2.3 两角和与差的正切函数 学案(含答案)
2.3 两角和与差的正切函数学案（含答案）
2.3两角和与差的正切函数学习目标
1.能利用两角和与差的正弦.余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简.求值.证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用知识点一两角和与差的正切名称简记符号公式使用条件两角和的正切Ttan，，均不等于kkZ两角差的正切Ttan，，均不等于kkZ知识点二两角和与差的正切公式的变形1T的变形
tantantan1tantantantantantantantantantan
1.2T的变形tantantan1tantantantantantantantantantan
1.1对于任意角，，总有tan.提示公式成立需，，k，kZ.2使公式tan有意义，只需，kkZ即可提示还应使k，kZ.3若，，k，kZ，则tantantantantantan恒成立4k，且k，kZ时，tan.题型一正切公式的正用例11已知，均为锐角，tan，tan，则.答案解析因为tan，tan，所以tan
1.因为，均为锐角，所以0，，所以.2已知tan2，tan，则tan的值为答案3解析tantan
3.反思感悟1
注意用已知角来表示未知角2利用公式T求角的步骤计算待求角的正切值缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息根据角的范围及三角函数值确定角跟踪训练1xx江苏若tan，则tan.答案
解析方法一tan.6tan61tantan1，tan.方法二tantan.题型二正切公式的逆用与变形使用例21.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案解析原式tan4515tan
60.2化简tan23tan37tan23tan
37.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简解方法一
tan23tan37tan23tan37tan23371tan23tan37tan23tan37tan601tan 23tan37tan23tan
37.方法二tan2337，，tan23tan37tan23tan37，
tan23tan37tan23tan
37.反思感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式tantantan1tantan或1tantan.当为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到1与正切的乘积的和或差时常用变形形式.合理选用公式解题能起到快速.简捷的效果跟踪训练2若A，B是ABC的内角，并且1tanA1tanB2，则AB等于
A.
B.
C.
D.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角答案A解析由1tanA1tanB2，得1tanAtanBtanAtanB
2.所以tanAtanB1tanAtan
B.由tanAB1，因为0AB，所以A
B.1若tan3，tan，则tan等于
A.BC3D3答案A解析tan.2已知cos，且，则tan等于AB7
C.D7答案D解析由cos，且，得sin，所以tan，所以tan
7.故选
D.3计算.考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案1解析tan4
51.4已知A，B都是锐角，且tanA，sinB，则AB.答案解析B 为锐角，sinB，cosB，tanB，tanAB
1.又0AB，A
B.5已知tan，tan是方程x23x40的两根，且，，求的值考点两角和与差的正切公式题点综合应用两角和与差的正切公式求角解因为tan，tan是方程x23x40的两根，所以所以tan0，tan0，所以，.所以0，tan.所以.1公式T的结构特征和符号规律1公式T的右侧为分式形式，其中分子为tan与tan的和或差，分母为1与tantan的差或和2符号变化规律可简记为“分子同，分母
反”2应用公式T时要注意的问题1公式的适用范围由正切函数的定义可知，，，或的终边不能落在y轴上，即不为kkZ2公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan1，tan，tan等特别要注意tan，tan.3公式的变形应用只要用到tantan，tantan时，有灵活应用公式T的意识，就不难想到解题思路特别提醒tantan，tantan，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型.
