第四章差异量数

（三）计算公式
X 即 Pp
（四）应用 下表所列的考试分数分布中，已知某应试者的考分为82 分，问在这次考试中低于该应试者的人数比例
第三节平均差、方差、标准差
一、平均差(average deviation或mean deviation) （一）概念 平均差(通常用AD或MD表示) 指一组数据中，每一个数据与该组数据的平均数之差 的绝对值的算数平均数
（二）缺点 1、计算相对比较繁杂，还有负值和零值， 常常还会带有小数 2、在进行比较时，还必须满足原始数据 的分布形态相同这一条件
五、应用 （一）比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布 中相对位臵的高低
比如有一人的身高是 170 厘米，体重是 65 千克，究竟身 高还是体重在各自的分布中较高？设身高 Z 身高 1.70 =0.5 ， Z 体重65 =1.2 ，则该人的体重离平均数的距离要比身高离 平均数的距离远，即该人在某团体中身高稍微偏高， 而体重更偏重些
（三）经线性转化后，表示标准测验分数 经过标准化的教育和心理测验，如果其常模分 数分布接近正态分布，为了克服标准分数出现 的小数，负数，常常是将其转化成正态标准分 数 转化公式为Z’=aZ+b Z’为经过转化后的标准正态分数，a,b为常数
（四）整理数据时，常采用三个标准差法则取舍数 据，即如果数据值落在平均数加减三个标准差之外， 则在整理数据时，可以将这个数据作为异常值舍弃 操作方法：利用spss转化为Z分数后，Z值不在[-3,3] 范围内，可以舍弃
2、某招干考试分数如下表，预定取考分居前10% 的应考人员进行面试选拔，请划定面试分数线
三、四分位差(quartile deviation) （一）概念 百分位差的一种，又叫四分位距，指第三个四分位数 与第一个四分位数之差的一半，即在一个次数分布中， 中间50%的次数的距离的一半，用Q表示。
（二）由来 四分位差的计算，基于两个百分位数，即P25和P75,这两 个点值与中数（50%点）一起把整个数据的次数等分为 四部分， P25之下占有总次数的四分之一，被称为第一 四分位，中数被称为第二四分位， P75被称为第三四分 位
3意义 （1）方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好 指标，其值越大，说明数据分布的离散程度越大，该 组数据较分散，其值越小，说明数据分布比较集中， 离散程度越小。 （2）它们是统计描述与统计推断分析中最常用的差 异量数。在描述统计部分，只需要标准差就足以说明 一组数据的离中趋势
4标准差的有点 （1）反应灵敏，每个数据取值的变化，方差或标准差都随之 变化 （2）计算公式严密确定 （3）容易计算 （4）适合代数运算 93页说标准差不可以进行统计运算，但是94也总结标准差 的优点的时候又说适合代数运算，怎么回事？ 93页所说的标准差不可以进行代数运算是指两个标准差之间不 可以进行加减乘除的运算，而不像方差那样具有可加性；94页 所说的标准差的优点是指标准差除可以用以描述统计之外，还 可以进一步参与到推论统计的运算当中，而平均差、百分位差、 四分位差等其他的差异量数则不能参与到推论统计的运算当中
当两个公式计算的结果有出入时，原始 数据计算的结果更精确
计算该次数分布表的方差和标准差
（三）总标准差的合成 方差具有可加性的特点，在已知几个小组的方差或 标准差的情况下可以计算几个小组联合在一起的总 的方差或标准差 思路是：总的方差=组内方差之和与组间方差之和
组内离均差
组间离均差
应用：为了研究噪音对解决数学问题的影响，根据噪 音的三种情况（强、中、弱）把被试分为三组，每组 4个人，因变量是解决数学问题时产生的错误频数， 数据如下表，请计算噪音所产生的总的方差
（5）受抽样变动影响小，即不同样本的标准差或 方差比较稳定 （6）简单明了，虽然比其他差异量数稍有不足， 但其意义还是较明白的
二、应用条件 （一）同一个团体不同观测值离散程度的比较 即同一个团体但是所测得特质不同 例：已知某小学一年级学生的平均体重为25千 克，体重的标准差为3.7千克，平均身高为110 厘米，标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散 程度哪个大？
（四）方差与标准差的性质与意义 1、方差性质 可分解性与可加性 2、标准差性质 （1）每个观测值都加上一个相同常数C后， 计算得到的标准差等于原标准差 （2）每个观测值都乘以一个相同常数C，则 所得的标准差等于原标准差乘以这个常数 （3）每一个观测值都乘以同一个常数C （C≠0），再加一个常数d,所得的标准差等于 原标准差乘以这个常数C。（分组数据时用估 计平均数计算标准差的公式）
（二）计算不同质的观测值的总和或平均值，来表示在团 体中的相对位臵 不同质的原始观测值因不等距，也没有一致的参照点， 因此不能简单地相加或相减，当需要把这些不同质的 数据合成时，如果已知这些不同质的观测值的次数分 布为正态，这时可采用 Z 分数来计算不同质的观测值 的总和或平均值。比如高考的各科成绩，经转化为 Z 分数后，可以相加
