人教版中考数学二轮复习专题练习上二次函数与分割面积

二次函数与分割面积

1.已知如图，ABC △中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴

上，抛物线2

54y ax

ax =-+经过ABC △的三个顶点．

（1）求出该抛物线的解析式； （2）若直线7y kx =+将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式． （3）若直线y kx b =+将四边形ACBD 的周长和面积同时分成相等的两部分，请

你确定y

kx b =+中k 的取值范围．

解析：（1）由题意可知，抛物线的对称轴为：55

22

a x a -=-

=，与y 轴交点为(0,4)C ，

∴(3,0)A -，(5,4)B ，

把(3,0)A -代入2

54y ax

ax =-+得：91540a a ++=，

解之得：16

a =-

， ∴215

466

y

x x =-++．

（2）直线7y

kx =+将四边形ACBD 面积平分，则直线一定经过OB 的中点P ．

根据题意可求P 点坐标为5

(

,2)2

，

把5

(

,2)2

P 代入7y kx =+得：2k =-， ∴直线的解析式为：27y

x =-+．

（3）45k -

≤或45

k ≥．

2.如图，在平面直角坐标系中，点

A 的坐标为(1,3)，点

在

x 轴的负半轴上，

30ABO ∠=︒．

（1）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使AC OC +的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线

AB 于点D ，线段OD 把AOB △分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形

BPOD 面积比为2:3？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

解析：（1）过点A 作AF

x ⊥轴于点F ，

∵30ABO ∠=︒，A 的坐标为(1,3)， ∴3BF =． ∵1OF

=，

∴2BO =．

∴(2,0)B -．

设抛物线的解析式为(2)y ax x =+，

代入点(1,

3)A ，得33

a =

， ∴232333

y

x x =+．

（2）存在．理由如下：

设抛物线的对称轴1x =-交x 轴于点E ．

当点C 位于对称轴与线段AB 的交点时，AC OC +的值最小． ∵BCE BAF ∽△△，

∴

BE CE

BF AF

=

． ∴3

3

BE AF CE BF ⋅=

=

，

∴3(1,

3

C -． （3）存在．理由如下： 如图，连结AO ，

设(,)P P P x y ，直线AB 为y kx b =+，

∴20

k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩

，解得3

3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

． ∴直线AB

为33

y

x =+

．

∵33

BOD

P S x =

+

△，

(

3333

AOD AOB BOD P P S S S x x =-=-+=-+

△△△， 11

22

BPO BDO P D D P BPOD S S S OB y OB y y y =+=⋅+⋅=-四边形△△

22()3333333

P P P P P x x x x x =

+-+=--+

， 若:=2:3AOD BPOD S S 四边形△，

23333

P P P x -

+

=， 解得1

2

P

x =-

或1P x =（舍去）．

∴1(,24

P -

-． 若:=2:3BOD BPOD S S 四边形△，

∴

232323333323333

P P P x x x +

=--+． 解得1

2

P

x =-

或2P x =-． (2,0)P -，不符合题意．

∴存在13(,)24

P -

-，满足题意．

3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2

2y ax

ax c =++的图像与y 轴交

于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，点B 的坐标为(3,0)-． （1）求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；

（2）点M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形ACDB 分成面积为1:2的两部分，求出此时点M 的坐标；

（3）点P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时CPB △的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标．

解析：（1）由题意，得：3,

960.

c a a c =⎧⎨-+=⎩

解得：1,3.

a c =-⎧⎨=⎩

所以，所求二次函数的解析式为：2

23y x x =--+

顶点D 的坐标为(1,4)-．

（2

易求四边形ACDB 的面积为9． 可得直线BD 的解析式为26y

x =+．

设直线OM 与直线BD 交于点E ，则OBE △的面积可以为3或6．

①当1

=

9=33

OBE S ∆⨯时， 易得E 点坐标(2,2)--，直线OE 的解析式为y x =-．