第四章 线性回归分析
线性回归分析PPT
分析宏观经济因素对微观 经济主体的影响，为企业 决策提供依据。
评估政策变化对经济的影 响，为政策制定提供参考。
市场分析
STEP 02
STEP 03
评估市场趋势和竞争态势， 为企业战略规划提供支持。
STEP 01
分析消费者行为和偏好， 优化产品设计和营销策略。
预测市场需求和销售量， 制定合理的生产和销售计 划。
参数解释
(beta_0) 是截距项，表示当所有自变量值为0时，因变量的值；(beta_1, beta_2, ..., beta_p) 是斜率项，表示自 变量变化一个单位时，因变量变化的单位数量。
线性回归分析的假设
线性关系
自变量和因变量之间存在线性关系， 即它们之间的关系可以用一条直线近 似表示。
01
02
无多重共线性
自变量之间不存在多重共线性，即它 们之间没有高度的相关性，每个自变 量对因变量的影响是独特的。
03
无异方差性
误差项的方差不随自变量的值变化。
无随机性
误差项是随机的，不包含系统的、可 预测的模式。
05
04
无自相关
误差项之间不存在自相关性，即一个 误差项与另一个误差项不相关。
Part
02
线性回归模型的建立
确定自变量与因变量
01
根据研究目的和数据特征，选择 与因变量相关的自变量，并确定 自变量和因变量的关系。
02
考虑自变量之间的多重共线性问 题，避免选择高度相关的自变量 。
散点图与趋势线
通过绘制散点图，观察自变量与因变 量之间的关系，了解数据的分布和趋 势。
根据散点图的分布情况，选择合适的 线性回归模型，如简单线性回归或多 元线性回归。
第四章-广义线性回归
p 维向量
。
；其中
此时，对应的检验假说为
。
在 下有
。
假定扰动项服从正态分布，则无约束下的对数似然函数为：
，参数 为
参数 对应的一阶导和二阶导为：
则在 下有
其中， 由于信息矩阵 可构造如下：
，
。
为分块对角阵，则约束
即 LM 统计量的值等于 g 对 Z 回归的回归平方和的一半。 又因为在正态分布设定条件下有
检验统计量计算如下：
(4-14)
其中， 和 通常取
分别为两段样本 LS 回归的残差， 和 ，则上式可简化为：
为对应的样本长度。
(4-15)
注意，计算上式 F 统计量时，必须把较大者放在分子。 Goldfeld-Quandt 检验是 LS 估计框架下最简单的方差检验，它与普通的方差结构变化检
验非常接近，比较容易计算。但它也具有一定的局限性：首先，扰动项假定服从正态分布；
和 ）下，上述的两
5 / 26
第四章 广义线性回归
其中，
。
需要注意的是，当我们假定
时，事实上是假定了一种特殊的非球形扰动形
式，这种假定很有可能是不准确的，因此，基于这种特定形式下的估计结果必须建立在相应
的诊断性检验上。
4.2 异方差
4.2.1 异方差检验
异方差设定具体有两种形式：一般的异方差形式设定各期扰动项的方差都不同，此时通 常会假定这种异方差与某些变量有关；另一种特殊的形式则是设定不同组间存在异方差，即 把数据划分为若干组，并假定各组扰动项的方差不同，但在同一组内方差相同。
如果协方差阵未知，则 FGLS 估计如下：
此时，对 WLS 估计的两步估计可以使用迭代的方法。
3．协方差一致稳健估计
计量经济学课程第4章(多元回归分析)
§4.1 多元线性回归模型的两个例子
一、例题1：CD生产函数
Qt AKt 1 Lt 2 et
这是一个非线性函数，但取对数可以转变为一个 对参数线性的模型
ln Qt 0 1 ln Kt 2 ln Lt t
t ~ iid(0, 2 )
注意：“线性”的含义是指方程对参数而言是线 性的
R 2 1 RSS /(N K 1) TSS /(N 1)
调整思想： 对 R2 进行自由度调整。
Page 20
基本统计量TSS、RSS、ESS的自由度：
1.
