第四讲 幂函数及反函数(教师)
《幂函数》PPT课件
★当α为偶数时,幂函数为偶函数.
例2.证明幂函数f (x) = x在[0,+∞]上是增函数.
证明: 任取x1, x2∈[0,+∞],且x1 x2,则
f
(
x1)-f
(
x
)
2
x1-
(
x2
x1- x2)( x1 x1 x2
x2)
= x1 x2
方法技巧:分子有理化
几个幂函数的性质:
y x y x2
1
y x3 y x2 y x1
定义域 值域 奇偶性 单调性 公共点
yx
R
R 奇函数 增函数 (1,1)
y x2 R
y ≥0 偶函数
(1,1)
y x3 R
R 奇函数 增函数 (1,1)
1
y x2 x 0 y ≥0 非奇非偶 增函数 (1,1)
y x1 x 0 y 0 奇函数
(1,1)
一般幂函数的性质:
★幂函数的定义域、奇偶性，单调性，
因函数式中α的不同而各异.
❖ ★所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数 图象都通过点(1,1).
❖ ★如果α>0,则幂函数的图象过点(0,0),(1,1) 并在(0,+∞)上为增函数.
❖ ★如果α<0,则幂函数的图象过点(1,1),并在 (0,+∞)上为减函数.
α是常量.
几点说明:
1、y x 中 x 前面的系数为 1,并且后面
没为常数项，而且底数只能是x
2、定义域没有固定,与的值有关.
幂函数与指数函数的对比
式子 指数函数: y=a x
a底数名称 Nhomakorabeax
幂级数的反函数
幂函数的反函数是什么?依然是幂函数因为y=f(x)=x^a所以x=y^(1/a)既f-1(x)=x^(1/a)解析函数的研究主要有两个方法：由Weierstrass提出的幂级数方法和由Cauchy提出的积分表示方法。
这篇文章中我们将对幂级数作一点简单的介绍，这些方法与数学分析中的思想别无二致，读者可以快速过完本章。
设z0∈C。
我们称形如∑n=0+∞an(z−z0)n的级数为z0处展开的幂级数，或称对z−z0展开的幂级数，其中an ∈C。
对给定的z∈C，如果部分和序列{Sk=∑n=0kan(z−z0)n}收敛，则称此幂级数在z出收敛，记为S(z)=∑n=0+∞an(z−z0)n=limk→+∞∑n=0kan(z−z0)n并称S(z)为级数的和；否则称幂级数在z处发散。
我们称幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在区域ω上一致收敛于函数f(z)，如果∀ε>0,∃k>N则∀z∈Ω，都有|f(z)−∑n=0kan(z−z0)n|<ε与序列极限相同，对幂级数一致收敛的判别我们有下面的Cauchy准则。
定理1（Cauchy准则）幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上一致收敛充要条件是∀ε>0,∃N，只要k1>k2>N，则∀z∈Ω，都有|∑n=k2k1an(z−z0)n|<ε证明方法与实的幂级数相同，略。
利用Cauchy准则，可得到下面关于一致收敛常用的一个判别准则。
定理2：（控制收敛原理）如果对n=0,1,2,⋯存在Mn，使得∀z∈Ω，有|an(z−z0)n|⩽Mn，且∑n=0+∞Mn收敛，则∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上一致收敛。
证：如果级数∑n=0+∞Mn收敛，则其满足Cauchy准则，于是得幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在Ω上满足一致收敛的Cauchy准则。
证毕。
与实的幂级数相同，关于复的幂级数收敛性质的基本定理是下面的Abel定理。
定理3（Abel）定理：如果幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在z′≠z0处收敛，则对于任意0<r<|z′−z0|，幂级数∑n=0+∞an(z−z0)n在闭圆盘D(z0,r)¯={z||z−z0⩽r|}上一致收敛。
高三数学 反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲
高三数学反函数、二次函数、幂、指、对数式 知识精讲一、反函数1. 函数y f x =()存在反函数的条件若函数y f x =()有定义域为A ，值域为B ，对于B 中每一个元素y 0，在A 中都有唯一确定的元素x 0与之对应，则函数y f x =()存在反函数，记为y f x =-1()，否则，就不存在反函数。
2. 互为反函数的图像之间的关系 互为反函数的图像关于直线y x =对称由此可得到如下结论：①反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域 ②fa b f b a -=⇔=1()()③函数y f x =()与x f y =-1()的图像完全相同。
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。
3. 求y f x =()的反函数的一般步骤 ①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由y f x =()的解析式解出x f y =-1()③将x 、y 对换、得反函数的习惯表达式y f x =-1()并注明定义域二、二次函数1. 二次函数的基本知识（1）定义：形如f x ax bx c a ()()=++20≠的函数叫做二次函数。
（2）图像：二次函数y ax bx c a =++20()≠的图像是以直线x ba=-2为对称轴的抛物线，其开口方向由a 的符号确定，顶点坐标为()--b a ac b a2442，。
（3）性质：二次函数y ax bx c a =++20()≠的单调性是以项点的横坐标x ba=-2分界。
当a ＞0时，x ba∈-∞-(]，，2f x ()单调递减，x b a ∈-+∞[)2，，f x ()单调递增。
当a ＜0时，x b af x ∈-∞-(]()，，2单调递增，x ba f x ∈-+∞[]()2，，单调递减。
2. 二次函数的解析式（1）一般式f x ax bx c a ()()=++20≠； （2）顶点式f x a x k h a ()()()=++20≠； （3）零点式f x a x x x x a ()()()()=--120·≠；求解析式都是用待定系数法。
《幂函数》指数函数、对数函数与幂函数精美版课件
4.当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
5.做一做:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的
增函数,则m的值为
.
答案:-1
解析:由题意知m2-m-1=1,
∴m2-m-2=0,
∴m=2或m=-1.
当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;
当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解析:由m2+3m-17=1,解得m=3或m=-6,
分析:先利用f(x)在(0,+∞)内为减函数求出m的取值范围,再用代入检验的方法来验证是否为偶函数.
当m=-3时,m2-2m-3=12,y=x12是幂函数,但不满足当x∈(0,+∞)时,y随x的增大而减小,应舍去.
