DVD在线租赁

DVD 在线租赁

摘要

本文主要是为DVD 在线租赁网站解决如何对DVD 碟片进行需求预测、购买和分配等问题，通过建立数学规划模型并求解，从而实现让会员在获得较大利益的同时使DVD 在线租赁网站赢利最大化。

在解决通过问卷调查1000个会员，决定至少需要准备各种DVD 多少张才能满足一定比例的会员在一定时间内可以观看到自己喜欢的DVD 的问题时，我们首先引入了市场上货币流通模型与之相比较，找出他们之间的共同点----流通量，并建立了新的单位----张次，从而利用对DVD 在一个月内租给会员时流通次数的假设，很容易地计算出每种DVD 需要准备的数量，再按比例推广到有10万个会员的情况。在解决第二和第三个问题时，我们首先定义了会员满意度的概念，并建立平均满意度的表达式，并要求其取最大值：

[]100010011(9(,))(,)1000(1098)i j MAX PRFDU i j ISGET i j ==⎡⎤

=-⨯÷⨯++⎢⎥⎣⎦

∑∑

然后根据(,)ISGET i j 是个特殊集合（只包括0和1两个元素）的性质，和所要解决的问题的其他内在约束列出所有相关的约束条件，通过建立0-1整数规划模型并结合大量的数据求解此模型。在处理10万个数据时，我们先使用excel 的内部命令对其中的数据进行相应的处理（主要是替换并调整偏爱度的数据，但并不失去数据的原始涵义），接着将数据复制到WINDOWS 自带的记事本中并保存（在选择数学软件时，因为LINGO 在解决规划问题时拥有的强大优势，所以我们选择了LINGO 作为我们的主要工具），然后利用LINGO 软件的函数@file 将处理过的数据导入，最后通过对LINGO 的编程解决该0-1整数规划模型。

对于第四问，我们在对各个阶段的重要问题进行了合理的分析，然后在前三问基础上，把第四问的各个阶段看为一个整体，进行整体分析，建立了可行赢利最优模型。

关键词：在线租赁偏爱度购买分配满意度平均满意度货币流通模型

0-1整数规划

一、问题提出

随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站

利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。DVD在线

租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、

直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的

服务。网站制订相应的规则让会员去遵守，在收到会员交纳的会费后承担向会员提供DVD

出租的业务，而会员根据自己对DVD碟片的偏爱程度去租赁DVD并承担向网站交纳一定

的月会费，他们相互承担相应的义务和享有相应的权利。就网站而言，网站管理需要兼

顾会员利益和自身赢利两个方面，怎样在两者之间取得一个平衡点，使得既照顾到会员

的利益又不影响到网站今后的发展时网站赢利最大。因此，如何对DVD碟片进行需求预

测、购买和分配等问题的研究和解决具有重要的社会意义和经济意义。

二、定义与符号说明

1.DVD(j)----第j种DVD

2.CLUBMEMBER(i)----第i个会员

3.NUM(j)---- 在第一问中调查1000个会员时愿意观看DVD（j）的人数

(j=1、2、3、4、5)

4.need(j)----在第一问中调查1000个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少

50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 5.NEED(j)----在第一问中若调查10万个会员时要让希望看到DVD（j）的会员中有至少

50%在一个月内如愿，DVD（j）所需的张数 (j=1、2、3、4、5) 6.PRFDU(i,j)----第i个会员对第j种DVD的偏爱度，即CLUBMEMBER (i)对DVD（j）

的偏爱度，值越小，表明越偏爱，偏爱度越高

7.ISGET（i，j）----第j种DVD是否租给第i个会员（ISGET（i，j）=0，1）

8.COUNT（j）----第j种DVD的实际总数或所应购买的总数

9.张次----一张DVD租出一次，作为单位使用

10.满意度-----会员对所租到的DVD满意程度，用%或纯小数表示

11.平均满意度-----所有会员的满意度的平均值

三、模型假设

公共假设：

1：一张DVD碟一个月最多流通两次

2：每张DVD的价格相同

3：每个会员都能及时的寄回所租的DVD，不影响DVD的流通

4.满意度只与会员所偏爱的DVD是否能租到有关，而与其他因素无关

私有假设：

问题一中模型一：规定每个会员租每张DVD的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次

问题一中模型二：规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月

问题三：

1.规定每个月租一次的会员所租的DVD的期限是一个月，而租两次的期限是半个月

2.每月租两次的会员订单是一月提交两次，每月只租一次的会员订单是一月一次

3.各种DVD的现有数量全部为0

四、模型分析和建立

问题（一）

问题重述:

网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月

租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少有50%在一个月内能够看到该DVD ？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD 呢？

表1 对1000个会员调查的部分结果

问题分析:

解决该问题时，可类比于货币在市场上流通的模型，例如1元面值的货币在市场上流通100次，相当于100元面值的货币在市场上流通1次。当10张DVD 租出了2次也就相当于20张DVD 租出了1次，即他们都租出了20张次。下面我们先使用1000个被调查的会员及表1数据来分析。

模型建立： 模型一：

根据问题一中模型一的私有假设：每个会员租每张DVD 的期限是半个月，不论是一个月租一次还是两次，并根据表1中的调查结果：

（1）对于DVD(j)来说有200个人愿意观看，那么要满足希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD ，即至少有100个人能够看到。每张DVD 都能在一个月内租出两次，则need （j ）张DVD 一个月能租出2need(j) ⨯张次，综上，以DVD （1）为例，应有

2(1)100(1)50()

need need ⨯==张

按比例关系，当有10万个会员时，至少需要准备的DVD （1）张数是4

10105050001000

⨯⨯=。 对DVD （j ）来说，有：