TSS的自由度为N-1。基于样本容量N，TSS
N i1
(Yi
Y
)2
因为线性约束 Y 1 N
Y N
i1 i
而损失一个自由度。
分布的多个独立统计量平方加总，所得到的新统计量就服从
2 分布。
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
Page 23
双侧检验
概 率 密 度
概率1－
0
2 1 / 2
2 /2
图4.3.1
2
（N-K-1）的双侧临界值
双侧检验：统计值如果落入两尾中的任何一个则拒绝原假设
《计量经济学》，高教出版社2011年6月，王少平、杨继生、欧阳志刚等编著
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单侧检验
概 率 密 度
概率 概率
0
2 1
2
图4.3.2 （2 N-K-1）的单侧临界值
H0：
2
2，
0
HA :
2
2 0
第四章 线性回归分析
（4-1）
, zki 是 k 个对 Y 有显
其中 j ( j 1,2,
, k ) 是回归系数，Y 是被解释变量， z1i , z2i ,
著影响的解释变量 (k 2) ， i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表 示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i ,
, zki ), i 1,2,
2
,n 。
ˆ ˆZ ˆ Z ˆZ ˆ 假设多元样本回归函数为：Y i 0 1 1i 2 2i 3 3i
ˆ。 差为： i Yi Y i
由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程：
Y2 0 1Z12 Yn 0 1Z1n
另 V 对 b0 ,
bk zki )]2
（4-3）
, bk 的一阶偏导数都等于 0，即下列方程组：
2[Y (b
i
0
b1 z1i b1 z1i b1 z1i
bk zki )]( 1) 0, bk zki )]( z1i ) 0, bk zki )]( zki ) 0
把样本数据分别代入样本回归方程，得到回归方程组为：
ˆ b bz Y 1 0 1 11 ˆ b bz Y n 0 1 1n bk zk 1 ,
（4-4）
（4-5）
bk zkn
写成等价的向量方程，则为：
ˆ ZB Y
这样回归残差向量为：
ˆ Y ZB Y Y
再利用向量，矩阵的运算法则，可以得到残差平方和为：
k Zk ，
, bk 分 别 表 示 模 型 参 数 0 ,
线性回归分析
线性回归分析线性回归是一种用来建立和预测变量间线性关系的统计分析方法。
它可以帮助我们了解变量之间的相互影响和趋势，并将这些关系用一条直线来表示。
线性回归分析常被应用于经济学、社会科学、自然科学和工程等领域。
一、概述线性回归分析是一个广泛使用的统计工具，用于建立变量间的线性关系模型。
该模型假设自变量（独立变量）与因变量（依赖变量）之间存在线性关系，并通过最小化观测值与模型预测值之间的误差来确定模型的参数。
二、基本原理线性回归分析基于最小二乘法，通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和来确定模型的参数。
具体来说，线性回归模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε，其中Y是因变量，X1到Xn是自变量，β0到βn是回归系数，ε是误差项。
回归系数表示自变量对因变量的影响程度。
三、应用步骤进行线性回归分析时，通常需要以下几个步骤：1. 收集数据：获取自变量和因变量的样本数据。
2. 建立模型：根据数据建立线性回归模型。
3. 评估模型的准确性：通过计算残差、决定系数等指标来评估模型的准确性。
4. 进行预测和推断：利用模型对未知数据进行预测和推断。
四、模型评价指标在线性回归分析中，有几个常用的指标用于评价模型的准确性：1. R平方值：R平方值表示因变量的变异性能够被模型解释的比例，数值范围为0到1。
R平方值越接近1，表示模型对数据的拟合程度越好。
2. 残差分析：进行残差分析可以帮助我们判断模型是否符合线性回归的基本假设。
一般来说，残差应该满足正态分布、独立性和等方差性的假设。