锐角三角函数--特殊角的函数值
25.2锐角三角函数（2） 教学目标 ：1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理. 进一步体会三角函数的意义. 2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 教学重点： 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. 2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 教学难点： 进一步体会三角函数的意义. 教学方法：自主探索法。 教学准备：一副三角尺、 多媒体演示。 教学过程： 一：.创设问题情境，引入新课 [问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法 ) 提示：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可. 问题1：我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，你能求出30°角的三个三角函数值吗? 二.新知学习 1.探索30°、45°、60°角的三角函数值. [师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝ 2 1. sin30°表示在直角三角形中，30°角的对边与 斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ， 所以sin30°＝ 2 12=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢? [生]cos30°＝ 2 323=a a . tan30°= 333 13==a a
三角函数的定义导学案
5，则 b的值。 3的终边上，且｜OP｜=2，则点P的坐标？ 2 ,-3),，则定义：叫做角α的余弦，记作cosα，即cosα＝； α=- 5 2，则sin α，tanα的值分别为（另外，角α的正割：secα＝ 1 cosαx 角α的余割：cscα＝ 1 sinαy 角α的余切：cotα＝ 1 2C- 3 A 1 高一数学学案 必修四第一章第3节三角函数的定义（1） 制作人：适用范围：高一使用日期：4.17 【教学目标】 1、三角函数定义； 2、利用定义求角的六个三角函数； 3、特殊角的三角函数值。 4、通过角定义的学习，进一步体会数形结合的思想方法 【教学重难点】 1、用定义求三角函数值； 2、特殊角三角函数值。 【教学内容】 1．任意角三角函数的定义 任意角三角函数的定义 如图所示，以任意角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直 角坐标系．设P(x，y)是任意角α终边上不同于坐标原点的任意一点． 变式训练2：若角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=- 3 例2、求下列各角的六个三角函数值： （1）0;(2)π；（3） 3π 2 变式训练3：若点P在角 π 【课堂练习】 1、（1）已知角α终边经过点p( 1 cosα=______，sinα=______，tanα=______， cotα=______，secα=______，cscα=______。 其中，r＝OP＝x2＋y2>0． x x r r y y r叫做角α的正弦，记作sinα，即sinα＝r； 2、设π A、-1；不存在 B、1；不存在 C、-1；0 D、1；0 ）。 y y x叫做角α的正切，记作tanα，即tanα＝x． r ＝； r ＝； x tanα＝y． 例1、已知角α终边过点P（2，-3），求角α的六个三角函数值。 3、如果角α的终边过点（2sin30°，-2cos30°）,则sinα的值等于（） 13 2 B- 2 D 2 4、若角α的终边经过点M（0，m）（m≠0），则下列式子无意义的是（） A、sinα B、cosα C、tanα D、cotα 15．已知角 α的终边上一点的坐标为( 3 ,- 1 ),则角α的最小正值为( 22)变式训练1：设角α的终边经过点P（3x，-4x）（x＜0），则sinα-cosα的值？
两角和与差的正切函数
两角和与差的正切函数 一、教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书·必修4》（北师版）第三章第2.3节。从教材中的地位与作用来看，《两角和与差的正切》是本章的一个重要的内容，它具有承上启下的作用，承上是在学了两角和与差的正、余弦的基础上而学习的，因为在推导两角和与差的正切公式要用到前面的公式，启下是为学习二倍角的正切公式奠定了基础，因为二倍角的正切公式是两角和与差的正切公式的特例，即令两角和与差的正切公式的β α=就可以得到二倍角的正切公式。同时此公式中实际应用中也有广泛的应用，如：测量等。而且在应用的过程中渗透了方程、整体变换等数学思想，为学生在以后的学习中积累了数学素养。对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。前面学习了两角和与差的余弦、正弦公式，本节课将引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。 二、学情分析 从学生的所学知识来看，由于这节课是学习两角和与差的正、余弦与同角三角函数关系的商数关系的基础上学习的，所以学生比较容易接受两角和与差的公式的推导过程，在此过程中使用类比的方法，引导学生探究新、旧公式之间的联系，探索新公式的应用规律。在记忆公式的可以让学生注意观察，发现新公式的特点与新公式应用的规
律，培养学生的观察能力。 三、设计思想 新课标倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，注重培养学生搜集和处理信息能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流合作的能力。所以在教学设计中要注重培养学生作为学习主体的能动性、独立性、创造性、发展性。利用问题探究式的方法对新课加以巩固理解。 四、教学目标 1、知识目标： （1）使学生掌握两角和与差的正切公式及其推导方法； （2）使学生能应用公式正确灵活地进行三角函数式的化简求值。2、能力目标： （1）培养学生的观察能力 （2）培养学生的思维品质 （3）培养学生等价转化的能力 3、情感目标： （1）让学生通过自己发现，自己猜测，自己尝试，自己归纳等一系列思维活动来自己获得知识。 （2）通过设疑、暗示、课堂讨论等教学形式和方法，启发诱导学生、激发学生的学习兴趣。 （3）体会数学美，感受数学变换的魅力。 五、教学重点、难点
新人教版九年级下数学反比例函数导学案
杏山镇中心学校九年级数学导学案 课题：反比例函数 备课人： 审核人：学习目标：1．理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 学习难点：理解反比例函数的概念及建模； 知识链接：1、形如)0(≠=k kx y 的函数叫做正比例函数，2，形如 )0k b (≠+=是常数，且、k b kx y 的函数叫做一次函数。当b=0时称为正比例函数 1、一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数的基本形式还能表示为 2、下列等式中，哪些是反比例函数? （填序号） （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+= x y （5）x y 23- = （6）31 +=x y （7）y ＝x －4 3、苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 4、矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 5、函数2 1 +- =x y 中自变量x 的取值范围是 6、y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值： x -2 -1 2 1- 21 1 3 y 3 2 2 -1 （1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式完成上表。 三、探究、合作、交流：（根据掌握的知识，认真填写下列内容） 1、已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝ 2、已知y-2与x 成反比例，当x=3时，y=1，则y 与x 间的函数关系式是 。 3、当n 何值时，y =(n 2+2n )2 1 n n x +-是反比例函数？。 4、已知y 与x 成反比例，且当x=2时，y=6，求y 与x 的函数关系式． 5、已知y 与x-1成反比例函数，当x=2时y=1，则这个函数的表达式是（ ） A 、11-=x y B 、1-=x k y C 、11+=x y D 、11 -=x y 6、已知y 与x 2成反比例，并且当x=3时y=4.