(-1,-1),(0,
(-1,1),(0,0),
定点 ),
0),
(0,0),(1,1)
(1,1)
(1,1)
(1,1)
(-1,-1),(1,1)
课前篇自主预习
一
二
三、幂函数共有的性质
1.幂函数在(0,+∞)上都有定义.
2.幂函数的图像过点(1,1).
3.当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上单调
人教版高中数学B版必修二
指数函数、对数函数与幂函数
4.4
幂函数
-1-
课标阐释
思维脉络
1.通过实例,了解幂函数的
概念.
《幂函数》 讲义
《幂函数》讲义一、幂函数的定义形如y ＝x^α（α 为常数）的函数，叫做幂函数。
其中x 是自变量，α 是常数。
需要注意的是，幂函数的系数必须为 1 ，例如 y ＝ 2x^3 就不是幂函数，而 y ＝ x^3 就是幂函数。
二、幂函数的图像1、当α ＞ 0 时（1）当α 为整数时若α 为偶数，幂函数的图像在第一、二象限，关于 y 轴对称，在第一象限，函数单调递增；在第二象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^2 的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在原点，对称轴为 y 轴。
若α 为奇数，幂函数的图像在第一、三象限，关于原点对称，在第一象限，函数单调递增；在第三象限，函数单调递减。
比如，y ＝x^3 的图像是一个经过原点，穿过第一、三象限的曲线。
（2）当α 为分数时若α 的分子为奇数，分母为偶数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增。
若α 的分子为偶数，分母为奇数，幂函数的图像在第一象限，函数单调递增，且图像在 x 轴上方。
2、当α ＜ 0 时幂函数的图像在第一、二象限，在第一象限，函数单调递减。
例如，y ＝ x^（－1) ，也就是 y ＝ 1/x ，其图像是双曲线，分布在第一、三象限。
三、幂函数的性质1、定义域当α 为整数时，定义域为 R；当α 为分数时，分母为偶数时，定义域为 0, ＋∞），分母为奇数时，定义域为 R。
2、值域与定义域和α 的取值有关。
3、奇偶性当α 为整数时，若α 为偶数，函数为偶函数；若α 为奇数，函数为奇函数。
当α 为分数时，需要根据具体情况判断奇偶性。
4、单调性当α ＞ 0 时，函数在第一象限单调递增；当α ＜ 0 时，函数在第一象限单调递减。
四、幂函数的应用1、在物理学中的应用例如在研究自由落体运动时，下落的距离与时间的关系可以用幂函数来表示。
2、在经济学中的应用如成本与产量的关系，可能符合幂函数的特征。
3、在数学建模中的应用通过建立幂函数模型来解决实际问题，如人口增长、资源消耗等。
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
幂函数与反函数
幂函数与反函数【知识要点】1.幂函数的定义：一般地，把形如ay x =的函数叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数. 2.幂函数的图像3.图像性质总结： Ⅰ 0a >（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,)+∞上都是增函数；（3）当1x >时，指数大的图像在上方；当01x <<时，指数大的图像在下方.Ⅱ 0a <（1）图像都过点(0,0)和(1,1)； （2）函数在区间(0,)+∞上都是减函数；（3）在第一象限内，图像向上无限地接近y 轴，向右无限地接近x 轴； （4）当1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. Ⅲ 总之，无论指数正负如何，它们都有共同的性质： （1）图像都过点(1,1)；（2）1x >时，指数大的图像在上方；01x <<时，指数大的在下方. 3.反函数（1）定义及写法（2）性质：①互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称②若函数()y f x =的图像上有一点(,)a b ，则(,)b a 必在其反函数的图像上；反之，(,)b a 在反函数的图像上，则点(,)a b 必在原函数的图像上；③函数存在反函数的必要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；④严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数——【反函数存在定理】。
⑤一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （3）反函数的求法：1、先求出反函数的定义域，因为原函数的值域就是反函数的定义域；2、反解x ，也就是用y 来表示x ；3、改写x 和y ，交换位置，也就是把x 改成y ，把y 改成x ；4、写出原函数及其值域——即反函数的解析式和定义域。
【典型例题】例1 设221333111(),(),()252a b c ===，则（ ）.A. a b c <<B. c a b <<C. b c a <<D. b a c <<例2 已知幂函数(,p qy x p q N +=∈，且互质）的图像如图所示，则（ ）.A. ,p q 均为奇数，且p q >B. p 为奇数，q 为偶数且p q >C. q 为奇数，p 为偶数且p q >D. q 为奇数，p 为偶数且p q <例3 已知点在幂函数()f x 的图像上，则()f x 的解析式是（ ）.A. 3()f x x =B.3()f x x -= C. 12()f x x-= D.12()f x x =例4 求函数2245()44x x f x x x ++=++的单调区间，并比较()f π-和(f 的大小.例5已知幂函数223()m m y xm N --+=∈的图像关于y 轴对称，且在(0,)+∞上函数值随x 的增大而减小，求满足33(1)(32)m m a a --+<-的a 的取值范围.例6 函数22,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的反函数是（ ）.A. ,020xx y x ⎧≥⎪=<B. 2,00x x y x ≥⎧⎪=<C. ,020xx y x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩D. 2,00x x y x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩例7 函数21(0)21x xy x +=<-的反函数是（ ）. A. 21log (1)1x y x x +=<-- B. 21log (1)1x y x x +=>- C. 21log (1)1x y x x -=<-+ D. 21log (1)1x y x x -=>+ 例8 设函数()y f x =的反函数为1()y fx -=，且(21)y f x =-的图像过点1(,1)2，则1()y f x -=的图像必过点（ ）.A. 1(,1)2B. 1(1,)2C. (1,0)D. (0,1)【课堂练习】1. 函数34x y =的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2. 下列命题中正确的是（ ）A ．当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C ．