2021年初中物理竞赛及自主招生专题讲义第七讲密度压强与浮力第五节浮力综合问题含解析

第五节浮力综合问题浮力是初中阶段的重要知识点，牵扯的内容较多，题型多变，往往与其他知识相结合综合考察学生的解题能力。

浮力经常与物体的平衡、密度等知识结合。

一、液面的升降问题液面的升降问题是指液体中的物体由于某种变化而引起容器中的液面升高或降低的现象。

对某一容器而言，液面的高度取决于容器内液体的体积与物体排开的液体的体积之和，由于容器中液体体积一般不会改变，因此液面的升降往往由物体排开的液体的体积来决定。

当容器中的固体融化为液体时，我们需要通过比较固体融化前排开液体的体积与融化后液体的体积大小关系，来判断液面的升降。

例1如图7.92所示，冰块漂浮在水中。

在下列情况下，判断圆柱形容器中液面的升降情况。

（1）如图7.92（a）所示，冰块漂浮，全部融化成水后。

（2）如图7.92（b）所示，冰块中包有一个小木块漂浮，冰块全部融化成水后。

（3）如图7.92（c）所示，冰块中包有一个小铁块漂浮，冰块全部融化成水后。

（4）如图7.92（d）所示，冰块中包有一个小铁块沉在容器底部，冰块全部融化成水后。

分析与解容器中液面上升还是下降，取决于冰块融化前排开水的体积，与融化后变成的水的体积之间的大小关系。

（1）设冰的质量为m 冰，密度为ρ冰，水的密度为ρ水，由浮力等于冰块重力，则冰在水面以下的体积V 排满足V gm g ρ=水排冰，解得m V ρ=冰排水。

当冰全部融化成水后，融化所得的水的体积m V ρ=冰水水，可见，V V =水排，即原来冰块在液面以下的体积恰好被融化的水所填满，因此液面不上升，也不下降。

（2）冰融化前，冰和木块排开的水的体积为V 排，()V g m m m g ρ=+水排冰木，解得m m V ρ+=冰木排水。

当冰全部融化后，变成的水的体积m V ρ=冰水水，木块密度小于水，木块仍漂浮在水面上，木块排开的水的体积V 木排满足V g m g ρ=水木排木，解得=m V ρ木木排水。

可见， V V V +=水木排排，即冰块融化后，融化成的水的体积与木块排开水的体积之和，等于冰块融化前排开的水的体积，因此液面高度不变。

（3）冰融化前，冰块排开的水的体积m m V ρ+=冰铁排水，融化后，变成的水的体积m V ρ=冰水水，冰融化后铁块沉于水底，排开的水的体积等于铁块的体积V 铁，m V ρ=铁铁铁，所以，冰融化后变成的水的体积与铁块排开的水的体积之和'+=+m m V V V ρρ=冰铁排水铁水铁，比较'V 排与V 排的大小关系，由于ρρ>铁水，显然有'V V <排排，因此液面要下降。

（4）冰和铁块沉于水底，它们排开的水的体积等于它们的体积之和，即m m V ρρ=+冰铁排冰铁，冰全部融化后，铁块仍沉于水底，则冰融化所变成的水的体积与铁块的体积之和'm m V ρρ=+冰铁排水铁，由于ρρ>水冰，所以'V V <排排，因此液面要下降。

判断液面的升降，本质是判断物体排开液体的体积变大还是变小。

本题中的第（1）、（2）小问也可以这样判断：由于冰融化前，浮力等于冰（包含木块）的重力，冰融化后，融化的水可视为漂浮，木块仍漂浮，因此融化后总浮力仍不变排开液体的体积不变，液面不变。

而对于第（3）、（4）小问，冰块融化后，铁块下沉，总浮力变小，因此排开液体的体积变小，液面下降。

例2在柱状容器里注入适量的浓盐水，在盐水中放入一块冰，冰与盐水的质量相等，并始终漂浮在盐水面上。

当三分之一的冰融化之后，发现容器里的液面上升了h ，当剩余的冰全部融化之后，液面又会上升（）A．23h B．hC．32h D．2h分析与解设柱状容器底面积为s ，冰与盐水的质量均为m ，盐水密度为2ρ，水的密度为ρ水。

再设冰未融化时盐水的深度为0h ，冰浸在盐水中的体积为1v 1，则1222F mg mv g g ρρρ===浮。

由10v v sh +=盐水，即有022m m sh ρρ+=①当有三分之一的冰融化成水后，融化后盐水增加的体积为3mv ρ∆=水，此时盐水的密度22243133m mm m ρρρρρ'+==++水水冰浸入盐水的体积21'2222132********mg F m m m m v g g ρρρρρρρ''''+====⋅=+水浮水则()102mv v s h h ρ'+∆+=+将'1v ，v ∆代入，得()022623m m m m s h h ρρρρ+++=+水水②②-①，得222m m sh ρρ-=水③再设冰全部融化时液面上升了h ∆，则()02m m s h h h ρρ+=++∆水④④-①，得()2m m s h h ρρ-=+∆水⑤比较③⑤两式，可得h h ∆=，选项B 正确。

二、双层液体问题所谓“双层液体”，即容器中存在两种密度不同互不相溶的液体，其中密度较小的液体浮在容器上层，密度较大的液体出现在容器下层当物体浸没在双层液体中时，阿基米德原理仍然适用。