人教版九年级下册数学学案：28.1锐角三角函数(3)—特殊角三角函数值
中学导学稿 28章.锐角三角函数年级：九年级学科：数学学期：下学期设计时间： 12月 课题28．1锐角三角函数（3）—特殊角三角函数值主备课时一课时 探 究 展 示活动三：自学教材P79例3完成下题： 已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，? = 13 12 sin A求此菱形的周长． 简单回顾一个直角三角形中，1、一个锐角正弦是怎么定义的？； 2、一个锐角余弦是怎么定义的？； 3、一个锐角正切是怎么定义的？。 学习目标1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数。 2、能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式 反 思 对照学习目标，你学会了哪些，还有什么疑惑的地方吗？ 学习过程 自主 合作 交流活动一： 思考：1、两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余 弦值和正切值码？． 2、归纳结果 活动二：自学教材P79例3完成下题：图1 1、 Sin230°+cos230°sin45cos30 32cos60 ?+? -? -sin60°（1-sin30°）． 2、已知：如图1，Rt△ABC中，∠C＝90°，求证：(1)sin2A＋cos2A＝1(2)? = A A A cos sin tan 30°45°60° siaA cosA tanA 当 堂 检 测 1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= 3 5 ，AB=15，则AC的长是（）． A．3 B．6 C．9 D．12 2．下列各式中不正确的是（）． A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 3、计算： （1）2sin30°-2cos60°+tan45°（2）sin45 tan30tan60 ? ?-? +cos45°·cos30° （3）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+6·tan30°（4）sin272°+sin218° 4、已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB． 求：(1)∠D及∠DBC；(2)tan D及tan∠DBC； 一/ 2
人教版八年级数学下册导学案全册
第十七章反比例函数 课题 17.1.1 反比例函数的意义课时：一课时【学习目标】 1.理解并掌握反比例函数的概念。 2.会判断一个给定函数是否为反比例函数。 3.会根据已知条件用待定系数法求反比例函数的解析式。 【重点难点】 重点：理解反比例函数的意义，确定反比例函数的表达式。 难点：反比例函数的意义。
【导学指导】 复习旧知: 1.什么是常量？什么是变量？函数是如何定义的？ 2.我们学过哪几种函数？每一种函数形式怎样？ 3.写出下列问题中的函数关系式并说明是什么函数.
（1）梯形的上底长是2，下底长是4，一腰长是6，则梯形的周长y与另一腰长x之间的函数关系式。（2）某种文具单价为3元，当购买m个这种文具时，共花了y元，则y与m的关系式。 学习新知：阅读教材P39-P40相关容，思考，讨论，合作交流完成下列问题。 1.什么是反比例函数？反比例函数的自变量可以取一切实数吗？为什么？
2.仔细观察反比例函数的解析式y=k/x,我们还可以把它写成什么形式？ 3.回忆我们学过的一次函数和正比例函数，我们是用什么方法求它们的解析式的？以此类推，我们也可以采用同样的方法来求反比例函数的解析式。 【课堂练习】 1.下列等式中y是x的反比例函数的是（） ①y=4x ②y/x=3 ③y=6x-1 ④xy=12 ⑤y=5/x+2 ⑥y=x/2 ⑦y=-√2/x ⑧y=-3/2x 2.已知y是x的反比例函数，当x=3时，y=7, (1)写出y与x的函数关系式；（2）当x=7时，y等于多少？
【要点归纳】 通过今天的学习，你有哪些收获？与同伴交流一下。
锐角三角函数之间的关系和特殊角Word版