五、优缺点线性回归分析有以下几个优点：1. 简单易懂：线性回归模型的建立和解释相对较为简单，无需复杂的数学知识。
2. 实用性强：线性回归模型适用于很多实际问题，可以解决很多预测和推断的需求。
然而，线性回归分析也存在以下几个缺点：1. 假设限制：线性回归模型对于变量间关系的假设比较严格，不适用于非线性关系的建模。
第四章多元线性回归分析
21
三、离回归标准误 在简单线性回归分析中，我们知道用Sy/x可以用来 反映回归方程估测精确度，在多元线性回归分析中也同 样可用离回归标准误反映回归方程的估测精确度。
Sy/x
Q dfQ
2 ˆ ( y y )
n2
简单线性回归
S y /1, 2,m
多元线性回归方程
一、多元线性回归的数学模型 设有m个自变数，以变数为y，共有n组实际观测数据，则 可以整理为表1。假如y与x1、x2、…… xm之间存在线性关系， 则m元线性回归模型为：
y j y / x1 , x2 xm j
y j 1x1 j 2 x2 j m xmj j
1
16 b1 4 b 2 25 b 3
15
1. 先将相关数据填入表2的算阵A；
2. 计算算阵B的各数值：计算方法分两种： （1）主对角线及其以下各Bij值：
Bij Aij Bi. B. j
(2)主对角线以上各Bij值
7
在回归模型中：α为x1、x2、…xm皆取0时的y总体的
理论值；βi为在其它自变数x固定时xi对y的偏回归系数，
例如β1表示x2、x3、…xm皆保持一定时，x1每增加一个单
位对y总体的的平均效应，叫做x2、x3、…xm固定时,x1对y 的偏回归系数，其余同； y / x1 , x2 ,xm 为y依x1、x2、…xm 的条件总体平均数（简写作 y / 1, 2,m ）；εj为m元随机
依变数依两个或两个以上自变数的回归叫多元回
归或复回归（multiple regression）。
2
多元回归有多种类型（如多元线性回归、
多元非线性回归、正交多元回归等），而其中 最简单、常用、具有基础性质的是多元线性回 归分析。 多元线性回归分析的思想、方法和原理与 简单线性回归分析基本相同，但会涉及一些新 概念及更细致的分析，尤其是计算要繁杂些， 当自变数较多时可借助计算机进行计算。
301-习题作业-第四章 多元线性回归分析
思考题4.1 为了考察城镇商品房市场的特征，有人建立了如下的模型：ii i i i Z P X Y εαααα++++=3210ln ln 其中：i Y 为第i 个城镇的商品房销售面积，i X 为该城镇居民的人均可支配收入，i P 为商品房均价，i Z 为常住人口数量。
（1）分别解释系数1α和2α的经济含义。
（2）有人认为，中国商品房市场存在严重的炒房现象，导致价格越高，商品房的销售量越火爆，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。
（3）有人认为，商品房市场存在严重泡沫，商品房的销售量已经与居民收入、人口规模严重脱节，你如何检验这种观点？写出你的原假设、备选假设、检验统计量和判定规则。
（4）如果样本中既有大城市，也有小城镇，你如何检验大小城市的商品房市场是否具有相同的特征。
4.2. 在分析变量Y 的影响因素时，学生甲建立了如下的多元回归方程： t t t t X X Y εααα+++=22110。
学生乙也在研究同样的经济问题，她只学习了一元回归模型。
为了考察在X 2不变时，X 1对Y 的影响，学生乙进行了如下的三步回归分析： t t t X Y 1210εββ++= （a ） t t t X X 22101εγγ++= （b ）t t t 3211ˆˆεελε+= （c ）其中：t t 21ˆ,ˆεε分别是回归方程（a ）、（b ）的残差项。
（1）参数1α和参数1λ有什么样的关系？解释你的理由。
（2）参数2α和参数1β是同一个参数吗？解释你的理由。
（3）回归方程（c ）为什么没有截距项？4.3. 在基于受约束和无约束回归方程的估计结果检验规线性约束时，需要建立F 检验统计量。
有同学在相关文献中看到了如下的F 检验统计量：)1,(~)1/(/)(222-----=K N q F K N R qR R F ur r ur 。
（1）说明该F 统计量的形式是如何得到的。
第四章--方差分量线性回归模型
