析系统的性能。K * 值的变化对闭环系统特征方程的 影响可在根轨迹上直观地看到，因此系统参数对系统性 能的影响也一目了然。所以用根轨迹图来分析自动控制 系统是十分方便的。上例中，根轨迹图是用解析法作出 的，这对于二阶系统并非难事，但对于高阶系统，求解 特征方程的根就比较困难了。 如果要研究系统参数的变化对闭环系统特征方程根 的影响，就需要大量反复的计算。 1948年伊万斯（W· EVANS）解决了这个问题，提出 R· 了根轨迹法。该方法不需要求解闭环系统的特征方程， 只需依据开环传递函数便可会绘制系统的根轨迹图。
第四章 根轨迹法
4.1 4.2 4.3 4.4 根轨迹法的基本概念 根轨迹绘制的基本规则 广义根轨迹 线性系统性能的根轨迹分析法
一、本章内容提要: 1．介绍已知系统开环传递函数的极点、零 点的条件下确定闭环系统的根轨迹法，并分 析系统参量变化时对闭环极点位臵的影响； 2．根据闭环特征方程得到相角条件和幅值 条件由此推出绘制根轨迹的基本法则； 3．根轨迹绘制：常规根轨迹、参数根轨迹 、根轨迹曲线族、零度根轨迹; 4．根轨迹法分析系统性能
二、本章教学目的及要求: 1．掌握根轨迹的基本概念；正确理解开 环零极点、闭环零极点及根轨迹的含义； 2．掌握控制系统根轨迹的绘制方法； 3．正确绘制出不同参量变化时系统的根 轨迹图。 4．能够运用根轨迹法对控制系统进行分 析； 5．更进一步体会闭环零、极点的分布和 系统阶跃响应的定性关系。
三、本章重点、关键、难点 1．重点：根轨迹的绘制和利用根轨迹 图分析控制系统 2．关键点：根轨迹方程，幅值条件， 相角条件 3．难点：广义根轨迹的绘制
上面用解出闭环特征方程的 根，然后画成曲线得到根轨迹的 办法并没有实际意义，因为这又 回到求解高阶代数方程的问题上 了。根轨迹图之所以能被广泛应 用，就是因为有简便的作图方法 可以画出根轨迹而不必求解高阶 代数方程。
控制理论的定义
二﹑闭环系统的根轨迹定义---闭环根轨迹方程
闭环系统特征方程1 G (s)H(s) 0 的根（即闭 环极点）随开环系统某一参数（如K*)由零变化到无穷 大时在S平面上的变化轨迹就称为闭环系统的根轨迹。
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念 项目 内容
理解三大性能分析的出发点，掌握根轨迹法的实 掌握根轨迹的基本概念。根轨迹的定义及根轨迹 方程，幅角条件和幅值条件。
教 学 目 的 质目的，初步理解根轨迹的条件和作图方法。 教学重点
教 学 难 点 深刻理解开环传递函数零极点与闭环传递函数零 极点的关系，根轨迹图上反映出的系统信息。
研究动态 性能 研究稳态性能
闭环系统的特征方程
1 G s H s 0
研究稳定性
2.三大性能同各个传递函数的关系 1）稳定性：用 1 G s H s 0 分析， 只同开环传递函数有 关；实质上是研究闭环极点的分布。 2）稳态性能：用e s 传递函数有关；实质上是研究开环传递函数中原点处的极 点个数和开环增益。 3）动态性能：用 s
2
当1/2< K * <∞时， 1,2 1 j 2 K* 1 为一 s 对共轭复根，其实部恒等于-1，虚部随 K * 值的 增加而增加；
* 当 K→∞时， s1 、2 的实部都等于-1，是常 s 数，虚部趋向无穷远处 。
该系统特征方程的根随开环系统参数K r 从零 变到无穷时在S平面上变化的轨迹如图4-1所示。
讲授技巧及注 紧紧依靠时域分析所建立起来的基本概念，尽可 能地用已学过的知识导出新知识。 意事项
思考：零极点分布同单位阶跃响应之间的对应关系
欠阻尼
零阻尼 负阻尼
临界阻尼
过阻尼
c t A0 Aj e
j 1
q
s jt
Dk e
k 1
r
k nk t
Байду номын сангаас
sin dk t k
引言 1.不同研究内容所需的传递函数：
R(s)
E(s) B(s)
G(s) H(s)
C(s)
闭环传递函数：
G s C ( s) s R( s) 1 G s H s
B( s ) G s H s 闭环系统的开环传递函数 E ( s) E ( s) 1 e s 误差传递函数 R( s ) 1 G s H s
并且：
1.当 0 K * 时，特征方程根形成的 轨迹称为常规根轨迹。 2.当 K * 0时，特征方程根形成的 轨迹称为补根轨迹或余根轨迹。 3.当 K * 时，特征方程根形成的 轨迹称为完全根轨迹（简称全根轨迹），他 是根轨迹与补根轨迹的总称。 4.当特征方程有一个以上的参数在变化时， 方程的根轨迹形成族。称作广义根轨迹或根 轨迹族。
m
j
s 1) K*
(s z
j 1 n i 1 m
m
j
) K*
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
s (Ti s 1)
m
s ( s pi )
j
(s p )
i
G1 ( s) H1 ( s)
(s z
j 1 n i 1
)
设方程(注意这个方程的形式同特征方程的关系)。
K * K * 为可变参数。 设 s1 ,, sn 1 , sn 为该方程的n个根，每选择一 个K*值，就有一组根与之对应，在自变量s平面上就 会有一组极点与之对应，换一个K*值，会有一组新 的极点与之对应，当K*在实数范围内连续变化时， 对应的n个根就会在s平面内形成n条轨迹线，这些轨 迹线就称为该方程的根轨迹。
(s z
j 1 n i 1
j
)
s ( s pi )
(s p )
i
则幅值条件和相角条件可以进一步写成如下实用形式：
幅值条件：
G1 ( s ) H1 ( s )