课题：锐角三角函数之间的关系和特殊角 学习目标： 1、熟练掌握正弦和余弦、正切的关系和互化. 2、了解同一锐角三角函数间的平方关系、商数关系 3、掌握30度、45度、60度的三角函数值，能够用它们进行计算。 自主学习 一.正弦和余弦的关系 1.任意锐角的正弦值都等于它的余角的 值.cos sin =α 2.任意锐角的余弦值都等于它的余角的 值.sin cos =α 二..平方关系：1.推导：=+αα22cos sin 1 2、已知α为锐角，且5 3sin = α，则αcos = . 3、已知α为锐角，且13 12cos =α，则=αsin . 三.商数关系：1.推导：αα αtan cos sin = 2、已知α为锐角，且5 3sin =α，那么=αtan . 3、已知α为锐角，且13 5cos =α，那么=αtan . 4、已知α为锐角，且2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+= . 四、特殊角：根据直角三角形边角关系把108页表格填写完整。 合作再探 一、填空（正弦和余弦、正切和余切互化） ①sin48°= . ②cos63°= .sin54°= . ○ 4cos72°= . 2. 已知α为锐角，且sin α= 5 4,那么cos α= . 3. 已知α为锐角，且cos α=13 12,则tan α= . 4. 已知α为锐角，且tan α=3,则ααααcos sin cos sin +-= . 5、 若sinA=cos 245°,则∠A= 。 6、 △ABC 中，有01sin 22 3cos =-+-B A ,那么∠C= 。 7、若∠A=60°，则化简=-2)sin 1(A . 8、Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA 的值
同角三角函数的基本关系 导学案
2018年苏州工业技术学校数学“同题异构” 教研活动 公开课教案 课题: 同角三角函数的基本关系 教师: 胡甲维 日期: 2018年3月20日
课题：5．4 同角三角函数的基本关系(一) 【教学目标】 知识目标： 理解同角的三角函数基本关系式． 能力目标： ⑴已知一个三角函数值,会利用同角三角函数的基本关系式求其他的三角函数值； ⑵会利用同角三角函数式化简三角式. 情感目标： 通过公式的推导和应用，培养学生严谨规范的思维品质和分类讨论思想以及辩证唯物主义观点。 【教学重点】 同角的三角函数基本关系式的应用． 【教学难点】 应用平方关系求正弦或余弦值时，正负号的确定. 【教学设计】 （1）由实际问题引入知识，认识学习的必要性； （2）从特殊到一般，从特殊角的三角函数值之间的关系发现一般角三角函数值的关系，并利用已有的知识进行证明； （3）例题讲解——已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值； （4）在练习——讨论中深化、巩固知识，培养能力； （5）拓展应用，提升计算技能． 【教学备品】 教学课件、教学导案、超星平台. 【课时安排】 2课时．(90分钟) 【板书设计】
揭示课题 5.4同角三角函数的基本关系式 *构建问题 探寻解决 探究一: 设坡角（斜坡与水平面所成的角）为α,如果sin α=0.6,小明沿着斜坡走了10米,则他升高了多少米? 探究二: 设坡角（斜坡与水平面所成的角）为α,如果tan 0.75α=,小明沿着斜坡走了10 m,想知道升高了多少米,就需要求出坡角α的正弦值．这就需要研究同角三角函数之间的关系？ 引入新知: 回忆以下几个特殊角的三角函数值,并计算,观察他们之间的关系,猜想他们之间的联系. 问题:从以上的过程中,你发现了什么一般规律？ 同角三角函数的基本关系: 22sin cos 1αα+=,sin tan cos ααα= ． 说明: 1、 2、一定是“同角”至于角的形式无关 3、是对“任意”一个角（使得函数有意义的前提下）关系式都成立. 提示:要灵活应用公式（正用、反用、变形） =+ 90cos 90sin 22=+ 30cos 30sin 22= 60cos 60sin = 45cos 45sin ()22 2sin sin sin ααα是并不是αα22sin 4+cos 4=1等；
两角和与差的正切公式
第4课时 两角和与差的正切公式 【教学目标】 1、掌握用同角三角函数关系式推导出两角和与差的正切公式. 2、会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3、应用两角和与差的正切公式进行计算、化简、证明. 【教学重点与难点】 重点：两角和与差的正切公式的推导；两角和、差公式的灵活应用. 难点：两角和与差的正切公式的逆向使用；实际问题抽象为数学问题，恰当寻找解题思维的起点. 【教学过程】 导入 我们已经学习了正弦公式，余弦公式，本节课我们一起学习正切公式.这样对于一些非特殊角的正切，我们也能计算，如tan75?. 在推导正切公式之前，能否用已学知识来计算tan75?的值. 问题引入 两角和、差的正弦公式： =+)sin(βα________________________，=-)sin(βα_________________________ 两角和、差的余弦公式： =+)cos(βα_______________________，=-)cos(βα_______________________ 构建新知 推导过程 sin() tan()cos() αβαβαβ++= + sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβ αβαβ += - 分子分母同时除以cos cos αβ，得 t a n t a n t a n ()1t a n t a n αβαβαβ++=-