第四章 方差分量线性回归模型本章考虑的线性模型不仅有固定效应、随机误差，而且有随机效应。
我们先从随机效应角度理解回归概念，导出方差分量模型，然后研究模型三种主要解法。
最后本章介绍关于方差分量模型的两个前沿研究成果，是作者近期在《应用数学学报》与国际数学杂志《Communications in Statistics 》上发表的。
第一节 随机效应与方差分量模型一、随机效应回归模型前面所介绍的回归模型不仅都是线性的，而且自变量看作是固定效应。
我们从资料对npi i i X X Y 11},,{ 出发建立回归模型，过去一直是把Y 看作随机的，X 1，…，X p 看作非随机的。
但是实际上，自变量也经常是随机的，而并不是我们可以事先设计好的设计矩阵。
我们把自变量也是随机变量的回归模型称为随机效应回归模型。
究竟一个回归模型的自变量是随机的还是非随机的，要视具体情况而定。
比如一般情况下消费函数可写为)(0T X b C C（4.1.1）这里X 是居民收入，T 是税收，C 0是生存基本消费，b 是待估系数。
加上随机扰动项，就是一元线性回归模型)(0T X b C C（4.1.2）那么自变量到底是固定效应还是随机效应?那要看你采样情况。
如果你是按一定收入的家庭去调查他的消费，那是取设计矩阵，固定效应。
如果你是随机抽取一些家庭，不管他收入如何都登记他的收入与消费，那就是随机效应。
对于随机效应的回归模型，我们可以从条件期望的角度推导出与最小二乘法则等价的回归函数。
我们希望通过X 预测Y ，也就是要寻找一个函数),,()(1p X X M X M Y ，当X 的观察值为x 时，这个预测的误差平均起来应达到最小，即22)]([min )]([X L Y E X M Y E L（4.1.3）这里min 是对一切X 的可测函数L(X)取极小。
由于当)|()(X Y E X M（4.1.4）时，容易证明0)]()()][([ X L X M X M Y E（4.1.5）故当)|()(X Y E X M 时，222)]()([)]([)]([X L X M E X M Y E X L Y E（4.1.6）要使上式左边极小，只有取)|()()(X Y E X M X L 。
第4章多元线性回归分析
4.2.1回归系数估计
结论
4.2 多元线性回归模型参数估计
结论1： OLS估计的一致性 ˆj 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 为一致估计，即
ˆ , j 0, 1, 2, , k p limn j j
结论2： OLS估计的无偏性 如果回归模型误差项满足假设1和假设2，OLS估计 ˆj 为无偏估计： ˆ ) , j 0, 1, , k E( j j
4.9 自变量共线性 重要概念Biblioteka 4.1 多元线性回归模型设定
模型设定：
假设1（零条件均值:zero conditonal mean）
给定解释变量，误差项条件数学期望为0，即
E(u | X1 , X 2 ,, X k ) 0
Y 0 1 X1 2 X 2 k X k u
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项 4.8.2 假设条件的放松（二）—异方差 4.8.3 假设条件的放松（三）—非随机抽 样和序列相关 4.8.4 假设条件的放松（四）—内生性
4.8 假设条件的放松
4.8.1 假设条件的放松（一）—非正态分 布误差项
• 去掉假设5不影响OLS估计的一致性、无偏性和渐 近正态性。 • 不能采用t-检验来进行参数的显著性检验，也不能 用F检验进行整体模型检验。 • 大样本情况下，t统计量往往服从标准正态分布 （在原假设下）。
…
xk ( X k1 , X k 2 ,, X kn )
假设2’（样本无共线性:no colinearity）
不存在不全为零的一组数 c0 , c1,, ck使得
c0 c1x1 xk 0
4.2 多元线性回归模型参数估计
线性回归分析教程PPT课件
实例二：销售预测
总结词
线性回归分析在销售预测中，可以通过分析历史销售数据，建立销售量与影响因子之间的线性关系， 预测未来一段时间内的销售量。
详细描述
