初中函数2015经典综合试题-附答案

中考试题分类汇编--函数综合题

1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．

（1）若二次函数y ＝－x 2

－

2

5

kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式； （2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由． 解：（1）∵ α，β是Rt △ABC 的两个锐角，

∴ tan α·tan β＝1．tan α＞0，tan β＞0． 由题知tan α，tan β是方程 x 2

＋

2

5

kx －（2＋2k －k 2）＝0的两个根， ∴ tanx ·tan β＝（2＝2k －k 2

）＝k 2

－2k －2，∴ k 2

－2k －2＝1．

解得，k ＝3或k ＝－1． 而tan α＋tan β＝－

2

5

k ＞0， ∴ k ＜0．∴ k ＝3应舍去，k ＝－1． 故所求二次函数的解析式为y ＝－x 2

＋

2

5

x －1． （2）不在． 过C 作CD ⊥AB 于D ． 令y ＝0，得－x 2

＋2

5

x －1＝0， 解得x 1＝

21

，x 2＝2． ∴ A （21，0），B （2，0），AB ＝2

3

．

∴ tan α＝21，tan β＝2．设CD ＝m ．则有CD ＝AD ·tan α＝2

1

AD ．

∴ AD ＝2CD ．

又CD ＝BD ·tan β＝2BD ，

∴ BD ＝21

CD ． ∴ 2m ＋21m ＝23

．

∴ m ＝53．∴ AD ＝56

．

∴ C （1017，5

3

）．

当x ＝10

17

时，y ＝259≠53

∴ 点C 不在（1）中求出的二次函数的图象上．

2．已知抛物线2

y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，． （1）求抛物线的解析式．

（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值． （3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM

解：（1）解方程组01342k b

k b =-+⎧⎨-=++⎩

得23

k b =-⎧⎨

=-⎩，2

23y x x ∴=--．

（2）顶点(1

4)sin N ON AON -==，，∠ （3）在2

23y x x =--中，令0x =得3y =-，(03)A ∴-，， 令0y =得1x =-或3，(30)M ∴，．

S 四边形3

67.52

OAN ONM S S =+=

+=△△（面积单位）

3．如图9，抛物线y=ax 2

+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长.

(2) 求该抛物线的函数关系式．

(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？ 若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在， 请说明理由.

解：（1）32；（2）343

3

8332-+-=x x y ；（3）4个点：

)0,4(),0,0(),0,326)(0,326(+-

4．已知函数y=

x

2

和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值； (2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?

解；(1) ∵两函数的图象都经过点(1，a)，∴⎪⎩

⎪⎨⎧

+==

112k a a ∴⎩⎨

⎧==12k a (2)将y ＝

x

2

代人y=kx+l ，消去y ．得kx 2

+x 一2=0．

∵k≠O，∴要使得两函数的图象总有公共点，只要△≥0即可． ∵△＝1＋8k ， ∴1+8k≥0，解得k≥一8

1 ∴k≥一8

1

且k≠0．

5．已知如图，矩形OABC 的长3OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（ ， ）；

（2）若P ，A 两点在抛物线y=－3

4 x 2

+bx+c 上，求b ，c 的值，

并说明点C 在此抛物线上；

（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在

一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由. （1）30,（

23,2

3

）; （2）∵点P （

23,23），A （3，0）在抛物线上，故 -34×43

+b ×23 +c=23,-3

4×3+b ×3 +c=0, ∴b=3,c=1. ∴抛物线的解析式为y=-3

4x 2

+3x+1,C 点坐标为（0，1）. ∵

-3

4×02

+3×0+1=1，

∴ 点C 在此抛物上.