若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限3. 如右图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小，有（ ）.A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<4. 对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系是（ ） A ．)2(21x x f +>2)()(21x f x f + B ． )2(21x x f +<2)()(21x f x f + C ． )2(21x x f +=2)()(21x f x f +D ． 无法确定 5. 函数31xy -=+的反函数为()y g x =，则(10)g = .6.)()27,3)(14x f x f -，则的图象过点（幂函数的解析式是.7.函数2()23f x x ax =--在区间[1,2]上存在反函数的充要条件是（ ）.1α3α4α2αA. (,1]a ∈-∞B. [2,)a ∈+∞C. [1,2]a ∈D. (,1][2,)a ∈-∞+∞ 8.已知函数223()()m m f x xm Z -++=∈为偶函数，且(3)(5)f f <.（1）求m 的值，并确定()f x 的解析式；（2）若()log [()](0,1)a g x f xax a a =->≠，是否存在实数a ，使得()g x 在(2,3)上为增函数？9. 由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x 成（即上涨率为10x），涨价后，商品卖出个数减少bx 成，税率是新定价的a 成，这里,a b 均为正常数，且10a <，设售货款扣除税款后，剩余y 元，要使y 最大，求x 的值.【课后作业】1.若不等式2233(2)(24)a ->+恒成立，求实数a 的取值范围.2. 942--=a axy 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .3. 函数R x x x y ∈=|,|，满足（ ）A ．是奇函数又是减函数B ．是偶函数又是增函数C ．是奇函数又是增函数D ．是偶函数又是减函数4. 下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43B ．y x =32C ．y x =-2D ．y x =-145.函数3x y =和31x y =图象满足（ ）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称 6. 幂函数(1)(,,*,,)k nmy xm n k N m n -=∈互质图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 .7.已知函数()y f x =存在反函数1()y f x -=，若函数(1)y f x =+的图像经过点(3,1)，则函数1()y f x -=必经过点 .。
反函数与幂函数
反函数与幂函数知识要点：反函数：1、反函数的定义:若f 对应的函数记作：y =f (x ), 则f -1对应的函数则为x = f -1(y ). 它们是一对互反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，而原函数的值域是反函数的定义域。
2、求反函数的步骤：（1）由y=f(x)解出x=f 1-(x),即用y 表示x （2）将x=f-1(y)改写为y=f-1(x),即x,y 互换。
（3）标注反函数定义域。
3、一般地，函数y=f(x)的图象与它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
幂函数：1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 23 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 典型例题： 反函数例题例1、 求)3,(,232)(-∞∈+=x x x f 的反函数例２、 求)12(1)(2≥+-=x x x x f 的反函数．例3、设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数.例4、已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值.同步练习1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 （ ）A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 （ ）A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3.如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1 （ ） A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1)21214.1________3.1)1(1α3α4α2α4．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 （ ） A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ，f -1(b))5.（湖北文）函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（ ）Ａ．21log (1)1x y x x +=<-- Ｂ．21log (1)1x y x x +=>- Ｃ．21log (1)1x y x x -=<-+ Ｄ．21log (1)1x y x x -=>+ 6．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．7．已知函数()f x ax k =+的图像经过(1,3)，其反函数图像经过点(2,0)，则()f x 的表达式为 ；8．已知函数65()(,1x f x x R x +=∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，则1(7)f -= ；幂函数例题例1、如图：幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<例2、比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）例3、证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数1127.0________26.0)2(--22)3.5________()2.5)(3(--221)7.0________()7.0)(4(例4、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
幂函数指数函数和对数函数·反函数