在销售预测中，线性回归分析可以用于分析历史销售数据，通过建立销售量与影响因子（如市场需求 、季节性、促销活动等）之间的线性关系，预测未来一段时间内的销售量。这种分析方法可以帮助企 业制定生产和销售计划。
自相关检验
自相关是指残差之间存在 相关性。应通过图形或统 计检验方法检验残差的自 相关性。
05
线性回归模型的预测与 优化
利用线性回归模型进行预测
确定自变量和因变量
01
在预测模型中，自变量是预测因变量的变量，因变量是需要预
测的目标变量。
建立模型
02
通过收集数据并选择合适的线性回归模型，利用数学公式表示
一元线性回归模型
一元线性回归模型是用来研究一个因变量和一个 自变量之间的线性关系的模型。
它通常用于预测一个因变量的值，基于一个自变 量的值。
一元线性回归模型的公式为：y = b0 + b1 * x
多元线性回归模型
01 多元线性回归模型是用来研究多个自变量和一个 因变量之间的线性关系的模型。
02 它通常用于预测一个因变量的值，基于多个自变 量的值。
线性回归模型与其他模型的比较
01
与逻辑回归的比较
逻辑回归主要用于分类问题，而 线性回归主要用于连续变量的预 测。
02
与决策树的比较
决策树易于理解和解释，但线性 回归在预测精度和稳定性方面可 能更优。
03
与支持向量机的比 较
支持向量机适用于小样本数据， 而线性 Nhomakorabea归在大样本数据上表现 更佳。
第四章 一元线性回归
n
xi x
2 ( x x ) i i 1
n
( 0 1 xi ) 1
(4.28)
2 ˆ ( x x ) 0, ( x x ) x ( x x ) i i i 证得 1是 1 的无偏估计，其中用到 i ˆ 同理可证 是 0 的无偏估计。
2 (4.9) ˆ ˆ min ( y x ) ( y x ) ˆ ˆ i 0 1 i i 0 1 i Q( 0 , 1 ) ,
n
2
n
ˆ0 , ˆ1 就成为回归参数 0 ， 1 的 • 依照(4.9)式求出的 最小二乘估计。称
xi x
i 1 i 1
其中 ( x
i 1
是 yi 的常数，所以 1 是 yi 的线性组合。同理可 以证明 0是 yi 的线性组合。 ˆ , ˆ 亦为 因为 y i 为随机变量，所以作为 yi 的线性组合， 0 1 随机变量，因此各自有其概率分布、均值、方差、标准差及两 者的协方差。
0
无偏估计的意义是。如果屡次变更数据，反复求 0 , 1 的 估计值，这两个估计值没有高估或低估的系统趋势，他们的 平均值将趋于 0 , 1 。 ˆ ˆ x ) x E y ˆi ) E ( E( y 0 1 i 0 1 i 进一步有， ，表明回归值 是 的无偏估计，也说明 与真实值 的平均值是相同的。
(4.2)
• 这里 E ( )表示 差。
的数学期望，var( )表示
的方
• 对(4.1)式两端求期望，得 E( y) 0 1 x (4.3) 称(4.3)式为回归方程。 • 一般情况下，我们所研究的某个实际 问题，获得的n组样本观测值
回归分析预测法
一元线性回归样本函数
ˆ b ˆX ˆ b Y i 0 1 i ˆ 为E（Y ）的估计式； 式中 , Y
i i
ˆ 为b 的估计式； b 0 0 ˆ 为b 的估计式。 b
1 1
回归模型
对于样本中每一个与Xi相对的观测值Yi与由样 本回归函数得到的估计值有一随机偏差，这个 偏差称为随机误差，记为ei。
如此以来，高的伸进了天，低的缩入了地。他百思 不得其解，同时又发现某人种的平均身高是相当稳 定的。最后得到结论：儿子们的身高回复于全体男 子的平均身高，即“回归”——见1889年F.Gallton 的论文《普用回归定律》。 后人将此种方法普遍用于寻找变量之间的规律
二、回归分析与相关分析
相关分析：是研究两个或两个以上随机
2 2222R ＝1 2
n2
(1 R ）
2
3、变量的显著性检验（t检验）
主要对多元线性回归模型而言，在方程的总体 线性关系呈显著性时，并不能说明每个解释变 量对被解释变量的影响是显著的，必须对每个 解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解 释变量保留在模型中。其检验的思路与方程显 著性检验相似，用以检验的方法主要有三种： F检验、t检验、z检验。它们区别于方程显著性 检验在于构造统计量不同，其中应用最为普遍 的为t检验。