两角和、差的正切公式： =+)tan(βα________ tan tan 1tan tan αβ αβ +-________________________ 用β-代替β，就可得到 =-)tan(βα___________ tan tan 1tan tan αβ αβ -+_____________________ 例题分析 例1 求值 （1）0 75tan ；（2）0 00043 tan 17tan 143tan 17tan -+ ；(3) 00 75tan 175tan 1-+ 解 （1）0 tan 75tan(4530)=?+? tan 45tan 301tan 45tan 30?+? = -?? = （2）00 00 tan17tan 43tan(1743)1tan17tan 43+=?+?= - （3）00 1tan 75tan 45tan 75tan(4575)1tan 751tan 45tan 75+?+?==?+?=--?? 特殊角的三角函数值 例2 已知7 tan ,5)tan(== -ββα，求αtan . 解 []t a n t a n ()ααββ=-+ tan()tan 1tan()tan αββ αββ -+= -- 1=
九年级数学下册 26 反比例函数章末复习学案 (新版)新人教版
第二十六章章末复习 【学习目标】 1．系统地回顾本章主要知识，能熟练运用本章知识解决一些实际应用问题． 2．进一步增强对反比例函数的图象及其性质的理解，能运用它们解决具体问题． 【学习重点】 反比例函数的图象及其性质的理解和运用． 【学习难点】 反比例函数图象中的面积不变性质． 情景导入 生成问题 知识结构我能建： 自学互研 生成能力 知识模块一 反比例函数的基础知识 【自主探究】 1．(2016·哈尔滨中考)点(2，－4)在反比例函数y ＝k x 的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( D ) A ．(2，4) B ．(－1，－8) C ．(－2，－4) D ．(4，－2) 2．(2016·连云港中考)姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y 值随x 值的增大而减小．根据他们的描述，姜老师给出的函数表达式可能是( B ) A ．y ＝3x B ．y ＝3x C ．y ＝－1x D ．y ＝x 2 3．(衢州中考)下列四个函数图象中，当x>0时，y 随x 的增大而减小的是( B ) 【合作探究】 1．反比例函数y ＝－2x 的图象是双曲线，分布在第二、四象限，在每个象限内，y 都随x 的增大而增大；若P(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)都在第二象限且x 1
九年级数学下册特殊角的三角函数值学案无答案北师大版
A B C 广东省深圳市宝安实验中学九年级数学下册《特殊角的三角函数值》 学案北师大版 思维导图： 学习目标： 1.会探索推理得到30°，45°，60°角的三角函数值; 2.会进行含有30°，45°，60°角的三角函数值的计算; 3. 能根据30°，45°，60°角的三角函数值得出相应的锐角的度数。 一、前提补偿、自学展示 (一)基础回顾： 锐角三角函数的定义： tan A A A ∠ = ∠ 的对边 的邻边 ，sin A A ∠ = 的对边 斜边 ，cos A A ∠ = 的邻边 斜边 (二)尝试练习： 如图，Rt△ABC中，∠C= 90°，∠A= 30°，则BC与AB之间的数量关系是_______ 若BC=2，AB=4,则sinA=________，cosA=________，tanA=_______， sinB=________，cosB=________，tanB=_______。 二、达标导学 (一)知能点1：30°，45°，60°角的三角函数值求法。 1．活动内容：探索30°角的三角函数值 ①观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? ②sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. ③cos30°等于多少?tan30°呢?