幂函数、指数函数和对数函数•反函数教学目标1.使学生正确理解反函数的概念，初步掌握求反函数的方法.2.培养学生分析问题、解决问题的能力及抽象概括的能力.3.使学生思维的深刻性进一步完善.教学重点与难点教学重点是求反函数的技能训练.教学难点是反函数概念的理解.教学过程设计一、揭示课题师：今天我们将学习函数中一个重要的概念一一反函数.（板书：反函数1.反函数的概念）二、讲解新课师：什么是反函数呢？让我们一起来思考这样一个问题：在函数y=2x+1中，如果把x当作因变量，把y当作自变量，能否构成一个函数呢？生：可以构成一个函数.师：为什么是个函数呢？生：在y允许取值范围内的任一值，按照法则f：= ?都有唯一的x与之相对应.师：根据这位同学的表述，这是符合函数定义的，也就是说，按照上述原则，函数y=2x+1是存在反函数的.这个反函数的解析式是怎样的呢？生：应该是笈= 3^.师：这种表示方法是没有问题的，但不符合我们的习惯，按习惯用字母x 表示自变量，用字母y表示因变量，故这个函数的解析式又可以写成y=号.这样改动之后，带来这样一个问题，即丫 =号和笈=与1是不是同一函数呢？生：是.师：能具体解释一下吗？生：从函数三要素的角度看，y =号和笈=”具有相同的定义域和值域，皆为R,同时对应法则都是自变量减1除以2得因变量，也是相同的，所以它们是相同的函数.师：既然是相同的，我们就把7 ="称作函数y = 2x + l的反函数，同样，函数y = U有没有反函数呢？生：有.就是y=2x+1.师：对.也就是说函数y = 2x + l与函数¥ 二”是互为反函数的.那么，是不是所有函数都会有反函数呢？生：不是所有函数都有反函数.师：能举个例子说明吗？生：如函数y=X2,W y当作自变量，x当作因变量，在y允许取值范围内，一个y可能对应两个x,如y=1,则对应x=±1,因此不能构成函数，说明它没有反函数.师：说得非常好.如果从形的角度来解释，会看得更清楚，见图1,从图中可看出给出一个y能对应两个x.通过对几个具体函数的研究，了解了什么是反函数，把前面对函数y=2x+1 的反函数的研究过程一般化，概括起来就可以得到反函数的定义.由于这个定义比较长，所以我们一起阅读书上相关内容.（板书：（1）反函数的定义）（要求学生打开书第60页第二自然段，请一名同学朗读这一段内容.为帮助学生理解定义中的描述，教师可以再以一个具体函数为例解释y = f （x）和笈⑸之间的关系，同时应指出定义中“如果”二字的含义表示不是所有函数都有反函数.）对于反函数有了初步的了解之后，下面进一步对这个特殊的函数概念作点深入研究.（板书：（2）对概念的理解.）师：反函数的“反”字应当是相对原来给出的函数而言的，那么它们之间有什么关系呢？不妨以刚才的两个函数7 = 2x + lfly ="为例加以研究.生：对应法则不同.师：能否说得再具体点，怎么不同？生：这两个函数的对应法则中，x与y的位置换位.（研究两函数间的关系应从函数三要素角度入手研究，老师可适当引导学生向三要素靠拢.）师：还有什么联系吗?生：y 二"的定义域和值域分别是y = 2x +1的值域和定义域.师：根据刚才我们的讨论，可以发现反函数的三要素是由原来函数决定的，当给出的函数确定下来后，其反函数的三要素也就确定下来了，可以简记为“三定”.把这种确定关系具体化，也就是反函数的“反”字体现在什么地方呢？生：反函数的定义域就是原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域；反函数的对应法则就是把原来函数对应法则中x与y的位置互换.师：由此我们可以看到反函数的“反”实际体现为“三反”.在这“三反” 中，起决定作用的就是x与y的反置，正是由于它们位置的改变，才把相应取值反置，从而引起另外两“反”.（板书：2.“三定”，民“三反”）师：从函数概念的角度来看，我们明确了原来函数与其反函数间的关系，当然还可以从其它方面入手进行研究，如：一个函数有没有反函数？若有反函数，它的性质如何？与原来函数的性质有什么关系？通过前面几个例子可以发现，上述问题中，原来函数的性质起着决定性作用，而且反函数的性质也与原来函数的性质相关.由于函数和反函数有如此密切的关系，它已成为进一步研究函数的重要方面.当我们研究某个函数性质时，如果这个函数有反函数，就可以在两者中择其简而研究之，这就增加了函数的研究方法.师：对反函数概念作了较全面认识之后，自然提出这样一个问题：如果一个函数存在反函数，如何去求这个函数的反函数呢？一起看这样二个题目.例1求y =・6卢O）的反函数.生：（板书）解由y = ,得所以，所求反函数为y =（在表述上不规范之处，先暂时不追究，待例2解完之后再一起讲评.）例2 求f （x）=x2+1 （xNl）的反函数.生：（板书）解由y = f(Q =x2 +1,得又笈31,所以^ =后五故f'1 (x) = Vx -1.师：下面请同学对两个例题的表述作个评价.生：例2所求的反函数是错误的，应为H (Q =G (x>2).师：这和黑板上所得的函数有什么不同吗？生：两个函数的定义域分别是xN1和xN2,所以是不同的两个函数.师：为什么是7 = Jx -1 呢？生：因为反函数的定义域应是原来给出函数f(X)的值域，而f(X)的值域应为y32,故所求反函数应为f/(Q Cx>2).师：说得很好.根据我们对反函数的认识，反函数的定义域就是原来给出函数的值域.所以要求出反函数的定义域，就必须先求出原来函数的值域.那么例2的求解过程应当怎样调整呢？生Sy = f (x) =x2 +1,得炉=丫-1,又G1,所以x = Jy-l.因为f (Q =x2 +1 (x>l)的值域为物y32},所以f" GO =瓜口(x^2).师：通过刚才的讨论，我们发现并解决了例2反函数的存在问题，同时也注意到求反函数必须明确指出其定义域，以保证结论的正确性.除此之外，还有什么问题吗？生：为什么没有在例1中求原来所给函数的值域呢？师：请同学们针对这个问题讨论一下.生：因为原来所给的函数的值域是y/0,这和所求出的反函数的定义域是x 力0为结论是一致的，所以没有出错.师：此题出现的这种结论的一致性，应当说是一种偶然，而不是必然.因此，在求反函数的过程中，必须要求出原来所给函数的值域，并且在最后结果中注明反函数的定义域.那么，例1的规范书写过程应如何调整呢？生：（板书）解由y = 笈壬0,得笈= -2.又y = -2 （才0）的值域为{y|yx y x/0, y£R},所以，所求反函数为y = -1 （才0）.师：通过刚才对两个具体例子的讨论，能否总结一下求用解析式表达的函数的反函数的基本步骤呢？（板书：2.求反函数的步骤）生：首先从解析式中解出x,其次求出所给函数的值域，最后再改写为习惯的表示形式.师：把这几步用简单的几个字来概括一下.1.反解：既把解析式看作x的方程，求出反函数的解析式；2.互换：既求出所给函数的值域并把它改换为反函数的定义域；3.改写：将函数写成y=f-1（x）的形式.（板书：1.反解2.互换3 .改写.）师：下面通过几个练习来看看同学们是否真正理解这三个基本步骤.三、巩固练习练习求下列函数的反函数.1. f （x） =-|x + 2, xE （-8, 3）.（由一个学生在黑板上完成.）解由y = f （Q =|x + 2,得所以（由一个学生在黑板上完成，两题同时进行，其余学生在笔记本上完成，教师巡视.）解由y=x2-x+1，得x2-x+1-y=0，又y=s?T + l 的值域为所以（待全体学生完成之后，结合黑板上学生的表述及其它学生解答中出现的问题进行讲评.）师：先看黑板上同学的表述有没有问题，请加以纠正.（一学生在黑板上加以改正）由y=x2-x+1,得x2-x+1-y=0,所以笈互1.又冷!，所以又y = 5?-x + l (G3)的值域为｛巾》永，故所求反函数为师：经过改正，两个题目在表述上已经没有问题了.下面结合其它同学求解中出现的一些问题，谈几点注意.(1)求反函数的过程中必有一步是求出原来所给函数的值域.