意义：拟合优度越大，自变量对因变量的解释程度越 高，自变量引起的变动占总变动的百分比高。观察点 在回归直线附近越密集。 取值范围：0-1
修正的
R ，记为R
2
2
在应用过程中，如果在模型中增加一个解释变 量，模型的解释功能增强了，回归平方和增大 R ，记为R R R 2 也增大了。从而给人一个错觉：要使得模 了， 型拟合得好，就必须增加解释变量，但是在样 本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得 自由度减少，于是实际应用中引进修正的决定 2 R 系数 ,具体表达式为（其中 n是样本容量，n-k n 1 R ＝1 (1 R ） n2 ＝n-2为残差平方和的自由度， n-1为总体平方和 的自由度）： n 1
《应用数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案
《应⽤数理统计》吴翊李永乐第四章-回归分析课后作业参考答案第四章回归分析课后作业参考答案4.1 炼铝⼚测得铝的硬度ｘ与抗张强度ｙ的数据如下：i x６８ 53 70 84 60 72 ５1 83 7０ 6４i y288 29８ 3４９ 343 29０ 3５4 283 3２4 340 2８6(1)求y 对ｘ的回归⽅程（２)检验回归⽅程的显著性（05.0=α) (３)求ｙ在x =65处的预测区间(置信度为０．9５) 解：(1) １、计算结果⼀元线性回归模型εββ++=x y 10只有⼀个解释变量其中:x 为解释变量，y 为被解释变量，10,ββ为待估参数,ε位随机⼲扰项。
()()()()685.222,959.4116,541.35555.76725.19745.109610,5.3151,5.671221212112121211=-==-====-=-==-=--==-=-======∑∑∑∑∑∑∑∑========n Q U L Q L L U y n yyy L y x n y x y y x x L x n xxx L n y n y x n x ee yy e xxxyni ini i yy ni i i n i i i xy ni ini i xx ni i n i i σ使⽤普通最⼩⼆乘法估计参数10,ββ上述参数估计可写为95.193??,80.1?101=-===x y L L xxxy βββ所求得的回归⽅程为：x y80.195.193?+= 实际意义为：当铝的硬度每增加⼀个单位,抗张强度增加１.８０个单位。
2、软件运⾏结果根据所给数据画散点图过检验由线性回归分析系数表得回归⽅程为:x y801.1951.193?+=,说明x 每增加⼀个单位，y 相应提⾼1.８０1。
(2) 1、计算结果①回归⽅程的显著性检验(F 检验):0H 线性回归效果不显著 :1H 线性回归效果显著()91.62/=-=n Q UF e在给定显著性⽔平05.0=α时，()()F F n F <==--32.58,12,195.01α,所以拒绝0H ，认为⽅程的线性回归效果显著②回归系数的显著性检验（t 检验)0:10=βH 0:11≠βH()628.22/?1=-=n Q L t e xx β在给定显著性⽔平05.0=α时，()()t t n t<==--306.282975.021α,所以拒绝0H ,认为回归系数显著,说明铝的硬度对抗张强度有显著的影响。
线性回归分析-PPT课件
总离差平方和：
S S S T R E
R
回归均方差（组间方差）： M
2 ( Y y ) j jME
(Y
j 1
m
j
yj )
2
m n 1
计算F值，
M F M
R E
由F值查表，得到P。讨论显著度水平： <=α 自变量作用显著 P >α 自变量作用不显著
将未进入方程的某自变量Xi与Y做方差分析，各水平均值差异显著，满足： F > 3.84 或P<= 0.05 则该Xi可以进入回归方程。而已进入回归方程的Xi与回归后的Y如果出现： F < 2.71 , P> 0.1 则该Xi 必须从回归方程中剔除。 3. 回归系数的显著性检验 对已进入方程的变量的回归系数做 T检验，该检验的原假设是 Bi=0，即第 i 个偏回归系数与0无差异。它意味着，当偏回归系数Bi为0时，无论xi取值如何变 化都不会引起y 的线性百脑汇，xi无法解释y 的线性变化，它们之间不存在线性 关系。 T值的计算为： B
