第十六章 第三篇 塑性成形力学

第三篇塑性成形力学塑性成形又称为塑性加工，是材料成形的基本方法之一，它是利用材料的塑性(即产生一定的永久变形又不破坏其完整性的能力)而获得所需形状与尺寸的工件的一种加工方法。

由于塑性加工一般是在外力作用下完成的，所以又称之为压力加工.通常所见的轧制、拉拔、锻造、挤压、冲压等成形方法都属于塑性加工的范畴。

一、塑性加工的特点一般说来，在现代制造业中,塑性加工的主体是金属的塑性加工.同材料成形的其他加工方法相比，金属塑性加工的主要优点有：(1) 金属材料经过相应的塑性变形后，其结构致密，组织改善，性能提高。

因此，凡是对强度和冲击韧度要求较高的零件大都采用塑性加工的方法来制造，例如连杆，曲轴等用于传动的零件主要是通过塑性加工生产出来。

(2) 金属塑性加工主要通过材料的塑性变形来实现体积的转移与重新分配，而不是部分切除金属的多余体积,因而工件的材料利用率较高，流线分布合理，从而也进一步提高了工件的强度。

(3) 用塑性加工生产的工件可以达到较高的精度，可以实现少、无切削的要求。

例如，精密冲裁和冷挤压生产的齿轮可不经切削加工而直接使用，精锻叶片的复杂曲面可达到只需切削的精度。

(4) 塑性加工具有很高的生产率，且容易实现机械化和自动化。

例如，在12000*10kN 的机械压力机上锻造汽车用的6拐曲轴仅需40s；在曲柄压力机上压制一个汽车履盖件仅需几秒时间。

(5) 几乎所有薄壁零件，尤其是大，中型板壳零件，例如汽车履盖件，只能采用塑性加工的方法来制造。

综上所述，由于塑性加工的工艺特点，使其在现代制造业中得到了广泛的应用。

特别是在汽车、航空、家电和日用品等工业部门中，塑性加工更是主要的加工方法，但是，塑性加工也有不足的地方。

这主要表现在：(1) 同材料成形的其他加工方法相比，塑性加工的投资大，尤其是大，中型履盖件的成形模具制造过程的经费多和时间长，常常是制约新产品迅速投产的一个瓶颈。

(2) 对环境会产生一定程度的污染，但同材料成形的其他方法相比，它所造成的环境污染又是较少的。

(3) 工件的形状不能太复杂，沿模具的作用方向，相对于分模面工件的形状必须是完全外凸的，否则工件不能从模具中取出来。

二、塑性成形力学课程的内容金属塑性加工的工艺多种多样，且各有其特点，但它们在塑性变形的金属学和力学方面则有着共同的基础和规律。

塑性成形力学课程的目的就在于科学地、系统地阐明属于力学范畴的这些共同的基础和规律，为学习后续的工艺课程作理论准备，也为今后将工艺设计由目前的以经验为主逐步提高到以理性为主奠定必要的理论基础。

就总体而言，金属塑性成形原理包含塑性变形的金属学和力学二大内容。

由于金属塑性变形后的微观机构的定性分析在金属学课程中已经给出了较为系统的介绍，因此本课程只阐述金属塑性成形的力学基础。

同时，现代塑性成形力学又分为细观和宏观二大分支。

现代细观塑性力学是在晶粒尺寸界限内，通过对在外力作用下晶粒中的位错运动、孪晶等细观变形机构建立数学模型和进行数值分析，来推导和预测金属的宏观塑性行为，它是现代塑性力学研究中的一个前沿和热点领域。

最近二、三十年来，细观塑性力学已经有了长足的发展，并取得了一些突破，但这部分内容不适合本科生的教材，因此本教程只介绍宏观塑性成形力学。

于是，本教程的主要内容有：应变分析；应力分析；屈服准则；塑性变形时的应力应变关系；求解塑性成形问题的经典的近似方法，主应力法、滑移线法及上限法。

三、本教程的特点一般说来，宏观塑性成形力学的理论体系早在几十年前就已经基本上建立起来，虽然它仍面临一些需要解决的难题，例如，对于各向异性材料如何建立更加精确的动态数学模型就是一个重大课题，不过总的说来，这个理论体系是比较完备的。