求值域的方法有很多，如果所给函数是常见函数如一次函数、二次函数等，不妨从“形”的角度求值域会比较方便直观.(2)解关于x的一元二次方程有两个根，必须根据题目所给条件对x进行取舍，保留符合条件的唯一解.(3)这两个题目在反函数符号的使用上是有区别的，题目给出f (x)这个符号，则反函数可以用f-1(x)来表示，否则只能用文字叙述的形式.四、小结1.反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，因此认识它应从三要素角度进行研究.2.一个函数有没有反函数是由原来给出函数的性质决定的，且反函数的性质也是由原来给出的函数性质决定的.3.求反函数实际上就是办两件事，一是解一个关于自变量x的方程，二是求一个函数的值域.五、作业课本习题P65习题六第3题(1),(3),第4题.课堂教学设计说明反函数这节课是一节概念课，因此这节课的成败关键是反函数概念的建立.反函数是函数中一个特殊现象，对这个概念的研究是对函数概念和函数性质在认识上的深化和提高，所以学生对这个知识的学习是有一定的知识基础和认识基础的，故应以学生的主体参与为主线，且是在教师主导作用下的思维和参与.学生的思维是从问题开始的，因此本节课的起点应是一个有较大思维空间的问题，所以在设计时选择从一个具体函数入手提供研究反函数的原则，让学生在这个原则之下自己选择研究方法，进行探讨.在研究过程中，针对学生出现的障碍，适时、适当加以点拨，将学生思维引向正轨.反函数概念的建立的关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识.在教学设计中，教师采用从具体的例子出发，用学生最熟悉的知识，最明显的事例，帮助学生找到研究方法的角度，再逐步概括抽象出反函数的意义.这样也便于分散难点，突出重点.对一个概念的理解往往要通过某种具体的操作来体现，操作的灵活熟练程度也能体现出对概念理解的深度.因此这节课对反函数概念的理解最终是落在求反函数技能的形成和训练上，在设计中教师采用让学生尝试、调整、概括、小结，最终形成求反函数基本步骤.在实践中，鼓励学生大胆尝试，不怕失败，在知识的学习过程中，教训有时比经验更深刻.在这节课的教学设计中，从始至终都尽量让学生能够主动思考问题，提出问题，分析问题并解决问题，在积极活跃的思维过程中，不断提高学生的数学能力和数学素养.。
三角函数的幂函数形式与反函数知识点总结
三角函数的幂函数形式与反函数知识点总结在数学中，三角函数是一类常见的函数，经常在几何和物理问题中出现。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等，它们与角度（或弧度）之间存在特定的关系。
本文将总结三角函数的幂函数形式与反函数的知识点，帮助读者更好地理解与应用三角函数。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，通常用sin表示。
其幂函数形式为：y = sin^n(x)，其中n为正整数。
当n为1时，即为一次幂函数，即正弦函数本身。
正弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]之间。
正弦函数的反函数为反正弦函数，通常用arcsin表示，其定义域为[-1, 1]，值域为[-π/2, π/2]。
反正弦函数的幂函数形式为：y =(arcsin(x))^n。
2. 余弦函数（cos）余弦函数是另一个常见的三角函数，通常用cos表示。
其幂函数形式为：y = cos^n(x)，其中n为正整数。
当n为1时，即为一次幂函数，即余弦函数本身。
余弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]之间。
余弦函数的反函数为反余弦函数，通常用arccos表示，其定义域为[-1, 1]，值域为[0, π]。
反余弦函数的幂函数形式为：y = (arccos(x))^n。
3. 正切函数（tan）正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用tan表示。
其幂函数形式为：y = tan^n(x)，其中n为正整数。
当n为1时，即为一次幂函数，即正切函数本身。
正切函数的定义域为所有实数，但存在一些特殊点（例如π/2 + kπ，其中k为整数）不在定义域内。
正切函数的反函数为反正切函数，通常用arctan表示，其定义域为所有实数，值域为(-π/2, π/2)。
反正切函数的幂函数形式为：y = (arctan(x))^n。
4. 三角函数的性质除了幂函数形式与反函数的知识点外，还有一些常见的三角函数性质需要了解：- 正弦函数与余弦函数的关系：sin(x) = cos(x - π/2)- 正切函数与余切函数的关系：tan(x) = cot(x) = 1/tan(x)- 三角函数的周期性：正弦函数、余弦函数的周期为2π，而正切函数的周期为π- 三角函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数- 三角函数的图像特点：正弦函数、余弦函数的图像是连续的曲线，而正切函数的图像有奇点综上所述，三角函数的幂函数形式与反函数是学习与应用三角函数时的重要内容。
幂函数说课稿ppt课件精选全文
4、布置作业（2min） P79 1、2
设计意图：巩固知识并及时反馈教学信息，了解学生对幂函数图像 性质的掌握程度。
22
板书设计：
幂函数
1、幂函数定义
根据函数单调性判断
2、幂函数与指数
同指数的幂函数的大 小的方法
函数、的区别
3、幂函数的图像 及简单的性质
例一
练习1、2 作业
设计意图：简洁明了，重点突出，使学生更好地掌握这节课的重点知识。
17
（6）通过练习提升概念与性质的应用:
（15min）
P78 【例1】
证明幂函数 f (x) x在[0,)上是增函数。
设计意图
让学生学会利用作差法证明函数的 单调性。通过学生自主探究的证明函数 单调性的方法，培养学生的探究及发散 思维能力。
18
练习：比较大小
(1)4
1 2
与4.1
1 2
9
9
(2)6 8 与7 8
12
• （4）引导学生用列表描点法，应用函数的性质
，如奇偶性，定义域等，在直角坐标系内作出幂
函数
1
y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
的图像最后，
利用电脑软件画出以上几个函数的图像并展示给
学生：
(8min)
13
图像：
14
让同学们一起观察与谈论，共同得出各函数的定义 域，值域，奇偶性，单调性等，并填入表格：
3、练习巩固法。学生在练习中进行独立 思考，这样一来学生对这五个幂函数领
会得会更加深刻
6
五、说学法
• 先引出五个函数，带领同学们动手作图，通过图像分析归 纳出几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数 式，且底数都是变量，自然引入幂函数。
反函数与幂函数
幂函数的图象与性质的应用
【例3】已知幂函数f(x)= (m∈Nx*m)的2 -2图m-3象关于y轴对
称，且在(0，+∞)上是减函数，求满足 <
的a的范围.
a+1-
m 3
3
2a
-
m 3
【审题指导】由题意得m2-2m-3<0，解不等式求得m，利用对
称性确定m值是求解关键，再利用单调性列不等式确定a的范
幂函数综合应用的解题技巧
【典例】(12分)(2011·聊城模拟)已知幂函数f(x)= (m∈N*)
x (m2 +m)-1
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)
的实数a的取值范围.