学生探讨、交流，得出 30°角的三角函数值。 2．我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的? 3．请学生完成下表 三角函数 度数 sin α co α tan α 30° 45° 60° 例1： (1)sin30°+cos45°； (2)sin 2 60°+cos 2 60°-tan45° [牛刀小试] 22 sin45°+sin60°-2cos45° [解题反思] (二) 知能点2：特殊三角函数值的实际应用 例2：一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差。(结果精确到0.01 m)
2019-2020学年高中数学 3.2《两角和与差的正切函数》教案设计 北师大版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 3.2《两角和与差的正切函数》教案设计 北 师大版必修4 一、教学目标 1、知识与技能：（1）能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式； （2）能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明；（3）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；（4）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 2、过程与方法：借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式，让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点；讲解例题，总结方法，巩固练习. 3、情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 ：重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法：(1)自主性学习+探究式学习法：通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学过程 【探究新知】 1．两角和与差的正切公式 T ,T 问：在两角和与差的正、余弦公式的基础上，你能用，表示和吗？（让学生回答） [展示投影] ∵cos βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin(-+=++ 当时 分子分母同时除以 得： 以代得： tan(+)=βαβαtan tan 1tan tan -+ tan( )=β αβαtan tan 1tan tan +-
《反比例函数》导学案
反比例函数 备课人： 审核人：学习目标：1．理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求 函数解析式 学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 学习难点：理解反比例函数的概念及建模； 知识链接：1、形如)0(≠=k kx y 的函数叫做正比例函数，2，形如 )0k b (≠+=是常数，且、k b kx y 的函数叫做一次函数。当b=0时称为正比例函数 1、一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ （k 为常数， k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数的基本形式还能表示为 2、下列等式中，哪些是反比例函数? （填序号） （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23-= （6）31+=x y （7）y ＝x －4 3、苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系 式为 4、矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解 析式为 5、函数2 1+-=x y 中自变量x 的取值范围是 6、y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值： x -2 -1 21- 21 1 3 y 32 2 -1 （1）写出这个反比例函数的表达式；（2）根据函数表达式 完成上表。 三、探究、合作、交流：（根据掌握的知识，认真填写下列内容）
1、已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝ 2、已知y-2与x 成反比例，当x=3时，y=1，则y 与x 间的函数关系式是 。 3、当n 何值时，y =(n 2+2n )21n n x +-是反比例函数？。 4、已知y 与x 成反比例，且当x=2时，y=6，求y 与x 的函数关系式． 5、已知y 与x-1成反比例函数，当x=2时y=1，则这个函数的表达式是（ ） A 、1 1-=x y B 、1-=x k y C 、11+=x y D 、11-=x y 6、已知y 与x 2成反比例，并且当x=3时y=4. （1）写出y 与x 之间的函数关系式。 （2）求x=1.5时y 的值。 7、已知y=y 1+y 2，y 1与X 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x=1时，y =0；当x =4时，y =9.求y 与x 的函数关系式 8．若函数28)3(m x m y -+=是反比例函数，求m 。 四、当堂训练 1、写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数 （1）平行四边形面积是24cm 2，它的一边长xm 和这边上的高hcm 之间的关系是 ． （2）小明用10元钱与买同一种菜，买这种菜的数量mkg 与单价n 元/kg?之间的关系是 （3）老李家一块地收粮食1 000kg ，这块地的亩数S 与亩产量tkg/亩之间的关系是 2、若y 是x-1的反比例函数，则x 的取值范围是 3、若函数28)3(m x m y -+=是反比例函数，则m 的取值是
苏教版必修四3.2《二倍角的三角函数》word学案
一、学习目标 1、让学生自己由和角公式而导出倍角公式，了解它们的内在联系； 2、会利用倍角公式进行求值运算，培养运算和逻辑推理能力； 3、领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 二、学习重点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 三、学习难点 倍角公式的形成，及公式的变形形式的运用。 四、学习过程 问题1：两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？ 问题2：若β=α，结果会如何，你能得出什么结论？ α2S ： α2C ： α2T ： 问题3：你能利用同角三角函数公式对α2C 进行变形吗？ 总结：公式α2S 、α2C 、α2T 叫做 ，简称 。 注意：（1）这里的“倍角”，实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不能省去。 （2）倍角公式是和角公式的特例。 （3）倍角公式中的“倍角”的意义是相对的，如：4α是8α 的二倍角。 （4）倍角公式的公式特征：“倍角”与“二次”的关系。 试一试：不查表，求值： （1）sin 2230cos 2230''?= ； （2）=-π18cos 22 ； （3）=π-π8 cos 8sin 22 ；（4）= 40cos 20cos 10sin 。 例1：已知)0,2 (135cos παα-∈=且，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值。
例2：化简απ απ α222sin )3(cos )3(cos -++-。 例3：证明下列恒等式 （1）θθθθθtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+； （2）1)10tan 3(40sin =- 。 例4：求函数2sin (sin cos )y x x x =+的最小正周期，以及最值。 例5：在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取使这个矩形面积最大？ 五、巩固练习 1、化简（1； （2； （3； （4。
两角和差的正切公式
§3.1.2 两角和与差的正弦、正切公式（1） 一、教学目标 理解以两角差的余弦公式为基础，推导两角和、差正弦和正切公式的方法，体会三角恒等变换特点的过程，理解推导过程，掌握其应用. 二、教学重、难点 1. 教学重点：两角和、差正弦和正切公式的推导过程及运用； 2. 教学难点：两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 三、学法与教学用具 学法：研讨式教学 四、教学设想： （一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式： ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+． 这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？ 提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？ 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. ()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ??????????+=-+=-+=-+- ? ? ??????????????? sin cos cos sin αβαβ=+． ()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-????让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征，并思考两角和与差正切公式.（学生动手） （二）例题讲解 例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα??????-+- ? ? ?????? ?的值.
