DVD在线租赁

DVD 在线租赁摘要本文主要是为DVD 在线租赁网站解决如何对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配等问题，通过建立数学规划模型并求解，从而实现让会员在获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化。

在解决通过问卷调查1000个会员，决定至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，我们首先引入了市场上货币流通模型与之相比较，找出他们之间的共同点----流通量，并建立了新的单位----张次，从而利用对DVD 在一个月内租给会员时流通次数的假设，很容易地计算出每种DVD 需要准备的数量，再按比例推广到有10万个会员的情况。

在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值：[]100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==⎡⎤=-⨯÷⨯++⎢⎥⎣⎦∑∑然后根据(,)ISGET i j 是个特殊集合（只包括0和1两个元素）的性质，和所要解决的问题的其他内在约束列出所有相关的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。

在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。

对于第四问，我们在对各个阶段的重要问题进行了合理的分析，然后在前三问基础上，把第四问的各个阶段看为一个整体，进行整体分析，建立了可行赢利最优模型。

关键词：在线租赁偏爱度购买分配满意度平均满意度货币流通模型0-1整数规划一、问题提出随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。

许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。

DVD在线租赁就是一种可行的服务。

这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。

网站制订相应的规则让会员去遵守，在收到会员交纳的会费后承担向会员提供DVD出租的业务，而会员根据自己对DVD碟片的偏爱程度去租赁DVD并承担向网站交纳一定的月会费，他们相互承担相应的义务和享有相应的权利。

就网站而言，网站管理需要兼顾会员利益和自身赢利两个方面，怎样在两者之间取得一个平衡点，使得既照顾到会员的利益又不影响到网站今后的发展时网站赢利最大。

因此，如何对DVD碟片进行需求预测、购买和分配等问题的研究和解决具有重要的社会意义和经济意义。

二、定义与符号说明1.DVD(j)----第j种DVD2.CLUBMEMBER(i)----第i个会员3.NUM(j)---- 在第一问中调查1000个会员时愿意观看DVD（j）的人数(j=1、2、3、4、5)4.need(j)----在第一问中调查1000个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 5.NEED(j)----在第一问中若调查10万个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 6.PRFDU(i,j)----第i个会员对第j种DVD的偏爱度，即CLUBMEMBER (i)对DVD（j）的偏爱度，值越小，表明越偏爱，偏爱度越高7.ISGET（i，j）----第j种DVD是否租给第i个会员（ISGET（i，j）=0，1）8.COUNT（j）----第j种DVD的实际总数或所应购买的总数9.张次----一张DVD租出一次，作为单位使用10.满意度-----会员对所租到的DVD满意程度，用%或纯小数表示11.平均满意度-----所有会员的满意度的平均值三、模型假设公共假设：1：一张DVD碟一个月最多流通两次2：每张DVD的价格相同3：每个会员都能及时的寄回所租的DVD，不影响DVD的流通4.满意度只与会员所偏爱的DVD是否能租到有关，而与其他因素无关私有假设：问题一中模型一：规定每个会员租每张DVD的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次问题一中模型二：规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月问题三：1.规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月2.每月租两次的会员订单是一月提交两次，每月只租一次的会员订单是一月一次3.各种DVD的现有数量全部为0四、模型分析和建立问题（一）问题重述:网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。

假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少有50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？表1 对1000个会员调查的部分结果问题分析:解决该问题时，可类比于货币在市场上流通的模型，例如1元面值的货币在市场上流通100次，相当于100元面值的货币在市场上流通1次。

当10张DVD 租出了2次也就相当于20张DVD 租出了1次，即他们都租出了20张次。

下面我们先使用1000个被调查的会员及表1数据来分析。

模型建立： 模型一：根据问题一中模型一的私有假设：每个会员租每张DVD 的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次，并根据表1中的调查结果：（1）对于DVD(j)来说有200个人愿意观看，那么要满足希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ，即至少有100个人能够看到。

每张DVD 都能在一个月内租出两次，则need （j ）张DVD 一个月能租出2need(j) ⨯张次，综上，以DVD （1）为例，应有2(1)100(1)50()need need ⨯==张按比例关系，当有10万个会员时，至少需要准备的DVD （1）张数是410105050001000⨯⨯=。

对DVD （j ）来说，有：)(42()()10011010()()1000need j NUM j NEED j need j ⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。

我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。

(2)要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到DVD （j ）,也就是说在这三个月内每张DVD （j ）都要流通6次,need （j ）张DVD 三个月内能出租6need(j)⨯张次。

对于DVD （1）就有：6(1)2000.95need ⨯=⨯, 当10万会员时至少需要准备的张数是41010(1)31671000need ⨯⨯≈对DVD （j ）来说，有：()4956()()10021010()()1000need j NUM j NEED j need j ⎧⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。

我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。

模型二：根据问题一中模型二的私有假设：每个月租一次的会员所租的DVD 的期限是一个月，而租两次的期限是半个月，并根据表1中的调查，以及历史数据显示的60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次：（1） 对于need （j ）张DVD （j ）在一个月内有60%的会员租两次，40%的会员租一次，那就相当于一个月内出租了need(j)60%2+need(j)40%1 ⨯⨯⨯⨯张次，即1.6need(j)⨯张次。

对DVD （j ）来说，有：()41.6()()10031010()()1000need j NUM j NEED j need j ⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。

我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。

（2） 同上对DVD （j ）应有：)(4953 1.6()()10041010()()1000need j NUM j NEED j need j ⎧⨯⨯=⨯⎪⎪⎨⨯⎪=⨯⎪⎩取j=1，2，3，4，5。

我们可以得到DVD （j ）的总数量NEED （j ）。

问题（二） 问题重述:表2中列出了网站手上100种DVD 的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从/mcm05/problems2005c.asp 下载），如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD 。

问题分析:如何对这些DVD 进行分配，才能使会员获得最大的满意度？就是说对DVD 的分配原则是使得会员的满意度最大。

根据公共假设4可知会员的满意度只与会员所偏爱的DVD 是否能租到有关，而与其他因素无关，具体说来是当会员一次租到的DVD 的数量越多满意度越高，当租到的DVD 所具有的会员的偏爱度越高满意度也越高，他与这两个量之间是成正比关系的。

但一个会员的满意度高不能说明就达到了DVD 的最佳分配方案，它是与平均满意度成正比的。

在这里我们用平均满意度来作为DVD 分配的直接相关因素之一，即当使得平均满意度最大以及所分配的各DVD 数量不超过各DVD 库存总量时，DVD 的分配方案为最佳。

又因为DVD 的分配只存在租与不租的两种方式，所以我们可以认为这是个0-1整数规划问题，可以用LINGO 软件来解决。

如何确定满意度的值？当会员能够得到他最想要的3张DVD ，即在订单上排在最前面的3种DVD ，则认为这位会员的满意度为1，又因为最想要的3张DVD 的(,)PRFDU i j 分别是-1，0，1（在处理数据时作了相应的处理），那9(,)PRFDU i j -的值分别是10，9，8。

将1098++作为基数。

当会员租到的DVD 是自己最想租到的第2，4，5张时，则他的满意度应该为(976)/(1098)++++。

由以上对应关系可以得到满意度的表达式：1001(9(,))(,)/(1098)j PRFDU i j ISGET i j =-⨯++∑模型建立：平均满意度趋于最大值，则有：[]100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==⎡⎤=-⨯÷⨯++⎢⎥⎣⎦∑∑此式作为目标函数。