但是，随着金属塑性加工的数学模拟这一新思想、新技术的开发和广泛应用，阐述塑性成形力学的基础理论的思维方法发生了很大的变革。

因此，本教程是表达思路和方法将尽可能地体现这种变化。

和以往的塑性成形力学教程不同，本教程采用了现代连续介质力学的思维方法，以笛卡儿直角坐标系中的张量理论作为基础性的数学工具，这样做使得本教程在理论上更加严谨，阐述问题更加透彻，而且表达方式更加简明扼要。

显然，高年级本科生的数学、力学基础知识完全能够适应这种方法，而且有利于他们今后对塑性成形理论的深入学习和不断提高。

第十六章运动与变形第一节笛卡儿张量的定义及其代数运算在物理学和力学中，为了在数量上对物理量进行描述和计算，并使用代数和分析数学的方法来研究物理量及其运动，必须引进坐标系，而物理量本身是不依赖于坐标系而存在的。

由于坐标系的选择带有一定的任意性，而且同一物理量在不同坐标系中会有不同的数量表征，我们由此得到的分析结果，常常带有所选取的坐标系的特征，且可能使问题复杂化。

因此，我们希望有一种数学工具，用它来描述物理量及其运动，所得到的数量表征和解析结果，在任何坐标系下都具有不变形式，即这些表征和结果所反映的物理事实与坐标系的选择无关。

张量就是这样一种数学工具，用它来描述物理量及其运动，所得到的数量表征和分析结果，在任何坐标系中都具有不变形式，因此在塑性成形力学中自然要用到这一数学工具。

这里，我们只讨论实欧氏空间内的笛卡儿直角坐标系中的张量。

一、笛卡儿坐标系中的基矢设在实欧氏空间中，引进符合右手规则的直角坐标系O-x1x2x3，称为笛卡儿坐标系，如图16-1所示。

设e k（k=1，2，3）为沿Ox k轴的单位矢量，称为基矢量或基矢。

定义基矢的点积或标量积为二、求和约定引进坐标系后，所描述的物理量的分量都会出现指标（本教材中写成下标的形式），以表明该分量和某一坐标轴的关系。

例如，任一矢量u表示为u=u1e1+u2e2+u3e3式中，u i(i=1，2，3)是矢量u在对应的坐标轴Ox i上的分量。

为书写简单，在3维的欧氏空间内，如果某一指标在同一项中重复出现，就表示要对这个指标从1到3求和，例如对于n维的欧氏空间内的求和约定可作同样的处理，只不过求和是从1到n。

重复出现的指标称为哑标，哑标与所采用的字母无关，即可用任一别的字母来代替。

只山现一次的指标称为自由指标．例如式中，i是自由指标；j,k,l都是哑标。

为避免误解，我们还作如下规定：在一个等式中，如果同一个指标字母在其中的一项中只出现了一次，则它即使在其他项中重复出现，对该指标也不约定求和，例如右边就不约定求和。

另外如果在一个重复出现的指标字母的下面加一短横，对该指标也不约定求和，例如就不约定求和，只表示一个特定的项。

同时，在本书中，对求导运算常采用以下的简单写法，例如利用求和约定和置换符号三阶行列式可展开成三、笛卡儿坐标变换不考虑坐标系标架的刚体平移，把笛卡尔坐标系O-x1x2x3刚体旋转为另一个笛卡尔坐标系如图16-2所示。