人教版八年级下 反比例函数全章学案(共七节)
课题 17.1.1 反比例函数的意义 学习目标： 1.会识别相关量之间的反比例关系，理解反比例函数的意义，能确定简单的反比例函数关系式． 2.通过对实际问题的分析、类比、归纳，培养学生分析问题的能力，并体会函数在实际问题中的应 用． 重点：反比例函数意义的理解． 难点：反比例函数的建模． 学习过程 一、 预习新知 1、 阅读课本第39页至40页的部分，完成以下问题. 问题：（1）京沪线铁路全长1463 km ，某次列车的平均速度v km/h?随此次列车的全程运行时间t h 的变 化而变化，其关系可用函数式表示为： （2）某住宅小区要种植一个面积为1 000 m 2 矩形草坪，草坪的长y m 随宽x m?的变化而变化，可 用函数式表示为 (3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km 2，人均占有的土地面积S km 2 /人，随全市总人口n 人的变 化而变化，其关系可用函数式表示为 ． 2、合作探究 分析 上述问题中的函数关系式都有y=k x 的形式，其中k 为常数． 归纳 一般地，形如y= k x （k 为常数，且k?≠0）?的函数称为 。 注意 在y=k x 中，自变量x 是分式k x 的分母，当x=0时，分式k x 无意义，所以x?的取值范围 二、课堂展示 【例1】 已知y 是x 的反比例函数，当x=2时，y=6． （1）写出y 与x 的函数关系式； （2）求当x=4时y 的值． 例2. 若反比例函数y= k x 与一次函数y=2x-4的图象都过点A （m ，2）． （1）求点A 坐标． （2）求反比例函数解析式． 三、随堂练习 1．写出下列函数关系式，并指出它们各是什么函数 （1）平行四边形面积是24 cm 2 ，它的一边长x m 和这边上的高h cm 之间的关系是 ． （2）小明用10元钱去买同一种菜，买这种菜的数量m kg 与单价n 元/kg?之间的关系是 （3）老李家一块地收粮食1000 kg ，这块地的亩数S 与亩产量t kg/亩之间的关系是 2．若y 是x-1的反比例函数，则x 的取值范围是 3．若y= 1 1 n x 是y 关于x 的反比例函数关系式，则n 是
《三角函数的诱导公式》(学案)
三角函数的诱导公式(第1课时)（学案） 一.教学目标 1．知识与技能 （1）能够借助三角函数的定义推导三角函数的诱导公式。 （2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。 2．过程与方法 （1）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力。 （2）通过对诱导公式的探求和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3．情感、态度、价值观 （1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度。 （2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。 二.教学重点与难点 教学重点:探求π－α的诱导公式。π＋α与－α的诱导公式在小结π－α的诱导公式发现过程的基础上，教师引导学生推出。 教学难点:π＋α，－α与角α终边位置的几何关系，发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图”。 三.教学方法与教学手段 问题教学法、合作学习法，结合多媒体课件 四.教学过程 角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？ （一）情境创设及问题提出 如何将任意角三角函数求值问题转化为0°~360°角三角函数 求值问题。 【情境创设】摩天轮旋转一周（比如如图30°角的位置）后又会 回到原位，你能否从数学角度或者用数学学语言来刻画一下什么是 “回到原位”？摩天轮旋转一周后，发生变化和没有变化的量分别 是什么？它们之间有何关系？从中你能得到什么结论？ 一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三 角函数值__________，三角函数看重的就是终边位置关系。即有： （二）尝试推导 如何利用对称推导出角π-α与角α的三角函数之间的关系。 【问题2】你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？ 角与角α的终边关于y轴对称,有:
北师版数学高一必修4教学设计两角和与差的正切函数
教学设计 2.3 两角和与差的正切函数 整体设计 教学分析 教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决. 在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路. 三维目标 1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明. 2.通过两角和与差的正切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次. 重点难点 教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式. 思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题. 推进新课 新知探究 提出问题 ①利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值,那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？ ②利用所学两角和与差的公式,对比分析公式Cα-β、Cα+β、Sα-β、Sα+β,能否推导出tan(α-β)=?tan(α+β)=?