三、性质 （一）Z分数无实际单位，是以平均数为参照点， 以标准差为单位的一个相对量 （二）一组原始分数转换得到的Z分数可以是正 值，也可以是负值，凡小于平均数的原始分数的 Z值为负数，大于平均数的原始分数的Z值为正数， 等于平均数的原始分数的Z值为零。 （三）所有原始分数的Z分数之和为零，Z分数的 平均数也为零
四、优缺点 （一）优点 1简单，容易理解 2计算简单
（二）缺点 1最粗糙，不可靠 2只是利用了数据中的极端值，其他数据未参与运算过 程 3如果两极端值有偶然性或属于异常值时，全距不稳定 4全距受到取样变动的影响
第二节百分位差与四分位差
一、百分位数 （一）概念 百分位数(percentile),又叫百分位分数,用符号Pp表示，指 次数分布中相对于某个特定百分点(小p)的原始分数，它 表明在次数分布中 小于这个分数的数据个数占数据分布 中全部数据个数的一定百分比。 如P70 =85，表明将一批数据从小到大排列后，小于85分 的数据占该批数据的70%
（二）不同团体进行的是同一种类型的观测，但测 的是水平相差较大，需要比较观测值的离散程度
例：通过一个测验，一年级（7岁）学生的平均分数为60分， 标准差为4.02分，五年级（11岁）学生的平均分数为80分，标 准差为6.04分，问这两个年级的测验分数中哪一个分散程度大？
三、注意事项
（一）测量的数据至少是等距数据 （二）差异系数只能用于一般的相对差异量的描述， 不能做进一步的代数运算
（四）一组原始数据中，各个Z分数的标准差为1 根据标准差性质：原始分数加上或减去一个数， 标准差不变；原始分数乘一个数，标准差变为原 来的N倍；Fra Baidu bibliotekZ=(Xi -X平均）/S不就是原始分数减去 平均数（标准差不变），再乘标准差的倒数吗？ （标准差为原来的1/S倍）原来标准差为S 转化Z分 数后就是S*(1/S) ，所以是1 （五）如果原始分数呈正态分布，那么转换得到Z 分数分布叫标准正态分布，以0为平均数，1为标 准差
思考： 在分组次数分布表中，当我们想求P50 时，如何 计算？
二、百分位差 （一）概念 指两个百分位数之差，也叫百分位距。 常用的百分位距有两种 P90－ P10， P93－ P7
（二）地位 能较好地反映一组数据的差异程度，但有一定 的局限，只作为主要差异量数的辅助量数
（三）应用 1、求百分位差
本章课后练习题 1、2、3、4（直接回答） 6、7、8、9（课堂计算）
本章随堂练习
第四章差异量数
全距
百分位差
差 异 量 数
四分位差
平均差
标准差
方差
第一节全距(range)
一、概念与计算公式 （一）全距又称两级差，用R表示，用一组数据 的最大值减去最小值 （二）R=X max－X min
二、地位 说明数据离散程度的最简单的统计量 三、应用 主要用于对数据作预备性检查，了解数据的大概散 布范围，以便确定如何进行统计分组
（三）计算公式
（五）优缺点 1优点 （1）在两极端数据不清楚时可以应用 （2）常与中数联系起来共同应用 （3）对数据的离散程度的描述比全距好
2缺点 （1）没有把全部数据考虑在内，其稳定性会差一些 （2）反应不够灵敏 （3）不适合进行代数运算
四、百分等级分数 （一）概念 百分等级分数与百分位数相反，它是事先知道分布 中的一个原始分数，再求这个原始分数在分布中所 处的相对位臵——百分等级 （二）意义 百分等级分数指出原始数据在常模团体中的相对位 臵，百分等级越小，原始数据在分布中相对位臵越 低，百分等级越大，原始数据在分布中相对位臵越 高。
第五节差异量数的选用
如何选用差异量数 （一）当样本是随机取样时，s、Q、R的可靠性依次降 低 （二）当要求计算要容易快捷时， s、Q、R依次变得 简单 （三）当要求统计量进一步使用时，s远胜于其他差异 量数 （四）在偏态分布中，Q比s更常用
（五）当分布是截尾分布时，只有Q能正确的指出 分布的变异性 （六）在选用差异量数时，同时应考虑合适的集中 量数。 差异量数越小，集中量数的代表性则越大 差异量数越大，集中量数的代表性则越小 要描述一组数据的典型性特点，必须同时使用集中 量数和差异量数。 一般常用的搭配是： 中数和Q或其它百分位差一起 平均数和标准差一起（最常用）
四、优缺点
（一)优点 1、可比性 不同性质的成绩，转化为标准正态分数后，相当 于处在不同背景下的分数，放在同一背景下去考 虑，具有可比性 2、可加性 标准分数没有具体单位，不同性质的原始分数经 转化后可以相加
3、明确性 知道了某一被试的标准分数，可以知道其百分等 级 （注意：在心理统计这门课中，我们默认的是样 本分布服从正态分布） 4、稳定性 原始分数转化为标准分数后，标准分数的标准差 为1（性质4），保证了不同性质的分数在总分中 的权重一样
（二）计算公式
（三）优缺点 优点 1、平均差意义明确，计算容易，反应灵敏 2、较好地反映了次数分布的离散程度 缺点 1、平均差计算时要用绝对值，不适合代数运 算，因此在进一步统计分析中应用较少 2、属于一种低效差异量数
二、方差与标准差
（一）概念
（二）计算公式 1、未分组数据的计算
思考：可不可以不计算平均数，只利用原始数据 来算方差和标准差呢