【审题指导】(１)分析m2+m=m(m+1)为偶数，从而确定幂函数f(x)的定
3 2
【失分警示】在解答本题时易产生以下误区： 一是由于对(m2+m)－1的值的性质误判而导致失分； 二是将(m2+m)－1误认为负值，从而判断函数的定义域及单调性出错． 除此之外，解决与幂函数有关的问题还有以下几点容易出错： 1.忽视函数的定义域，产生增根； 2.将幂函数的单调性记混，造成结论错误．
3．(2010·安徽高考)设 b、c的大小关系是( )
2
3
2
a
则53a、5 ，b
2 5
5
,
c
2 5
5
,
(A)a>c>b (B)a>b>c
(C)c>a>b (D)b>c>a
【解析】选A.根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第四讲幂函数与二次函数课件
当 x＝0 时，－3＜0，符合题意；
当 x≠0 时，a＜321x－312－61，
易得1x∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当 x＝1 时，右边取得 最小值12，所以 a＜12.
综上，实数 a 的取值范围是－∞，21. 答案：－∞，21
答案：B
考向 2 二次函数的单调性 通性通法：处理函数的单调性问题要注意数形结合思想的应 用，尤其是求给定区间上的二次函数最值的问题，要先“定性” (作草图)，再“定量”(看图求解).
[例 2](多选题)若函数 f(x)＝(x－1)·|x＋a|在区间(1，2)上单调递
增，则满足条件的实数 a 的值可能是( )
方法二(分离参数)：当 x∈[1，3]时，f(x)<－m＋5 恒成立， 即当 x∈[1，3]时，m(x2－x＋1)－6<0 恒成立. ∵x2－x＋1＝x－122＋34>0， 又 m(x2－x＋1)－6<0， ∴m<x2－6x＋1.
∵函数 y＝x2－6x＋1＝x－1262＋34在[1，3]上的最小值为67， ∴只需 m<67即可. 综上所述，m 的取值范围是－∞，67.
公共点
在(－∞，0]上单 在 R 上 在[0， 在(－∞，0)
调递减；在[0， 单调递 ＋∞)上 和(0，＋∞)
＋∞)上单调递增 增
单调递增 上单调递减
(1，1)
【名师点睛】巧记幂函数 y＝xα的图象 五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正 抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1 时 的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1 时的图象是横卧抛物线型)， α＜0 时的图象是双曲线型.Ｋ
高一数学《反函数、幂函数》知识点
高一数学《反函数、幂函数》知识点高一数学《反函数、幂函数》知识点反函数的定义设函数y=f(x)的定义域是A，值域是C．我们从式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么式子x=φ(y)叫函数y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y)，习惯表示为y=f-1(x)．注意：函数y=f(x)的定义域和值域，分别是反函数y=f-1(x)的值域和定义域，例如：f(x)的定义域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函数定义域为[0，+∞），值域是[-1，+∞)。
2．反函数存在的条件按照函数定义，y=f(x)定义域中的每一个元素x，都唯一地对应着值域中的元素y，如果值域中的每一个元素y也有定义域中的唯一的一个元素x和它相对应，即定义域中的元素x和值域中的元素y，通过对应法则y=f(x)存在着一一对应关系，那么函数y=f(x)存在反函数，否则不存在反函数．例如：函数y=x2,x∈R，定义域中的元素±1，都对应着值域中的同一个元素1，所以，没有反函数．而y=x2, x≥1表示定义域到值域的一一对应，因而存在反函数．3．函数与反函数图象间的关系函数y=f(x)和它的反函数y=f-1(x)的图象关于y=x 对称．若点(a,b)在y=f(x)的图象上，那么点(b,a)在它的反函数y=f-1(x)的图象上．4．反函数的几个简单命题（1）一个奇函数y=f(x)如果存在反函数，那么它的反函数y=f-1(x)一定是奇函数．（2）一个函数在某一区间是（减）函数，并且存在反函数，那么它的反函数在相应区间也是增（减）函数．定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
幂函数ppt课件
[解析] ∵是幂函数， ∴，且 =0 ∴ 或 ，n=
例1（1）幂函数 的图象过点，则 等于___．
[解析] 依题意，解得 ，则∴ .
［例3］ 已知幂函数 为偶函数．
（1） 的值为____；
16
[解析] 由，得 或 .当时， 是奇函数，不满足题意，舍去；当时， 是偶函数，满足题意.∴ ， .
方法总结解决幂函数的综合问题时的注意点掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式，并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性．
［例3］ 比较大小.
（1） ;
解：∵函数在 上单调递增，且，∴ .
（2）， .
解：∵函数在 单调递减，且∴ .
（3）， ;
解： ， ∵幂函数在 上单调递增，又∵ ，∴ .
方法总结利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
角度2 幂函数性质的综合运用
例4 已知幂函数的图象过点 ．
（1）求 的解析式；
(4) 在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接近。
思考3：观察5个函数图象，哪个象限一定有幂函数的图象，哪个象限一定没有幂函数的图象.
在直线 的右侧，按“逆时针”方向，图象所对应的幂指数依次增大（ 的右侧，“指大图高”）
探究点二 幂函数的图象
例2 如图，曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知取，四个值，则对应曲线，，，的 依次为 ( )
A
A.，，，2 B. 2，，， C.，，2， D. 2，，，
[解析] 如图，作直线 ，分别交四条曲线于A，B，C，D四点，由于取，四个值，当 时，对应的四个函数值为，，， ，因为 ,故四个点的纵坐标依次为，，， ，由四个点的位置关系，四个函数图象对应的 的值从下而上依次为，， ，2.故选A.
高一数学下册第4章幂函数、指数函数和对数函数4.5反函数的概念课件沪教版
（第2课时）课前练习:
1、求f函 (x数 ) 1-x(0x1)的反函
2、求f(函 x )x 2数 2-x1((0 x x 1)1的 ) 反函
1
为了在同一坐标系内作出一个函数 O
yx1,x0 yx1,x1
1
x
与其反函数的图像，习惯上自变量用 x
表示，因变量用 y 表示.
因此，反函数改写为 yx1,x1
例2.求下列函数的反函数.
(1) y4x2,xR (2) yx21,x0 (3) yx22x,x0 (4) y x ,x1
x1 解: (1) y R 解得：x y 2
y
1 y
因此反函数为 y x , x 1 解毕
1 x
反函数的概念小结
(1) y f(x ),(x D ,y A )存在反函数的
充要条件是： x 与 y 是一一对应的
(2)函数 yf(x),xD与函数 xf1(y),yA
互为反函数. 则对应法互逆，定义域、值域互反.