例3（上海第25届大同杯复赛）如图7.93所示，大水槽里有不相溶的A ，B 两种液体，A液体的密度为ρ，B 液体的密度为2ρ。

一个边长为a 的小立方体物块，一半浸没在A 液体中，另一半浸没在B 液体中，物块的上表面与A 液体上表面齐平，则物块的密度为________。

若在物块上端加一个大小为物块重力0.1倍的竖直向下的压力，物块始终未与水槽底部接触，则物块下沉的距离为________。

分析与解正方体有一部分在上层液体中，另一部分在下层液体中，由于压强的传递，两部分液体对浸入其中的体积均有浮力作用。

设正方体密度为ρ'，则根据阿基米德原理和平衡条件，有33311222g a g a g a ρρρ'⋅+⋅=⋅，解得32ρρ'=。

当施加大小为物块重力0.1倍的竖直向下的压力时，物块将下沉，但是不知物块下沉后是否会完全处于下层液体中，不妨设物块下沉距离为x ，先按照12x a <进行计算，即物块下沉后仍有一部分在上层液体当中。

注意由于水槽较大可以忽略液面的变化。

由阿基米德原理及平衡条件，有22331120.122g a a x g a a x g a g a ρρρρ⎛⎫⎛⎫''⋅-+⋅+=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得320x a =，可见假设成立，物块下沉了320a 20a 的距离。

例4（上海第10届大同杯初赛）如图7.94所示，某装有水的容器中漂浮着一块冰，在水的表面上又覆盖着一层油。

已知水面高度为1h ，油面高度为2h ，则当冰融化之后（）A．水面高度1h 升高，油面高度2h 升高B．水面高度1h 升高，油面高度2h 降低C．水面高度1h 降低，油面高度2h 升高D．水面高度1h 降低，油面高度2h 降低分析与解设冰块质量为m ，油和水的密度分别为1ρ和2ρ，冰块浸没在油和水中的体积分别为1v 和2v ，则由冰块重力等于冰块所受油和水的浮力之和，有1122mg gv gv ρρ=+，即1122m v v ρρ=+，可解得1122m v v ρρ-=。

当冰全部融化后，所变成的水的体积为2v mρ=水，显然，2v v >水，因此水的液面高度1h 升高。

判断2h 的升降，需比较v 水与12v v +的大小关系。

结合12ρρ<，可得()11222122212m v v v v v v ρρρρρ=+<+=+，即122mv v v ρ=<+水，因此油的液面高度2h 下降，选项B 正确。

三、浮力参与下的力矩平衡力对物体的转动效果与力的大小、方向、作用点均有关系。

浮力的大小可由阿基米德原理确定，浮力的方向为竖直向上。

但是浮力的作用点却不是我们通常误以为的“重心”。

实际上，浮力的等效作用点叫做“浮心”，浮心的位置就是被物体排开的那部分液体的重心。

如果被排开液体的几何形状是规则的，那么浮心就在被排开的液体原先的几何中心。

例5（上海第29届大同杯初赛）如图7.95所示，长为L 、密度为ρ的均匀细棒下端系一根细线，细线的另一端被拴在杯底的A 点处，细棒竖直浸没在杯中的液体内，液体密度为()004ρρρ=。

现打开杯底的阀门K ，使液体缓慢流出。

当细棒露出液面一定长度时，细棒有可能倾斜，该长度的最小值为（）A．45L B．34L C．23L D．12L 分析与解当杆转动时，绳子仍然竖直，因此杆将会绕杆的底端O 点在重力和浮力作用下转动。

当水位较低、重力的力矩大于浮力的力矩时，杆将会倾斜。

如图7.96所示，为了求出杆露出水面的长度x 满足什么条件下杆才会倾斜，不妨假设杆绕底端O 点转过一个小角度θ，并设杆横截面积为s ，杆所受重力G sLg ρ=，重力的作用点在整根杆的中点，则杆重力的力矩sin sin 22G L LM GsLg θρθ==⋅，杆所受浮力()0F s L x g ρ=-浮，浮力的作用点在水面以下部分的中点，则浮力的力矩()()()011sin sin 22F M F L x s L x g L x θρθ=⋅-=-⋅-浮浮当G F M M >浮时，杆将倾斜，解得2Lx >，因此选项D 正确。

例6（上海第31届大同杯初赛）用竖直向上的外力F 作用在浸在水中的直棒AB 的A 端，棒的截面积处处相等，密度分布均匀，静止在如图7.97所示的位置。

此时A 端距离水面为x ，棒与水面的夹角为θ，棒浸在水中的长度为L ，B 端的深度为h ，现由图示位置缓慢向上增大x 直至棒的B 端刚好离开水面的过程中，下列关于F ，L ，θ，h 大小变化的判断，正确的是（）A．F 先不变后增大B．L 先增大后减小C．θ先增大后不变D．h 先增大后减小分析与解棒受拉力F 、重力G 、浮力F 浮的作用棒整个运动过程中在竖直方向上受力平衡，则有F F G+=浮①在棒缓慢转动的过程中，棒所受各力的力矩平衡。

不妨取棒的重心为转轴，则拉力F 与浮力F 浮力矩平衡，设棒的横截面积为s ，棒总长为AB L ，棒所受浮力为F sLg ρ=浮水，浮力的作用点在棒水下部分的中点，则根据力矩平衡，有()21cos cos cos 22N L F L L F sgL θθθρθ-==浮水②可见，若直棒转动过程中水下部分的长度L 变小，则F 浮变小，由①式可知，F 将变大。

但是再观察②式，发现上述L ，F 的变化情况将使得②式等号不成立，同理直棒水下部分的长度L 变大也不能同时符合①②两式，因此，只能得出一个结论：在直棒转动过程中，L 长度不变，即木棒实际是绕着水面和棒的交点转动的，这样，L 不变，F 浮不变，拉力F 不变。

因此图7.97中A ，B 两点到水面的距离x ，h 均增大。