新坐标系的基矢记为e k’(k=1，2，3)，则有j。

记Ox’i轴与Ox’j轴的夹角的方向余弦为Q ij共有9个分量，构成坐标变换矩阵[Q ij]3×3。

由此可得在空间任取一点P，点P在两坐标系中的坐标分别记为x i与x’i，则有上式为同一矢量在不同坐标系中的分量之间的变换式。

四、张量的定义张量理论的表述有二种方式。

第一种方式是把张量看成是张量分量的集合，张量的运算就归结为张量分量的运算。

第二种方式是把张量看成是张量分量与基张量的组合、把张量整体作为研究对象．对它进行运算。

本书将按第一种方法给出张量的定义。

张量分量中所含指标的个数称为张量的阶。

在3维空间中，每个指标可取1，2、3之值．故n阶张量共有3n 个分量。

在本教材中，我们用黑体小写英文字母，如u，v和w等表示—阶张量，用黑体大写英文字母，如I、S和W等表示二阶及二阶以上的张量。

1．零阶张量(即标量) 它只有一个分量，且其痔不随坐标系改变，即标量是坐标系变换下的不变量。

2．一阶张量(即矢量) 它有三个分量，分量随坐标系变换的规律为式中，u’i与u i分别是一阶张量u在新、旧坐标系中的分量。

3.二阶张量T 它有9个分量，分量随坐标系变换的规律为写成矩阵形式，且由式（16-9）可得4.n阶张量它有3n个分量，分量随坐标系的变换规律为五、张量的代数运算1.张量相等二个张量相等，是指这二个张量的阶数相同，且在同一坐标系中的对应分量都相等。

例如，二个二阶张量T与S相等，当且仅当对于所有的i，j，k有（16-15）2.张量的加减阶数相同的二个张量可以相加减，并得到相同阶的张量，二个二阶张量T、S的加减W=T±S，其分量W ij定义为W ij=T ij+S ij4.张量相乘设T是二阶张量，u是一阶张量，则这二个张量的乘积S=Tu是一个三阶张量，它的分量W ij定义为S ijk=T ij u k （16-18）5.张量的点积设T、S是二阶张量，则这二个张量的点积W=TS是一个二阶张量，它的分量W ij定义为W ij=T ik S kj （16-19）显然，张量的点积不满足交换率。

二个张量的点积张量的阶数等于原来二个张量的阶数之和减去2。

六、张量识别定理张量识别定理设带有2个指标的9个变量的集合{T ij}，与任一矢量u的点积是一个矢量，则{T ij}是一个二阶张量。

证由于T ik u k是矢量，故在任一新的笛卡尔坐标系中有又由于u l的任意性，可得第二节二阶张量二阶张量在连续介质力学中有广泛的应用，例如应力张量、应变张量都是二阶张量，本节着重研究二阶张量。

一、二阶张量的一些简单性质1.转置张量张量T的转置张量T T定义为T T ij=T ji (16-21)写成矩阵形式，有例1 设u是矢量，T是二阶张量，则有uT=T T u (16-25) 证由张量点积的定义，上式中的二个一阶张量的分量分别为如果T是对称张量，则由上式可得uT=Tu （16-26）结论1 二阶张量T可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和。

上式右边的第一项是对称张量，第二项是反对称张量。

唯一性作为练习，请读者完成。

5.正交张量如果T T=T-1，即TT T=TT=I，则称T是正交张量。

显然，正交张量与张量的矩阵是正交矩阵二者是等价的。

为了阐述上的方便，以后我们将坐标变换矩阵写成张量的形式，记为Q。

尽管如此，Q 不是真正意义上的张量。

二、二阶张量的特征值和特征方向设T为二阶张量，如果有非零矢量u，使得因此，张量T的特征值和特征方向，就是对应的矩阵[T]的特征值和特征方向。

由式（16-13）可知，张量T在新旧坐标系中的分量有如下的关系即张量T在新、旧坐标系中的二个矩阵之间的关系为相似变换，而相似变换的二个矩阵有相同的特征值和特征方向，因此张量T的特征值和特征方向与坐标系的选择无关。

将式（16-28）展开，可得三、二阶对称张量的特征值和特征方向由于二阶对称张量T的矩阵[Tij]是实对称矩阵，而张量T的特征值和特征方向就是矩阵[Tij]的特征值和特征方向．于是有1)T的三个特征值均为实数。