四、线性回归分析的具体操作步骤 ⒈回归分析命令菜单
执行：[Analyze] [Regression] [Linear] 选择因变量到：“Dependent”因变量框内 选择若干个自变量移动到：“Independent(s)” 自变量 框内。
⒉回归方法
“Method”下拉菜单提供了五种筛选策略供选择： 强行介入法Enter（默认，通常在一元线性回归中） 向前筛选Forward 向后筛选Backward 逐步筛选Stepwise 强行剔除Remove
T
i
SE
通过查表可以得到P（即：Sig T）。 若P> 0.1的Xi须可以考虑首先从回归方程中剔除。 其中： Bi为偏回归系数 SEBi为偏回归系数的标准误
气象统计方法 第四章 一元线性回归分析
yˆ ˆ0 ˆ1x
x
全部观测值与回归估计值的离差平方和记为
n
Q(a, b) ( yi yˆi )2 t 1
它刻画了全部观测值与回归直线偏离程度。
显然，Q值越小越好。a和b是待定系数，根 据
微积分学中的Q极值0 原理，要Q求 ：0
a
b
满足上面关系的Q值最小。整理得到：
反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或 者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取 值变化，也称为可解释的平方和。
3.残差平方和(Q)
反映除 x 以外的其它因素对 y 取值的影响，也称为 不可解释的平方和或剩余平方和。
2
n i 1
(
yi
a
bxi
)
0
n
2 i1 ( yi a bxi )xi 0
＝r2
（2）回归系数b与相关系数之间的关系
b
S xy
S
2 x
Sy Sx
rxy
r与b同号。
6. 回归方程的显著性检验
U
F
1 Q
(n 2)
原假设回归系数b为0的条件下，上述统计量遵从
分子自由度为1，分母自由度为（n-2）的F分布，
若线性相关显著，则回归方差较大，因此统计量F
也较大；反之，F较小。对给定的显著性水平 ,
判决系数R2 (coefficient of determination)
1. 回归平方和占总离差平方和的比例； 2. 反映回归直线的拟合程度； 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间； 4. R2 1，说明回归方程拟合的越好；
R20，说明回归方程拟合的越差； 5. 判决系数等于相关系数的平方，即R2
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(1) 变 量 Yi 和 X1i , X2i , , Xki,(i 1, 2, , n) 之 间 ， 存 在 线 性 随 机 函 数 关 系
Yi 0 1X1i 2 X2i 3X3i k Zki i ，其中 i 是随机误差项。
(2) 对应每组观测数据的误差项 i ，都为零均值的随机变量，即 i 的数学期
望 E(i ) 0(i 1,2, , n) 。
3
(3) 误差项 i 的方差为常数，即 Var(i ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i2) 2 ，对 i 2,1 , n 都成立(假设
第 4 章 线性回归分析
线性回归(Linear Regression)，是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两 种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在统计学中，线性回归 是利用线性回归方程的最小平方函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进 行建模的一种回归分析。线性回归是回归分析中第一种经过严格研究并在实际应 用中广泛使用的类型，这是因为线性依赖于其未知参数的模型比非线性依赖于其 位置参数的模型更容易拟合，而且产生的估计的统计特性也更容易确定，运用十 分广泛。
多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变 量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。这里只介绍 多元线性回归的一些基本问题。