(3)求 yf(x),xD的反函数的一般步骤为：
的对应关系逆过来，能否构成函数？
例1.判断下列函数是否存在反函数。
(1) y4x2,xR (2) yx21,xR
存在
不存在
(3)
y
3,x x
0
存在
y
(5)
(4) y x ,x1 x1
存在
(6)
y
O
x
存在
O
x
不存在
二、一个函数存在反函数的判定
记 y f(x ),(x D ,y A ) (1)对于任意 x1, x2 D，若 x1 x2 ,则 f(x1)f(x2) （或 若 f(x1)f(x2)，则 x1 x2） (2)函数 y f (x)是单调函数.(充分非必要条件) (3)函数 y f (x)的图像符合“水平线检验法”
反函数与幂函数
反函数与幂函数知识要点：反函数：1、反函数的定义:若f 对应的函数记作：y =f (x ), 则f -1对应的函数则为x = f -1(y ). 它们是一对互反函数。
原函数的定义域是反函数的值域，而原函数的值域是反函数的定义域。
2、求反函数的步骤：（1）由y=f(x)解出x=f 1-(x),即用y 表示x （2）将x=f-1(y)改写为y=f-1(x),即x,y 互换。
（3）标注反函数定义域。
3、一般地，函数y=f(x)的图象与它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称。
幂函数：1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数. 23 （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数. （3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 典型例题： 反函数例题例1、 求)3,(,232)(-∞∈+=x x x f 的反函数例２、 求)12(1)(2≥+-=x x x x f 的反函数．例3、设函数y=)(x f =⎩⎨⎧≥<)0()0(2x x x x ，求它的反函数.例4、已知函数c x b ax y ++=的反函数是213-+=x x y (x ∈R,x ≠2)，求a,b,c 的值.同步练习1．函数y ＝－x 2(x ≤0)的反函数是 （ ）A y (x 0)B y (x 0)C y (x 0)D y |x|．＝－≥．＝≤．＝－≤．＝－x x x --2．函数y ＝－x(2＋x)(x ≥0)的反函数的定义域是 （ ）A ．[0，＋∞)B ．[－∞，1]C ．(0，1]D ．(－∞，0]3.如果两个函数的图像关于直线y ＝x 对称，而其中一个函数是y ＝－，那么另一个函数是x -1 （ ） A ．y ＝x 2＋1(x ≤0) B ．y ＝x 2＋1(x ≥1) C ．y ＝x 2－1(x ≤0) D ．y ＝x 2－1(x ≥1)21214.1________3.1)1(1α3α4α2α4．设点(a ，b)在函数y ＝f(x)的图像上，那么y ＝f -1(x)的图像上一定有点 （ ） A ．(a ，f -1(a)) B ．(f -1(b)，b) C ．(f -1(a)，a) D ．(b ，f -1(b))5.（湖北文）函数21(0)21x x y x +=<-的反函数是（ ）Ａ．21log (1)1x y x x +=<-- Ｂ．21log (1)1x y x x +=>- Ｃ．21log (1)1x y x x -=<-+ Ｄ．21log (1)1x y x x -=>+ 6．如果一次函数y ＝ax ＋3与y ＝4x －b 的图像关于直线y ＝x 对称，那a ＝________， b ＝________．7．已知函数()f x ax k =+的图像经过(1,3)，其反函数图像经过点(2,0)，则()f x 的表达式为 ；8．已知函数65()(,1x f x x R x +=∈-且1)x ≠有反函数1()y f x -=，则1(7)f -= ；幂函数例题例1、如图：幂函数αx y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ）A ．102431<<<<<ααααB ．104321<<<<<ααααC ．134210αααα<<<<<D ．142310αααα<<<<<例2、比较下列各组数中两个值的大小（在横线上填上“<”或“>”）例3、证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数1127.0________26.0)2(--22)3.5________()2.5)(3(--221)7.0________()7.0)(4(例4、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性。
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第四讲 幂函数、与反函数一、知识梳理1．幂函数：①定义：形如ay x =（a 为常数）的函数叫幂函数。
当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0<a 时，图象过定点)1,1(。
当10<<a 时，函数图象在第一象限缓慢增长； 当1>a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0<a 时，函数图象在第一象限单调递减。
② 几个常见幂函数的图象：③几个常见幂函数的性质：2、反函数①定义：设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中y x ,的关系，用y 把x 表示出，得到()y x ϕ= 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()y x ϕ= (C y ∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x fy -=。
②注意事项：（1）“一一映射”确定的函数才有反函数；定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集合的偶函数不存在反函数； （3）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成；（4）反函数的单调性与原函数的单调性相同； （5）反函数的定义域由原函数的值域确定。
③函数)(x f y =与)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称；若两个函数的图象关于直线y=x 对称，则这两个函数一定是互为反函数。
④如果函数)(x f y =的反函数就是本身，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称。
⑤公式：()()A x x x f f C x x x ff ∈=∈=--)]([,)]([11。
（其中C 是值域，A 是定义域）。
二、典型例题题型一 幂函数概念例1、已知是32)22(1122-+-+=-n x m m y m 幂函数，求n m ,的值。
解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-≠-=-+2330320112222n m n m m m ，23,3=-=∴n m 即为所求。
题型二 幂函数的图像例2、幂函数213112,,,--====x y x y x y x y在第一象限内的图像依次是图中的曲线（ ）函 数 x y = 2x y =3x y =21x y =1-=x y定义域 R R R ),0[+∞ }0|{≠x x 值域 R ),0[+∞ R ),0[+∞}0|{≠y y奇偶性 奇 偶奇 非奇非偶 奇单调性R 增]0,(-∞减 ),0[+∞增R 增),0[+∞增(,0)-∞减 (0,)+∞减定 点0>n 时，都过)0,0(和)1,1(，0<n 时，都过)1,1(yO x12y x=1y x -=1y x -=3y x =2y x =2y x =3y x =y x =y x=3-3-2-2-1-1-3213211 xy1C3C 2C 4CA.4312,,,C C C CB. 2314,,,C C C CC. 4123,,,C C C CD. 3241,,,C C C C解析：由于在第一象限内直线1=x 的右侧时，幂函数αx y =的图像从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数2x y =在第一象限的图像为1C ，同理1-=x y 在第一象限的图为4C ，31x y =在第一象限的图为2C ，21-=x y 在第一象限的图为3C 。
