单调性与凹凸性

设 x0 (a,b), f (x0 ) 0
即 lim f (x) f (x0 ) 0 xx0 x x0
x (x0 , x0 ),
x x0 ,f (x) f (x0 ) 与f(x)在[a,b]单增矛盾
""用Lagrange 中值定理 x1, x2 [a,b], x1 x2
f (x)在[x1, x2 ]连续,在(x1, x2 )可导
5
2
解 : f (x) 2x3 5x3
f (x)
20
x
1 3
10
x
4 3
9
9
当x 0时,f (x)不存在
当x 0
f (x)
10
x
2 3
10
x
1 3
33
10
4
x3
(2x
1)
0
x 1
9
2
x (, 1) 1 ( 1 ,0) 0 (0,)
2 22
f (x) -
0
+
不存在
+
f(x)
f (x)在(, 1)上凸,在( 1 ,0),(0,)下凸, 拐点( 1 ,33 2)
证 f(x)在(0,a]单调减少
x
证 : 令F(x) f (x), x
F(x)
f
(x)
x x2
f
(x)
令G(x) xf (x) f (x), G(x) xf (x) <0
G(x)在(0,a] , 又G(0) 0, x 0,G(x) G(0) 0
F(x) 0
F(x) f(x) 在(0,a]单调减少. x
四、 函数单调性与凹凸性
(一)、f (x)的符号与函数的单调性
二、f (x)的符号与函数的凹凸性
(一)、f (x)的符号与函数的单调性
性质 : f (x)在[a,b]连续,在(a,b)可导,则
f (x)在[a,b]单增(单减) f (x) 0(f (x) 0),x (a,b)
证：""用反证法
当x 0时,sin x x x3 3!
例5 证当x 0时, x - x2 ln(1 x) x 2
例6 证 方程x2x 1在(0,1)内有且仅有一个根.
二、f (x)的符号与函数的凹凸性
y
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
C B
定义
Βιβλιοθήκη Baidu
A
o
x
y
y f (x)
设f (x)在(a,b)内有定义, x1, x2 (a,b)
方法: 用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
例1
讨论函数f
(x)
x
3
x
2
3的单调性.
2
例1
讨论函数f
(x)
x
3
2
x 3的单调性 .
2
解
1
当x 0
f (x)
1
1
x3
x3
1
1
0
驻点x
1.
x3
当x 0时,f (x)不存在
于所在弦的上方
(2) f (q1x1 q2x2 ) q1f (x1) q2f (x2 ),
那末称 f (x)在(a,b)内为上凸的(或下凹),
称f (x)为上凸函数(或凹函数);
性质4.2 如果 f (x) 在 (a,b)内二阶可导 , 则f (x)在 (a,b)内下凸(上凸) f (x) 0(f (x) 0)
例2 求f(x) lnx的凸凹区间及拐点 性质4.3 若f(x)在x0二阶可导,且(x0,f (x0 ))为f (x)的拐点, 则 f (x0 ) 0
例3 问a,b为何值时,(1,3)为y ax3 bx2的拐点.
方法1: 设函数f (x)在x0的去心邻域内二阶可导, 在x0点未必二阶可导
(1) x0两近旁f ( x)变号,点( x0, f ( x0 ))即为拐点; (2) x0两近旁f ( x)不变号,点( x0, f ( x0 ))不是拐点.
题型二：用单调性证明不等式
例4 证明:当x 0时,sin x x x3
3!
证
设f (x) sin x x x3 , 6
则 f (x) cos x 1 x2 . 2
f (x) sin x x 0,(x 0)
f (x)在(0,) f(0) 0, x 0,f(x) f(0) 0 f (x)在(0,) f (0) 0,
(x1
,
x2
)使f
()
f
(x2 ) x2
f (x1 x1
)
0
由x1, x2的任意性知,f (x)在[a,b]单调
f (x2 ) f (x1)
题型一：讨论f(x)的单调性
注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
y 3 x2
x (,0) 0 (0,)
f (x) -
+ 不存在
f(x)
f(x)在(-,0)单减,在(0,)单增
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
例3 设f(x)在[0,a]二次可导,f(0) 0,f (x) 0
及 q1,q2,q1 q2 1,恒有
(1) f (q1x1 q2x2 ) q1f (x1) q2f (x2 ),
o x1
则称 f (x)在(a,b)内为下凸的(或上凹), x2 x 称f (x)为下凸函数(或凸函数);
图形上任意弧段位
于所在弦的下方
y
y f (x)
o x1
x2 x
图形上任意弧段位
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx y 0
定义4.3 设f(x)在(a,b)连续, x0 (a,b),
上凸,下凸的分界点(x0 , y0 )称为拐点. 为平面 上的点
题型一:判断f(x)的凹凸性,并求拐点
例1 设f(x) (2x - 5)3 x2 ,讨论f (x)的凹凸性,并求拐点.
x (,0) 0 (0,1) 1 (1,)
f (x) + - 不存在 0 +
f(x)
在(0,1)内,
函数单调减少；
在(,0),(1,)内, 函数单调增加.
例2 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f (x) 2 0, 33 x
(x 0)
当x 0时,导数不存在.
2
2
2
例2 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
当x
0时,
y
1
x
2 3
,
y
2
5
x3
,
3
9
x 0时,y,y均不存在.
x (,0) 0 (0,)
f +
不存在
-
f
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
求拐点的步骤 (1) 求f (x) 0及f (x)不存在的点 (2) 用这些点将D(f)划分成几个区间,讨论f (x)的符号.