4.1 多元线性回归分析
4.1.1 多元线性回归定义
在客观世界中普遍存在着变量之间的关系。变量之间的关系一般来说可分为 确定性与非确定性的两种。确定性关系是指变量之间的关系可以用函数关系来表 达的。另一种非确定性的即所谓的相关关系。例如人的身高与体重之间存在着关 系，一般来说，人高一些，体重也要重一些，但同样高度的人，体重往往不相同。 人的血压与年龄之间也存在着关系，但同年龄的人的血压往往不相同，气象中的 温度与湿度之间的关系也是这样的。这是因为我们涉及的变量（如体重、血压、 湿度）是随机变量，上面所说的变量关系是非确定性的。此时，便可以用到回归 分析。回归分析能帮助我们从一个变量取得的值去估计另一个变量所取得的值。
线性回归有很多实际用途。分为以下两大类： （1）如果目标是预测或者映射，线性回归可以用来对观测数据集的和 X 的值 拟合出一个预测模型。当完成这样一个模型以后，对于一个新增的 X 值，在没 有给定与它相配对的 y 的情况下，可以用这个拟合过的模型预测出一个 y 值。 （2）给定一个变量 y 和一些变量 x1, , xP ，这些变量有可能与 y 相关，线性回 归分析可以用来量化 y 与 x j ( j 1, , P) 之间相关性的强度，评估出 y 与不相关的 x j ( j 1, , P) ，并识别出哪些 x j ( j 1, , P) 的子集包含了关于 y 的冗余信息。
在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归。事实上， 一种现象常常是与多个因素相联系的，由多个自变量的最优组合共同预测或估计 因变量，比只用一个自变量进行预测或估计更有效、更符合实际。因此多元线性 回归比一元线性回归的实用意义更大。
1
在研究问题时，我们考虑一个变量受其他变量的影响时，把这变量称为因变 量，记为Y ，其他变量称为自变量，记为 X ，这时相关系数可记作：
(2)成立为前提)。 (4) 对应不同观测数据的误差项不相关，即
Cov(i , j ) E[(i E(i ))( j E( j ))] E(i j 0) 对任意的 i j 都成立(假设(1) 成立为前提)。
(5) 解释变量 Xi (i 1, 2, ,r)是确定性变量而非随机变量。当存在多个解释 变量 (r 1) 时假设不同解释变量之间不存在线性关系，包括严格的线性关系和强 的近似线性关系。
4.1.2 多元线性回归模型
4.1.2.1 模型的建立及矩阵表示 多元线性回归模型的一般形式是：
Y 0 1Z1 2Z2 3Z3 kZk
（4-1）
其中 j ( j 1, 2, , k) 是回归系数，Y 是被解释变量，z1i , z2i , , zki 是 k 个对Y 有显
著影响的解释变量 (k 2) ，i 是反映各种误差扰动综合影响的随机项，下标 i 表
Y f (x) 其中 f (x) 为当 X x 时，因变量Y 的均值，即
f (x) E(Y X x) 称 f (x) 为Y 对 X 的回归函数， 为Y 与 f (x) 的偏差，它是随机变量，并假定 E( ) 0 。回归函数可以是一元函数，也可以是多元函数，即
Y f (x1, x2, , xm) 其中 f ( x1, x2, , xm ) E(Y X1 x1, X2 x2 , , Xm xm )为 m 元回归函数，统称为 多元回归函数。
示第 i 期观察值 (Yi , z1i , z2i , , zki ),i 1, 2, , n 。
2
假设多元样本回归函数为：Yˆi ˆ0 ˆ1Z1i ˆ2Z2i ˆ3Z3i ˆk Zki ，回归残
差为： i Yi Yˆi 。 由于有 n 期的观察值，这一模型实际上包含 n 个方程： Y1 0 1Z11 k Zk1 1 Y2 0 1Z12 k Zk 2 2
写成矩阵形式： 其中
Yn 0 1Z1n k Zkn n Y Zˆ
（4-2）
Y1
1 z11 z21
zk1
Y
Y2
,
Z
1
z12
z12z12ຫໍສະໝຸດ Yn1 z1n z2n
zkn
0
1
,
k
ˆ0
ˆ
ˆ1
,
ˆk
0
1
n
4.1.2.2 模型假设 因为多元线性模型的建立过程包含相当的主观性，所依据的理论和经验可能