故选D 。
例3、函数13y x =的图像是 （ ）（A ） （B ） （C ） （D ）解析：选B.取18x =，18-，则12y =，12-，选项B 、D 符合；取1x =，则1y =，题型三 幂函数的性质例4、求下列函数的定义域与值域。
（1）32-=xy ； （2）43-=xy解析：（1）解析式化为321x y =，其定义域为}0,|{≠∈x R x x ，值域为),0(+∞；（2）解析式化为431x y =，其定义域为),0(+∞，值域为),0(+∞；例5、已知10a -<<，则三个数331,,3a a a由小到大的顺序是 . 解析：a a a 3331<< . 例6、942--=a ax y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .解析：5例7、设函数121()f x x =，12()f x x -=，23()f x x =，则123(((2009)))______f f f =.解析：122221231211(((2009)))((2009))(2009)(2009)2009f f f f f f --====. 例8、对于幂函数54)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2)()(21x f x f +大小关系 是（ ）（A ）)2(21x x f +>2)()(21x f x f + （B ）)2(21x x f +<2)()(21x f x f + （C ）)2(21x x f +=2)()(21x f x f + （D ） 无法确定 解析：选A. 题型四 反函数的求法例9、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是（ ）（A ）222(1)y x x x =-+< （B ）222(1)y x x x =-+≥ （C ）22(1)y x x x =-< （D ）22(1)y x x x =-≥ 解析:选B.例10、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象1C ，再将1C 向上平移一个 单位得到图象2C ，作出2C 关于直线y x =对称的图象3C ，则3C 的解析式为 . 解析：1)1(log 2--=x y .例11、已知()()1122-<-=x x x f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛--321f . 解析：由反函数的定义可得：32122-=-x且1-<x ， 解之可得：2-=x ， y xO11O yx11O yx11O y 11x所以2321-=⎪⎭⎫⎝⎛--f 。
题型五 互为反函数的图像关系例12、函数()x f y -=与()x fy 1--=的图像（ ）（A ）关于原点对称 （B ）关于x 轴对称 （C ）关于直线x y =对称 （D ）关于直线x y -=对称 解析：()x f y -=与()x f y =关于x 轴对称；()x fy 1-=与()x f y =关于x y =对称；()x fy 1--=与()x fy 1-=关于x 轴对称，故()x f y -=与()x f y 1--=的图像关于直线x y -=对称。
另：可结合图象说明。
故选D 例13、设函数()()01112≤≤---=x x x f ，则函数()x f y 1-=的图像可能是（ ）解析：原函数图象上有点)231,21(),1,1(---，故反函数图象上有点)21,231(),1,1(--- 结合图象即知选B 。
例14、已知1x 是方程27lg =+x x 的解，2x 是方程2710=+x x 的解，则21x x +的值是 。
解析：由x x x x -=⇒=+27lg 27lg ，由x x x x -=⇒=+27102710。
令x y y x y x-===27,10,lg 321，如图，由)227,227(22722727A y x x y x y ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-==又因为xy x y 10,lg 21==的图像关于x y =对称。
故22721=+x x 。
题型六 幂函数综合例15、函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
据此可推测，对任意的非零实数,,,,a b c m n ，关于x 的方程|()|0f x m n -=的解集都不可能是（D ） （A ）{}1 （B ）{}5,9 （C ）{}6,8,10 （D ）{}1,3,9,10 解析：选D.例16、已知函数xxa b y 22++=(a b 、是常数且0a >，1a ≠)在区间3[,0]2-上有max 3y =，min 52y =，试求a 和b 的值. 解析：令222(1)1u x x x =+=+-，3[,0]2x ∈-∴当1x =-时，min 1u =-；当0x =时，max 0u =①当1a >时，01352b a b a -⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩； ②当01a <<时，01523b a b a -⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； 综上得：22a b =⎧⎨=⎩或2332a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 例17、已知())1(112>⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x x x x f 。
（1）求()x f 的反函数()x f 1-；（2）令()()211++=-x x fx g ，求()x g 的最小值；（3）若不等式()()()x a a x fx ->--11，对一切⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立，求a 的范围。
解析：（1）由222)121()121()11(+-+=+-+=+-=x x x x x y ，1>x ∴11210<+-+<x ， 故)1,0(∈yyo -11yxo11xoy-11x1-1oyxDABC1x2x yxO x y =xy 102=x y lg 1=A由2)11(+-=x x y 得：yy x y x x -+=⇒=+-1111， 故)10(11)(1<<-+=-x xx x f 。
（2）)10(12)1(211)(<<+++=+++-=x x x x xx x g令)2,1(1∈=+t x ，则tt t h 2)(+=在]2,1(上递减，在)2,2[上递增 故2=t ，即223-=x 时，22)(min =x g（3）问题转化为)(1x a a x ->+，即01)1(2>-++a x a 对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,41x 恒成立 令]22,21[∈=n x ，)1()1()(2a n a n L -++=，则 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+⋅+=>-+⋅+=0122)1()22(0121)1()21(22a a L a a L 解之得：)23,1(-∈a 。
题型七 二次函数常见综合题型例18、设()x f 是定义在()+∞∞-,上的增函数，如果不等式()()a f x ax f -<--212对于任意[]1,0∈x 都成立，求实数a 的取值范围。
解：依题意()()012121222>+-+⇔-<--⇔-<--a ax x a x ax a f x ax f 对[]1,0∈x 恒成立，令1)(2+-+=a ax x x g ，问题转化为当[]1,0∈x 时，0)(min >x g⎪⎩⎪⎨⎧>-=<-⇔01)0(02a g a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--=-≤-≤0141)2(1202a a a g a 或⎪⎩⎪⎨⎧>=>-02)1(12g a 10<<⇔a 或02≤≤-a 或2-<a 故)1,(-∞∈a 。