第四讲 幂函数及反函数(教师)

第四讲 幂函数、与反函数

一、知识梳理

1．幂函数：

①定义：形如a

y x =（a 为常数）的函数叫幂函数。

当0>a 时，图象过定点)0,0(和)1,1(；当0a 时，函数图象在第一象限剧烈增长； 当0

③几个常见幂函数的性质：

2、反函数

①定义：设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中y x ,的关系，用y 把x 表示出，得

到()y x ϕ= 若对于y 在C 中的任何一个值，通过()y x ϕ=，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，()y x ϕ=就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数()y x ϕ= (C y ∈)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1

y f x -=,习惯上改写成)(1

x f

y -=。

②注意事项：

（1）“一一映射”确定的函数才有反函数；定义域上的单调函数必有反函数； （2）奇函数的反函数必是奇函数；定义域为非单元素集合的偶函数不存在反函数； （3）分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成；

（4）反函数的单调性与原函数的单调性相同； （5）反函数的定义域由原函数的值域确定。 ③函数)(x f y =与)(1

x f

y -=的图象关于直线x y =对称；若两个函数的图象关于直线y=x 对

称，则这两个函数一定是互为反函数。

④如果函数)(x f y =的反函数就是本身，则函数)(x f y =的图像关于直线x y =对称。 ⑤公式：()()A x x x f f C x x x f

f ∈=∈=--)]([,)]([11

。（其中C 是值域，A 是定义域）。

二、典型例题

题型一 幂函数概念

例1、已知是32)22(11

22

-+-+=-n x m m y m 幂函数，求n m ,的值。

解析：由题意得⎪⎩⎪⎨⎧=-=⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=-≠-=-+233

0320112222n m n m m m ，23,3=-=∴n m 即为所求。 题型二 幂函数的图像

例2、幂函数2

13

1

1

2

,,,--====x y x y x y x y

在第一象限内的图像依次是图中的曲线（ ）

函 数 x y = 2x y =

3x y =

2

1

x y =

1-=x y

定义域 R R R ),0[+∞ }0|{≠x x 值域 R ),0[+∞ R ),0[+∞

}0|{≠y y

奇偶性 奇 偶

奇 非奇非偶 奇

单调性

R 增

]0,(-∞减 ),0[+∞增

R 增

),0[+∞增

(,0)-∞减 (0,)+∞减

定 点

0>n 时，都过)0,0(和)1,1(，0

y

O x

1

2

y x

=1

y x -=1y x -=3y x =2

y x =2

y x =3y x =y x =y x

=3

-3

-2

-2-1

-1-3

21321

1 x

y

1C

3C 2C 4C

A.4312,,,C C C C

B. 2314,,,C C C C

C. 4123,,,C C C C

D. 3241,,,C C C C

解析：由于在第一象限内直线1=x 的右侧时，幂函数α

x y =的图像从上到下相应的

指数α由大变小，故幂函数2x y =在第一象限的图像为1C ，同理1-=x y 在第一

象限的图为4C ，3

1x y =在第一象限的图为2C ，2

1-=x y 在第一象限的图为3C 。 故选D 。

例3、函数1

3

y x =的图像是 （ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

解析：选B.取18x =，18-，则12y =，1

2

-，选项B 、D 符合；取1x =，则1y =，

题型三 幂函数的性质

例4、求下列函数的定义域与值域。（1）3

2

-

=x

y ； （2）4

3-

=x

y

解析：（1）解析式化为3

2

1x y =，其定义域为}0,|{≠∈x R x x ，值域为),0(+∞；

（2）解析式化为4

31x y =，其定义域为),0(+∞，值域为),0(+∞；

例5、已知10a -<<，则三个数33

1,,3a a a

由小到大的顺序是 . 解析：a a a 333

1<< . 例6、9

42

--=a a

x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数，则整数a 的值是 .

解析：5

例7、设函数12

1()f x x =，12()f x x -=，23()f x x =，则123(((2009)))______f f f =.

解析：122

22

1231211

(((2009)))((2009))(2009)(2009)2009

f f f f f f --====

. 例8、对于幂函数5

4)(x x f =，若210x x <<，则)2(21x x f +，2

)

()(21x f x f +大小关系 是（ ）

（A ）)2(

21x x f +>2)()(21x f x f + （B ）)2(21x x f +<2

)

()(21x f x f + （C ）)2(

21x x f +=2

)

()(21x f x f + （D ） 无法确定 解析：选A. 题型四 反函数的求法

例9、函数11(1)y x x =-+≥的反函数是（ ）

（A ）222(1)y x x x =-+< （B ）222(1)y x x x =-+≥ （C ）22(1)y x x x =-< （D ）22(1)y x x x =-≥ 解析:选B.

例10、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象1C ，再将1C 向上平移一个 单

位得到图象2C ，作出2C 关于直线y x =对称的图象3C ，则3C 的解析式为 . 解析：1)1(log 2--=x y .

例11、已知()()1122-<-=

x x x f ，则=⎪⎭

⎫ ⎝⎛--321f . 解析：由反函数的定义可得：32

122

-=-x

且1-

O

1

1

O y

x

1

1

O y

x

11

O y 1

1

x