两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式 时间：2017年12月7日授课班级：高一（16）班授课教师：叶桂芬一、教学目标 知识与技能 1.会有两角和与差的正弦、余弦公式推导其正切公式 2.会用两角和与差的正切公式求非特殊角的正切值. 3.应用两角和与差的正切公式进行计算、对1的灵活运用. 过程与方法： 1.通过公式的推导，提高学生恒等变形能力和逻辑推理能力； 2.通过公式的灵活运用，培养学生的数学思想方法. 情感、态度、价值观 1.使学生体会“联想转化、数形结合、分类讨论”的数学思想； 2.培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑、严谨、求实的科学态度. 二、教学重点、难点 1.重点：两角和与差的正切公式推导及其运用 2.难点：两角和与差的正切公式的运用。 三、课时安排 1课时 四、教学流程 1、复习回顾： β α αsin β β α C + = cos(- sin cos ) cos α+ β β αsin α α β β C cos(+ = - ) cos cos sin β α-
βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βα+S βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βα-S 2、探究新知（推导过程） （1） 在两角和与差的正弦,余弦公式的基础上,你能用αtan ，βtan 表示出 )tan(βα+和)tan(βα-吗？ （2） 利用所学的两角和与差的正弦,余弦公式，对比分析公式 βα+C ,βα-C ,βα+S ,βα-S ,能否推导出)t an( βα+和)tan(βα-？其中βα,应该满足什么条件？ 师生讨论： 当0)cos(≠+βα时，β αβαβ αβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan( -+=++=+ 若0cos cos ≠βα，即0cos ≠α且0cos ≠β时，分子分母同除以βαcos cos 得β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan( -+=+ 根据角α，β的任意性，在上面的式子中，用-β代替β，则有 β αβ αβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan 1)tan(tan )tan(+-=---+= - 由此推得两角和与差的正切公式。简记为“βα+T ，βα-T ” βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 其中βα,应该满足什么条件？还依然是任意角吗？ 由推导过程可以知道：) (2 ) (2 ) (2Z k k Z k k Z k k ∈+ ≠±∈+≠∈+ ≠π πβαπ πβπ πα
人教版九年级数学《反比例函数的图像与性质》导学案
课题：反比例函数的图像与性质 一、学习目标 1、学生通过经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。 2、提高学生的观察、归纳分析能力和对图形的感知水平，体验数形结合的数学思想方法. 3、使学生在动手实践合作交流中，培养团结协作精神，增强对数学的好奇心和求知欲，体验数学活动“探索与创造”的乐趣。二、重点：探索反比例函数图象的主要性质及其图像形状。 难点：1、准确画出反比例函数的图象。 2、准确掌握并能运用反比例函数图象的性质。 三、教学方法1、讨论法：创设学生自主探索合作交流的环境，使他们互相促进、共同学习。 2、分层次教学法：精心设计随堂练习，通过师生互动，引导发现，使学生的知识水平得到预期的发展和提高。 四、教学过程 （一）、回顾与思考 问题：1、正比例函数y=kx(k≠0)的图象是什么图形？它有哪些性质？ 2、画函数图像的方法与步骤是什么？ （1）、列表,(2)描点，（3）连线。
（二）、探究新知 例1．画出函数y=x 4的图象。 1、方法过程：（1）、先让学生自己画图。 （2）、让学生交流，对照课本找异同，思考为什么？ （3）、引导学生画图。（结合课件进行） （4）、小结：①列表时自变量取值要均匀和对称 ②x ≠0 ③选整数较好计算和描点。 ④用平滑的曲线连 ⑤图像为双曲线 2、错例分析(结合学生错例进行) 3、给出反比例函数y=x 2、y=x 4、y=x 6，让学生先说出图像大致特征，再结合图像思考下列问题。 4、变式练习:画出函数y=x 4 的图像 启发:①列表时自变量取值要注意什么？（均匀和对称） ②所画图像在什么象限？与坐标轴相交么？ ③任何相邻的三点在一条直线上么？ （用平滑的曲线连，图像为双曲线） ④考察当 k ＝－2，－4，－6时，反比例函数y=x k 的图像（如下图），它们有哪些共同特征？ 5、规律总结：根据刚才的活动，对比上面两个反比例函数图像，结合正比例函数的性质，你能发现反比例函数的图像性质吗？